資源簡介

6.2排列與組合
課時3　組合與組合數
【學習目標】 1.理解并掌握組合與組合數的概念,掌握組合與排列之間的聯系與區別.(數學抽象) 2.會推導組合數公式,并會應用公式求值.(數學運算) 3.理解組合數的兩個性質,并會求值、化簡和證明.(數學運算、邏輯推理)
【自主預習】
1.從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動,有多少種不同的選法 這一問題與“從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動,其中1名同學參加上午的活動,另外1名同學參加下午的活動”有什么區別和聯系
2.你能說說排列與組合之間的區別和聯系嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是. ( )
(2)從1,3,5,7中任取兩個數相乘可得個積. ( )
(3)1,2,3與3,2,1是同一個組合.( )
(4)=5×4×3=60. ( )
2.(改編)-2+的值為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.72
B.37
C.36
D.42
3.在報名參加志愿活動的3名男教師和3名女教師中,選取3人參加義務獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方法種數為 .(結果用數值表示)
4.若=6,則m= .
【合作探究】
　組合的概念
“校園歌手大賽”是某校的特色文化活動之一,它為同學們緊張、忙碌的學習生活提供了休閑、放松的平臺,同時也給同學們出了一道數學題.比較下列兩個問題并發現它們之間的關系.
問題1:高二(1)班有3名同學想參加比賽,但是學校只給了每個班2個名額,且其中1名同學參加流行音樂組,另1名同學參加民歌組,共有幾種不同的報名結果
問題2:高二(1)班有3名同學想參加比賽,但是學校只給了每個班2個名額,共有幾種不同的報名結果
問題3:上述兩個問題的區別是什么
1.一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.我們把有關求組合的個數的問題叫作組合問題.
2.排列與組合的區別
排列需要考慮元素的順序,組合不需要考慮元素的順序.
判斷下列問題是排列問題,還是組合問題.
(1)10人相互寫一封信,共寫出了多少封信
(2)10人相互通一次電話,共通了多少次電話
(3)10支球隊以單循環的方式進行比賽(每兩隊比賽一次),這次比賽需要進行多少場次
(4)從10人中選出3人擔任不同學科的科代表,有多少種選法
【方法總結】判斷一個問題是否是組合問題的方法技巧:區分排列與組合的關鍵是看結果是否與元素的順序有關,若交換某兩個元素的位置對結果產生影響,則是排列問題,而交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響,則是組合問題,也就是說排列問題與選取元素的順序有關,組合問題與選取元素的順序無關.
判斷下列問題是排列問題,還是組合問題.
(1)把當日動物園的4張門票分給5個人,每人至多分1張,而且票必須分完,有多少種分配方法
(2)從2,3,5,7,11這5個質數中,每次取2個數分別作為分子和分母構成一個分數,共能構成多少個不同的分數
(3)從9名學生中選出4名參加一個聯歡會,有多少種不同的選法
　組合數公式
問題1:組合的概念的要點是什么
問題2:兩個組合是相同組合的充要條件是什么
問題3:前面已經提到,組合和排列有關系,我們能否利用這種關系,由排列數來求組合數呢
問題4:如何理解“組合”與“組合數”
組合數與組合數公式
組合數 公式 乘積式 ==
階乘式 =
備注 ①n∈N+,m∈N且m≤n;②規定=1
一、利用組合數公式計算
(1)計算:3-2.
(2)解關于n的不等式>.
【方法總結】(1)公式=(n∈N*,m∈N,m≤n)一般用于求值計算. (2)公式=一般用于化簡、證明或m,n較大的計算.
若-<,則n的取值集合為 .
二、利用組合數公式解簡單的組合問題
在一次物理競賽中,某學校有10人通過了初試,學校要從中選出4人參加縣級培訓,其中甲、乙二人必須參加,有多少種不同的選法
【方法總結】解簡單的組合應用題的策略 (1)解簡單的組合應用題時,首先要判斷它是不是組合問題,組合問題與排列問題的根本區別在于排列問題與取出元素之間的順序有關,而組合問題與取出元素的順序無關; (2)要注意兩個計數原理的運用,即分類加法計數原理與分步乘法計數原理的靈活運用. 提醒:在分類和分步時,一定要注意有無重復或遺漏.
一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球.
(1)從口袋內取出3個球,共有多少種取法
(2)從口袋內取出3個球,使其中含有1個黑球,有多少種取法
(3)從口袋內取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法
　組合數的性質
問題1:試用兩種方法求:從a,b,c,d,e這5人中選出3人參加數學競賽,2人參加英語競賽,共有多少種選法.你有什么發現 你能得到一般結論嗎
問題2:從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽,共有多少種選法 若隊長必須參加,有多少種選法 若隊長不能參加,有多少種選法 你有什么發現 你能推廣到一般結論嗎
組合數的性質
(1)=;
(2)=+.
(1)求++…+的值;
(2)證明:++2=.
【方法總結】要注意=+的正用、逆用及其變形應用.正用是將一個組合數拆成兩個,逆用則是“合二為一”,變形一般為=-,它為某些項相互抵消提供了方便,在解題中要注意靈活運用.
(1)化簡:-+.
(2)已知-=,求n的值.
【隨堂檢測】
1.現有如下問題:
①將圖案不同的4張撲克牌分給2人,每人2張,有幾種分法
②將圖案不同的4張撲克牌分給4人,每人1張,有幾種分法
③空間中有10個點,其中任何3個點不共線,能構成多少個以這些點為頂點的三角形
其中組合問題的個數為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若=12,則n=( ).
A.8 B.5或6
C.3或4 D.4
3.北斗七星是夜空中的七顆亮星,我國漢代緯書《春秋運斗樞》就有記載,它們組成的圖形類似我國古代舀酒的斗,故命名為北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象,也是古人判斷季節的依據之一.如圖,用點A,B,C,D,E,F,G表示某一時期的北斗七星,其中B,D,E,F四點看作共線,其他任何三點均不共線,過這七個點中任意兩個點作直線,所得直線的條數為 .
4.證明:m=n(2≤m≤n,m,n∈N*).
參考答案
課時3　組合與組合數
自主預習·悟新知
預學憶思
1.有3種選法.由于“甲上午、乙下午”與“乙上午、甲下午”是兩種不同順序的選法,因此解決后面的問題時,不僅要從3名同學中選出2名,而且要將他們按照“上午在前,下午在后”的順序排列,這是上一節研究的排列問題.本問題要研究的問題只是從3名同學中選出2名去參加一項活動,就只需要將選出的2名同學作為一組,不需要考慮他們的順序.
2.從排列與組合的定義可以知道,兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,這是排列與組合的共同點.它們的不同點:排列與元素的順序有關,組合與元素的順序無關;只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的,而兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.B　【解析】-2+=-2×+1=56-20+1=37.
