資源簡介

7.1　條件概率與全概率公式
課時(shí)2　全概率公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解并掌握乘法公式與全概率公式.(數(shù)學(xué)抽象) 2.能運(yùn)用乘法公式與全概率公式解決簡單的概率問題.(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.P(AB),P(B),P(A|B)(其中P(B)>0)之間存在怎樣的等量關(guān)系
2.全概率公式中,樣本空間Ω中的事件Ai需滿足的條件是什么
3.P(B|A)與P(|A)存在怎樣的等量關(guān)系
4.若A1,A2,A3是互斥事件,則A1∪A2∪A3的對(duì)立事件與相同嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)　　　　　　　　　　　　　　　
(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|).( )
(2)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(|A).( )
(3)P(A|B)==. ( )
2.已知P(B|A)=,P(A)=,則P(AB)=( ).
A. B.
C. D.
3.已知事件A,B,且P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,則P(B)=( ).
A. B.
C. D.
4.袋中有10個(gè)黑球,5個(gè)白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子,擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個(gè)球.若已知取出的球全是白球,則擲出3點(diǎn)的概率為 .
【合作探究】
　乘法公式
小明拿了一盒球,里面有6個(gè)紅球、4個(gè)白球,同桌小陽不放回地抽取兩次,每次任取一個(gè)球.
問題1:已知第一次取到白球,請(qǐng)問第二次取到紅球的概率是多少
問題2:如何求第一次取到白球且第二次取到紅球的概率
問題3:如何推導(dǎo)乘法公式
1.乘法公式
若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A),這就是說,根據(jù)事件A發(fā)生的概率,以及在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,可以求出事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率.一般地,這個(gè)結(jié)論稱為概率的乘法公式.
2.乘法公式的拓展
假設(shè)Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,則P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2).其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時(shí)A3發(fā)生的概率,而P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同時(shí)發(fā)生的概率.
某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,且在第一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的情況下,第二天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.8.求連續(xù)兩天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率.
【方法總結(jié)】在不好直接求得P(AB)的情況下,先求出方便計(jì)算的P(A)和P(B|A),再求P(AB).
已知某品牌的玉手鐲從1 m高的地方掉落時(shí),第一次未碎掉的概率為0.7,且當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí),第二次也未碎掉的概率為0.4.試求這款玉手鐲從1 m高的地方掉落兩次后仍未碎掉的概率.
　全概率公式
小張從家到公司上班總共有三條路可以直達(dá)(如圖),但是每條路每天擁堵的可能性不太一樣,由于路的遠(yuǎn)近不同,選擇每條路的概率如下:
P(L1)=0.5,P(L2)=0.3,P(L3)=0.2,
上述三條路每天不擁堵的概率分別為P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7.
問題1:假設(shè)遇到擁堵會(huì)遲到,那么小張從家到公司不遲到的概率是多少
問題2:全概率公式的意義是什么
全概率公式
一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),這稱為全概率公式.
特別提醒:在樣本空間Ω中,每種原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生,故B發(fā)生的概率是各種原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和.由此可以形象地把全概率公式看成由原因推結(jié)果,每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”,即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了因果之間的關(guān)系.
一、兩個(gè)事件的全概率問題
某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,甲、乙兩班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查.參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3,且甲班中女生占,乙班中女生占.求該社區(qū)居民遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率.
【方法總結(jié)】兩個(gè)事件的全概率問題的求解策略 (1)拆分:將樣本空間拆分成互斥的兩部分,如A1,A2(或A與). (2)計(jì)算:利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
某商店收購甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱,乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱.已知甲廠每箱裝100個(gè),廢品率為0.06;乙廠每箱裝120個(gè),廢品率為0.05.
(1)任取一個(gè)產(chǎn)品,求它是廢品的概率;
(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放,求任取一個(gè)為廢品的概率.
