資源簡介

6.3　二項(xiàng)式定理
課時(shí)1　二項(xiàng)式定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.(邏輯推理) 2.掌握二項(xiàng)式定理及其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(數(shù)學(xué)抽象) 3.能解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.你能寫出(b+a)n的展開式嗎 展開式中的字母a,b能交換位置嗎
2.(1+2x)n的展開式是什么 其第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第5項(xiàng)的系數(shù)各是什么
3.在二項(xiàng)式定理中,項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)(a+b)n的展開式共有n項(xiàng). ( )
(2)(a+b)n與(b+a)n的展開式中,第r+1項(xiàng)相同. ( )
(3)arbn-r是(b+a)n的展開式的第r(r=0,1,2,…,n)項(xiàng). ( )
(4)在(1±x)n的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)均相等. ( )
2.若(x+2)n的展開式共有11項(xiàng),則n=( ).　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.10 C.11 D.8
3.-6的展開式的第3項(xiàng)是 .
4.求x+6的展開式.
【合作探究】
　二項(xiàng)式定理
問題1:在初中,我們用多項(xiàng)式乘法法則得到了(a+b)2的展開式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解釋上述展開過程
問題2:在合并同類項(xiàng)之前,(a+b)2的展開式為aa+ab+ba+bb,每項(xiàng)都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能從組合的觀點(diǎn)解釋合并同類項(xiàng)后a2-kbk的系數(shù)特點(diǎn)嗎
問題3:仿照上述過程,你認(rèn)為(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展開式分別是什么
二項(xiàng)式定理
公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)叫作二項(xiàng)式定理.簡寫成(a+b)n=an-kbk.等號(hào)右邊的式子稱為二項(xiàng)展開式,(a+b)n的展開式共有(n+1)項(xiàng),其中(k=0,1,2,…,n)稱為二項(xiàng)式系數(shù).
(1)求-4的展開式.
(2)化簡:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
【方法總結(jié)】二項(xiàng)式定理的雙向功能 (1)正用:將(a+b)n展開,得到一個(gè)多項(xiàng)式,即二項(xiàng)式定理從左到右使用是展開.對(duì)于較復(fù)雜的式子,可先化簡,再用二項(xiàng)式定理展開. (2)逆用:將展開式合并成(a+b)n的形式,即二項(xiàng)式定理從右到左使用是合并.對(duì)于化簡、求和、證明等問題的求解,要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.
1-2+4-8+16+…+(-2)n的值為( ).　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1
C.(-1)n D.3n
若(1+)4=a+b(a,b為有理數(shù)),則a+b= .
　二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)
問題1:在(a+b)n的展開式中,第k項(xiàng)是什么
問題2:在(a+b)n的展開式中,Tk+1=an-kbk是展開式的第幾項(xiàng) 其二項(xiàng)式系數(shù)是什么
問題3:(1+3x)n的展開式是什么 其第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)各是什么
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)
(a+b)n展開式中的an-kbk叫作二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),它表示展開式的第k+1項(xiàng),記作Tk+1=an-kbk.
一、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用
(1)求2-6的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù);
(2)求x-9的展開式中x3的系數(shù).
(改編)在-6的展開式中,含x-3項(xiàng)的系數(shù)為( ).　　　　　　　　　　　　　　
A.240 B.160 C.-160 D.-240
若(2-x)n(n∈N*)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為32,則n=( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
二、求兩個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)
(1)(-2x+3)x-25的展開式中x3的系數(shù)為( ).
A.270 B.-270 C.765 D.-765
(2)若(x2-a)x-10的展開式中x6的系數(shù)為30,則a= .
【方法總結(jié)】求多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)的方法——雙通法 所謂的“雙通法”是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則得到(a+bx)n(s+tx)m的展開式中的一般項(xiàng)為Tk+1·Tr+1=an-k(bx)k·sm-r(tx)r,再依據(jù)題目中對(duì)指數(shù)的特殊要求,確定r與k所滿足的條件,進(jìn)而求出r,k的取值情況.
已知(ax+1)(2x-1)7的展開式中x3的系數(shù)為448,則展開式中x2的系數(shù)為 .
　有理項(xiàng)問題
問題1:什么是展開式中的有理項(xiàng)
問題2:什么是展開式中的整數(shù)項(xiàng) 與有理項(xiàng)相同嗎
1.求展開式中的有理項(xiàng)的方法,一般是先寫出通項(xiàng),再找出其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其為整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.
