資源簡介

7.3　離散型隨機變量的數字特征
課時1　離散型隨機變量的均值
【學習目標】 1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質.(數學抽象) 2.會根據離散型隨機變量的分布列求出均值.(邏輯推理、數學運算) 3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
1.隨機變量的均值和樣本的平均值是一個常數還是隨機變量
2.隨著樣本容量的增加,樣本的平均值與總體的平均值有什么關系
3.對于n個數x1,x2,…,xn,稱=(x1+x2+…+xn)為這n個數的平均數,如何從隨機變量的角度看這個問題
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)隨機變量的均值反映了樣本的平均水平. ( )
(2)若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4. ( )
(3)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=P(X=1). ( )
2.已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
則X的數學期望E(X)=( ).
A. B.2 C. D.3
3.若隨機變量Y=aX+3,且E(Y)=,E(X)=-,則a= .
4.盒中裝有5節同品牌的五號電池,其中混有2節廢電池,現在無放回地每次取1節電池檢驗,直到取到好電池為止.
求:(1)抽取次數X的分布列;
(2)平均抽取多少次可取到好電池.
【合作探究】
　離散型隨機變量的均值
某商場要將單價分別為18元/千克,24元/千克,36元/千克的3種糖果按質量3∶2∶1的比例混合銷售.
問題1:如何對混合糖果定價才合理
問題2:什么是權數 什么是加權平均
問題3:如果混合糖果中每一顆糖果的質量都相等,你能解釋權數的實際含義嗎
離散型隨機變量的均值
設離散型隨機變量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn=xipi為隨機變量X的均值或數學期望(簡稱期望).
均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”,反映了離散型隨機變量X取值的平均水平,是隨機變量X的一個重要特征.
一個袋子中裝有6個黑球,2個白球,它們除顏色外其他完全相同.現每次從袋中不放回地隨機取出1個球,直到2個白球都被取出為止,以X表示袋中還剩下的黑球個數.
(1)記事件Ak表示“第k次取出的是白球”,k=1,2,…,8,求P(A5|A2);
(2)求X的分布列和數學期望.
【方法總結】求離散型隨機變量ξ的均值的步驟:(1)根據ξ的實際意義,寫出ξ的全部取值;(2)求出ξ的每個值的概率;(3)寫出ξ的分布列;(4)利用定義求出均值.其中第(1)(2)步是解答此類題目的關鍵,在求解過程中應注重應用概率的相關知識.
某外語學校的一個社團中有7名同學,其中2人只會法語,2人只會英語,3人既會法語又會英語,現選派3人到法國的學校交流訪問.求:
(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率;
(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數X的分布列和數學期望.
　期望的性質與應用
已知隨機變量X的分布列如下:
X -2 -1 0 1 2
P m
問題1:求m的值.
問題2:求E(X).
問題3:若Y=aX+b,則E(X)與E(Y)之間有什么關系
問題4:若Y=2X-3,求E(Y).
期望(均值)的性質
(1)若X為常數C,則E(X)=C.
(2)若Y=aX+b,其中a,b為常數,則Y也是隨機變量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
一、離散型隨機變量均值的性質
已知離散型隨機變量X的分布列如下表:
X 0 1 2
P 0.64 q2 1-2q
則E(-2X+3)=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.1.88 B.1.72 C.1.56 D.1.4
【方法總結】求線性關系的隨機變量η=aξ+b的均值方法 (1)定義法:先列出η的分布列,再求均值. (2)性質法:直接套用公式E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b,求解即可.
已知X的分布列為
X -1 0 1
P a
設Y=2X+1,則Y的數學期望E(Y)的值是( ).
A.-　　 　B.　 　　C.1　 　　D.
二、均值的實際應用
隨機抽取某廠的某種產品200件,經質檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而生產1件次品虧損2萬元,設1件產品的利潤(單位:萬元)為X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件產品的平均利潤(X的均值);
(3)經技術革新后,仍有四個等級(一等品、二等品、三等品、次品)的產品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%,若此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少
【方法總結】解答概率模型的三個步驟 (1)建模:把實際問題轉化為概率模型. (2)解模:確定分布列,計算隨機變量的均值. (3)回歸:利用所得數據,對實際問題作出判斷.