二、多個(gè)事件的全概率問題
受環(huán)境和氣候影響,近階段在相鄰的甲、乙、丙三個(gè)市爆發(fā)了支原體肺炎,經(jīng)初步統(tǒng)計(jì),這三個(gè)市分別有8%,6%,4%的人感染了支原體肺炎病毒.已知這三個(gè)市的人數(shù)之比為4∶6∶10,現(xiàn)從這三個(gè)市中任意選取一個(gè)人,求這個(gè)人感染支原體肺炎病毒的概率.
【方法總結(jié)】“化整為零”求多事件的全概率問題 (1)如圖,P(B)=P(Ai)P(B|Ai). (2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i=1,2,…,n),則事件B發(fā)生的可能性,就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和.
甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品,乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品.
(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品,求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率;
(2)若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中,再從乙箱中任取1個(gè)產(chǎn)品,求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率.
　貝葉斯公式
貝葉斯公式
若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:
(1)任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,且i≠j;
(2)A1∪A2∪…∪An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
則對(duì)Ω中的概率非零的任意事件B,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n).上述公式稱為貝葉斯公式.
特別提醒:全概率公式就是已知第一階段求第二階段,而貝葉斯公式就是已知第二階段反推第一階段.
某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽,小明作為選手參加.在除小明外的其他參賽選手中,一、二、三類棋手的人數(shù)之比為5∶7∶8,小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.6,0.5,0.4.
(1)從參賽選手中隨機(jī)抽取一位棋手與小明比賽,求小明獲勝的概率;
(2)如果小明獲勝,求與小明比賽的棋手為一類棋手的概率.
【方法總結(jié)】若隨機(jī)試驗(yàn)可以分兩個(gè)階段進(jìn)行,且第一階段的各試驗(yàn)具體結(jié)果未知,第二個(gè)階段的結(jié)果已知,要求該試驗(yàn)結(jié)果為第一階段某一個(gè)結(jié)果所引起的概率,則一般用貝葉斯公式,類似于求條件概率.熟記這個(gè)特征,在遇到相關(guān)的題目時(shí),可以選擇準(zhǔn)確的方法進(jìn)行計(jì)算,快速解題.
同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長期的經(jīng)驗(yàn)知,三家的正品率分別為0.95,0.90,0.80,三家產(chǎn)品數(shù)量之比為2∶3∶5,將三家產(chǎn)品混合在一起.
(1)從中任取一件,求此產(chǎn)品為正品的概率;
(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品,則它由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大 (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后四位)
【隨堂檢測(cè)】
1.李老師家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧,如果鄰居記得澆水,那么花存活的概率為0.8,如果鄰居忘記澆水,那么花存活的概率為0.3.已知鄰居記得澆水的概率為0.6,忘記澆水的概率為0.4,那么李老師回來后發(fā)現(xiàn)花還存活的概率為( ).　　　　　　　　　　　　　　
A.0.45 B.0.5 C.0.6 D.0.72
2.設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品,從中不放回地取兩次,每次取一件,則取出的第二件為不合格品的概率為( ).
A. B. C. D.
3.甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球,乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球,丙袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球.若先隨機(jī)取一只袋,再從該袋中隨機(jī)取一個(gè)球,則該球?yàn)榧t球的概率是 .
4.設(shè)某批產(chǎn)品中,甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從中任取一件.
(1)求取到的是次品的概率;
(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品,求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.
參考答案
課時(shí)2　全概率公式
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0.
2.需滿足的條件為AiAj= (i≠j),Ai=Ω,且P(Ai)>0.
3.P(B|A)+P(|A)=1.
4.相同.
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)√　(2)×　(3)×
2.C　【解析】P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.
3.C　【解析】由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+1-×=.
4.　【解析】設(shè)事件B表示“取出的球全是白球”,Ai表示“擲出i(i=1,2,…,6)點(diǎn)”,則由貝葉斯公式得P(A3|B)===.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1:設(shè)事件A1,A2分別為第一、二次取到紅球,則第一次取到白球,第二次取的時(shí)候還剩下9個(gè)球,其中6個(gè)紅球,3個(gè)白球,故所求概率為P(A2|)==.