2.求展開式中的整數(shù)項(xiàng)的方法,一般是先寫出通項(xiàng)公式,再找出其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)是自然數(shù)的項(xiàng),求解方式與求解有理項(xiàng)的方式一致.
已知x-n的展開式中,第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則該展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.4 C.3 D.2
【方法總結(jié)】求二項(xiàng)展開式的有理項(xiàng),應(yīng)寫出它的通項(xiàng),令未知量的指數(shù)為整數(shù),便能求出符合題意的有理項(xiàng).
已知在-n(n≥3,n∈N*)的展開式中,第2、第3、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列.
(1)證明:展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).
(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).
【隨堂檢測】
1.在(1-2x)6的展開式中,x3的系數(shù)為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.-20 C.160 D.-160
2.化簡多項(xiàng)式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是( ).
A.(2x+2)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.32x5
3.(1-x3)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
4.已知3x+4.
(1)求展開式中x的系數(shù);
(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).
參考答案
6.3　二項(xiàng)式定理
課時(shí)1　二項(xiàng)式定理
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.能.(b+a)n=bn+bn-1a+bn-2a2+…+an.展開式中的字母a,b是不能交換位置的.雖然(a+b)n與(b+a)n結(jié)果相同,但(a+b)n與(b+a)n的展開式是有區(qū)別的,即二者的展開式中的項(xiàng)的排列順序是不同的,不能混淆,如(a+b)3的展開式中第2項(xiàng)是3a2b,而(b+a)3的展開式中第2項(xiàng)是3ab2,故兩者是不同的.
2.(1+2x)n=+2x+(2x)2+(2x)3+…+(2x)n.其第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第5項(xiàng)的系數(shù)為·24=16.
3.二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,二項(xiàng)式系數(shù)僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān),與二項(xiàng)式無關(guān),而項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān).
自學(xué)檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】因?yàn)?a+b)n的展開式共有n+1項(xiàng),而(x+2)n的展開式共有11項(xiàng),所以n=10.
3.60　【解析】因?yàn)?6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=·()6-r·-r(其中0≤r≤6,且r∈N),所以展開式的第3項(xiàng)是T3=()4-2=60.
4.【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知,
x+6=(x+x-1)6
=x6+x5x-1+x4x-2+x3x-3+x2x-4+x1x-5+x-6
=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1:從上述過程可以看到,(a+b)2是2個(gè)(a+b)相乘,根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則,每個(gè)(a+b)在相乘時(shí)有兩種選擇,選a或選b,而且每個(gè)(a+b)中的a或b都選定后,才能得到展開式的一項(xiàng).于是,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,在合并同類項(xiàng)之前,(a+b)2的展開式共有2×2=22項(xiàng),而且每一項(xiàng)都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.
問題2:當(dāng)k=0時(shí),a2-kbk=a2,是由2個(gè)(a+b)中都不選b得到的,所以a2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)(a+b)中取0個(gè)b(即都取a)的組合數(shù),因此a2只有1個(gè);
當(dāng)k=1時(shí),a2-kbk=ab,是由一個(gè)(a+b)中選a,另一個(gè)(a+b)中選b得到的,由于b選定后,a的選法也隨之確定,因此,ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)(a+b)中取1個(gè)b的組合數(shù),即ab共有2個(gè);
當(dāng)k=2時(shí),a2-kbk=b2,是由2個(gè)(a+b)中都選b得到的,所以b2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)(a+b)中取2個(gè)b的組合數(shù),因此b2只有1個(gè).
由上述分析可以得到(a+b)2=a2+ab+b2.
問題3:(a+b)3=a3+a2b+ab2+b3;
(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4;
(a+b)n=an+an-1b+…+abn-1+bn.
新知運(yùn)用
例1　【解析】(1)-4=()4-·()3·+()22-··3+4=x2-2x+-+.
(2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+·(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
鞏固訓(xùn)練1　C　【解析】1-2+4-8+16+…+(-2)n=[1+(-2)]n=(1-2)n=(-1)n.
鞏固訓(xùn)練2　44　【解析】∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×()4=1+4+18+12+9=28+16,
∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44.
探究2　情境設(shè)置
問題1:第k項(xiàng)是Tk=T(k-1)+1=an-k+1bk-1.
問題2:Tk+1=an-kbk是第k+1項(xiàng),其二項(xiàng)式系數(shù)為.
