資源簡介

8.1　成對數據的統計相關性
課時2　樣本相關系數
【學習目標】 1.了解樣本相關系數公式的推導過程.(邏輯推理、直觀想象) 2.掌握樣本相關系數公式,并會運用.(數學運算) 3.了解樣本相關系數公式與向量夾角公式之間的關系,掌握樣本相關系數的范圍.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.樣本相關系數公式是什么
2.當r>0時,y與x具有什么樣的相關關系 當r<0時,y與x具有什么樣的相關關系
3.r越小,說明兩個變量之間的線性相關性越弱,正確嗎
4.當|r|=1時,成對樣本數據構成的點具有什么特點
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)樣本相關系數r越大,兩變量的相關性越強. ( )
(2)樣本相關系數r越小,兩變量的相關性越弱. ( )
(3)線性相關強弱的判斷方法有散點圖法和樣本相關系數法. ( )
2.樣本相關系數r的取值范圍是( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-1,1) D.[-1,1]
3.兩個變量x,y的樣本相關系數r1=0.785 9,兩個變量u,v的樣本相關系數r2=-0.956 8,則下列判斷正確的是( ).
A.變量x與y正相關,變量u與v負相關,變量x與y的線性相關性較強
B.變量x與y負相關,變量u與v正相關,變量x與y的線性相關性較強
C.變量x與y正相關,變量u與v負相關,變量u與v的線性相關性較強
D.變量x與y負相關,變量u與v正相關,變量u與v的線性相關性較強
4.已知甲、乙、丙3組數據的線性相關系數分別為0.81,-0.98,0.63,其中 (填“甲”“乙”或“丙”)組數據的線性相關性最強.
【合作探究】
　樣本相關系數
如圖所示,回答下列問題:
問題1:由上圖可判斷出圖①中,x,y是負相關,圖②中,u,v是正相關,那么能否判斷出圖②的相關性比圖①強
問題2:怎樣定量刻畫兩個變量的線性相關程度
樣本相關系數
(1)我們常用樣本相關系數r來確切地反映成對樣本數據(xi,yi)的相關程度,
其中r=.
(2)相關系數是研究變量之間線性相關程度的量.
足球運動是世界上普及率最高的運動之一,某國大力發展校園足球.為了了解本地區足球特色學校的發展狀況,社會調查小組得到如下統計數據:
年份x 2018 2019 2020 2021 2022
足球特色學校y/百個 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
根據上表數據,計算y與x的樣本相關系數r,并判斷y與x是正相關關系還是負相關關系.
參考公式和數據:r=,(xi-)2=10,(yi-)2=1.3,≈3.605 6.
【方法總結】計算樣本相關系數的一般步驟:(1)先計算平均數,;(2)再計算(xi-)(yi-),·;(3)最后代入樣本相關系數公式計算,注意計算要準確.
共享汽車是指許多人合用一輛車,即開車人對車輛只有使用權,而沒有所有權,類似于在租車行業里的短時間的租車.它手續簡便,打個租車電話或在網上就可以預約訂車.某市為了了解不同年齡的人對共享汽車的使用體驗,隨機選取了100名使用共享汽車的體驗者,讓他們根據體驗效果進行評分.設消費者的年齡為x,對共享汽車的體驗評分為y.若根據統計數據,計算得(xi-)(yi-)=1 350,且年齡x的方差為=9,評分y的方差為=25,求y與x的樣本相關系數r,并據此判斷對共享汽車使用體驗的評分與年齡的線性相關性強弱(當|r|≥0.75時,認為線性相關性強,否則認為線性相關性弱).
附:樣本相關系數r=.
　相關系數的性質
問題1:樣本相關系數r的正負能反映出成對變量的什么關系
問題2:樣本相關系數r的大小與成對樣本數據的相關程度有什么內在聯系
問題3:當|r|=1時,成對樣本數據之間具有怎樣的關系呢
相關系數r的性質
(1)樣本相關系數r的取值范圍為[-1,1];
(2)若r>0,成對樣本數據正相關;
(3)若r<0,成對樣本數據負相關;
(4)|r|越接近1,成對樣本數據的線性相關程度越強;
(5)|r|越接近0,成對樣本數據的線性相關程度越弱.
假設關于某種設備的使用年限x(單位:年)與所支出的維修費用y(單位:萬元)有如下統計資料:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
參考數據及公式:=90,=140.78,xiyi=112.3,≈12.6.
樣本相關系數r=.
(1)求,;
(2)對x,y進行線性相關性檢驗.