3.18　【解析】選取方式為選2名男教師1名女教師或選2名女教師1名男教師,則不同的選取方法有2=18(種).
4.7　【解析】由已知得m(m-1)(m-2)=6×,解得m=7.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:有=6(種).
問題2:由列舉法可知有3種.
問題3:問題1是排列問題,有順序;問題2是無順序問題,是我們要學習的組合問題.
新知運用
例1　【解析】(1)是排列問題,因為寫信人與收信人是有順序區別的.
(2)是組合問題,因為甲與乙通一次電話,也就是乙與甲通一次電話,沒有順序的區別.
(3)是組合問題,因為每兩支球隊比賽一次,沒有順序的區別.
(4)是排列問題,因為3人擔任哪一科的科代表是有順序區別的.
鞏固訓練　【解析】(1)是組合問題,由于4張票是相同的(都是當日動物園的門票),不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人,這和順序無關.
(2)是排列問題,選出的2個數作分子或分母,結果是不同的.
(3)是組合問題,選出的4人無角色差異,不需要排列他們的順序.
探究2　情境設置
問題1:(1)取出的對象是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m個對象與順序無關,無序性是組合的特征性質.
問題2:只要兩個組合中的元素完全相同,不管順序如何,這兩個組合就是相同的組合.
問題3:能,下面以從4個元素中取出3個元素的排列與組合為例來分析:分析從4個不同元素中取出3個元素的排列數為=24,組合數為=4,比較發現組合數===4.
問題4:“組合”與“組合數”也是兩個不同的概念,“組合”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組”,它不是一個數,而是具體的一件事;“組合數”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數”,它是一個數.例如,從a,b,c這3個不同元素中,每次取出2個元素的組合為ab,ac,bc,其中每一種都叫一個組合,這些組合共有3個,則組合數為3.
新知運用
例2　【解析】(1)3-2=3×-2×=148.
(2)由>,得>,所以n2-9n-10<0,解得-1鞏固訓練　{5,6,7,8,9,10,11}　【解析】由-<,
可得n2-11n-12<0,解得-1又n∈N*,且n≥5,所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}.
例3　【解析】由于甲、乙二人必須參加,則只需要從另外8人中選2人即可,共有=28種不同的選法.
鞏固訓練　【解析】(1)從口袋內的8個球中取出3個球,
取法種數是==56.
(2)從口袋內取出的3個球中有1個是黑球,于是還要從7個白球中再取出2個,
取法種數是==21.
(3)從口袋內取出的3個球中不含有黑球,于是要從7個白球中取出3個,
取法種數是==35.
探究3　情境設置
問題1:(法一)從5人中選出3人參加數學競賽,剩余2人參加英語競賽,共有==10種選法.
(法二)從5人中選出2人參加英語競賽,剩余3人參加數學競賽,共有==10種選法.
發現:=.推廣到一般結論:=.
問題2:共有==210種選法.若隊長必須參加,共=126種選法;若隊長不能參加,共=84種選法.從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類,由分類加法計數原理可得+=.一般地,+=.
新知運用
例4　【解析】(1)(法一)原式=+-+-+…+-==330.
(法二)原式=+++…+=++…+=++…+=…=+==330.
(2)利用公式=+推導得,
左邊=(+)+(+)=+==右邊.
鞏固訓練　【解析】(1)原式=(+)-=-=0.
(2)由-=,可得=+,
則=,故8+7=n+1,解得n=14.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由組合的定義可知①③兩個問題與順序無關,是組合問題.
2.A　【解析】=n(n-1)(n-2),=n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1),
由n∈N*,且n≥3,解得n=8.
3.16　【解析】根據題意從七個點中任意選兩個點作直線共有=21(種),
從B,D,E,F四點中任意選兩點只能作一條直線,有-1=6-1=5種重復,
所以所得直線的條數為21-5=16.
4.【解析】m=m·
=
=n·=n.6.2排列與組合
課時2　排列數的應用
【學習目標】 1.進一步加深對排列概念的理解.(抽象概括) 2.掌握幾種有限制條件的排列問題的處理方法,能應用排列數公式解決簡單的實際問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.怎樣判斷一個問題是排列問題
2.解簡單的排列應用題的基本思想是什么
3.解簡單的排列應用題的方法有哪些
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)2,3,4與3,4,2為同一個排列. ( )
(2)從n人中選出2人,分別從事兩項不同的工作,若選派的種數為72,則n的值為8. ( )
(3)甲、乙、丙三名同學排成一排,不同的排列方法有3種. ( )
(4)1位老師和5位同學站成一排照相,老師不站在兩端的排法種數為480. ( )
2.用1,2,3,4這4個數字可組成( )個沒有重復數字的三位數.　　　　　　　　　　　　　　　
A.24 B.12 C.81 D.64
3.(改編)元旦晚會上,老師將8張不同的新年賀卡分給4人,若每人都獲得一張賀卡,則不同的分法種數是( ).
A.1 680 B.1 260 C.720 D.560
4.從班委會的5名成員中選出3名分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員,其中甲、乙二人不能擔任文娛委員,則不同的選法共有 種.(用數字作答)
【合作探究】
　排隊、排節目問題
在冬奧會志愿者招募活動中,甲、乙等5人報名參加了A,B,C三個項目的志愿者工作,因工作需要,每個項目僅需1名志愿者.
問題1:若甲不能參加A,B項目,乙不能參加B,C項目,甲、乙都參加,則有多少種方法
問題2:若甲、乙都不參加,則有多少種方法
問題3:若甲不能參加A,B項目,乙不能參加B,C項目,則共有多少種不同的志愿者分配方案
問題4:根據上述問題,歸納解簡單排列應用題的方法.
排隊、排節目問題的解題策略
(1)合理歸類,要將題目大致歸類,常見的類型有特殊元素、特殊位置、相鄰問題、不相鄰問題等,再針對每一類采用相應的方法解題.
(2)恰當結合,排列問題的解決離不開兩個計數原理的應用,解題過程中要恰當結合兩個計數原理.
(3)正難則反,這是一個基本的數學思想,巧妙應用排除法可起到事半功倍的效果.
一、特殊元素或特殊位置問題
6人按下列要求站成一排,分別有多少種不同的站法
(1)甲不站右端,也不站左端;
(2)甲、乙站在兩端;
(3)甲不站左端,乙不站右端.
【方法總結】“特殊”優先原則 常見的“在”與“不在”的有限制條件的排列問題就是典型的特殊元素或特殊位置問題,解題原則是誰“特殊”誰優先.一般從以下三種思路考慮:(1)以元素為主考慮,即先安排特殊元素,再安排其他元素;(2)以位置為主考慮,即先安排特殊位置,再安排其他位置;(3)用間接法解題,先不考慮限制條件,計算出總的排列數,再減去不符合要求的排列數.
