資源簡介

7.2　離散型隨機變量及其分布列
課時2　離散型隨機變量的分布列
【學習目標】 1.理解取有限值的離散型隨機變量的分布列及兩點分布的概念及表示.(數學抽象) 2.掌握離散型隨機變量的分布列的性質.(數學運算) 3.會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列(含兩點分布的分布列).(數學運算)
【自主預習】
1.如何求離散型隨機變量在某一范圍內的概率
2.離散型隨機變量X的概率能為負值嗎
3.離散型隨機變量的分布列的概率和是多少
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在離散型隨機變量的分布列中,每一個可能值對應的概率可以為任意的實數. ( )
(2)在離散型隨機變量的分布列中,在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各值的概率之積. ( )
(3)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現象. ( )
(4)在離散型隨機變量的分布列中,隨機變量取各個值的概率之和可以小于1. ( )
2.(原創)某一隨機變量ξ的概率分布如下表,且a-b=0.3,則a的值為( ).
ξ 7 8 9 10
P a 0.2 b 0.1
A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.1
3.下列表中,可以作為離散型隨機變量的分布列的是( ).
A.
ξ 1 0 1
P
B.
ξ 0 1 2
P -
C.
ξ 0 1 2
P
D.
ξ -1 0 1
P
4.若離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P 2a 3a 5a
則a= ,P(X≥1)= .
【合作探究】
　離散型隨機變量的分布列
一個瓶子中裝有5個球,編號分別為1,2,3,4,5.從瓶中同時取3個球,用X表示取出的3個球中的最大編號數.
問題1:隨機變量X的可能取值是什么
問題2:試求X取不同值的概率.
問題3:你能用表格表示X與P的對應關系嗎
　　定義:一般地,設離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=Pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
　　離散型隨機變量的分布列還可以用 表示.
一袋中裝有6個同樣大小的黑球,編號分別為1,2,3,4,5,6,現從中隨機取出3個球,用X表示取出的3個球中的最大編號數.
(1)求X的分布列;
(2)求X的取值不小于4的概率.
【方法總結】求離散型隨機變量X的分布列的步驟 (1)首先確定隨機變量X的取值; (2)再求出每個取值對應的概率; (3)最后列表對應,即得分布列.
為檢測某產品的質量,現抽取5件產品,測量產品中微量元素x,y的含量(單位:毫克),測量數據如下:
編號 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
若產品中的微量元素x,y滿足x≥177且y≥79,則該產品為優等品.現從上述5件產品中,隨機抽取2件,求抽取的2件產品中優等品數X的分布列.
　離散型隨機變量分布列的性質
問題:若該表格為離散型隨機變量的分布列,則m為何值
X 1 2 3 4
P m
離散型隨機變量分布列的性質:
(1)pi 0,i=1,2,…,n;
(2)pi= .
設X是一個離散型隨機變量,其分布列為
X -1 0 1
P 1-2q q2
(1)求q的值;
(2)求P(X<0),P(X≤0)的值.
【方法總結】分布列的性質及其應用 (1)利用分布列中各概率之和為1可求出參數的值,此時要注意檢驗,以保證每個概率值均為非負數. (2)求隨機變量在某個范圍內的概率時,根據分布列,將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可,其依據是互斥事件的概率加法公式.
設隨機變量X滿足P(X=i)=(i=1,2,3),則P(X≥2)= .
設隨機變量X的分布列為PX==ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常數a的值;
(2)求PX≥;
(3)求P　兩點分布
問題:在現實生活中,抽取的獎券是否中獎,買回的一件產品是否為正品,新生嬰兒的性別,投籃是否命中等,這些現象有什么共同點
　　一般地,若隨機變量X的分布列是
X 0 1
P 1-p p
　　則稱這個隨機變量服從參數為p的 (或0-1分布).
袋內有10個白球和5個紅球,從中摸出2個球,記X=求X的分布列.
【方法總結】兩點分布的4個特點 (1)兩點分布中只有兩個對應結果,且兩結果是對立的; (2)兩點分布中的兩結果一個對應1,另一個對應0; (3)由對立事件的概率求法可知,已知P(X=0)(P(X=1)),便可求出P(X=1)(P(X=0)); (4)在有多個結果的隨機試驗中,如果我們只關心一個隨機事件是否發生,那么就可以利用兩點分布來研究它.