問題2:設(shè)第一次取到白球且第二次取到紅球的事件為A2,直接求P(A2)不好求,我們可以利用條件概率計(jì)算,因?yàn)镻(A2|)=,所以P(A2)=×=.
問題3:由條件概率的計(jì)算公式P(B|A)=可知,P(AB)=P(A)P(B|A),即可得到乘法公式.
新知運(yùn)用
例1　【解析】記“第一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A,“第二天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件B,則P(B|A)=0.8,P(A)=0.75,由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.75×0.8=0.6,即連續(xù)兩天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.6.
鞏固訓(xùn)練　【解析】設(shè)事件Ai表示“這款玉手鐲第i次掉落后沒有碎掉”,i=1,2,則由已知可得P(A1)=0.7,P(A2|A1)=0.4,因此由概率的乘法公式可得P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=0.7×0.4=0.28,
即這款玉手鐲從1 m高的地方掉落兩次后仍未碎掉的概率為0.28.
探究2　情境設(shè)置
問題1:由題意可知,不遲到就是不擁堵,設(shè)事件C為“到公司不遲到”,事件Li(i=1,2,3)為選擇第i條路,
則P(C)=P(L1)P(C1)+P(L2)P(C2)+P(L3)·P(C3)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36.
問題2:全概率公式表示達(dá)到某個(gè)目的有多種方式(或者造成某種結(jié)果,有多種原因)時(shí),達(dá)到目的的概率(造成這種結(jié)果的概率).
新知運(yùn)用
例2　【解析】設(shè)事件A1表示“社區(qū)居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的”,事件A2表示“社區(qū)居民所遇到的一位同學(xué)是乙班的”,事件B表示“社區(qū)居民所遇到的同學(xué)是女生”,則Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B Ω.
由題意可知P(A1)=,P(A2)=,
且P(B|A1)=,P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×+×=.
鞏固訓(xùn)練　【解析】記事件A為“抽取的產(chǎn)品來自甲廠”,事件B為“抽取的產(chǎn)品來自乙廠”,事件C為“抽取的產(chǎn)品為廢品”,則Ω=A∪B,且A,B互斥.
(1)由題意,得P(A)==,P(B)==,
P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05.
由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=×0.06+×0.05=.
(2)P(A)==,
P(B)==,
P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05.
由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=×0.06+×0.05=.
例3　【解析】記事件D為“選取的這個(gè)人感染了支原體肺炎病毒”,記事件E為“此人來自甲市”,記事件F為“此人來自乙市”,記事件G為“此人來自丙市”,
則Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥,
依題意,P(E)==0.2,P(F)==0.3,P(G)==0.5,
P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,P(D|G)=0.04,
由全概率公式得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,
所以從這三個(gè)市中任取一人,這個(gè)人感染支原體肺炎病毒的概率為0.054.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品的事件數(shù)為==28,這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為=3,
∴這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率為.
(2)設(shè)事件A為“從乙箱中取出的一個(gè)產(chǎn)品是正品”,事件B1為“從甲箱中取出的2個(gè)產(chǎn)品都是正品”,事件B2為“從甲箱中取出的2個(gè)產(chǎn)品是1個(gè)正品和1個(gè)次品”,事件B3為“從甲箱中取出的2個(gè)產(chǎn)品都是次品”,則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==,
P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,
∴P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=×+×+×=.
探究3
新知運(yùn)用
例4　【解析】(1)記事件B為“小明獲勝”,記事件Ai為“小明與第i(i=1,2,3)類棋手比賽”,
由題意可得,P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485.
(2)由條件概率公式可得P(A1|B)====.
即小明獲勝,對(duì)手為一類棋手的概率為.
鞏固訓(xùn)練　【解析】設(shè)事件A表示“取到的產(chǎn)品為正品”,B1,B2,B3分別表示“取到的產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”,
由已知得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,
P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.