大年初一,爺爺、奶奶、爸爸、媽媽、讀高中的姐姐以及剛滿周歲的小弟弟一家六口外出游玩,到某處景點時,他們站成一排拍照,小弟弟由其中任意一人抱著,則不同的站法共有( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.120種 B.480種 C.600種 D.720種
二、相鄰問題
(原創)2022年10月18日,黨的二十大新聞中心舉行首場集體采訪.北京、天津、河北、山西、內蒙古、遼寧、吉林代表團新聞發言人出席,介紹代表團學習討論二十大報告情況,并回答記者提問.若發言人排成一排,要求北京、天津代表團新聞發言人必須相鄰,而遼寧、吉林代表團新聞發言人需分開,則不同的排法有( ).
A.400種 B.720種 C.960種 D.1 200種
【方法總結】解決“相鄰”問題用“捆綁法” 將n個不同的元素排成一排,其中k個元素排在相鄰位置上,求不同排法的種數,具體求解步驟如下: (1)先將這k個元素“捆綁”在一起,看成一個整體; (2)把這個整體當作一個元素與其他元素一起排列,其排列方法有種; (3)“松綁”,即將“捆綁”在一起的元素內部進行排列,其排列方法有種; (4)根據分步乘法計數原理,符合條件的排法有·種.
(多選題)甲、乙、丙、丁、戊五名同學站成一排,下列結論正確的是( ).
A.不同的站隊方式共有120種
B.若甲和乙相鄰,則不同的站隊方式共有36種
C.若甲、乙、丙站一起,則不同的站隊方式共有36種
D.若甲不站在兩端,則不同的站隊方式共有72種
三、不相鄰問題
(多選題)象棋作為一種傳統棋類益智游戲,具有深遠的意義和價值.它具有紅、黑兩種陣營,“將、車、馬、炮、兵”等為象棋中的棋子,現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列,則下列說法正確的是( ).
A.共有120種不同的排列方式
B.若兩個“將”相鄰,則有24種不同的排列方式
C.若兩個“將”不相鄰,則有72種不同的排列方式
D.若同色棋子不相鄰,則有12種不同的排列方式
【方法總結】解決不相鄰問題用“插空法” 將n個不同的元素排成一排,其中k個元素互不相鄰(k≤n-k+1),求不同排法的種數,具體求解步驟如下: (1)將沒有不相鄰要求的(n-k)個元素排成一排,其排列方法有種; (2)將要求兩兩不相鄰的k個元素插入(n-k+1)個空隙中,相當于從(n-k+1)個空隙中選出k個分別分配給兩兩不相鄰的k個元素,其排列方法有種; (3)根據分步乘法計數原理,符合條件的排法有·種.
已知有3名男生和2名女生站在一排照相.
(1)男生均相鄰且女生均相鄰的排法種數是多少
(2)女生互不相鄰的排法種數是多少
(3)若甲不站左端,且乙不站右端,有多少種排法
四、定序問題
有7人站成一排.
(1)若甲必須在乙的前面(不一定相鄰),則有多少種不同的排列方法
(2)若甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰),則有多少種不同的排列方法
【方法總結】部分元素定序的排列問題的兩種解法 法一:把不要求定序的元素先排列,剩余的位置就是定序的元素,這些定序的元素只有一種排法,所以問題就轉化為求不要求定序的元素有多少種排法. 法二:用“倍縮法”,有(m+n)個元素排成一列,其中m個元素之間的先后順序確定不變,將這(m+n)個元素排成一列,有種不同的排法;然后任取一個排列,固定其他n個元素的位置不動,把這m個元素交換順序,有種排法,其中只有一個排列是我們需要的,因此共有種滿足條件的不同排法.
《中國詩詞大會》(第六季)亮點頗多,十場比賽每場都有一首特別設計的開場詩詞,在聲光舞美的配合下,百人團齊聲朗誦,別有韻味.若《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場,且《將進酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有( ).
A.144種 B.288種 C.360種 D.720種
　有關數字的排列問題
問題1:偶數的個位數字有何特征 從1,2,3,4,5中任取2個不同的數字能組成多少個不同的偶數
問題2:在一個三位數中,位于百位的數字x能是0嗎 如果在0~9這10個數字中任取3個不同的數字組成一個三位數,如何排才能使百位數字不為0
數字排列問題的求解策略
(1)首位數字不為0.
(2)若所選數字中含有0,則可先排0,即“元素分析法”.
(3)若排列的是特殊數字,如偶數,則先排個位數字,即“位置分析法”.
(4)此類問題往往需要分類,可依據特殊元素、特殊位置分類.
用0,1,2,3,4,5這6個數字可以組成多少個無重復數字的(1)六位奇數 (2)個位數字不是5的六位數 (3)不大于4 310的四位偶數
【變式探究1】若本例中條件不變,能組成多少個被5整除的五位數
【變式探究2】若本例條件不變,能組成的所有的六位數按從小到大的順序組成一個數列{an},則240 135是第幾項
【方法總結】排數字問題常見的解題方法:(1)“兩優先排法”:特殊元素優先排列,特殊位置優先填充.如“0”不排“首位”.(2)“分類討論法”:按照某一標準將排列分成幾類,然后按照分類加法計數原理進行,要注意以下兩點:一是分類標準必須恰當;二是分類過程要做到不重不漏.(3)“排除法”:全排列數減去不符合條件的排列數.(4)“位置分析法”:按位置逐步討論,把要求數字的每個數位排好.
用1,2,3,4,5,6,7這七個數字組成沒有重復數字的四位數.
(1)這些四位數中偶數有多少個 能被5整除的有多少個
(2)這些四位數中大于6 500的有多少個
【隨堂檢測】
1.從4名男性3名女性共7名志愿者中,選出1名女性2名男性分別到A,B,C地執行任務,則不同的選派方法有( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.36種 B.108種
C.210種 D.72種
2.5人排成一排,其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的不同排法種數為( ).
A.6 B.84
C.24 D.48
3.用1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數字的七位數,若1,3,5,7的順序一定,則有 個七位數符合條件.
4.有3名同學(甲、乙、丙)和2名家長相約一起去觀看新上映的影片,他們的座位在同一排且連在一起.
(1)甲同學必須坐在乙同學左邊的坐法有多少種
(2)2名家長互不相鄰的坐法有多少種
參考答案
課時2　排列數的應用
自主預習·悟新知
預學憶思
1.關鍵是看它有無順序,有順序的是排列問題,否則不是排列問題.
2.將實際問題轉化為排列問題,然后利用排列數公式求解.
