資源簡介

7.5　正態分布
【學習目標】 1.利用實際問題的頻率分布直方圖,了解正態曲線的特征和正態曲線所表示的意義.(數學抽象) 2.能借助正態曲線理解正態曲線的性質及意義.(數學抽象、直觀想象) 3.會根據正態曲線的性質求隨機變量在某一區間的概率.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
1.正態曲線的函數表達式是什么
2.X服從正態分布如何表示
3.什么是3σ原則
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正態密度函數中參數μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差. ( )
(2)正態曲線是單峰的,其與x軸圍成的圖形的面積是隨參數μ,σ的變化而變化的. ( )
(3)正態曲線可以關于y軸對稱. ( )
2.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態分布N(0,32),從中隨機取一件零件,其長度誤差落在區間(3,6)內的概率為( ).(附:若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈95.45%)　　　　　　　　　　　　　　　
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
3.已知正態分布總體落在區間,+∞內的概率為,那么相應的正態曲線f(x)在x= 時達到最高點.
4.已知隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.841 3,求P(-1≤ξ≤0).
【合作探究】
　正態曲線
設X表示某產品的壽命(單位:h).人們對該產品有如下的了解:壽命小于500 h的概率為0.71,壽命在500 h~800 h的概率為0.22,壽命在800 h~1 000 h的概率為0.07.由此我們可以畫出下圖.
問題1:這個圖形能告訴我們產品壽命在200 h~400 h的概率是多少嗎
問題2:若將組距縮小,如下圖所示,則可以了解到更多信息.若將組距無限細分,會是什么形狀
問題3:正態分布描述的隨機變量X是離散型的嗎
問題4:你能寫出正態密度函數的表達式嗎 能從函數的角度分析它的圖象特征嗎
1.正態曲線
(1)定義:由誤差引起的連續型隨機變量其分布密度函數圖象如圖所示,對應的分布密度函數解析式為f(x)=·,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數,我們稱f(x)為正態密度函數,稱它的圖象為正態密度曲線,簡稱正態曲線.
(2)誤差模型
正態分布是很常見、很重要的連續型隨機變量的分布,是刻畫誤差分布的重要模型,因此也稱為誤差模型.
2.正態分布
(1)定義:若隨機變量X的概率分布函數為f(x),則稱隨機變量X服從正態分布,記為X~N(μ,σ2).特別地,當μ=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態分布.
(2)期望與方差:若X~N(μ,σ2),則E(X)= ,D(X)= .
3.正態曲線的性質
(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交.
(2)曲線是單峰的,關于直線 對稱.
(3)曲線在x=μ處達到峰值.
(4)當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降.當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線.
(5)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.
(6)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散;σ越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中.
一、正態密度函數及正態曲線
如圖,這是一條正態曲線,試根據該圖象寫出其正態密度函數的解析式,并求出總體隨機變量的期望和方差.
【方法總結】利用圖象求正態密度函數的解析式,應抓住兩個實質性特點:一是圖象的對稱軸為直線x=μ,二是函數的最大值為.這兩點確定以后,相應參數μ,σ便確定了,代入f(x)中便可求出相應的解析式.
在正態分布中,當σ=1,μ=0時,正態密度函數為P(x)=(x∈R),則P(x)的最大值為 .
二、正態曲線的性質
某次我市高三教學質量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數眾多,故成績分布的直方圖可視為正態分布),則由曲線可得下列說法中正確的一項是( ).
A.甲科總體的標準差最小
B.丙科總體的平均數最小
C.乙科總體的標準差及平均數都居中
D.甲、乙、丙三科總體的平均數不相同
【方法總結】由正態曲線的性質可以求參數μ,σ:(1)正態曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱,由此性質結合圖象求μ;(2)正態曲線在x=μ處達到峰值,由此性質結合圖象可求σ;(3)由σ的大小區分曲線的“胖瘦”.
(多選題)設隨機變量ξ~N(μ,σ2)(σ>0),則( ).
A.正態曲線關于直線x=μ對稱
B.正態曲線隨著μ的變化而上下波動
C.設隨機變量X~N(3,9),則DX=3
D.正態曲線與x軸之間的區域的面積為1
三、正態分布的概率計算
已知隨機變量ξ服從正態分布N(3,σ2),且=,則P(3<ξ<5)=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
某體育器材廠生產一批籃球,單個籃球的質量Y(單位:克)服從正態分布N(600,4),從這一批籃球中隨機抽檢300個,則被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為( ).