(1)由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
(2)由貝葉斯公式得
P(B1|A)==≈0.220 9,
P(B2|A)==≈0.314 0,
P(B3|A)==≈0.465 1.
比較以上3個(gè)數(shù),可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大.
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.C　【解析】設(shè)事件A為“鄰居記得澆水”,事件B為“鄰居忘記澆水”,事件C為“花存活”,
則P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.3.
由全概率公式可得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.48+0.12=0.6.
2.C　【解析】設(shè)事件B為“第一次取到不合格品”,事件A為“第二次取到不合格品”,則由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×+×=.
3.　【解析】設(shè)事件A1為“取出的是甲袋”,事件A2為“取出的是乙袋”,事件A3為“取出的是丙袋”,事件B為“取出的是紅球”,則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=×+×+×=.
4.【解析】記事件A1為“該產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn)的”,事件A2為“該產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)的”,事件A3為“該產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn)的”,事件B為“該產(chǎn)品是次品”,則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3兩兩互斥.由題意知P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%.
(1)由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.035.
(2)由貝葉斯公式(或條件概率定義)得P(A1|B)===.7.1　條件概率與全概率公式
課時(shí)1　條件概率
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解條件概率的概念.(數(shù)學(xué)抽象) 2.掌握求條件概率的兩種方法.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3.能利用條件概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
　　在一次英語口試中,共有10道題可選擇.從中隨機(jī)地抽取5道題供考生回答,答對(duì)其中3道題即可及格.假設(shè)作為考生的你只會(huì)答10道題中的6道題.
　　閱讀教材,結(jié)合上述情境回答下列問題:
1.你及格的概率是多少
2.在抽到的第一題不會(huì)答的情況下,你及格的概率又是多少
3.設(shè)A,B是兩個(gè)事件,如何計(jì)算在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1. ( )
(2)在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生,相當(dāng)于事件A,B同時(shí)發(fā)生. ( )
(3)P(B|A)與P(A|B)不同. ( )
(4)P(A∩B|A)=P(B). ( )
2.已知P(A)=0.8,P(B)=0.3,P(AB)=0.24,則P(A|B)=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16
3.設(shè)某動(dòng)物從出生算起活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的該動(dòng)物,則它活到25歲的概率是 .
4.已知10道試題中有4道選擇題,甲、乙兩人依次不放回地抽取1道,求:
(1)甲抽到選擇題的概率;
(2)在甲抽到選擇題的情況下,乙抽到選擇題的概率.
【合作探究】
　條件概率的概念
小明是2022年北京冬奧會(huì)的志愿者,服務(wù)結(jié)束后獲得了一個(gè)冬奧會(huì)的吉祥物冰墩墩,小明有三個(gè)侄子,都想要這個(gè)冰墩墩,他不知如何分配.三個(gè)侄子都說抓鬮,其中大侄子說:“我讓你們,我最后一個(gè)抓.”
問題1:請(qǐng)問大侄子抽中的概率是否比另外兩個(gè)的小
問題2:如果已經(jīng)知道第一個(gè)人沒有抽到冰墩墩,那么最后一個(gè)人抽到冰墩墩的概率又是多少
問題3:若用A表示事件“第一個(gè)人沒有抽到冰墩墩”,用B表示事件“最后一個(gè)人抽到冰墩墩”,且將事件“在第一個(gè)人沒有抽到冰墩墩的條件下,最后一個(gè)人抽到冰墩墩”發(fā)生的概率記為P(B|A).試說明:已知第一個(gè)人的抽獎(jiǎng)結(jié)果為什么會(huì)影響最后一個(gè)人抽到冰墩墩的概率.
問題4:對(duì)于問題3中的事件A和事件B,P(B|A)與它們的概率有什么關(guān)系
問題5:如何判斷條件概率
設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,則稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.
一、利用定義求條件概率
現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目,其中4個(gè)舞蹈類節(jié)目,2個(gè)語言類節(jié)目,若不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目,求:
(1)第1次抽到舞蹈類節(jié)目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈類節(jié)目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈類節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈類節(jié)目的概率.