3.特殊優先安排,相鄰捆綁,間隔插空,正難則反,等價轉化等方法.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.A　【解析】由題意可知,從4個數中選出3個數全排列,共可組成=24個沒有重復數字的三位數.
3.A　【解析】根據題意,不同的分法有=8×7×6×5=1 680(種).
4.36　【解析】文娛委員有3種選法,則安排學習委員、體育委員有=12種方法.根據分步乘法計數原理,共有3×12=36種選法.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:若甲、乙都參加,則甲只能參加C項目,乙只能參加A項目,剩余3人參加B項目,有3種方法.
問題2:若甲、乙都不參加,則有=6種方法.
問題3:若甲、乙都參加,則甲只能參加C項目,乙只能參加A項目,剩余3人參加B項目,有3種方法;
若甲參加,乙不參加,則甲只能參加C項目,剩余3人參加A,B項目,有=6種方法;
若乙參加,甲不參加,則乙只能參加A項目,剩余3人參加B,C項目,有=6種方法;
若甲、乙都不參加,則有=6種方法.
根據分類加法計數原理,共有3+6+6+6=21種方法.
問題4:解簡單的排列應用題,首先必須認真分析題意,能否把問題歸結為排列問題,就看是否與順序有關.如果是的話,再進一步分析,這里n個不同的元素指的是什么,以及從n個不同的元素中任取m個元素的每一種排列對應的是什么事情,然后才能運用排列數公式求解.
新知運用
例1　【解析】(1)(法一:位置分析法)因為甲不站左、右兩端,所以可以分兩步完成:第1步,從除甲以外的5人中任選2人站在左、右兩端,有種站法;第2步,讓剩下的4人站在中間的四個位置上,有種站法.根據分步乘法計數原理,共有=480種站法.
(法二:元素分析法)因為甲不能站左、右兩端,所以可以分兩步完成:第1步,讓甲排在除左、右兩端之外的任一位置上,有種站法;第2步,讓剩下的5人站在其他5個位置上,有種站法.根據分步乘法計數原理,共有=480種站法.
(法三:間接法)在排列時,我們對6人不考慮甲站的位置全排列,有種站法,但其中包含甲站在左端或右端的情況,因此減去甲站左端或右端的排列數2,于是共有-2=480種站法.
(2)考慮特殊元素,先讓甲、乙站兩端,有種站法;再讓其他4人在中間4個位置作全排列,有種站法.根據分步乘法計數原理,共有=48種站法.
(3)(法一:間接法)在排列時,我們對這6人不考慮甲和乙站的位置作全排列,有種站法,甲在左端的站法有種,乙在右端的站法有種,而甲在左端且乙在右端的站法有種,故共有-2+=504種站法.
(法二:直接法)從元素甲的位置進行考慮,可分兩類:第一類,甲站在右端有種站法;第二類,甲站在中間4個位置之一,而乙不站在右端,可先排甲后排乙,再排其余4個人,有種站法,故共有+=504種站法.
鞏固訓練　C　【解析】首先考慮誰抱著小弟弟,有5種可能,然后對5人進行全排列,有種站法,所以不同的站法共有5=5×5×4×3×2×1=600(種).
例2　C　【解析】根據題意可知,北京、天津代表團新聞發言人要求相鄰的排法有×2=1 440(種),
而北京、天津代表團新聞發言人要求相鄰且遼寧、吉林代表團新聞發言人也相鄰的排法有×2×2=480(種).
故北京、天津代表團新聞發言人必須相鄰,遼寧、吉林代表團新聞發言人需分開的排法有1 440-480=960(種).故選C.
鞏固訓練　ACD　【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排,站隊方式共有=120(種),A正確;甲和乙相鄰的站隊方式有=48(種),B錯誤;甲、乙、丙站一起的站隊方式有=36(種),C正確;甲不站在兩端的不同的站隊方式有=72(種),D正確.故選ACD.
例3　ACD　【解析】由題意可知,共有=120種不同的排列方式,A正確;將兩個“將”捆綁,有種情況,再和剩余的4個棋子進行全排列,故共有=48種不同的排列方式,B錯誤;當兩個“將”不相鄰時,先將剩余的3個棋子進行全排列,共有4個空,再將兩個“將”插空,故共有=72種不同的排列方式,C正確;將2個黑色的棋子進行全排列,共有3個空,再將3個紅色的棋子進行插空,則有=12種不同的排列方式,D正確.故選ACD.
鞏固訓練　【解析】(1)把男生看成一個整體、女生看成一個整體排列,有種排法,男生內部排列有種排法,女生內部排列有種排法,根據分步乘法計算原理,共有=24種排法.
(2)先排男生,男生之間和兩端共4個空位,再選2個空位插入女生,所以女生互不相鄰有=72種排法.
(3)因為5人全排列有種排法,且甲站左端有種排法,乙站右端有種排法,甲站左端且乙站右端有種排法,所以甲不站左端,且乙不站右端有-2+=78種排法.
例4　【解析】(1)甲在乙前面的排法種數占全體排列種數的一半,故有=2 520種不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的順序保持不變,即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數占全排列種數的,
故有=840種不同的排法.
鞏固訓練　A　【解析】后六場的排法可以分兩個步驟完成:第一步,將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》之外的四首詩詞進行排列,由于《將進酒》排在《望岳》前面,故不同排法有=12(種);
第二步,排《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》,由于第一步中的4首詩詞排好后,不含最后的空位,有4個空位,從這4個空位中任選2個,安排《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》,安排方法有=12(種).
根據分步乘法計數原理,后六場的排法有12×12=144(種).
探究2　情境設置
問題1:偶數的個位數字一定能被2整除.先從2,4中任取1個數字排在個位,有2種不同的排法,再從剩余的數字中任取1個數字排在十位,有4種排法.故從1,2,3,4,5中任取2個數字,能組成2×4=8個不同的偶數.
問題2:在一個三位數中,百位數字不能為0,在具體排數時,從元素0的角度出發,①若選0,則可先將0排在十位或個位的一個位置,其余數字可排百位、個位(或十位)位置;②若不選0,則從9個數字中任取三個數字排百位,十位與個位位置.從“位置”的角度出發,可先從1~9這9個數字中任取1個數字排百位,然后再從剩余9個數字中任取2個數字排十位與個位位置.
新知運用
例5　【解析】(1)(法一)從特殊位置入手:第一步,排個位,從1,3,5這3個數字中選1個,有種排法;第二步,排十萬位,有種排法;第三步,排其他位,有種排法.故可以組成的無重復數字的六位奇數有=288(個).
(法二)從特殊元素入手:0不在兩端有種排法;從1,3,5中任選一個排在個位上,有種排法;其他數字全排列有種排法.故可以組成的無重復數字的六位奇數有=288(個).