A.296 B.293 C.252 D.246
　3σ原則
問題1:若某工廠生產的圓柱形零件的外直徑ε~N(4,0.25),則該圓柱形零件外直徑的均值、標準差分別是多少
問題2:某工廠生產的圓柱形零件的外直徑ε~N(4,0.25),若零件的外直徑在[3.5,4.5]內的為一等品.試問1 000件這種零件中約有多少件一等品
1.正態變量在三個特殊區間內取值的概率如圖,正態分布隨機變量X在區間[μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率為陰影部分的面積.
特別地,(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
2.3σ原則
隨機變量X在區間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]上取值的概率分別約為68.27%,95.45%,99.73%.而隨機變量X在區間[μ-3σ,μ+3σ]以外取值的概率大約只有0.27%,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生,是小概率事件.因此,在實際應用中,通常認為服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,并稱之為3σ原則.
設ξ~N(1,22),試求:
(1)P(-1≤ξ≤3);(2)P(3<ξ≤5);(3)P(ξ>5).
【方法總結】求隨機變量X在某個區間內取值的概率的方法 (1)利用X落在區間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]內的概率分別約是0.682 7,0.954 5,0.997 3求解. (2)充分利用正態曲線的對稱性及正態曲線與x軸之間的區域面積為1的性質求解:①熟記正態曲線關于直線x=μ對稱,從而關于x=μ對稱的兩區間概率相等;②P(X≤a)=1-P(X>a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).
有一批精密零件,其尺寸X(單位:mm)服從正態分布N(20,4).若這批零件共有5 000個,試求:
(1)這批零件中尺寸在18 mm~22 mm的零件所占的百分比.
(2)若規定尺寸在24 mm~26 mm的零件不合格,則這批零件中不合格的零件大約有多少個
【方法總結】　解決此類問題一定要靈活把握3σ原則,將所求概率向P(μ-σ≤ξ≤μ+σ),P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ),P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)進行轉化,然后利用特定值求出相應的概率.同時要充分利用曲線的對稱性和曲線與x軸之間的區域面積為1這些特殊性質.
某企業生產一種零部件,其質量指標在(49.6,50.4)內的為優品.技術改造前,該企業生產的該種零部件質量指標服從正態分布N(50,0.16);技術改造后,該企業生產的同種零部件質量指標服從正態分布N(50,0.04).那么該企業生產的這種零部件技術改造后的優品率與技術改造前的優品率之差約為 .(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|<σ)≈0.682 7,P(|X-μ|<2σ)≈0.954 5,P(|X-μ|<3σ)≈0.997 3)
【隨堂檢測】
1.以下關于正態密度曲線的說法中,正確的個數是( ).
①曲線都在x軸的上方,左右兩側與x軸無限接近,最終可與x軸相交;
②曲線關于直線x=μ對稱;
③曲線呈現“中間高,兩邊低”的鐘形形狀;
④曲線與x軸之間的區域的面積為1.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知正態密度函數f(x)=,則( ).
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=
3.設隨機變量ξ服從正態分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ4.某批待出口的水果罐頭,每罐凈重X(單位:g)服從正態分布N(184,2.52),求:
(1)隨機抽取1罐水果罐頭,其凈重超過184.5 g的概率;
(2)隨機抽取1罐水果罐頭,其凈重在179 g與189 g之間的概率.
(參考數據:Z~N(0,1),P(Z≤0.2)≈0.579 3,P(Z≤2)≈0.977 2)
參考答案
7.5　正態分布
自主預習·悟新知
預學憶思
1.f(x)=,x∈R.
2.X~N(μ,σ2).其中E(X)=μ,D(X)=σ2.
3.通常認為服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統計學中稱為3σ原則.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.B　【解析】P(3<ξ<6)=[P(-6<ξ<6)-P(-3≤ξ≤3)]≈×(95.45%-68.27%)=13.59%.故選B.
3.　【解析】由題意可知PX>=PX<,所以正態曲線關于直線x=對稱.由正態曲線的性質得,在x=μ=時正態曲線達到最高點.