已知一批200件的待出廠產品中有1件次品,現從中任意抽取2件進行檢查,若用隨機變量X表示抽取的2件產品中的次品數,求X的分布列
【隨堂檢測】
1.設離散型隨機變量X的分布列如下:
X 1 2 3 4
P p
則p的值為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.若隨機變量X的分布列為
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
則當P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
3.若隨機變量X服從兩點分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,則P(Y=-2)= .
4.設S是不等式x2-x-6≤0的解集,整數m,n∈S.
(1)設“使得m+n=0成立的有序數組(m,n)”為事件A,試列舉事件A包含的基本樣本點;
(2)設ξ=m2,求ξ的分布列.
參考答案
課時2　離散型隨機變量的分布列
自主預習·悟新知
預學憶思
1.離散型隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.
2.不能,離散型隨機變量X的概率都大于或等于0.
3.概率和為1.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由離散型隨機變量分布列的性質可得a+b+0.3=1,又a-b=0.3,解得a=0.5,b=0.2.
3.D　【解析】本題考查分布列的概念及性質,即ξ的取值應互不相同,且P(ξi)≥0,i=1,2,…,n,P(ξi)=1.
A中,ξ的取值重復了;B中,P(ξ=0)=-<0;C中,P(ξi)=++=>1.
故選D.
4.　　【解析】由2a+3a+5a=1,解得a=,
∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:X=3,4,5.
問題2:P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)===.
問題3:能,X與P的對應關系可表示為
X 3 4 5
P
新知生成
表達式、圖象
新知運用
例1　【解析】(1)隨機變量X的所有可能取值為3,4,5,6,
P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,
所以隨機變量X的分布列為
X 3 4 5 6
P
(2)X的取值不小于4的概率P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=++=.
鞏固訓練　【解析】由題意知,5件抽測品中有2件優等品,則X的所有可能取值為0,1,2.
P(X=0)==0.3,P(X=1)==0.6,P(X=2)==0.1.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
探究2　情境設置
問題:由離散型隨機變量分布列的性質可知,+m++=1,解得m=.
新知生成
(1)≥　(2)1
新知運用
例2　【解析】(1)由分布列的性質得解得q=1-.
(2)P(X<0)=P(X=-1)=;
P(X≤0)=P(X=-1)+P(X=0)=+1-21-=-.
鞏固訓練1　　【解析】由已知得隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
∴++=1,∴k=.
∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
鞏固訓練2　【解析】依題意,隨機變量X的分布列為
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.
(2)(法一)PX≥=PX=+PX=+P(X=1)=++=.
(法二)PX≥=1-PX≤=1-+=.
(3)因為探究3　情境設置
問題:這些現象的共同點是隨機試驗只有兩個可能的結果.定義一個隨機變量,使其中一個結果對應于1,另一個結果對應于0,即得到服從兩點分布的隨機變量.
新知生成
兩點分布
新知運用
例3　【解析】由題設可知,X服從兩點分布,
P(X=0)==,
∴P(X=1)=1-P(X=0)=1-=.
∴X的分布列為
X 0 1
P
鞏固訓練　【解析】由題意知,X服從兩點分布,P(X=0)==,所以P(X=1)=1-=.
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1
P
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由分布列的性質可知p=1---=.
2.C　【解析】由隨機變量X的分布列,知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,則當P(X3.0.8　【解析】因為Y=3X-2,所以當Y=-2時,X=0,
所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.
4.【解析】(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.