(2)(法一:排除法)6個數字的全排列有個;0在十萬位上的排列有個;5在個位上的排列有個;0在十萬位上且5在個位上的排列有個.故符合題意的六位數共有-2+=504(個).
(法二:直接法)個位上不排5,有種排法,但十萬位上數字的排法由于個位上排0與不排0而有所不同.因此,需分兩類:第一類,當個位上排0時,有種排法;第二類,當個位上不排0時,有種排法.根據分類加法計數原理,符合題意的六位數共有+=504(個).
(3)(法一:直接法)①當千位上排1,3時,有種排法;②當千位上排2時,有種排法;③當千位上排4時,形如40□□,42□□的各有種排法,形如41□□的有種排法,形如43□□的只有4 310和4 302這2個數.故共有++2++2=110個符合條件的四位偶數.
(法二:排除法)四位偶數中:①0在個位上的有個;②0在十位和百位上的有個;③不含0的有個.故四位偶數有++=156(個).其中形如5□□□的有個,形如45□□的有個,形如435□的有個,形如432□的有1個,形如431□而大于4 310的只有4 312這1個數,故大于4 310的四位偶數共有+++1+1=46(個),因此符合題意的四位偶數共有156-46=110(個).
變式探究1　【解析】個位上的數字必須是0或5.若個位上是0,則有個;若個位上是5,且不含0,則有個;若含0,且0不作萬位,則0的位置有種排法,其余各位有種排法.故共有++=216個能被5整除的五位數.
變式探究2　【解析】因為是六位數,十萬位上的數字不能為0,十萬位上的數字為1有個數,十萬位上的數字為2,萬位上的數字為0,1,3中的一個有3個數,所以240 135的項數是+3+1=193,即240 135是數列{an}的第193項.
鞏固訓練　【解析】(1)偶數的個位數只能是2,4,6,有種排法,其他位上有種排法,
根據分步乘法計數原理,這些四位數中偶數共有=360(個).
能被5整除的數個位必須是5,故有=120(個).
(2)當千位上是7時,大于6 500的有個;
當千位上是6時,百位上只能是7或5,有2個.
根據分類加法計數原理,這些四位數中大于6 500的共有+2=160(個).
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】選出1名女性志愿者派往某地有種方法,選出2名男性志愿者派往另外兩地有種方法,則不同的選派方法共有=108(種).
2.B　【解析】5人全排列有種排法,甲、乙都不在兩端的排法有種,故甲、乙兩人至少有一人在兩端共有-=84種不同的排法.
3.210　【解析】對1,3,5,7全排列,有=24種排法,故1,3,5,7的順序一定的排法數只占總排法數的,故有=210個七位數符合條件.
4.【解析】(1)因為甲同學必須坐在乙同學左邊,且共有5人,
所以所求坐法有==60種.
(2)根據題意可知,先將3名同學排好,有=6種坐法,
再在這3名同學之間及兩頭的4個空位中插入2名家長,有=12種坐法,
根據分步乘法計數原理,共有6×12=72種坐法.6.2排列與組合
課時4　組合數的應用
【學習目標】 1.能應用組合知識解決有關組合的簡單實際問題.(數學運算) 2.能解決有限制條件的組合問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.組合與排列的異同點是什么
2.組合數的性質有哪些
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)+=(m≥2且m∈N*). ( )
(2)從4名男生、3名女生中任選2人,至少有1名女生的選法有種. ( )
(3)把4本書分成3堆,每堆至少一本,共有種不同分法. ( )
(4)由3個3和4個4可以組成30個不同的七位數. ( )
2.從甲、乙、丙、丁4個人中選取2人參加會議,不同的選取方法有 ( )
A.6種 B.8種 C.12種 D.16種
3.某城市街道的示意圖如圖所示,某人要走最短路程從A地前往B地,則不同的走法有 種.
4.從2位女生、4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動.
(1)共有多少種不同的選擇方法
(2)如果至少有1位女生入選,那么共有多少種不同的選擇方法
【合作探究】
　與幾何有關的組合問題
平面內有A,B,C,D4個點.
問題1:以其中2個點為端點的有向線段共有多少條
問題2:以其中2個點為端點的線段共有多少條
問題3:如何解決簡單的組合問題
圖形多少的問題通常是組合問題,要注意共點、共線、共面、異面等情形,防止多算、漏算.常用直接法,也可采用間接法.
如圖,在以AB為直徑的半圓周上,有異于A,B的六個點C1,C2,…,C6,線段AB上有異于A,B的四個點D1,D2,D3,D4.
(1)以圖中的10個點(不包括點A,B)中的3個點為頂點的三角形有多少個 其中以C1為頂點的三角形有多少個
(2)以圖中的12個點(包括點A,B)中的4個點為頂點的四邊形有多少個
【方法總結】解答幾何圖形組合問題的策略 (1)解答幾何圖形組合問題與一般的組合問題的思考方法基本一樣,只要把圖形的限制條件視為組合問題的限制條件即可. (2)計算時可采用直接法,也可采用間接法,要注意在限制條件較多的情況下,需要分類計算符合題意的組合數.
已知空間中有10個點,其中有5個點在同一個平面內,其余點無三點共線,四點共面,則以這些點為頂點,可構成四面體的個數為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.205 B.110 C.204 D.200
　有限制條件的組合問題
問題1:從2,3,4,5,6,7這6個數中任取3個不同的數字,組成無重復數字的三位數,要求個位數最大,百位數最小,這樣的三位數有多少個
問題2:某天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人,要求甲、乙兩人不能全部裁去,請問不同的裁員方案有多少種
問題3:根據問題1,2,想一想如何解決有限制條件的組合問題.
有限制條件的組合應用題中“含”與“不含”問題的解題策略:
(1)這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素或特殊位置,一般來講,特殊要先滿足,其余則“一視同仁”.
(2)若從正面入手不易,則從反面入手,尋找問題的突破口,即采用排除法.
(3)解題時要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義,準確把握分類標準.
某醫院決定從10名醫療專家中抽調6名專家參與巡察,且這10名醫療專家中有4名是呼吸科專家.問:
(1)恰有2名是呼吸科專家的抽調方法有多少種
(2)至少有2名是呼吸科專家的抽調方法有多少種
(3)至多有2名是呼吸科專家的抽調方法有多少種
【方法總結】有限制條件的抽(選)取問題,主要有兩類: (1)“含”與“不含”問題,常用直接分步法求解,即將“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步計數. (2)“至多”“至少”問題,有兩種解題思路:①直接分類法,但要注意分類要不重不漏;②間接法,注意找準對立面,確保不重不漏.