【方法總結】利用樣本相關系數從數值上判斷變量間的線性相關程度,這種方法是定量的方法.與散點圖相比較,樣本相關系數要精確得多,需要注意的是樣本相關系數r的絕對值小,只是說明變量線性相關程度低,但不一定不相關,可能非線性相關.
近年來,隨著互聯網的發展,各種網約車服務在我國各城市迅猛發展,為人們出行提供了便利,但也給城市交通管理帶來了一些困難.為掌握網約車在某省的發展情況,該省某調查機構從本省抽取了5個城市,分別收集和分析了網約車的A,B兩項指標數xi,yi(i=1,2,3,4,5),數據如下表所示:
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指標數x 2 4 5 6 8
B指標數y 3 4 4 4 5
經計算得=2,=,
試求y與x之間的樣本相關系數r,并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關關系.
附:樣本相關系數公式r=.
參考數據:≈0.55,≈0.95.
【隨堂檢測】
1.若變量y與x之間的樣本相關系數r=-0.983 2,則變量y與x之間( ).
A.不具有線性相關關系
B.具有線性相關關系
C.線性相關關系還需要進一步確定
D.相關關系很弱
2.給出下列命題:
①樣本相關系數r∈R;
②當樣本相關系數r>0時,兩個變量正相關;
③兩個變量的相關性越強,樣本相關系數r就越接近于1.
其中真命題的個數為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
3.相關變量x,y的散點圖如圖所示,現對這兩個變量進行線性相關性分析.方案一:根據圖中所有數據,得到相關系數r1;方案二:剔除點(10,21),根據剩下的數據得到相關系數r2.則( ).
A.0C.-14.關于兩個變量x和y的7組數據如表所示:
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
求變量y與x的樣本相關系數,并判斷變量y與x之間是正相關還是負相關.
參考答案
課時2　樣本相關系數
自主預習·悟新知
預學憶思
1.r=
=.
2.當r>0時,y與x具有正相關關系;當r<0時,y與x具有負相關關系.
3.不正確,因為r接近-1時相關性也很強.
4.成對樣本數據構成的點都在一條直線上.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.D　【解析】因為樣本相關系數r=cos θ,其中θ為兩個n維向量的夾角,所以-1≤r≤1,故選D.
3.C　【解析】由樣本相關系數r1=0.785 9>0知x與y正相關,由樣本相關系數r2=-0.956 8<0知u,v負相關.又|r1|<|r2|,∴變量u與v的線性相關性比x與y的線性相關性強.故選C.
4.乙　【解析】兩個變量的相關系數的絕對值越接近于1,它的線性相關性越強.-0.98是這三個相關系數中絕對值最大的,即乙組數據的線性相關性最強.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:不能.
問題2:可以用樣本相關系數公式計算.
新知運用
例1　【解析】由題意得=2 020,=1,
所以r==≈≈0.998>0,
故y與x是正相關關系.
鞏固訓練　【解析】因為==9,
所以=900.
因為==25,所以=2 500.
又因為(xi-)(yi-)=1 350,
所以樣本相關系數r===0.9.
因為0.9>0.75,所以可以判斷對共享汽車使用體驗的評分與年齡的線性相關性很強.
探究2　情境設置
問題1:當r>0時,稱成對樣本數據正相關.這時,當其中一個數據的值變小時,另一個數據的值通常也變小;當其中一個數據的值變大時,另一個數據的值通常也變大.
當r<0時,稱成對樣本數據負相關.這時,當其中一個數據的值變小時,另一個數據的值通常會變大;當其中一個數據的值變大時,另一個數據的值通常會變小.
問題2:觀察r的結構,聯想到二維(平面)向量、三維(空間)向量數量積的坐標表示,我們將向量的維數推廣到n維,n維向量a,b的數量積仍然定義為a·b=|a||b|cos θ,其中θ為向量a,b的夾角.類似于平面或空間向量的坐標表示,對于向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn),我們有a·b=a1b1+a2b2+…+anbn.
設“標準化”處理后的成對數據(x'1,y'1),(x'2,y'2),…,(x'n,y'n)的第一分量構成n維向量x'=(x'1,x'2,…,x'n),第二分量構成n維向量y'=(y'1,y'2,…,y'n),
則有r=x'·y'=|x'||y'|cos θ.
因為|x'|=|y'|=,所以樣本相關系數r=cos θ,其中θ為向量x'和向量y'的夾角.
由-1≤cos θ≤1,可知-1≤r≤1.
問題3:成對樣本數據之間滿足一種線性關系.
新知運用
例2　【解析】(1)依題意可得==4,==5.
(2)又xiyi-5=112.3-5×4×5=12.3,-5=90-5×42=10,-5=140.78-5×52=15.78,
所以r===≈≈0.976.