因為m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,
所以事件A包含的基本樣本點為(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)因為m的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,且m取各值的概率相等,為,
所以ξ=m2的所有不同取值為0,1,4,9,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)==,P(ξ=4)==,P(ξ=9)=.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 4 9
P7.2　離散型隨機變量及其分布列
課時1　離散型隨機變量
【學習目標】 1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義.(數學抽象) 2.了解隨機變量與函數的區別與聯系.(數學抽象) 3.能寫出離散型隨機變量的可能取值,并能解釋其意義.(數學抽象、數學建模)
【自主預習】
1.如何來表示離散型隨機變量
2.隨機變量與函數有怎樣的關系
3.離散型隨機變量的取值必須是有限個嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)隨機變量的取值可以是有限個,也可以是無限個. ( )
(2)在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中,“出現正面的次數”為隨機變量. ( )
(3)離散型隨機變量的取值是任意的實數. ( )
2.下列變量中,是離散型隨機變量的是( ).
A.到2022年10月1日止,我國發射的人造地球衛星數
B.一只剛出生的大熊貓,一年以后的身高
C.某人在車站等出租車的時間
D.某人投籃10次,可能投中的次數
3.若袋中有大小相同的紅球6個,白球5個,從袋中每次任意取出1個球,直到取出的球是白球為止,所需要的取球次數為隨機變量X,則X的可能取值為( ).
A.1,2,3,…,6　　　　　　 B.1,2,3,…,7
C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5
4.已知在一次比賽中,需回答四個問題,比賽規定:每題回答正確得100分,回答錯誤得-100分.則選手甲回答這四個問題的總得分ξ的取值集合是 .
【合作探究】
　隨機變量的概念
問題1:擲一枚質地均勻的骰子,出現的點數可以用數字1,2,3,4,5,6來表示.那么擲一枚硬幣的結果是否也可以用數字來表示呢
問題2:在擲骰子和擲硬幣的隨機試驗中,試驗結果可以一一列舉出來嗎 若用X表示電燈泡的使用壽命,則X的值可以一一列舉出來嗎
問題3:隨機變量與函數有什么關系
　　一般地,對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數X(ω)與之對應,我們稱X為 .隨機變量一般用大寫英文字母 , , ,…表示,用小寫英文字母 , , ,…來表示隨機變量的取值.隨機變量所有可能取值組成的集合,稱為這個隨機變量的取值范圍.
(1)若6件產品中有2件次品與4件正品,從中任取2件,則下列可作為隨機變量的是( ).　　　　　　　　　　　　　　
A.取到產品的件數 B.取到正品的件數
C.取到正品的概率 D.取到次品的概率
(2)判斷下列各個量,哪些是隨機變量,哪些不是隨機變量,并說明理由.
①北京國際機場候機廳明天的旅客數量;
②2025年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數;
③2025年6月1日濟南到北京的某次動車到北京站的時間;
④體積為1 000 cm3的球的半徑長.
【方法總結】隨機變量的辨析方法 1.隨機試驗的結果具有可變性,即每次試驗對應的結果不盡相同. 2.隨機試驗的結果具有確定性,即每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個,但在一次試驗之前不能肯定這次試驗會出現哪一個結果. 如果一個隨機試驗的結果對應的變量具有以上兩點,那么該變量為隨機變量.
判斷下列各個量,哪些是隨機變量,哪些不是隨機變量,并說明理由.
(1)某天某公司客服接到咨詢電話的個數;
(2)標準大氣壓下,水沸騰的溫度;
(3)在一次繪畫作品評比中,設一、二、三等獎,某人的一件作品獲得的獎次;
(4)體積為64 cm3的正方體的棱長.
　離散型隨機變量
問題1:在一塊地里種10棵樹苗,設成活的樹苗棵樹為X,則X取哪些值
問題2:拋擲一枚質地均勻的骰子,出現向上的點數為ξ,則“ξ≥4”表示的隨機事件是什么
1.定義:可能取值為有限個或可以 的隨機變量,我們稱為離散型隨機變量.
2.特征:(1)可用數值表示;(2)試驗之前可以判斷其出現的所有值;(3)在試驗之前不能確定取何值;(4)試驗結果能一一列出.
(多選題)口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球,n個白球,每次從中摸1個球,摸出后再放回口袋中,摸到紅球記2分,摸到白球記1分,共摸球3次.設所得分數為隨機變量ξ,若P(ξ=3)=,則ξ的取值可能為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
【方法總結】離散型隨機變量判定的關鍵及方法 (1)關鍵:判斷隨機變量X的所有取值是否可以一一列出. (2)具體方法: ①明確隨機試驗的所有可能結果; ②將隨機試驗的試驗結果數量化; ③確定試驗結果所對應的實數是否可按一定次序一一列出,若能一一列出,則該隨機變量是離散型隨機變量,否則不是.
甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題.比賽規定:對于每一個題,沒有搶到題的隊伍得0分,搶到題并回答正確的得1分,搶到題但回答錯誤的扣1分(即得-1分).若每個搶答題都有隊伍搶答,X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數高者勝),則X的可能取值是 .
　隨機變量之間的關系
一個袋中裝有8個紅球、3個白球,從中任取5個球,其中所含白球的個數為X.
問題:若規定取出一個紅球積2分,而取出一個白球扣1分,以ξ表示累積得分,則結果如何
一般地,如果X是一個隨機變量,a,b是常數且a≠0,那么Y=aX+b也是一個隨機變量.由于X=t的充要條件是Y=at+b,故P(X=t)=P( ).
一個袋中裝有除顏色外其他都相同的5個白球和5個黑球,從中任取3個球,其中所含白球的個數為X.
(1)列表說明可能出現的結果與對應的X的值;
(2)若規定取3個球,每取到1個白球加5分,取到黑球不加分,且最后不管結果如何都加上6分,求最終得分Y的可能取值,并判定Y的隨機變量類型.
設某項試驗的成功率是失敗率的2倍,用隨機變量X表示一次試驗的成功次數,則X的值可以是( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.1或2
C.0或1 D.0或1或2
已知Y=2X為離散型隨機變量,Y的所有可能取值所構成的集合為{1,2,3,4,…,10},則X的可能取值為 .
【隨堂檢測】
1.下列隨機變量X不是離散型隨機變量的是( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.某網站一天的點擊量為X
B.某尋呼臺一天內收到的尋呼次數為X
C.某電子元件的壽命為X
D.某高中每年參加高考的人數為X
2.袋中裝有10個紅球和5個黑球,每次從中隨機摸取1個球,若取得黑球,則另換1個紅球放回袋中,直到取到紅球為止.若摸球的次數為ξ,則表示事件“放回5個紅球”的是( ).
A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5
3.在一次比賽中,需回答三個問題,比賽規定:每題回答正確得2分,回答錯誤倒扣1分.記選手甲回答這三個問題的總得分為ξ,則ξ的所有可能取值構成的集合是 .
4.已知隨機變量X的取值范圍為{1,2,3},且滿足P(X=i)=(i=1,2,3),隨機變量Y=2X-1,則P(Y≥3)= .
參考答案
7.2　離散型隨機變量及其分布列
課時1　離散型隨機變量
自主預習·悟新知
預學憶思
1.隨機變量常用大寫字母表示,例如X,Y,Z.
2.
相同點 隨機變量和函數都是一種映射
區別 隨機變量是隨機試驗的結果到實數的映射,函數是實數到實數的映射
聯系 隨機試驗結果的范圍相當于函數的定義域,隨機變量的取值范圍相當于函數的值域
3.不是.離散型隨機變量的取值可以是有限個,例如取值為1,2,…,n;也可以是無限個,如取值為1,2,…,n,….
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.D　【解析】選項A中的結果是定值,所以不是隨機變量;選項B,C的數值可以是區間內的任一實數,所以不是離散型隨機變量;選項D中,投籃10次,可能投中的次數是離散型隨機變量.
3.B　【解析】由題意可知,X的可能取值為1,2,3,4,5,6,7.
4.{400,200,0,-200,-400}　【解析】由題意知,有全對、三對一錯、兩對兩錯、一對三錯、全錯五種結果,相應得分依次為400分、200分、0分、-200分、-400分.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:可以.例如可用數字1和0分別表示正面向上和反面向上.
問題2:擲骰子和擲硬幣的試驗結果可以一一列舉出來,而電燈泡的使用壽命X不能一一列舉.