在12件產品中,有10件正品,2件次品,從這12件產品中任意抽取3件.
(1)共有多少種不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少種
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種
　分組、分配問題
問題1:
把a,b,c,d平均分成兩組,有多少種分法
問題2:把a,b,c,d分成兩組,一組3個元素,一組1個元素,有多少種分法
問題3:若把4個不同的蘋果分給3個人,每人至少1個,共有幾種分法
1.一般地,平均分成n堆(組),必須除以n!,如若部分平均分成m堆(組),必須再除以m!,即平均分組問題,一般來說,km個不同的元素分成k組,每組m個,則不同的分法有.故平均分組要除以分組數的全排列.
2.一般地,如果把不同的元素分配給幾個不同的對象,并且每個不同對象可接受的元素個數沒有限制,那么實際上是先分組后排列的問題,即分組方案數乘不同對象數的全排列數.通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則:先分組后排列.
一、平均分組
8張不同的郵票,按下列要求各有多少種不同的分法
(1)平均分成四份;
(2)分成三份,一份4張,一份2張,一份2張.
二、不平均分組
(1)將6本不同的書,分為三份,一份1本,一份2本,一份3本,有多少種分法
(2)將6本不同的書,分給甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少種不同的分法
三、分配問題
將6本不同的書,全部分給甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少種不同的分法
【方法總結】“分組”與“分配”問題的解法 (1)“分組”問題屬于“組合”問題,常見的“分組”問題有三種: ①完全均勻分組,每組的元素個數均相等,均勻分成n組,最后必須除以n!; ②部分均勻分組,應注意不要重復,有n組元素個數相等,最后必須除以n!; ③完全不均勻分組,這種分組不考慮重復現象. (2)“分配”問題屬于“排列”問題,“分配”問題可以按要求逐個分配,也可以分組后再分配.
將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號分別為1,2,3,4的盒子中,要求小球必須全部放入盒中.
(1)無任何其他要求,有多少種放法
(2)每盒放1個球,有多少種放法
(3)恰好有1個空盒,有多少種放法
(4)每個盒中放1個球,并且恰好有1個球的編號與盒子的編號相同,有多少種放法
(5)把4個編號不同的小球換成4個完全相同的小球,恰有1個空盒,有多少種放法
【隨堂檢測】
1.將2名教師、4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,則不同的安排方案共有( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.12種 B.10種 C.9種 D.8種
2.編號為1,2,3,4,5的5個人去坐編號為1,2,3,4,5的5個座位,其中有且只有2個人的編號與座位號一致的坐法有( ).
A.10種 B.20種
C.30種 D.60種
3.某運動場館為安全起見,將5個安保小組安排到指定的3個區域內工作,且每個區域至少有1個安保小組,至多有2個安保小組,則這樣的安排方法共有 種.
4.在同一個平面內有一組平行線共8條,另一組平行線共10條,這兩組平行線相互不平行.
(1)它們共能構成 個平行四邊形;
(2)共有 個交點.
參考答案
課時4　組合數的應用
自主預習·悟新知
預學憶思
1.共同點:排列與組合都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.
不同點:排列與元素的順序有關,組合與元素的順序無關.
2.(1)=;(2)+=.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.A　【解析】按照組合的定義,從甲、乙、丙、丁4個人中選取2人參加會議,有==6種選法.
3.10　【解析】由示意圖可以得出以下結論:①要使走的路程最短,則必須走5步,且不能重復;②向東的走法定出后,向南的走法隨之確定,所以我們只要確定出向東的三步走法有多少種即可.故不同走法的種數為=10.
4.【解析】(1)從2位女生、4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動,不同的選擇方法數為=20.
(2)沒有女生入選的不同的選擇方法數為=4,所以至少有1位女生入選的不同的選擇方法數為20-4=16.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:以2個點為端點的有向線段有2條,故滿足條件的有向線段條數為=4×3=12.
問題2:以2個點為端點的線段只有1條,故滿足條件的線段條數為==6.
問題3:分析選出的元素是否與順序有關,若與順序無關,利用組合、組合數公式求解即可,若與順序有關,可利用排列、排列數公式求解.
新知運用
例1　【解析】(1)(法一)可作出三角形的個數為++=116.
其中以C1為頂點的三角形的個數為++=36.
(法二)可作出三角形的個數為-=116,
其中以C1為頂點的三角形的個數為++=36.
(2)可作出四邊形的個數為++=360.
鞏固訓練　A　【解析】(法一)可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類,得到所有的取法總數為+++=205.
(法二)從10個點中任取4個點的情況中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況,得到可構成四面體的個數為-=205.
探究2　情境設置
問題1:先從6個數中任意取3個數,有=20種選法,再把選出的3個數里最大的數排在個位,有1種排法,把最小的數排在百位,有1種排法,剩下的數排在十位,有1種排法,則符合要求的三位數的個數為20×1×1×1=20.
問題2:甲、乙中裁去1人的方案有種,甲、乙都不裁的方案有種,故不同的裁員方案共有+=182(種).
問題3:解決有限制條件的組合問題,特殊元素優先安排,注意含有“至多”“至少”等限制的語句,可以據此作為分類依據,或采用間接法求解.
新知運用
例2　【解析】(1)首先從4名呼吸科專家中任選2名,有種選法,再從6名非呼吸科專家中選取4名,有種選法,所以有=90種抽調方法.
(2)“至少”的含義是“不低于”,有兩種解答方法.
(法一:直接法)按選取的呼吸科專家的人數分類:
①選取2名呼吸科專家,有種選法;②選取3名呼吸科專家,有種選法;③選取4名呼吸科專家,有種選法.
根據分類加法計數原理,共有++=185種抽調方法.
(法二:間接法)不考慮是否選取呼吸科專家,有種選法;選取1名呼吸科專家,有種選法;沒有選取呼吸科專家,有種選法.所以共有--=185種抽調方法.
(3)“至多有2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況,分類解答:
①沒有選取呼吸科專家,有種選法;②選取1名呼吸科專家,有種選法;③選取2名呼吸科專家,有種選法.
所以共有++=115種抽調方法.
鞏固訓練　【解析】(1)從這12件產品中任意抽出3件,共有=220種不同的抽法.
(2)抽出的3件中恰好有1件次品是指抽出2件正品、1件次品,有=90種不同的抽法.
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法種數,可以用12件產品中任意抽出3件的抽法種數減去抽出3件產品全是正品的抽法種數,因此,共有-=220-120=100種不同的抽法.
探究3　情境設置
問題1:把a,b,c,d平均分成兩組,有=3種分法.
問題2:共有=4種分法.
問題3:先分組1,1,2,有種分法,再把這三組分給3個人,共有=36種分法.
新知運用
例3　【解析】(1)由題意知,根據平均分組問題分法,有=105種不同的分法.
