資源簡介

7.4　二項分布與超幾何分布
課時2　超幾何分布
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.通過具體實例,了解超幾何分布及其均值.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算) 2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
1.超幾何分布模型是不是一種有放回抽樣
2.超幾何分布模型在形式上有怎樣的特點
3.你能寫出超幾何分布的概率表示嗎
4.超幾何分布的期望公式是什么
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在產(chǎn)品檢驗中,超幾何分布描述的是有放回抽樣. ( )
(2)從4名男演員和3名女演員中隨機選出4名演員,其中所選女演員的人數(shù)X服從超幾何分布. ( )
(3)在超幾何分布中,只要知道N,M和n,就可以根據(jù)公式,求出X取不同值m時的概率P(X=m). ( )
2.從裝有3個白球、4個紅球的箱子中,隨機取出3個球,恰好是2個白球、1個紅球的概率是( ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.15個村莊中有7個村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個村莊,用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率等于的是( ).
A.P(X=2) B.P(X≤2)
C.P(X=4) D.P(X≤4)
4.老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學(xué)生背誦,規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇,試求:
(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量X的分布列;
(2)他能及格的概率.
【合作探究】
　超幾何分布
已知一箱節(jié)能燈共100個,其中有8個次品.
問題1:有放回地隨機抽取4個,設(shè)抽取的4個節(jié)能燈中次品數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.
問題2:如果采用不放回抽樣,那么抽取的4個節(jié)能燈中次品數(shù)X是否也服從二項分布
問題3:采用不放回抽樣,如果不服從二項分布,那么X的分布列是什么
超幾何分布
一般地,設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示取出的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中M≤N,n≤N,n,N,M∈N*,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
若隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從超幾何分布.
一、超幾何分布的判斷
(多選題)一箱兒童玩具中有3件正品,2件次品,現(xiàn)從中不放回地任取2件進行檢測.記隨機變量X為檢測到的正品的件數(shù),則( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.X服從二項分布
B.P(X≥1)=
C.E(X)=
D.X最有可能的取值為1
【方法總結(jié)】判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應(yīng)看三點: (1)總體是否可分為兩類明確的對象; (2)是否為不放回抽樣; (3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).
(改編)(多選題)一個袋子中裝有6個同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球(取后不放回),則下列變量服從超幾何分布的是( ).
A.X表示取出的最大號碼
B.X表示取出的最小號碼
C.X表示取出的白球個數(shù)
D.取出1個黑球記2分,取出1個白球記1分,X表示取出的4個球的總得分減去4的差值
二、超幾何分布概率求解
某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的學(xué)生中隨機抽取3名男生和3名女生組成代表隊.
(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率;
(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4名參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列.
【方法總結(jié)】求超幾何分布的分布列的步驟
不透明的袋子中裝有6個紅球,3個黃球,這些球除顏色外其他完全相同.從袋子中隨機取出4個小球.
(1)求取出的紅球個數(shù)大于黃球個數(shù)的概率;
(2)記取出的紅球個數(shù)為X,求X的分布列.
　超幾何分布的期望
根據(jù)《關(guān)于全面推行中國特色企業(yè)新型學(xué)徒制 加強技能人才培養(yǎng)的指導(dǎo)意見》的通知,我區(qū)明確面向各類企業(yè)全面推行企業(yè)新型學(xué)徒制培訓(xùn),深化產(chǎn)教融合,校企合作,學(xué)徒培養(yǎng)以符合企業(yè)崗位需要的中、高級技術(shù)工人.2024年度某企業(yè)共需要學(xué)徒制培訓(xùn)200人,培訓(xùn)結(jié)束后進行考核,現(xiàn)對考核取得相應(yīng)崗位證書進行統(tǒng)計,統(tǒng)計情況如下表:
崗位證書 初級工 中級工 高級工 技師 高級技師
人數(shù) 20 60 60 40 20
問題1:現(xiàn)從這200人中采用分層隨機抽樣的方式選出10人組成學(xué)習(xí)技能經(jīng)驗交流團,則交流團中取得技師類(包括技師和高級技師)崗位證書的人數(shù)是多少
問題2:再從問題1選出的10人交流團中任意抽出3人作為代表發(fā)言,記這3人中技師類的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
問題3:問題2中計算X的期望比較復(fù)雜,我們知道服從二項分布的期望可以用簡潔的公式求解,服從超幾何分布是否有相關(guān)的公式呢
超幾何分布的期望
E(X)==np(p為N件產(chǎn)品的次品率).