【方法總結(jié)】求條件概率的兩種方法 (1)利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,這是求條件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=.
已知盒子中有6個(gè)大小相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩個(gè)球,每次取一個(gè)球,記第一次取出的球的數(shù)字是x,第二次取出的球的數(shù)字是y.若事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,則P(A|B)=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
二、縮小樣本空間求條件概率
已知集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù),若甲先取(不放回),乙后取,求在甲抽到奇數(shù)的條件下,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率.
【變式探究】若甲先取(取后放回),乙后取,記“甲抽到的數(shù)大于4”為事件A,“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”為事件B,求P(B|A).
【方法總結(jié)】利用縮小樣本空間法求條件概率P(B|A)的方法 (1)縮:將原來的基本事件全體Ω縮小為事件A,原來的事件B縮小為事件AB. (2)數(shù):數(shù)出事件A中事件AB所包含的基本事件. (3)算:利用P(B|A)=求得結(jié)果.
拋擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察朝上一面的點(diǎn)數(shù),記事件A表示“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”,事件B表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”.求:
(1)在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率;
(2)在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率.
　條件概率的性質(zhì)
大家都知道拋擲骰子的游戲.
問題1:擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,有多少個(gè)基本事件 它們之間有什么關(guān)系 隨機(jī)事件出現(xiàn)“大于4的點(diǎn)”包含哪些基本事件
問題2:在“先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子”試驗(yàn)中,已知第一枚出現(xiàn)4點(diǎn),則第二枚出現(xiàn)“大于4點(diǎn)”包含哪些基本事件
問題3:先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子,已知第一枚出現(xiàn)4點(diǎn),如何利用條件概率的性質(zhì)求第二枚出現(xiàn)“大于4點(diǎn)”的概率
條件概率的性質(zhì)
條件概率具有概率的性質(zhì),任何事件的條件概率都在0和1之間,即0≤P(B|A)≤1.設(shè)P(A)>0,有下列結(jié)論:
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)設(shè)和B互為對(duì)立事件,則P(|A)=1-P(B|A).
在一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球,其中有1個(gè)紅球,2個(gè)黃球,3個(gè)黑球,4個(gè)白球,從中依次不放回地摸出2個(gè)球,求在摸出的第一個(gè)球是紅球的條件下,摸出的第二個(gè)球是黃球或黑球的概率.
【方法總結(jié)】利用條件概率性質(zhì)解題的策略 (1)分析條件,選擇公式:首先看事件B,C是否互斥,若互斥,則選擇公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). (2)分解計(jì)算,代入求值:為了求比較復(fù)雜事件的概率,一般先把它分解成兩個(gè)(或若干個(gè))互不相容的較簡單的事件,然后求出這些簡單事件的概率,最后利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率.
在某次考試中,要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題.已知答對(duì)其中的4道題即可通過考試;答對(duì)其中的5道題就能獲得優(yōu)秀.某考生能答對(duì)其中的10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.
【隨堂檢測(cè)】
1.若某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.6,超過2年的概率為0.3,則已經(jīng)使用了1年的該種元件使用壽命超過2年的概率為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.3 B.0.5
C.0.6 D.1
2.(多選題)設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,P(B)>0,則下列說法一定正確的是( ).
A.P(B|A)=-0.2
B.P(B|A)=P(A|B)
C.P(B|A)=0,說明事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生
D.P(B|A)與P(B)有可能相等
3.已知一個(gè)盒子內(nèi)裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)白球.如果不放回地依次抽取3個(gè)球,那么在第一次抽到紅球的條件下,第二次抽到紅球的概率為 .
4.已知盒內(nèi)裝有16個(gè)球,其中6個(gè)是玻璃球,10個(gè)是木質(zhì)球.玻璃球中有2個(gè)是紅色的,4個(gè)是藍(lán)色的;木質(zhì)球中有3個(gè)是紅色的,7個(gè)是藍(lán)色的.現(xiàn)從中任取1個(gè),已知取到的是藍(lán)球,則該球是玻璃球的概率是多少
參考答案
7.1　條件概率與全概率公式
課時(shí)1　條件概率
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.所有的選法有=252(種),及格的選法有++=186(種),
故及格的概率P==.