(2)由題意知,根據部分平均分組問題,有=210種不同的分法.
例4　【解析】(1)這是“不平均分組”問題,一共有=60種分法.
(2)在(1)的基礎上再進行全排列即可,所以一共有=360種分法.
例5　【解析】可以分為三類:①“2,2,2型”,有·=90種分法;②“1,2,3型”,有=360種分法;③“1,1,4型”,有·=90種分法.所以一共有90+360+90=540種分法.
鞏固訓練　【解析】(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個,將小球一個一個地放入盒子,有4×4×4×4=44=256種放法.
(2)這是全排列問題,有=24種放法.
(3)(法一)先將4個小球分為3組,有種分法,再將3組小球投入4個盒子中的3個盒子,有種放法,故有·=144種放法.
(法二)先取4個球中的2個“捆”在一起,有種選法,把這2個球與其他2個球共3組分別放入4個盒子中的3個盒子,有種放法,所以有=144種放法.
(4)1個球的編號與盒子編號相同的選法有種,當1個球與1個盒子的編號相同時,用局部列舉法可知其余3個球的放法有2種,故有·2=8種放法.
(5)先從4個盒子中選出3個盒子,再從3個盒子中選出1個盒子放入2個球,余下2個盒子各放1個,因為球是相同的,即沒有順序,所以屬于組合問題,故有=12種放法.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】先安排1名教師和2名學生到甲地,再將剩下的1名教師和2名學生安排到乙地,共有=12種安排方案.
2.B　【解析】先選擇2個編號與座位號一致的人,有=10種情況,另外3個人編號與座位號不一致,有2種情況,所以不同的坐法有10×2=20(種).
3.90　【解析】先將安保小組進行分組,然后安排到3個區域,
所以不同的安排方法有·=×6=90(種).
4.(1)1 260　(2)80　【解析】(1)第一組中每2條直線與另一組中的每2條直線均能構成一個平行四邊形,故能構成=1 260個平行四邊形.
(2)第一組中的每條直線與另一組中的每條直線均有一個交點,所以共有=80個交點.6.2　排列與組合
課時1　排列、排列數
【學習目標】 1.理解排列和排列數的概念,能正確寫出一些簡單問題的所有排列.(邏輯推理) 2.能夠用列舉法、樹狀圖求排列的方法種數.(直觀想象) 3.理解排列數公式及簡單應用.(數學運算)
【自主預習】
1.甲、乙、丙3名同學排成一行照相,共有多少種排法
2.北京、廣州、南京、武漢4個城市相互通航,請列舉出所有機票的情況,并指出共有多少種機票.
3.問題1,2中的元素是如何排列的
4.若兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的排列嗎
5.什么是排列數
6.排列數公式有什么應用
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在一個排列中,同一個元素不能重復出現. ( )
(2)從1,2,3,4中任選兩個元素,就組成一個排列. ( )
(3)用a,b,c構成的所有不同排列的個數為3. ( )
(4)89×90×91×…×100可以表示為. ( )
2.已知=132,則n=( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
3.(多選題)在下面問題中,不是排列問題的是( ).
A.由1,2,3三個數字組成無重復數字的三位數
B.從40人中選5人組成籃球隊
C.從100人中選2人進行抽樣調查
D.從1,2,3,4,5中選2個數組成集合
4.(改編)從《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》《圍城》這五本名著中選出兩本送給兩名優秀學生,每人一本,則不同的送書方法種數為 .
【合作探究】
　排列的概念
問題1:某電影中經典的破解密碼鎖片段:密碼鎖的開關由四個元件構成,每個元件要五選一,也就是有625種可能.請問625是怎么得來的
問題2:宣城市與黃山市在地圖上相鄰,為了區分兩者的地界,在紅、黃、藍三種顏料中取兩種顏料,一種涂在黃山市地圖上,一種涂在宣城市地圖上,一共有多少種方法
問題3:某校慶祝建黨百年朗誦活動中,A,B,C三位朗誦員站成一排面向觀眾,一共有多少種不同的站法
問題4:問題1,2,3的共同特征是什么
1.排列
一般地,從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
2.兩個排列相同的充要條件是兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.
一、排列概念的理解
判斷下列問題是否為排列問題.
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同);
(2)從5個小組中選2個小組分別去植樹和種菜;
(3)從5個小組中選2個小組去種菜;
(4)從20人中選10人組成一個學習小組;
(5)從20人中選3人分別擔任班長、學習委員、生活委員;
(6)某班40名學生在假期相互通信.
【方法總結】排列的根本特征是每一個排列不僅與選取的元素有關,而且與元素的排列順序有關.這就說明,在判斷一個問題是否是排列問題時,可以考慮對所取出的元素任意交換其中兩個,若結果變化,則是排列問題,否則不是排列問題.
(多選題)下列問題是排列問題的是( ).
A.高二(1)班選2名班干部去學校禮堂聽團課
B.某班30名同學圍坐在一起玩擊鼓傳花
C.從1,2,3,4,5中任取兩個數字相除
D.10個車站,站與站間的車票
二、畫樹狀圖寫排列
A,B,C,D四個人坐成一排照相有多少種坐法 將它們列出來.
A,B,C,D四名同學排成一排照相,要求自左向右,A不排第一位,B不排第四位,共有 種不同的排列方法.
三、簡單的排列問題
(1)有7本不同的書,從中選3本送給3名同學,每人各1本,共有多少種不同的送法
(2)有7種不同的書,要買3本送給3名同學,每人各1本,共有多少種不同的送法
【方法總結】對于簡單的排列問題,其解題思路可借助分步乘法計數原理進行,即采用元素分析法或位置分析法求解.
滬寧高鐵線上有六個大站:上海、蘇州、無錫、常州、鎮江、南京.鐵路部門應為滬寧高鐵線上的六個大站(這六個大站之間)準備不同的火車票的種數為( ).
A.15 B.30 C.12 D.36
3盆不同品種的花排成一排,共有 種不同的排法.
　排列數與排列數公式
問題1:從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動,其中一名同學參加上午的活動,另一名同學參加下午的活動,有多少種不同的選法
問題2:在上海交通大學建校120年周年之際,有29位曾是上海交通大學的學子的名人大家,要在慶祝會上逐一介紹,那么這29位大家的排列順序有多少種 這樣的排列順序問題能否用一個公式來表示呢
問題3:問題1可以用公式表示嗎 如何計算 能否求出的值
問題4:你能寫出的值嗎 它有什么特征 若m=n呢
問題5:排列與排列數有何區別
排列數定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數,叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數
符號表示
全排列 把n個不同的元素全部取出的一個排列,叫作n個元素的一個全排列.這時,排列數公式中m=n,即有=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1
階乘 正整數1到n的連乘積,叫作n的階乘,用n!表示.于是,n個元素的全排列數公式可以寫成=n!.規定0!=1
乘積式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,且m≤n)
階乘式 =(m,n∈N*,且m≤n)
一、利用排列數公式求值
已知=2,則n的值為 .