4.【解析】因為P(ξ≤1)=0.841 3,所以P(ξ>1)=1-0.841 3=0.158 7,所以P(ξ<-1)=0.158 7,所以P(-1≤ξ≤0)=0.5-0.158 7=0.341 3.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:不能.
問題2:若組距無限細分,一般是形狀像“鐘”的光滑曲線,即正態曲線.
問題3:不是,它是連續的.
問題4:能.正態密度函數的解析式為f(x)=·,x∈R,其中實數μ∈R,σ>0為參數.
由函數表達式可知f(x)>0,且函數f(x)的圖象關于直線x=μ對稱.
新知生成
2.(2)μ　σ2
3.(2)x=μ
新知運用
例1　【解析】由給出的正態曲線可知,該正態曲線關于直線x=20對稱,最大值是,所以μ=20.由=,得σ=2.
于是正態密度函數的解析式為f(x)=·,x∈R,
所以總體隨機變量的期望μ=20,方差σ2=4.
鞏固訓練　　【解析】令t=-≤0,則f(t)=et在(-∞,0]上單調遞增,所以當t=0,即x=0時,P(x)取得最大值,最大值為.
例2　A　【解析】由題中圖象可知三科總體的平均數(均值)相等.由正態曲線的性質可知,σ越大,正態曲線越“矮胖”;σ越小,正態曲線越“高瘦”,故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選A.
鞏固訓練　AD　【解析】由正態曲線的性質知,A,D正確;
正態曲線隨著μ的變化而沿著x軸平移,B錯誤;
設隨機變量X~N(3,9),則D(X)=9,
所以DX=×9=1,C錯誤.故選AD.
例3　C　【解析】由=,及P(ξ<1)=P(ξ>5),P(ξ<5)+P(ξ≥5)=1,
計算可得P(ξ≥5)=,故P(3<ξ<5)=-P(ξ≥5)=-=.
鞏固訓練　B　【解析】由題意得μ=600,σ==2,
P(Y≥596)=P(Y≥μ-2σ)=0.5+=0.977 25,
0.977 25×300=293.175≈293,所以被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為293.
探究2　情境設置
問題1:零件外直徑的均值為4,標準差為0.5.
問題2:P(3.5≤ε≤4.5)=P(μ-σ≤ε≤μ+σ)≈0.682 7,所以1 000件產品中大約有1 000×0.682 7≈683件一等品.
新知運用
例4　【解析】因為ξ~N(1,22),所以μ=1,σ=2.
(1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)
=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)因為P(3<ξ≤5)=P(-3≤ξ<-1),
所以P(3<ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]
=[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)]
=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]
≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
(3)P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]
=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]
≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
例5　【解析】(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18,μ+σ=22,
∴尺寸在18 mm~22 mm的零件所占的百分比大約是68.27%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在14 mm~26 mm的零件所占的百分比大約是99.73%,而尺寸在16 mm~24 mm的零件所占的百分比大約是95.45%,
∴尺寸在24 mm~26 mm的零件所占的百分比大約是=2.14%,
∴尺寸在24 mm~26 mm的零件大約有5 000×2.14%=107(個).
∴這批零件中不合格的零件大約有107個.
鞏固訓練　0.271 8　【解析】技術改造前,易知μ1=50,σ1=0.4,
則其優品率為P(49.6技術改造后,易知μ2=50,σ2=0.2,
則其優品率為P(49.6所以優品率之差約為0.954 5-0.682 7=0.271 8.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由正態密度曲線的特點,易知②③④說法正確.對于①,曲線與x軸不相交,故①錯誤.
2.C　【解析】由f(x)=,得μ=2,σ=.
3.2　【解析】∵ξ~N(2,9),P(ξ>c+1)=P(ξ∴=2,解得c=2.
4.【解析】(1)P(X>184.5)=P>=P(Z>0.2)=1-P(Z≤0.2)≈1-0.579 3=0.420 7.
故隨機抽取1罐水果罐頭,其凈重超過184.5 g的概率約是0.420 7.
(2)P(179故隨機抽取1罐水果罐頭,其凈重在179 g與189 g之間的概率約為0.954 4.

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