某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的芯片,第一批占60%,次品率為6%;第二批占40%,次品率為5%.為確保質(zhì)量,現(xiàn)在將兩批芯片混合,工作人員從中抽樣檢查.
(1)從混合的芯片中任取1片,求這個芯片是合格品的概率;
(2)若在兩批產(chǎn)品中采取分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本容量為15的樣本,再從樣本中抽取3片芯片,求這3片芯片含第二批芯片數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【方法總結(jié)】超幾何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k值時的概率P(X=k),從而求出X的分布列、期望,利用公式時注意期望公式中各量的意義.
某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院的概率;
(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
　二項分布與超幾何分布
二項分布與超幾何分布的關(guān)系
在n次試驗中,某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項分布.
區(qū)別 ①當(dāng)這n次試驗是n重伯努利試驗時(如有放回摸球),X服從二項分布; ②當(dāng)這n次試驗不是n重伯努利試驗時(如不放回摸球),X服從超幾何分布
聯(lián)系 在不放回的n次試驗中,如果總體數(shù)量N很大,而試驗次數(shù)n很小,那么此時超幾何分布可近似為二項分布
已知條件①采用不放回抽取;②采用有放回抽取.請在上述兩個條件中任選一個,補充在下面問題中橫線上并作答,選兩個條件作答的以條件①評分.
問題:在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球,這些球除顏色外完全相同,若 ,從這7個球中隨機抽取3個球,記取出的3個球中紅球的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【方法總結(jié)】超幾何分布需要知道總體容量,二項分布不需要知道總體容量,但需要知道“成功率”.超幾何分布的概率計算是古典概型問題,二項分布的概率計算是相互獨立事件的概率問題.
某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個,利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下:
等級 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果
個數(shù) 10 30 40 20
(1)若將頻率視為概率,從這100個水果中有放回地隨機抽取4個,求恰好有2個水果是禮品果的概率.
(2)用樣本估計總體,果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.
方案1:不分類賣出,售價為20元/kg.
方案2:分類賣出,分類后的水果售價如下.
等級 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果
售價/(元/kg) 16 18 22 24
從采購商的角度考慮,應(yīng)該采用哪種方案
(3)用分層隨機抽樣的方法從這100個水果中抽取10個,再從抽取的10個水果中隨機抽取3個,X表示抽取的是精品果的數(shù)量,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【隨堂檢測】
1.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機變量ξ表示所選的3人中女生的人數(shù),則P(ξ≤1)=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.(改編)(多選題)中秋節(jié)又稱祭月節(jié)、仲秋節(jié)、拜月節(jié)、團圓節(jié)等,是中國民間的傳統(tǒng)節(jié)日.中秋節(jié)自古便有祭月、賞月、吃月餅等民俗活動,流傳至今,經(jīng)久不息.一個食盒中裝有大小相同的五仁月餅6個,豆沙月餅4個,小明同學(xué)從中一次性任取4個月餅,設(shè)取出的4個月餅中豆沙月餅的個數(shù)為X,則( ).
A.P(X=2)=
B.隨機變量X服從二項分布
C.隨機變量X服從超幾何分布
D.P(13.某10人組成興趣小組,其中有5名團員,從這10人中任選4人參加某項活動,用X表示所選的4人中團員的人數(shù),則P(X=3)= .
4.一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球,其中有3個紅球和(n-3)個白球.已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為.若不放回地從口袋中隨機取出3個球,求取到白球的個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X).