受轎車在保修期內維修費等因素的影響,企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關,某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年,現從該廠已售出的兩種品牌轎車中分別隨機抽取50輛,統計數據如下:
品牌 甲 乙
首次出現故障時間x/年 02 02
轎車數量/輛 2 3 45 5 45
每輛利潤/萬元 1 2 3 1.8 2.9
將頻率作為概率,解答下列問題.
(1)從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取1輛,求其首次出現故障發生在保修期內的概率.
(2)若該廠生產的轎車均能售出,記生產1輛甲品牌轎車的利潤為X1萬元,生產1輛乙品牌轎車的利潤為X2萬元,分別求X1,X2的分布列.
(3)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當,由于資金限制,只能生產其中一種品牌轎車,若從經濟效益的角度考慮,你認為該廠應該生產哪種品牌的轎車 請說明理由.
　兩點分布的期望
兩點分布的期望:一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)= .
已知離散型隨機變量X服從兩點分布,滿足P(X=0)=,且P(X=0)A. B. C. D.
【方法總結】兩點分布的特點 (1)兩點分布只有兩個對應結果,且兩個結果是對立的; (2)由對立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.
已知離散型隨機變量X服從兩點分布,且P(X=0)=2P(X=1)+,求隨機變量Y=3X-1的期望.
【隨堂檢測】
1.已知Y=4X+7,E(Y)=15,則E(X)=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.67 B.11 C.2 D.1
2.設隨機變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,4,則E(X)的值為( ).
A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2
3.已知隨機變量X的可能取值為0,1,若P(X=0)=,則X的均值為 .
4.馬老師從課本上抄錄的一個隨機變量ξ的概率分布列如下表:
x 1 2 3
P(ξ=x) !
請小牛同學計算ξ的數學期望.盡管“!”處完全無法看清,且兩個“ ”處字跡模糊,但能斷定這兩個“ ”處的數值相同.據此,小牛給出了正確答案E(ξ)= .
參考答案
7.3　離散型隨機變量的數字特征
課時1　離散型隨機變量的均值
自主預習·悟新知
預學憶思
1.隨機變量的均值是一個常數,它不依賴于樣本的抽取;樣本的平均值是一個隨機變量,它是隨著樣本的不同而變化的.
2.隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近于總體的平均值.
3.設X為從這n個數中任取的一個數,則X所有可能的取值為x1,x2,…,xn,故X的分布列為P(X=)=(i=1,2,…,n),用表格表示如下:
X x1 x2 x3 … xn
P …
E(X)=x1·+x2·+x3·+…+xn·=(x1+x2+…+xn).
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.A　【解析】E(X)=1×+2×+3×=.
3.2　【解析】∵E(X)=-,E(Y)=,Y=aX+3,
∴E(Y)=aE(X)+3=,解得a=2.
4.【解析】(1)由題意知,X的所有可能取值為1,2,3,
P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=.
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
(2)E(X)=1×+2×+3×=1.5,即平均抽取1.5次可取到好電池.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:因為平均在每千克的混合糖果中,3種糖果的質量分別是千克,千克和千克,所以混合糖果的合理價格應該是18×+24×+36×=23(元/千克).它是3種糖果價格的一種加權平均,這里3種糖果的權數分別是,和.
問題2:權是秤錘,權數是起權衡輕重作用的數值.加權平均是指在計算若干個數量的平均數時,考慮到每個數量在總量中所具有的重要性不同,分別給予不同的權數.
問題3:根據古典概型計算概率的公式可知,在混合糖果中,任取一顆糖果,這顆糖果為第一、二、三種糖果的概率分別為,,,即取出的這顆糖果的價格為18元/千克,24元/千克,36元/千克的概率分別為,,.用X表示這顆糖果的價格,則它是一個離散型隨機變量,其分布列為
X 18 24 36
P
因此權數恰好是隨機變量X取每種價格的概率.
新知運用
例1　【解析】(1)依題意得P(A2)==,P(A2A5)==.
由條件概率公式可知,P(A5|A2)===.
(2)依題意,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6,
P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)==,
P(X=3)===,P(X=4)==,P(X=5)===,P(X=6)==,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
故數學期望E(X)=×0+×1+×2+×3+×4+×5+×6=2.