問題3:(1+3x)n=+·3x+(3x)2+(3x)3+…+(3x)n.其第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第6項(xiàng)的系數(shù)為·35=243.
新知運(yùn)用
例2　【解析】(1)由已知得2-6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=·(2)6-r·-r=(-1)r·26-r·,
所以2-6的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為=6,第6項(xiàng)的系數(shù)為·(-1)5·2=-12.
(2)x-9的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x9-r·-r=(-1)r··x9-2r,
令9-2r=3,可得r=3,即展開式中第4項(xiàng)含x3,其系數(shù)為(-1)3·=-84.
鞏固訓(xùn)練1　A　【解析】-6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=()6-r·(-2)rx-r=(-2)r·.令=-3,得r=4,所以含x-3項(xiàng)的系數(shù)為16=240.故選A.
鞏固訓(xùn)練2　A　【解析】(2-x)n(n∈N*)的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=·2n-k·(-x)k,
故常數(shù)項(xiàng)為T1=·2n=32,解得n=5.故選A.
例3　(1)C　(2)-　【解析】(1)因?yàn)?-2x+3)·=-2x+3,
而的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=·×(-2)r,
所以該展開式中x3的系數(shù)為-2×××(-2)3+3×××(-2)2=765.故選C.
(2)的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x10-r·=(-1)r·x10-2r,
故展開式中x6的系數(shù)為(-1)3×-a×(-1)2×=-120-45a,
則-120-45a=30,解得a=-.
鞏固訓(xùn)練　-112　【解析】依題意,(ax+1)(2x-1)7=ax(2x-1)7+(2x-1)7,
(2x-1)7的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(2x)7-r×(-1)r,
所以-a×22+×23=-84a+280=448,解得a=-2,
故展開式中x2的系數(shù)為-2××2-×22=-28-84=-112.
探究3　情境設(shè)置
問題1:展開式中的有理項(xiàng),就是指系數(shù)為有理數(shù),且字母的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng),一般是指通項(xiàng)公式中字母的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).
問題2:展開式中的整數(shù)項(xiàng)是有理項(xiàng)的一部分,是有理項(xiàng)中分母不含字母的項(xiàng),與有理項(xiàng)不同.
新知運(yùn)用
例4　B　【解析】x-n的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=xn-k-k=(-2)k,k=0,1,2,…,n.
∵第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,∴,∴n=7,∴Tk+1=(-2)k,k=0,1,2,…,7,∴當(dāng)7-為整數(shù),即k=0,2,4,6時(shí),Tk+1=(-2)k為有理項(xiàng),∴展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是4.故選B.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)由第2、第3、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列,得2=+,
解得n=2(舍去)或n=7,
所以-7的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=()7-r-r=-r,
令=0,得r= N*,故展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).
(2)令∈Z,解得r=2或r=6,
T3=-2=x2,T7=·-6x-1=,
故展開式中的有理項(xiàng)為T3=x2和T7=.
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1.D　【解析】(1-2x)6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=·16-r·(-2)rxr=(-2)rxr,
令r=3,則T4=(-2)3x3=-160x3,所以x3的系數(shù)為-160.
2.D　【解析】原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
3.-4　【解析】的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r·22r-6·,r=0,1,2,3,4,5,6,
令6-=0,解得r=4,令6-=-3,解得r=6.
由于(1-x3)=-x3,
故其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(-1)4××22-(-1)6××26=60-64=-4.
4.【解析】(1)由題意知,展開式的第r+1項(xiàng)為Tr+1=(3x)4-r·r=34-r.
令4-r=1,得r=2,則展開式中x的系數(shù)為32×=54.
(2)由(1)可知,令4-r∈Z,則r=0,2,4,
所以所有的有理項(xiàng)為81x4,54x,x-2.6.3　二項(xiàng)式定理
課時(shí)2　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解楊輝三角.(邏輯推理) 2.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3.會(huì)用賦值法求系數(shù)和.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在(1+2x)2 024的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)是第幾項(xiàng) 最大值是多少 在(1+x)2 024的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是多少
2.若(a+b)n的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n為何值
3.(a+b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和與a,b的取值有關(guān)系嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是相同的. ( )
(2)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為++…+. ( )
(3)在(a-b)n的展開式中,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)最大. ( )
(4)在(a+b)n的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱性,所以=. ( )
2.在(1+x)2n+1的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.n,n+1 B.n-1,n
C.n+1,n+2 D.n+2,n+3
3.(改編)已知(4-5x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,則a1+a2+…+a9的值為( ).