所以可以認為x與y之間具有很強的正線性相關關系.
鞏固訓練　【解析】==5,==4,
(xi-)(yi-)=6,
故r===≈0.95.
因為r≈0.95,所以可以推斷y與x正線性相關,且具有較強的線性相關關系.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】∵變量y與x之間的樣本相關系數r=-0.983 2,且|r|=0.983 2,接近于1,
∴變量y與x之間有較強的線性相關關系.故選B.
2.B　【解析】①r∈[-1,1],故①錯誤;②當樣本相關系數r>0時,兩個變量正相關,故②正確;③兩個變量的相關性越強,樣本相關系數r就越接近于1或-1,故③錯誤.故真命題的個數為1.
3.D　【解析】由散點圖得y與x負相關,所以r1<0,r2<0.因為剔除點(10,21)后,剩下的數據更具有線性相關性,所以|r2|更接近1,所以-14.【解析】=×(21+23+25+27+29+32+35)≈27.4,
=×(7+11+21+24+66+115+325)≈81.3,
=212+232+252+272+292+322+352=5 414,
xiyi=21×7+23×11+25×21+27×24+29×66+32×115+35×325=18 542,
=72+112+212+242+662+1152+3252=124 393,
∴r=
≈
≈≈0.837 5.
∵r>0,∴變量y與x之間是正相關.8.1　成對數據的統計相關性
課時1　變量的相關關系
【學習目標】 1.了解變量間的相關關系,會畫散點圖.(數學抽象) 2.會根據散點圖判斷數據是否具有相關關系.(直觀想象)
【自主預習】
1.什么是相關關系
2.相關關系是函數關系嗎
3.相關關系按變量間的增減性如何分類
4.按變量間是否有線性特征如何分類
5.如何根據散點圖判斷線性相關
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數關系是一種確定關系,而相關關系是一種不確定關系. ( )
(2)當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現減小的趨勢,則稱這兩個變量正相關. ( )
(3)根據散點圖可以直觀地分析出兩個變量是否具有相關性.( )
(4)若變量x,y滿足函數關系,則這兩個變量線性相關. ( )
2.下列兩個變量中,具有相關關系的是( ).
A.正方體的體積與棱長
B.勻速行駛的汽車的行駛路程與時間
C.人的身高與體重
D.人的體重與視力
3.從散點圖上看,點散布在從左下角到右上角的區域內,兩個變量的這種相關關系稱為 .
4.根據兩個變量x,y之間的成對樣本數據畫出的散點圖如圖所示,這兩個變量 線性相關關系.(填“有”或“沒有”)
【合作探究】
　變量的相關關系
小明根據自己的調查,得到下列結論和數據:
(1)吸煙可導致肺癌.
(2)小區對面的小賣部6天賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對比表如下:
氣溫/℃ 25 18 12 10 4 0
杯數 18 30 37 35 50 54
　　(3)正方形的面積S=x2(x是邊長).
問題1:吸煙一定會導致肺癌嗎 吸煙與患肺癌有關嗎
問題2:小賣部賣出的熱茶的杯數與當天氣溫有關嗎 兩者之間是如何變化的
問題3:正方形的面積S與邊長x是什么關系
1.函數關系:如果變量y是變量x的函數,那么由x就可以唯一確定y.
2.兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.
下列關系中,屬于相關關系的是 .(填序號)
①角度和它的正弦值之間的關系;
②做自由落體運動的物體的質量與落地時間的關系;
③降雪量與交通事故的發生率之間的關系.
【方法總結】在研究兩個變量之間的相關關系時,我們需要借助數據說話,即通過樣本數據分析,從數據中提取信息,并構建適當的模型,再利用模型進行估計或推斷.
下列關系中,屬于相關關系的是 .(填序號)
①圓的半徑與面積之間的關系;
②農作物的產量與施肥量之間的關系;
③乘坐出租車的車費與行駛的里程之間的關系.
　散點圖與正負相關、線性相關
下表是在某地搜集到的房屋的銷售價格y(單位:萬元)和房屋的面積x(單位:m2)的數據:
x/m2 115 110 80 135 105
y/萬元 44.8 41.6 38.4 49.2 42
問題1:以x為橫坐標,y為縱坐標在平面直角坐標系中作出表示以上數據的點.
問題2:這些點是大致落在一條直線附近嗎
問題3:房屋的銷售價格與房屋的面積有關系嗎
問題4:怎樣描述房屋的銷售價格與房屋的面積之間的變化關系
1.散點圖是描述成對樣本數據之間關系的一種直觀方法.
2.從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關;當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現減小的趨勢,則稱這兩個變量負相關.