鞏固訓練　【解析】(1)7名同學中,會法語的人數為5,
從7人中選派3人,共有種選法,其中恰有2人會法語共有種選法,
∴在選派的3人中恰有2人會法語的概率P==.
(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3.
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=3)==.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
故X的數學期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
探究2　情境設置
問題1:由隨機變量分布列的性質,得+++m+=1,解得m=.
問題2:E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
問題3:E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
問題4:(法一)因為Y=2X-3,
所以Y的分布列為
Y -7 -5 -3 -1 1
P
所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-.
(法二)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×--3=-.
新知運用
例2　A　【解析】由題意可得0.64+1-2q+q2=1,解得q=0.4或q=1.6.
當q=1.6時,q2=2.56>1,1-2q=-2.2<0,不符合隨機變量的性質,舍去,
所以q=0.4.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
所以E(X)=0×0.64+1×0.16+2×0.2=0.56,
所以E(-2X+3)=-2E(X)+3=1.88.故選A.
鞏固訓練　B　【解析】由題意可得++a=1,解得a=,
所以隨機變量X的期望E(X)=-1×+0×+1×=-,
由Y=2X+1,得E(Y)=2E(X)+1=2×-+1=.
例3　【解析】(1)X的所有可能取值為6,2,1,-2,
P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25,
P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02.
故X的分布列為
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)由(1)可知,E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.
(3)設技術革新后的三等品率為x,則此時1件產品的平均利潤E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),
依題意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多為3%.
鞏固訓練　【解析】(1)設“甲品牌轎車首次出現故障發生在保修期內”為事件A,則P(A)==.
(2)依題意得,X1的分布列為
X1 1 2 3
P
X2的分布列為
X2 1.8 2.9
P
(3)該廠應生產甲品牌的轎車,理由如下:
由(2)得,E(X1)=1×+2×+3×=2.86.
E(X2)=1.8×+2.9×=2.79.
∵E(X1)>E(X2),∴該廠應生產甲品牌的轎車.
探究3
新知生成
p
新知運用
例4　C　【解析】因為隨機變量X服從兩點分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,
即P(X=1)+=1,解得P(X=1)=或,
又因為P(X=0)所以E(X)=.故選C.
鞏固訓練　【解析】因為隨機變量X服從兩點分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,
又P(X=0)=2P(X=1)+,所以P(X=0)=,P(X=1)=,
所以E(X)=0×+1×=,故E(Y)=E(3X-1)=3E(X)-1=-1=-.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】E(Y)=4E(X)+7=15,則E(X)=2.
2.A　【解析】E(X)=1×+2×+3×+4×=2.5.
3.　【解析】由題意可得,X服從兩點分布,P(X=1)=1-P(X=0)=1-=,
故E(X)=0×+1×=.
4.2　【解析】令“ ”為a,“!”為b,則2a+b=10課時2　離散型隨機變量的方差
【學習目標】 1.通過具體實例,理解離散型隨機變量的分布列及方差的概念.(數學抽象、數學運算) 2.能計算簡單離散型隨機變量的方差,并能解決一些實際問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”,但有時兩個隨機變量的均值相同,其取值卻存在較大的差異.如何來研究這種差異呢
2.方差與標準差刻畫了隨機變量的什么特征
3.隨機變量的方差與樣本的方差有何聯系與區別
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)離散型隨機變量的方差越大,隨機變量越穩定. ( )
(2)若a是常數,則D(a)=0. ( )
(3)離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離均值的平均程度. ( )
(4)D(X)=E((X-E(X))2). ( )
2.設隨機變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知隨機變量X的方差D(X)=,則X的標準差為 .
4.已知X的分布列為
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
求D(X).
【合作探究】
　離散型隨機變量的方差和標準差
要從兩名同學中挑出一名,代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績紀錄,第一名同學擊中目標靶的環數X1的分布列為
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
　　第二名同學擊中目標靶的環數X2的分布列為
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
問題1:E(X1),E(X2)各為何值
問題2:能否根據X1和X2的均值來決定派哪名同學參賽
問題3:除平均中靶環數外,還有其他刻畫兩名同學各自射擊特點的指標嗎
問題4:如何定量刻畫隨機變量的穩定性
方差與標準差
若離散型隨機變量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　則(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值E(X)的偏離程度,而D(X)=E((X-E(X))2)=(xi-E(X))2pi為這些偏離程度的加權平均,刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.我們稱D(X)為隨機變量X的方差,其算術平方根為隨機變量X的標準差,記作σ(X).