參考答案
課時2　超幾何分布
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.不是,超幾何分布模型是一種不放回抽樣.
2.超幾何分布模型在形式上常由較明顯的兩部分組成,如“男生、女生”,“正品、次品”等.
3.假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M(M≤N)件次品,從N件產(chǎn)品中隨機抽取n(n≤N)件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則P(X=k)=,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N.
4.超幾何分布的期望E(X)==np(p為N件產(chǎn)品的次品率).
自學(xué)檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.A　【解析】由題意得,所求概率為=.
3.C　【解析】15個村莊中,7個村莊交通不方便,8個村莊交通方便,表示選出的10個村莊中恰有4個交通不方便,6個交通方便的村莊,故P(X=4)=.
4.【解析】(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)他能及格的概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1:如果采用有放回抽樣,那么每次抽到次品的概率均為0.08,且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,此時X服從二項分布,即X~B(4,0.08).X的分布列為P(X=k)=×0.08k×0.924-k,k=0,1,2,3,4.
問題2:采用不放回抽樣,每次抽取不是同一個試驗,而且各次抽取的結(jié)果也不獨立,不符合n重伯努利試驗的特征,因此X不服從二項分布.
問題3:可以根據(jù)古典概型求X的分布列.由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4.從100個產(chǎn)品中任取4個,樣本空間包含個樣本點,且每個樣本點都是等可能發(fā)生的.其中4個產(chǎn)品中恰有k個次品的結(jié)果數(shù)為.由古典概型的知識得,X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.計算的具體結(jié)果(精確到0.000 01)如表所示.
X 0 1 2 3 4
P 0.712 57 0.256 21 0.029 89 0.001 31 0.000 02
新知運用
例1　BCD　【解析】由題意可知,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,則X的分布列為
X 0 1 2
P
X服從超幾何分布,而不是二項分布,A錯誤;P(X≥1)=1-P(X=0)=,B正確;E(X)=0×+1×+2×=,C正確;因為P(X=1)最大,所以X最有可能的取值為1,D正確.故選BCD.
鞏固訓(xùn)練　CD　【解析】根據(jù)超幾何分布的定義可知,選項A,B中的變量不符合超幾何分布的定義,無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率,故A,B錯誤;選項C中的變量符合超幾何分布的定義,將白球視作甲類物品,黑球視作乙類物品,則可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率,故C正確;選項D中的變量可以對應(yīng)取出的黑球個數(shù),符合超幾何分布的定義,可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率,故D正確.故選CD.
例2　【解析】(1)由題意知,參加集訓(xùn)的男生、女生各有6名.
代表隊中的學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為=.
因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1-=.
(2)根據(jù)題意知,X的所有可能取值為1,2,3.
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)袋子中裝有6個紅球,3個黃球,現(xiàn)從中任意取出4個小球,基本事件總數(shù)N==126,
其中紅球個數(shù)大于黃球個數(shù)的基本事件個數(shù)n=+=75,
故紅球個數(shù)大于黃球個數(shù)的概率P===.
(2)若變量X為取出的4個小球中紅球的個數(shù),則X的所有可能取值為1,2,3,4,
P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)===.
故X的分布列為
X 1 2 3 4
P
探究2　情境設(shè)置
問題1:從200人中采用分層隨機抽樣的方式選出10人,則抽樣比是=,
故一共應(yīng)該抽取的技師和高級技師的人數(shù)是(40+20)×=3.
問題2:根據(jù)問題1中所求可知,10人中有3人是技師類,7人是非技師類,
則從10人中抽取3人,技師類的人數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,
則P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)==,
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
問題3:有,E(X)==np=3×=.
新知運用
例3　【解析】(1)設(shè)事件B為“任取1片芯片是合格品”,事件A1為“芯片取自第一批”,事件A2為“芯片取自第二批”,則Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(A1)+P(A2)P(A2)=0.6×(1-0.06)+0.4×(1-0.05)=0.944.