問題3:隨機變量的定義與函數的定義類似,這里的樣本點ω相當于函數定義中的自變量,而樣本空間Ω相當于函數的定義域,不同之處在于Ω不一定是數集.隨機變量的取值X(ω)隨著試驗結果ω的變化而變化,這使我們可以比較方便地表示一些隨機事件.
新知生成
隨機變量　X　Y　Z　x　y　z
新知運用
例1　(1)B　【解析】(1)A中取到的產品的件數是一個常量,C,D都是一個定值,而B中取到正品的件數可能是0,1,2,故B是隨機變量.
(2)①旅客人數可能是0,1,2,…,出現哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.
②所查酒駕的人數可能是0,1,2,…,出現哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.
③動車到達的時間可在某一區間內任取一值,是隨機的,因此是隨機變量.
④球的體積為1 000 cm3時,球的半徑為定值,不是隨機變量.
鞏固訓練　【解析】(1)接到咨詢電話的個數可能是0,1,2,…,出現哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.
(2)標準大氣壓下,水沸騰的溫度為100 ℃,是定值,所以不是隨機變量.
(3)獲得的獎次可能是一、二、三等獎,出現哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.
(4)體積為64 cm3的正方體的棱長為4 cm,是定值,所以不是隨機變量.
探究2　情境設置
問題1:X=0,1,2,3,…,10.
問題2:“ξ≥4”表示出現向上的點數為4,5,6.
新知生成
1.一一列舉
新知運用
例2　BCD　【解析】口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球,n個白球,每次從中摸1個球,摸出后再放回口袋中,∴摸到紅球的概率是,摸到白球的概率是,又ξ=3表示這3次摸到的都是白球,且P(ξ=3)=,
∴3=,解得n=3,
∴ξ的取值可能為3,4,5,6.故選BCD.
鞏固訓練　-1,0,1,2,3　【解析】X=-1表示甲隊搶到1題且答錯,乙隊搶到2題均答錯;
X=0表示甲隊沒有搶到題,乙隊搶到3題且至少答錯其中的2題或甲隊搶到2題且答對1題答錯1題,乙隊搶到1題且答錯;
X=1表示甲隊搶到1題且答對,乙隊搶到2題且至少答錯其中的1題或甲隊搶到3題且答對其中的2題,乙隊沒有搶到題;
X=2表示甲隊搶到2題均答對;
X=3表示甲隊搶到3題均答對.
故X的可能取值是-1,0,1,2,3.
探究3　情境設置
問題:“ξ=10”表示“取出的5個球全是紅球”;“ξ=7”表示“取出1個白球,4個紅球”;“ξ=4”表示“取出2個白球,3個紅球”;“ξ=1”表示“取出3個白球,2個紅球”.
新知生成
Y=at+b
新知運用
例3　【解析】(1)可能出現的結果與對應的X的值如表所示:
X 0 1 2 3
結果 取得3 個黑球 取得1個白 球2個黑球 取得2個白 球1個黑球 取得3 個白球
(2)由題意可得Y=5X+6,而X可能的取值為0,1,2,3,所以Y對應的各值是6,11,16,21.
故Y的可能取值為6,11,16,21,顯然Y為離散型隨機變量.
鞏固訓練1　C　【解析】這里“成功率是失敗率的2倍”是干擾條件,對一次試驗的成功次數沒有影響,故X的可能取值有兩種,即0,1.
鞏固訓練2　,1,,2,,3,,4,,5　【解析】由Y=2X,得X=Y.
因為Y的取值為1,2,3,4,…,10,所以對應的X的取值為,1,,2,,3,,4,,5.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】選項A,B,D中的隨機變量X的可能取值,都可以一一列出,故它們都是離散型隨機變量;選項C中的X可以取某一區間內的任意值,無法一一列出,故其不是離散型隨機變量.
2.C　【解析】“放回5個紅球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到紅球,所以ξ=6.故選C.
3.{-3,0,3,6}　【解析】三個問題回答完,其回答的可能結果有三個全對、兩對一錯、兩錯一對、三個全錯,故得分的可能情況是6分、3分、0分、-3分,所以ξ的所有可能取值構成的集合為{-3,0,3,6}.
4.　【解析】由題意可知P(Y≥3)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.

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