隨機變量的方差D(X)和標準差σ(X)都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度,反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小,隨機變量的取值越集中;方差或標準差越大,隨機變量的取值越分散.
某小組共10人,利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.
(1)設事件A為“選出的2人參加義工活動次數之和為4”,求事件A發生的概率;
(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數學期望與方差.
【方法總結】求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟:(1)理解X的意義,寫出X的全部取值;(2)求X取每個值時的概率;(3)寫出X的分布列;(4)計算E(X),D(X).
袋中有形狀、大小完全相同的3個球,編號分別為1,2,3.有放回地從袋中取兩次,每次取1個球,以X表示取出的2個球中的最大號碼.
(1)寫出X的分布列;
(2)求X的均值與方差.
　離散型隨機變量的方差的性質
問題:離散型隨機變量X加上一個常數,方差會有怎樣的變化 離散型隨機變量X乘一個常數,方差又有怎樣的變化
方差的性質:D(X)= ;
D(aX+b)= .
已知X的分布列如下:
X -1 0 1
P a
(1)求X2的分布列;
(2)求X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
【方法總結】求隨機變量Y=aX+b方差的方法:一種方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一種方法是利用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
已知隨機變量ξ的分布列如下表:
ξ -1 0 1
P
(1)求E(ξ),D(ξ),;
(2)設η=2ξ+3,求E(η),D(η).
　離散型隨機變量的均值與方差的綜合應用
A,B兩臺機床同時加工零件,每生產一批數量較大的產品時,出現次品的概率如下表:
A機床
次品數X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B機床
次品數X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
問題1:如何求E(X1),E(X2)的值
問題2:由E(X1),E(X2)的值能比較兩臺機床的加工質量嗎 為什么
問題3:利用什么指標可以比較A,B兩臺機床的加工質量
利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟:
(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.
(2)在均值相等的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰發揮的水平相對穩定.
(3)下結論.依據均值與方差的幾何意義作出結論.
為選拔奧運會射擊選手,對甲、乙兩名射手進行選拔測試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量X,Y,甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環數均大于6環,且甲射中10環、9環、8環、7環的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10環、9環、8環的概率分別為0.3,0.3,0.2.
(1)求X,Y的分布列;
(2)求X,Y的數學期望與方差,以此比較甲、乙的射擊水平并從中選拔一人參加奧運會.
【方法總結】均值體現了隨機變量取值的平均水平,在比較兩個對象時,只比較均值往往是不恰當的,還需比較它們取值的離散程度,即比較方差,才能得出更準確的判斷.
某投資公司計劃在2025年年初將100萬元用于投資,現有兩個項目供選擇.
項目一:新能源汽車.據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發生的概率分別為,.
項目二:通信設備.據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發生的概率分別為,,.
針對以上兩個投資項目,請你為該投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.
【隨堂檢測】
1.已知隨機變量ξ滿足P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.7,則E(ξ)和D(ξ)的值分別為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.6,0.7 B.1.7,0.09
C.0.3,0.7 D.1.7,0.21
2.已知隨機變量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a b
若E(X)=,則D(X)的值是( ).
A. B.
C. D.
3.已知隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=1)=,若Y=2X+3,則D(Y)= .
4.(改編)甲、乙兩廠生產的產品的質量誤差分別為X,Y(單位:秒),其分布列為
甲廠生產的產品質量誤差的分布列
X -1 0 1
P a 0.8 0.1
乙廠生產的產品質量誤差的分布列
Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 b 0.1
(1)求a,b的值.
(2)甲、乙兩廠生產的產品哪個質量更好
參考答案
課時2　離散型隨機變量的方差
自主預習·悟新知
預學憶思
1.利用方差可以研究這種差異.
2.隨機變量X的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩定與波動、集中與離散的程度,D(X)(或)越小,穩定性越好,波動越小,取值越集中.顯然D(X)≥0(≥0).