(2)由題意可知,用分層隨機抽樣的方法抽取的第一批芯片數(shù)是15×60%=9,第二批芯片數(shù)是15×40%=6.
X可能的取值為0,1,2,3,
則P(X=0)===,
P(X=1)==,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=3×=.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)==,所以選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院的概率為.
(2)依據(jù)條件,隨機變量X服從超幾何分布,其中N=10,M=4,n=3,且隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=k)=(k=0,1,2,3),
所以隨機變量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
所以E(X)==.
探究3
新知運用
例4　【解析】若選①,由題意知,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
若選②,由題意知,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且X~B3,,
∴P(X=0)=1-3=,P(X=1)=××1-2=,P(X=2)=×2×1-=,P(X=3)=3=,
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)設(shè)“從100個水果中隨機抽取1個,抽到的是禮品果”為事件A,則P(A)==.
現(xiàn)有放回地隨機抽取4個,設(shè)抽到禮品果的個數(shù)為Z,則Z~B4,,
∴恰好抽到2個禮品果的概率P(Z=2)=2×2=.
(2)設(shè)方案2中1 kg水果的售價為Y元,
則E(Y)=16×+18×+22×+24×==20.6.
∵E(Y)>20,∴從采購商的角度考慮,應(yīng)該采用方案1.
(3)用分層隨機抽樣的方法從100個水果中抽取10個,其中精品果4個,非精品果6個.
易知X服從超幾何分布,X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=.
2.ACD　【解析】由題意知,隨機變量X服從超幾何分布,B錯誤,C正確;因為P(X=2)==,P(X=3)==,所以P(13.　【解析】P(X=3)==.
4.【解析】∵從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為,
∴=,得n=5,∴5個球中有2個白球.
∵是不放回抽樣,易知X服從超幾何分布,即從5個大小相同的球(其中3個紅球和2個白球)中,隨機抽取3個球,
∴E(X)==.7.4　二項分布與超幾何分布
課時1　二項分布
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.通過具體實例了解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征.(數(shù)學(xué)抽象) 2.能用二項分布解決簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
1.我們前面學(xué)過兩點分布,你能寫出它的分布列嗎 你還記得二項展開式的通項公式嗎
2.n重伯努利試驗具有哪些共同特征
3.二項分布與兩點分布有什么關(guān)系
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)n重伯努利試驗每次試驗之間是相互獨立的. ( )
(2)n重伯努利試驗每次試驗中的每個基本事件只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果. ( )
(3)n重伯努利試驗各次試驗發(fā)生的事件是互斥的. ( )
(4)在n重伯努利試驗中,各次試驗中某事件發(fā)生的概率可以不同. ( )
2.連續(xù)任意拋擲3枚質(zhì)地均勻且相同的硬幣,恰有2枚正面朝上的概率為( ).
A. B. C. D.
3.若X~B(24,0.6),則P(X=7)=( ).
A.×0.67×0.417 B.×0.617×0.47 C.0.67×0.417 D.0.617×0.47
4.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過三次射擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為 .
【合作探究】
　n重伯努利試驗
“三個臭皮匠,頂個諸葛亮”,這是我們常說的口頭禪,主要是說集體智慧的強大.假設(shè)李某智商較高,他獨自一人解決項目M的概率P1=0.3;同時,有n個水平相同的人組成智囊團也在研究項目M,他們各自獨立解決項目M的概率都是0.1.
問題1:現(xiàn)在李某單獨研究項目M,且智囊團由2個人組成,也同時研究項目M,試比較李某和智囊團解決項目M的概率.
問題2:現(xiàn)在李某單獨研究項目M,且智囊團由5個人組成,也同時研究項目M,試比較李某和智囊團解決項目M的概率.
問題3:智囊團至少有幾人才能使他們解決項目M的概率大于李某獨自解決項目M的概率
問題4:上述試驗有什么特征
1.n重伯努利試驗的概念
一般地,在相同條件下重復(fù)做n次伯努利試驗,且每次試驗的結(jié)果都不受其他試驗結(jié)果的影響,則稱這樣的n次獨立重復(fù)試驗為n重伯努利試驗.