A.48+1 B.48-1
C.49+1 D.-49-1
4.若x-6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-160,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 .
【合作探究】
　楊輝三角
下面是歷史上的楊輝三角.
問題1:各行的數(shù)字有什么關(guān)系
問題2:第1、第2、第3、第4、第5、第6行的數(shù)字之和各是多少 由此你能猜出第n行的數(shù)字之和嗎
問題3:試寫出第n行、第n+1行的數(shù)字,并探討與,之間有什么關(guān)系.
問題4:楊輝三角有什么作用
楊輝三角的特點(diǎn)
(1)每行兩端都是1,在同一行中與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等.
(2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”的兩個(gè)數(shù)的和,即=+.
(多選題)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其1261年所著的《詳解九章算法》中給出了著名的“楊輝三角”,由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得我們自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的說法正確的有( ).
A.第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是126
B.++++…+=286
C.第7行從左到右第5個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)的比為5∶2
D.由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想+++…+=2n
【方法總結(jié)】解決與楊輝三角有關(guān)問題的一般思路 (1)觀察:根據(jù)題目要求對(duì)楊輝三角橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看,多角度進(jìn)行觀察. (2)找規(guī)律:通過觀察找出每一行的數(shù)之間、行與行的數(shù)據(jù)之間的規(guī)律.
如圖,在“楊輝三角”中,從左到右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列:1,3,6,10,15,….那么該數(shù)列的前10項(xiàng)的和為( ).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.66 B.120 C.165 D.220
　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
問題1:根據(jù)楊輝三角的特點(diǎn),在楊輝三角同一行中與兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等,你可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的什么性質(zhì)
問題2:計(jì)算,并說明你得到的結(jié)論.
問題3:二項(xiàng)式系數(shù)何時(shí)取得最大值
1.對(duì)稱性
在(a+b)n的展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即=.
2.最值與增減性
(1)增減性:當(dāng)k<時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)隨k的增加是逐漸增大的;當(dāng)k>時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)隨k的增加是逐漸減小的.
(2)最大值:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),相等,且同時(shí)取得最大值.
(多選題)若x-n的展開式共有8項(xiàng),則下列有關(guān)該展開式的說法正確的是( ).
A.n=8
B.各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有2項(xiàng)
D.第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)相等且最大
【方法總結(jié)】1.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的求法 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a+b)n中的n進(jìn)行討論: (1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大; (2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 2.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的求法 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是不同的,需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng),一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0,A1,A2,…,An,且第k+1項(xiàng)最大,應(yīng)用解出k,即可得出系數(shù)最大的項(xiàng).
已知-8的展開式.
(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)
(3)求系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最小的項(xiàng).
　賦值法
問題1:你是如何求(a+b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和的
問題2:什么是賦值法
二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法:
(1)對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(duì)形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=.
設(shè)(1-2x)2 020=a0+a1x+a2x2+…+a2 020·x2 020(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2 020的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2 019的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 020|的值.
【方法總結(jié)】
(多選題)已知(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則( ).
A.a0=28
B.a1+a2+…+a8=1
C.二項(xiàng)式系數(shù)和為256
D.a1+2a2+3a3+…+8a8=-8
【隨堂檢測】
1.設(shè)(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.設(shè)(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a0+a1+a2+…+a11的值為( ).
A.-2 B.1
C.2 D.2×39
3.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就之一,如圖,這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣,記an為圖中所選數(shù)1,1,2,3,6,10,20,…構(gòu)成的數(shù)列{an}的第n項(xiàng),則a11的值為 .
4.已知+2xn的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).
參考答案
課時(shí)2　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.在(1+2x)2 024和(1+x)2 024的展開式中,都含有2 025項(xiàng),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第1 013項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,最大值均為.
2.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知,第5項(xiàng)為展開式的中間項(xiàng),即展開式共有9項(xiàng),故n=8.
3.(a+b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和與a,b的值無關(guān),其和為+++…+=2n.
自學(xué)檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.C　【解析】因?yàn)?n+1為奇數(shù),所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有兩項(xiàng),分別為第n+1項(xiàng)和第n+2項(xiàng).
3.D　【解析】令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=(4-5)9=-1.
令x=0,得a0=(4-5×0)9=49.
故a1+a2+…+a9=-49-1.故選D.