2.在抽到的第一題不會(huì)答的情況下,所有的選法有=126(種),及格的選法有+=75(種),故在抽到的第一題不會(huì)答的情況下及格的概率P==.
3.利用公式P(B|A)=.
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】P(A|B)===0.8.
3.0.5　【解析】根據(jù)條件概率公式知P==0.5.
4.【解析】(1)甲抽到選擇題的概率P==.
(2)設(shè)“甲抽到選擇題”為事件A,“乙抽到選擇題”為事件B,則P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)==.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1:如果三張鬮分別用X1,X2,Y表示,其中Y表示抽中冰墩墩,那么三人抽的結(jié)果共有六種可能,分別為X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1.用A,B,C分別表示事件“第一個(gè)人抽到冰墩墩”“第二個(gè)人抽到冰墩墩”“最后一個(gè)人抽到冰墩墩”,則事件A包含基本事件YX1X2,YX2X1;事件B包含基本事件X1YX2,X2YX1;事件C包含基本事件X1X2Y,X2X1Y.故P(A)=P(B)=P(C)==,即大侄子抽到冰墩墩的概率與另外兩個(gè)人抽到冰墩墩的概率一樣.
問題2:因?yàn)橐阎谝粋€(gè)人沒有抽到冰墩墩,所以可能出現(xiàn)的基本事件只有X1X2Y,X1YX2,X2X1Y和X2YX1.而“最后一個(gè)人抽到冰墩墩”包含的基本事件仍是X1X2Y和X2X1Y,由古典概型的概率計(jì)算公式可知,最后一個(gè)人抽到冰墩墩的概率為,即.
問題3:在這個(gè)問題中,知道第一個(gè)人沒有抽到冰墩墩,等價(jià)于知道事件A一定會(huì)發(fā)生,導(dǎo)致可能出現(xiàn)的基本事件必然在事件A中,從而影響事件B發(fā)生的概率,使得P(B|A)≠P(B).
問題4:用Ω表示三個(gè)人可能抽取的結(jié)果的全體,則它由六個(gè)基本事件組成,即Ω={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1}.既然已知事件A發(fā)生,那么只需在A={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1}的范圍內(nèi)考慮問題,即只有四個(gè)基本事件.在事件A發(fā)生的情況下,事件B發(fā)生等價(jià)于事件A和事件B同時(shí)發(fā)生,即事件AB發(fā)生.而事件AB中含X1X2Y,X2X1Y兩個(gè)基本事件,因此P(B|A)==,其中n(A)和n(AB)分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件個(gè)數(shù).另一方面,根據(jù)古典概型計(jì)算概率的公式可知,P(AB)=,P(A)=,其中n(Ω)表示Ω中包含的基本事件個(gè)數(shù).所以P(B|A)==.
問題5:題目中出現(xiàn)“在已知……前提下(或條件下)”“在A發(fā)生的條件下”等關(guān)鍵詞,表明這個(gè)前提已成立或條件已發(fā)生,此時(shí)通常涉及條件概率.
新知運(yùn)用
例1　【解析】設(shè)“第1次抽到舞蹈類節(jié)目”為事件A,“第2次抽到舞蹈類節(jié)目”為事件B,則“第1次和第2次都抽到舞蹈類節(jié)目”為事件AB.
(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè),得n(Ω)==30.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得n(A)==20,
所以P(A)===.
(2)因?yàn)閚(AB)==12,所以P(AB)===.
(3)(法一)由(1)(2)可知,在第1次抽到舞蹈類節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈類節(jié)目的概率P(B|A)===.
(法二)因?yàn)閚(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)===.
鞏固訓(xùn)練　C　【解析】因?yàn)槭怯蟹呕氐仉S機(jī)取兩個(gè)球,所以n(Ω)=36.