2.n重伯努利試驗中,試驗成功的概率分布
一般地,在n重伯努利試驗中,用X表示這n次試驗中成功的次數(shù),且每次成功的概率均為p(0n重伯努利試驗具有如下共同特征:
(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;
(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.
某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,計算:(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位)
(1)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率;
(2)5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率;
(3)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率.
【方法總結(jié)】在運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時,首先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗,判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的,并且每次試驗的結(jié)果只有兩種(要么發(fā)生,要么不發(fā)生),且在任何一次試驗中某一事件發(fā)生的概率都相等,然后用相關(guān)公式求概率.
(多選題)下列事件不是n重伯努利試驗的是( ).
A.運動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B.甲、乙兩名運動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C.甲、乙兩名運動員各射擊一次,“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”
D.在相同的條件下,甲射擊10次
甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是,.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響,每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.
(1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;
(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率.
　二項分布
問題1:如果王明做5道單選題,每道題都隨機選1個答案,那么他做對的題數(shù)服從二項分布嗎 為什么
問題2:如果王明做5道單選題,其中2道題會做,其余3道題均隨機選1個答案,那么他做對的題數(shù)服從二項分布嗎 如何判斷一隨機變量是否服從二項分布
1.二項分布
若隨機變量X的分布列為P(X=k)= (k=0,1,2,…,n),則稱X服從參數(shù)n,p的二項分布,簡記為 .顯然,兩點分布是二項分布在參數(shù)n=1時的特殊情況.
2.二項分布的期望、方差
一般地,若隨機變量X~B(n,p),則E(X)= ,D(X)= .
特殊地,若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,則E(X)= ,D(X)= .
一、n重伯努利試驗的概率計算
如圖所示,已知一個質(zhì)點在外力的作用下,從0出發(fā),每次向左移動的概率為,向右移動的概率為.若該質(zhì)點每次移動一個單位長度,設(shè)經(jīng)過5次移動后,該質(zhì)點位于X的位置,則P(X>0)= .
【方法總結(jié)】n重伯努利試驗概率求法的三個步驟 (1)判斷:依據(jù)n重伯努利試驗的特征,判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗. (2)分拆:判斷所求事件是否需要分拆. (3)計算:就每個事件依據(jù)n重伯努利試驗的概率公式求解,最后利用互斥事件的概率加法公式計算.
某人壽保險公司規(guī)定,若投保人離世時不足65歲,則保險公司要賠償100萬元;若投保人離世時超過65歲,則保險公司不賠償,但要給投保人一次性支付5萬元.已知購買此種保險的每個投保人離世時超過65歲的概率都是0.9,隨機抽取3個投保人,設(shè)其中離世時超過65歲的人數(shù)為X,保險公司要賠償給這3個投保人的總金額為Y萬元,則P(Y<200)=( ).
A.0.972 B.0.729 C.0.486 D.0.243
二、二項分布的期望、方差問題
(1)已知2x+n的展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為22,求n的值并求展開式中的常數(shù)項.
(2)如圖,這是一塊高爾頓板的示意圖,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入,小球下落的過程中,每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子從左到右分別編號為0,1,2,…,6,用X表示小球最后落入格子的號碼,求X的分布列、均值與方差.
【方法總結(jié)】解決二項分布相關(guān)問題的步驟 (1)明確伯努利試驗及事件A的意義,確定事件A發(fā)生的概率P; (2)確定重復(fù)試驗的次數(shù)n,并判斷各次試驗的獨立性; (3)設(shè)X為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,p); (4)利用二項分布的期望、方差公式計算.
甲、乙兩人進行乒乓球比賽,比賽規(guī)則如下:每一局比賽中,勝者得1分,負(fù)者得0分,且比賽中沒有平局.根據(jù)以往雙方交手戰(zhàn)績統(tǒng)計得知,每局比賽甲獲勝的概率為,每局比賽的結(jié)果互不影響.