4.1　【解析】x-6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x6-r-r=(-2a)rx6-2r,只有當(dāng)r=3時(shí),Tr+1為常數(shù)項(xiàng),從而得T4=(-2a)3=-160,解得a=1,令x=1,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1:每一行中的數(shù)字具有對(duì)稱性.
問題2:第1、第2、第3、第4、第5、第6行的數(shù)字之和分別是21,22,23,24,25,26,故第n行的數(shù)字之和應(yīng)為2n.
問題3:第n行　1　　　…　　　…　　1
第n+1行　1　　　…　　　…　　1
且=+.
問題4:利用楊輝三角可以直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),當(dāng)二項(xiàng)式的次數(shù)不大時(shí),可借助它直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
新知運(yùn)用
例1　ABD　【解析】第9行從左到右第6個(gè)數(shù)是=126,A正確;
由組合數(shù)的性質(zhì)可得+++…+=+++…+=++…+=+==286,B正確;
第7行從左到右第5個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)的比為∶=5∶3,C錯(cuò)誤;
由組合數(shù)的性質(zhì)得+++…+=(1+1)n=2n,D正確.故選ABD.
鞏固訓(xùn)練　D　【解析】由題意可知第3斜行的前10項(xiàng)分別為,,,…,,
則+++…+=+++…+=++…+=…=+==220,
所以該數(shù)列的前10項(xiàng)的和為220.
探究2　情境設(shè)置
問題1:對(duì)稱性,即=.
問題2:=.
當(dāng)k<時(shí),>1,說明二項(xiàng)式系數(shù)隨k的增加逐漸增大;
同理,當(dāng)k>時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)隨k的增加逐漸減小.
問題3:當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),相等,且同時(shí)取得最大值.
新知運(yùn)用
例2　BC　【解析】因?yàn)閤-n的展開式共有8項(xiàng),所以n=7,所以A錯(cuò)誤;
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì),可得二項(xiàng)式系數(shù)的和為27=128,所以B正確;
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可得中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以C正確;
因?yàn)閤-7的展開式的第4項(xiàng)為T3+1=x4·-3=-35,第5項(xiàng)為T4+1=x3-4=35x,所以展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)不相等,所以D錯(cuò)誤.故選BC.
鞏固訓(xùn)練　【解析】-8的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=·()8-r·-r=(-1)r··2r·.
(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng),即第5項(xiàng),故T5=(-1)4××24×=1 120x-6.
(2)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大,
則即
整理得所以r=5或r=6.
故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).
(3)由(2)知,展開式中的第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大,又第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù),第7項(xiàng)的系數(shù)為正,
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T7=(-1)6××26×x-11=1 792x-11,
系數(shù)最小的項(xiàng)為T6=(-1)5××25=-1 792.
探究3　情境設(shè)置
問題1:利用賦值法,在二項(xiàng)展開式中,令a=b=1,整理可得+++…+=2n.
問題2:賦值法是給代數(shù)式(或方程或函數(shù)表達(dá)式)中的某些字母賦予一定的特殊值,從而達(dá)到解決問題的目的的一種方法.
新知運(yùn)用
例3　【解析】(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 020=(-1)2 020=1.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2 019+a2 020=32 020,
結(jié)合(1)得2(a1+a3+…+a2 019)=1-32 020,
∴a1+a3+a5+…+a2 019=.
(3)∵(1-2x)2 020的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=·(-2x)r=(-1)r··(2x)r,
∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N),
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 020|=a0-a1+a2-a3+…-a2 019+a2 020=32 020.
鞏固訓(xùn)練　ACD　【解析】由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=0,得a0=28,A正確;令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=1,所以a1+a2+…+a8=1-28,B錯(cuò)誤;二項(xiàng)式系數(shù)和為28=256,C正確;由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,兩邊求導(dǎo)得-8(2-x)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8=-8,D正確.故選ACD.
隨堂檢測·精評(píng)價(jià)
1.B　【解析】依題意,(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.
所以a1+a2+a3+a4=0.
2.A　【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a11=-2.
3.462　【解析】根據(jù)數(shù)字的構(gòu)成規(guī)律,可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)為第n(n為奇數(shù))行的第項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)為第n(n為偶數(shù))行的第項(xiàng)或第項(xiàng),則a11為第11行的第=6項(xiàng),結(jié)合二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可得a11==462.
4.【解析】由++=37,得1+n+n(n-1)=37,解得n=8或n=-9(舍去),則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,T5=××(2x)4=x4,故該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.

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