二、利用排列數公式化簡
(1)用排列數表示(55-n)(56-n)·…·(69-n)(n∈N*,且n<55);
(2)化簡:n(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+m)(m,n∈N*).
三、利用排列數公式證明
求證:-=m.
【方法總結】排列數的計算方法 (1)排列數的計算主要是利用排列數公式進行的,應用時需注意連續正整數的積可以寫成某個排列數,其中最大的是排列元素的總個數,而正整數(因式)的個數是選取元素的個數,這是排列數公式的逆用.(2)應用排列數公式的階乘形式時,一般寫出它們的式子后,再提取公因式,然后計算,這樣能減少運算量.
不等式<6的解集為 .
【隨堂檢測】
1.甲、乙、丙三名同學排成一排,不同的排列方法有( ).
A.3種 B.4種 C.6種 D.12種
2.90×91×92×…×100可以表示為( ).
A. B. C. D.
3.已知=7,則n的值為 .
參考答案
6.2　排列與組合
課時1　排列、排列數
自主預習·悟新知
預學憶思
1.根據分步乘法計數原理,3名同學排成一行照相,共有N=3×2×1=6種排法.
2.由列舉法列出,如圖所示.
根據分步乘法計數原理,共有4×3=12種機票.
3.這些問題都需要將給定的n個元素或者其中的一些元素按照一定的順序進行排列.
4.不是,因為相同的兩個排列不僅需要元素相同,而且元素的排列順序也需要相同.
5.從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號表示.
6.排列數公式=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)適用于已知的排列數的計算以及排列數的方程和不等式.在運用時要注意它的特點,從n起寫出連續m個數的乘積即可.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】∵=n(n-1)=132,∴n=12.
3.BCD　【解析】選項A中組成的三位數與數字的排列順序有關,是排列問題.選項B,C,D只需取出元素即可,與元素的排列順序無關,不是排列問題.
4.20　【解析】此問題相當于求從5個不同元素中取出2個元素的排列數,即共有=20種不同的送書方法.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:開密碼鎖可以分為四個步驟,每一個步驟都有5種可能,總共四個步驟就有54=625種不同的可能.
問題2:完成涂色只需要分兩個步驟,第一步,給黃山市地圖涂色,有三種顏色可供選擇,第二步,給宣城市地圖涂色,這里還剩兩種顏料可選擇,根據分步乘法計數原理,共有3×2=6種方法.
問題3:完成站位這件事情可以分為三個步驟:第一步,選出站在最左邊的朗誦員,有3種選法;第二步,選出中間的朗誦員,有2種選法;第三步,選出站在最右邊的朗誦員,有1種選法.根據分步乘法計數原理,共有3×2×1=6種不同的站法.
問題4:三道題目的共同特征就是從一些不同元素中,取出部分元素,再按照順序排成一列.
新知運用
例1　【解析】(1)雖然機票是不同的,但票價是一樣的,不存在順序問題,所以不是排列問題.
(2)植樹和種菜是不同的,存在順序問題,是排列問題.
(3)(4)不存在順序問題,不是排列問題.
(5)中每個人的職務不同,存在順序問題,是排列問題.
(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的,所以存在順序問題,是排列問題.
綜上,(2)(5)(6)是排列問題,(1)(3)(4)不是排列問題.
鞏固訓練　BCD　【解析】選項A,不存在順序,不是排列問題;選項B,存在順序,是排列問題;選項C,兩個數相除與這兩個數的順序有關,是排列問題;選項D,車票使用時有起點和終點之分,故車票的使用是有順序的,是排列問題.故選BCD.
例2　【解析】A,B,C,D四個人坐成一排照相,可以分四個步驟完成:第1步,安排A,有4種坐法;第2步,安排B,有3種坐法;第3步,安排C,有2種坐法;第4步,安排D,有1種坐法.根據分步乘法計數原理,共有4×3×2×1=24種坐法.
畫出樹狀圖,如圖所示.
由樹狀圖可知,所有坐法為ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
鞏固訓練　14　【解析】因為A不排第一位,所以排第一位的情況有3種(可從B,C,D中任選一人排),而此時兼顧分析B的排法,畫出樹狀圖,如圖所示.
所以符合題意的所有排列有BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14種.
例3　【解析】(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學,相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列,所以共有7×6×5=210種不同的送法.
(2)從7種不同的書中買3本書,這3本書并不要求都不相同,根據分步乘法計數原理,共有7×7×7=343種不同的送法.
鞏固訓練1　B　【解析】對于兩個大站A和B,從A到B的火車票與從B到A的火車票不同,因為每張車票對應一個起點站和一個終點站,因此,每張火車票對應從6個不同元素(大站)中取出2個不同元素(起點站和終點站)的一個排列,故不同的火車票有6×5=30(種).
鞏固訓練2　6　【解析】共有3×2×1=6種不同的排法.
探究2　情境設置
問題1:共有3×2=6種不同的選法.
問題2:有29×28×27×…×2×1種排列順序.能,可以用表示.
問題3:能用公式表示,其值為=3×2=6,類比的計算可得=n(n-1).
問題4:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n).
(1)公式特征:第一個因數是n,后面每一個因數比它前面一個少1,最后一個因數是n-m+1,共有m個因數;
(2)當m=n時,即n個不同元素全部取出的一個排列,即=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=n!.
問題5:“一個排列”是指從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,不是數;“排列數”是指從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數,是一個數.所以符號只表示排列數,而不表示具體的排列.
新知運用
例4　5　【解析】因為=2,所以2n(2n-1)·(2n-2)=2(n+1)n(n-1)(n-2),
由題意知n≥3,解得n=5.
例5　【解析】(1)∵55-n,56-n,…,69-n中的最大數為69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15個數,
∴(55-n)(56-n)·…·(69-n)=.
(2)由排列數公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+m)=.
例6　【解析】∵-=-
=-1=·
=m·=m,
∴-=m.
鞏固訓練　{8}　【解析】由<6,得<6×,
化簡得x2-19x+84<0,解得7又所以3≤x≤8,　②
由①②及x∈N*,得x=8.因此,原不等式的解集為{8}.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由排列的定義得,共有=6種不同的排列方法.
2.B　【解析】由排列數公式得原式為.故選B.
3.7　【解析】由=7,得n(n-1)=7(n-4)(n-5),n∈N*,
∴3n2-31n+70=0,解得n=7或n=(舍去).

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