(1)經(jīng)過3局比賽,記甲的得分為X,求X的分布列和期望;
(2)計算3局比賽后,甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.
【隨堂檢測】
1.已知X~B6,,則P(X=2)=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.設(shè)隨機變量X服從二項分布,即X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,則p=( ).
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.某學(xué)生通過某項英語聽力測試的概率是,每次通過與否互不影響,他連續(xù)測試n次,要保證他至少有一次通過的概率大于0.9,那么n的最小值為( ).
A.6 B.5
C.4 D.3
4.一次數(shù)學(xué)測驗由25個選擇題構(gòu)成,每個選擇題有4個選項,其中有且僅有一個選項是正確的,每個題目選擇正確得4分,不作出選擇或選錯不得分,滿分100分.某學(xué)生選對任一題的概率均為0.6,則此學(xué)生在這一次測驗中的成績的均值為 ,方差為 .
參考答案
7.4　二項分布與超幾何分布
課時1　二項分布
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.(1)兩點分布的分布列如下:
X 0 1
P 1-p p
(2)二項展開式的通項公式為Tk+1=an-kbk.
2.(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.
3.(1)兩點分布的試驗次數(shù)只有一次,試驗結(jié)果只有兩種:事件A發(fā)生(X=1)或不發(fā)生(X=0).二項分布是指在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布列,試驗次數(shù)為n次(每次試驗的結(jié)果也只有兩種:事件A發(fā)生或不發(fā)生),試驗結(jié)果有(n+1)種:事件A恰好發(fā)生0次,1次,2次,…,n次.
(2)二項分布是兩點分布的一般形式,兩點分布是一種特殊的二項分布,即n=1的二項分布.
自學(xué)檢測
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】拋擲1枚硬幣,正面朝上的概率為,則拋擲3枚硬幣,恰有2枚正面朝上的概率P=×2×=.
3.A　【解析】∵X~B(24,0.6),∴P(X=7)=×0.67×0.417.故選A.
4.0.648　【解析】設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,則X~B(3,0.6),
故P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.62(1-0.6)+0.63=0.648.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1:李某獨自一人解決項目M的概率P1=0.3,智囊團研究項目M,他們各自獨立解決項目M的概率都是0.1,
設(shè)這個2人智囊團解決項目M的概率為P2,則P2=1-0.92=1-0.81=0.19,所以P2問題2:李某獨自一人解決項目M的概率P1=0.3,智囊團研究項目M,他們各自獨立解決項目M的概率都是0.1,
設(shè)這個5人智囊團解決項目M的概率為P2,則P2=1-0.95=1-0.95=1-0.590 49=0.409 51,所以P2>P1,故智囊團解決項目M的概率大于李某解決項目M的概率.
問題3:李某獨自一人解決項目M的概率P1=0.3,
設(shè)智囊團解決項目M的概率為P3,智囊團有n人,
則P3=1-0.9n,因為P3>P1,所以1-0.9n>0.3,即0.9n<0.7,又n為整數(shù),所以n≥4,即至少有4人.
問題4:在相同條件下進行,且每次試驗的結(jié)果都不受其他試驗結(jié)果的影響.
新知生成
2.pk(1-p)n-k
新知運用
例1　【解析】(1)記“預(yù)報1次準(zhǔn)確”為事件A,則P(A)=0.8,5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗,
恰有2次準(zhǔn)確的概率P=×0.82×0.23=0.051 2≈0.05,因此5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.
(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”,故所求概率P1=1-[×0.25+×0.8×0.24]=1-0.006 72=0.993 28≈0.99,
即5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率約為0.99.
(3)由題意知,第1,2,4,5次預(yù)報中恰有1次預(yù)報準(zhǔn)確,
所以所求概率為×0.8×0.23×0.8=0.020 48≈0.02,
即5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率約為0.02.