因?yàn)槭录﨎為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,所以n(B)=36-3×3-3=24.
因?yàn)槭录嗀為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,
所以事件AB為“x,y均為偶數(shù)且x≠y”,所以n(AB)==6,
所以P(A|B)===.
例2　【解析】設(shè)甲抽到數(shù)字a,乙抽到數(shù)字b記作(a,b),在甲抽到奇數(shù)的條件下,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率為P,則甲抽到奇數(shù)的情況有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15種.在這15種情況中,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9種,所以在甲抽到奇數(shù)的條件下,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率P==.
變式探究　【解析】甲抽到的數(shù)大于4的情況有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12種,其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的情況有(5,2),(6,1),共2種,所以P(B|A)==.
鞏固訓(xùn)練　【解析】由題意可知,n(A)==12.
由3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8知n(B)=10,其中n(AB)=6.
(1)P(B|A)===.
(2)P(A|B)===.
探究2　情境設(shè)置
問題1:擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,可能出現(xiàn)的基本事件有“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”“5點(diǎn)”“6點(diǎn)”,共6個(gè)基本事件,它們彼此互斥.“大于4的點(diǎn)”包含“5點(diǎn)”“6點(diǎn)”,共2個(gè)基本事件.
問題2:“第一枚4點(diǎn),第二枚5點(diǎn)”和“第一枚4點(diǎn),第二枚6點(diǎn)”.
問題3:設(shè)“第一枚出現(xiàn)4點(diǎn)”為事件A,“第二枚出現(xiàn)5點(diǎn)”為事件B,“第二枚出現(xiàn)6點(diǎn)”為事件C,則所求事件為B∪C|A,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
新知運(yùn)用
例3　【解析】設(shè)“摸出的第一個(gè)球是紅球”為事件A,“摸出的第二個(gè)球是黃球”為事件B,“摸出的第二個(gè)球是黑球”為事件C.
(法一)∵P(A)=,P(AB)==,P(AC)==,
∴P(B|A)====,P(C|A)===,
∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=,即所求的概率為.
(法二)∵n(A)==9,n[(B∪C)∩A]=1×+1×=5,∴P(B∪C|A)=,即所求的概率為.
鞏固訓(xùn)練　【解析】設(shè)“該考生6道題全答對(duì)”為事件A,“該考生恰好答對(duì)了5道題”為事件B,“該考生恰好答對(duì)了4道題”為事件C,“該考生在這次考試中通過”為事件D,“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”為事件E,則D=A∪B∪C,E=A∪B,且A,B,C兩兩互斥.
由古典概型的概率公式知,
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=,
又AD=A,BD=B,
所以P(E|D)=P(A∪B|D)
=P(A|D)+P(B|D)
=+=+
=+
=.
故所求概率為.
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.B　【解析】設(shè)事件A為“該元件的使用壽命超過1年”,事件B為“該元件的使用壽命超過2年”,則P(A)=0.6,P(B)=0.3.因?yàn)锽 A,所以P(AB)=P(B)=0.3,所以P(B|A)===0.5.
2.CD　【解析】對(duì)于A,0≤P(B|A)≤1,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,P(B|A)與P(A|B)可能相等,也可能不相等,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,P(B|A)=0,即在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為0,所以事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,故C正確;
對(duì)于D,當(dāng)事件A,B為相互獨(dú)立事件時(shí),P(B|A)=P(B),故D正確.故選CD.
3.　【解析】記事件A為“第一次抽到紅球”,事件B為“第二次抽到紅球”,則P(A)=,P(AB)==,因此所求概率P(B|A)==×=.
4.【解析】由題意得球的分布如下:
玻璃球 木質(zhì)球 合計(jì)
紅 2 3 5
藍(lán) 4 7 11
合計(jì) 6 10 16
設(shè)A={取得藍(lán)球},B={取得玻璃球},
∵n(A)=11,n(AB)=4,∴P(B|A)==.

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