3.樣本的方差可能隨著樣本的不同而變化,因此它是一個變量,而隨機變量的方差是通過大量試驗得出的,刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,因此它是一個常數(量).對于簡單隨機樣本,隨著樣本容量的增加,樣本方差越來越接近于總體的方差.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.C　【解析】D(2X+1)=22D(X)=4×1=4.
3.　【解析】X的標準差==.
4.【解析】E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:E(X1)=8,E(X2)=8.
問題2:不能.
問題3:有,可以用兩名同學射擊成績的穩定性來刻畫兩名同學的射擊水平.
問題4:利用方差來刻畫隨機變量的穩定性.
新知運用
例1　【解析】(1)由已知得P(A)==.
(2)X的所有可能取值為0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=1,
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
鞏固訓練　【解析】(1)由題意可知X的所有可能取值為1,2,3,且有放回地從袋中取兩次,每次取1個球的所有情況為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).
故P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=,
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
(2)由(1)可得,E(X)=1×+2×+3×=,
D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=.
探究2　情境設置
問題:離散型隨機變量X加上一個常數b,僅僅使X的值產生一個平移,不改變X與其均值的離散程度,方差保持不變.離散型隨機變量X乘一個常數a,其方差變為原方差的a2倍.
新知生成
E(X2)-(E(X))2　a2D(X)
新知運用
例2　【解析】(1)由分布列的性質,知++a=1,解得a=,所以X2的分布列為
X2 0 1
P
(2)(法一:直接法)由(1)知a=,
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-,
故D(X)=-1+2×+0+2×+1+2×=.
(法二:公式法)由(1)知a=,所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-,又E(X2)=0×+1×=,所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=--2=.
(3)因為Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=16D(X)=11.
鞏固訓練　【解析】(1)E(ξ)=(-1)×+0×+1×=-,
D(ξ)=-1+2×+0+2×+1+2×=,
所以=.
(2)因為η=2ξ+3,所以E(η)=2E(ξ)+3=2×-+3=,D(η)=22D(ξ)=4×=.
探究3　情境設置
問題1:E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44.
E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
問題2:不能.因為E(X1)=E(X2),所以根據均值不能比較兩臺機床的加工質量.
問題3:可利用方差,方差越小,說明機床加工的產品質量越穩定.
新知運用
例3　【解析】(1)依題意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
∵乙射中10,9,8環的概率分別為0.3,0.3,0.2,
∴乙射中7環的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,
∴X的分布列為
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y的分布列為
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(環),
E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(環),
D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
E(X)>E(Y),說明甲平均射中的環數比乙高,
D(X)所以甲比乙的技術好,故應選拔甲射手參加奧運會.
鞏固訓練　【解析】選擇項目一更好.理由如下:
設投資項目一、二獲利分別為X,Y萬元,
則X的所有可能取值有30,-15,且P(X=30)=,P(X=-15)=,
Y的所有可能取值有50,-30,0,且P(Y=50)=,P(Y=-30)=,P(Y=0)=,
所以E(X)=30×+(-15)×=20,E(Y)=50×+(-30)×+0×=20,
所以E(X)=E(Y).
D(X)=(30-20)2×+(-15-20)2×=350,
D(Y)=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1 400,則D(X)這說明雖然項目一、項目二獲得利潤的期望相等,但項目一更穩妥,因此,選擇項目一較好.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】E(ξ)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(ξ)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.
2.C　【解析】由分布列的性質可知a+b+=1,∴a+b=.由E(X)=-a+=,解得a=,b=,∴D(X)=-1-2×+0-2×+1-2×=.
3.　【解析】根據兩點分布的特點得P(X=0)=,
則E(X)=1×+0×=,D(X)=×+×=.
根據方差的性質得D(Y)=22×=.
4.【解析】(1)由分布列的性質知,a+0.8+0.1=1,解得a=0.1,由0.1+0.2+0.4+b+0.1=1,解得b=0.2.
(2)由表知E(X)=(-1)×0.1+0×0.8+1×0.1=0,E(Y)=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0,
所以E(X)=E(Y),即甲、乙兩廠生產的產品質量誤差的均值相同.
D(X)=(-1)2×0.1+02×0.8+12×0.1=0.2,D(Y)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,
所以D(X)綜上,甲、乙兩廠生產的產品質量誤差的均值相同,但甲的方差較小,所以甲廠生產的產品質量更好.

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