鞏固訓(xùn)練1　ABC　【解析】A,C是互斥事件;B是相互獨立事件;D是n重伯努利試驗.
鞏固訓(xùn)練2　【解析】(1)記“甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1,由題意知,射擊4次,相當(dāng)于做4次獨立重復(fù)試驗.
故P(A1)=1-P()=1-4=,
所以甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為.
(2)記“甲射擊4次,恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2,“乙射擊4次,恰有3次擊中目標(biāo)”為事件B2,
則P(A2)=×2×1-4-2=,
P(B2)=×3×1-4-3=.
因為甲、乙射擊相互獨立,所以P(A2B2)=P(A2)·P(B2)=×=,
所以兩人各射擊4次,甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為.
探究2　情境設(shè)置
問題1:服從二項分布.因為每道題都是隨機選1個答案,結(jié)果只有2個(對與錯),并且每道題做對的概率均相等,所以做5道題可以看成1道題重復(fù)做了5次,做對的題數(shù)就是5次試驗中“做對”這一事件發(fā)生的次數(shù),故他做對的題數(shù)服從二項分布.
問題2:不服從二項分布.因為會做的2道題做對的概率與隨機選取1個答案做對的概率不同,不符合二項分布的特點.
判斷一個隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵是看它是否是n次獨立重復(fù)試驗,每次事件發(fā)生與不發(fā)生的概率是否相同,隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù),滿足這三點的隨機變量才服從二項分布,否則就不服從二項分布.
新知生成
1.pk(1-p)n-k　X~B(n,p)
2.np　np(1-p)　p　p(1-p)
新知運用
例2　　【解析】由題意,設(shè)該質(zhì)點向右移動的次數(shù)為Y,則Y~B5,,Y=0,1,2,3,4,5.
因為X=Y-(5-Y)=2Y-5,
所以X的可能取值為1,3,5.
所以P(X>0)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=3×2+4×+5=.
鞏固訓(xùn)練　A　【解析】依題意知X~B(3,0.9),因為3個投保人中,離世時超過65歲的人數(shù)為X,所以離世時不足65歲的人數(shù)為3-X,因此Y=100(3-X)+5X,即Y=300-95X(X=0,1,2,3),
所以P(Y<200)=P(X=2)+P(X=3)=×0.92×(1-0.9)+×0.93=0.972.
例3　【解析】(1)依題意,有++=22,即n2+n-42=0,
解得n=6或n=-7(舍去).
由通項公式可得Tk+1=(2x)6-kk=26-k(k=0,1,2,3,4,5,6),
令6-k=0,解得k=4,
∴展開式的常數(shù)項為T5=×22=60.
(2)依題意有X~B6,,
∴P(X=k)=k6-k=6(k=0,1,2,3,4,5,6),
∴X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
∴E(X)=np=6×=3,D(X)=np(1-p)=6××=.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)由題意得,X~B3,,X的所有可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=1-3=,
P(X=1)=××1-2=,
P(X=2)=×2×1-=,
P(X=3)=3=,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
因為X~B3,,所以E(X)=np=3×=2.
(2)3局比賽后,甲的累計得分高于乙的累計得分有兩種情況:甲獲勝2局,甲獲勝3局.
故所求概率P=P(X=2)+P(X=3)=+=.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】P(X=2)=×2×4=.
2.B　【解析】由題意得,E(X)=1.6=np,?、?br/>D(X)=1.28=np(1-p),?、?br/>①與②相除可得1-p==0.8,∴p=0.2.
3.C　【解析】由1-1-n>0.9,得n<0.1,∴n≥4,即n的最小值為4.
4.60　96　【解析】設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗中選對答案的題目的個數(shù)為X,所得的成績?yōu)閅,則Y=4X.
由題意知X~B(25,0.6),
所以E(X)=25×0.6=15,D(X)=25×0.6×0.4=6,
E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=42×D(X)=16×6=96,
所以該學(xué)生在這一次測試中的成績的均值與方差分別是60與96.

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