3.一般地,如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關,而且散點落在一條直線附近,我們就稱這兩個變量線性相關.
4.一般地,如果兩個變量具有相關性,但不是線性相關,那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.
某個男孩的年齡與身高的統計數據如下表所示:
年齡x/歲 1 2 3 4 5 6
身高y/cm 78 87 98 108 115 120
(1)畫出散點圖;
(2)判斷y與x是否具有線性相關關系.
【方法總結】通過散點圖觀察它們的分布是否存在一定的規律,可以直觀地判斷兩個變量是否具有相關關系.
5個學生的數學和物理成績如下表:
學生 A B C D E
數學成績 80 75 70 65 60
物理成績 70 66 68 64 62
(1)畫出散點圖;
(2)從散點圖中判斷數學成績與物理成績之間存在什么樣的關系.
【隨堂檢測】
1.下列選項圖中,兩個變量具有相關關系的是( ).
2.下列說法不正確的是( ).
A.當變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫作相關關系
B.在平面直角坐標系中,將成對的樣本數據用點表示出來,由這些點組成的統計圖叫作散點圖
C.若x,y具有相關性,則一定是線性相關
D.具有相關關系的兩變量可以是曲線相關
3.在以下四幅散點圖中,圖 中的y和x之間存在相關關系.(將正確答案的序號填在橫線上)
4.某種產品的廣告支出費x(單位:百萬元)與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下對應數據:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
(1)畫出散點圖;
(2)從散點圖中判斷銷售額與廣告支出費之間存在什么樣的關系.
參考答案
8.1　成對數據的統計相關性
課時1　變量的相關關系
自主預習·悟新知
預學憶思
1.兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.
2.不是.函數關系是唯一確定的關系.
3.按變量間的增減性分為正相關和負相關.
4.按變量間是否有線性特征分為線性相關和非線性相關(曲線相關).
5.如果這些散點大致落在一條直線附近,就說明變量間具有線性相關關系.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.C　【解析】A選項中,正方體的體積與棱長是函數關系,不是相關關系;B選項中,勻速行駛的汽車的行駛路程與時間是函數關系,不是相關關系;C選項中,人的身高是影響體重的因素,但不是唯一因素,所以人的身高與體重是相關關系;D選項中,人的體重與視力無任何關系.
3.正相關
4.沒有　【解析】圖中的點分布雜亂,兩個變量不具有線性相關關系.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:吸煙不一定導致肺癌,但它們有一定的關系.
問題2:兩者之間有關系.一般來說,隨著氣溫的降低,賣出的熱茶杯數增加.
問題3:S與x之間是函數關系,是一種確定關系.
新知運用
例1?、邸　窘馕觥竣俨皇窍嚓P關系,角度和它的正弦值之間具有函數關系;②不是相關關系,做自由落體運動的物體的質量與落地時間無關,不具有相關關系;③是相關關系,一般來說,降雪量越大,交通事故的發生率越高,具有相關關系.
鞏固訓練?、凇　窘馕觥竣僦?圓的半徑與面積之間的關系是函數關系;②中,農作物的產量與施肥量之間不具有嚴格的函數關系,但具有相關關系;③為確定的函數關系.
探究2　情境設置
問題1:如圖所示.
問題2:是.
問題3:有關系.
問題4:從大體上來看,面積越大,銷售價格越高,但它們不是正比例函數關系.
新知運用
例2　【解析】(1)散點圖如圖所示.
(2)由圖可知,所有數據點接近一條直線排列,因此認為y與x具有線性相關關系.
鞏固訓練　【解析】(1)散點圖如圖所示.
(2)從圖中可以發現數學成績與物理成績之間具有相關關系,并且當數學成績由小變大時,物理成績也大多由小變大,圖中的數據大致分布在某條直線的附近,即數學成績與物理成績正線性相關.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】A,C是函數關系,D中的點的分布毫無規律,看不出橫軸、縱軸表示的兩個變量之間有什么相關性.
2.C　【解析】只有當點整體上分布在一條直線附近且x,y的取值呈現正相關或負相關時,x,y才能稱之為線性相關.
3.(2)(3)(4)　【解析】圖(2)(3)中的點成帶狀分布在某一直線附近,圖(4)中的點分布在某一曲線附近,故圖(2)(3)(4)中的y和x之間存在相關關系.
4.【解析】(1)以x對應的數據為橫坐標,y對應的數據為縱坐標,所作的散點圖如圖所示.
(2)從圖中可以發現廣告支出費與銷售額之間具有相關關系,并且當廣告支出費由小變大時,銷售額也大多由小變大,圖中的數據大致分布在某條直線的附近,即x與y正線性相關.

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