資源簡介

8.2　一元線性回歸模型及其應用
課時2　一元線性回歸模型及其應用
【學習目標】 1.了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念.(數學抽象) 2.會通過分析殘差判斷一元線性回歸模型的擬合效果.(數據分析、數學運算) 3.了解常見的非線性回歸模型轉化為一元線性回歸模型的方法.(數學運算、數據分析、數學建模)
【自主預習】
1.什么是殘差
2.如何比較兩個模型的擬合效果
3.R2的計算公式是什么
4.什么是非線性經驗回歸方程
5.如何猜測非線性經驗回歸方程的類型
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在殘差圖中,縱坐標為殘差,橫坐標可以為樣本編號. ( )
(2)殘差平方和越小,回歸模型的擬合效果越好. ( )
(3)R2越小,回歸模型的擬合效果越好. ( )
2.甲、乙、丙、丁四位同學在建立變量x,y的回歸模型時,分別選擇了4種不同的模型,計算它們的決定系數R2,得到下表.
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
建立的回歸模型擬合效果最好的是( ).
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.對變量x,y進行回歸分析時,依據得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖,則下列模型擬合精度最高的是( ).
A　　B
C　　D
4.某學校開展研究性學習活動,一組同學獲得了如表所示的一組試驗數據.
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
現有如下5個模擬函數:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=x+1.74.
請從中選擇一個模擬函數,使它能近似地反映這些數據的規律,應選 .(填序號)
【合作探究】
　殘差
　　小明:還有什么方法能刻畫回歸效果呢
小明同桌:作殘差圖.
問題1:如何作殘差圖
問題2:怎樣利用殘差說明模型的擬合效果
1.觀測值
對于響應變量Y,通過觀測得到的數據稱為觀測值,通過經驗回歸方程得到的稱為預測值.
2.殘差
觀測值減去預測值所得的差稱為殘差.
3.殘差分析
殘差是隨機誤差的估計結果,通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果,以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等,這方面工作稱為殘差分析.
4.殘差的應用
一般地,建立經驗回歸方程后,通常需要對模型刻畫數據的效果進行分析.借助殘差分析還可以對模型進行改進,使我們能根據改進模型作出更符合實際的預測與決策.
隨著生活水平的逐步提高,人們對文娛活動的需求與日俱增,其中觀看電視就是一種老少皆宜的娛樂活動.但是我們在觀看電視娛樂身心的同時,也要注意把握好觀看時長.近期研究顯示,一項久坐的生活指標——看電視時長,是導致視力下降的重要因素,即看電視的時間越長,視力下降的風險越大.研究者在某小區統計的每天看電視時長x(單位:小時)與視力下降人數y的相關數據如下:
編號 1 2 3 4 5
x 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
(1)請根據上面的數據求y關于x的經驗回歸方程.
(2)我們用第(1)問求出的經驗回歸方程=x+中的估計bx+a,因為隨機誤差e=y-(bx+a),所以=y-是e的估計值,稱為點(xi,yi)的殘差.
①填寫下面的殘差表,并繪制殘差圖;
編號 1 2 3 4 5
x 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
②若殘差圖所在帶狀區域寬度不超過4,則我們認為該模型擬合精度比較高,經驗回歸方程的預報精度較高,試根據①中繪制的殘差圖分析該模型擬合精度是否比較高.
附:經驗回歸方程=x+中==,=-.
【方法總結】作殘差分析時,一般從以下幾個方面予以說明:(1)散點圖;(2)決定系數;(3)殘差圖中的異常點和殘差點所在的水平帶狀分布區域的寬窄.
兩個線性相關變量x與y的統計數據如表所示:
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其經驗回歸方程是=x+40,則相對應于點(11,5)的殘差為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.1 B.0.4 C.0.3 D.0.2
　R2的計算和非線性經驗回歸方程
變量y關于x的非線性經驗回歸方程為=,其一組數據如表所示:
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
問題1:如何求非線性經驗回歸方程=中的
問題2:你能寫出解題過程嗎
問題3:上述問題中,若x=5,則預測y的值可能為多少
1.R2的計算公式為R2=1-.
2.一般地,如果兩個變量具有相關性,但不是線性相關,那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.
下表為收集到的一組數據:
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出y與x的散點圖,并猜測y與x之間的關系;
(2)建立x與y的關系,預報回歸模型并計算殘差(精確到小數點后3位);
(3)利用所得模型,預測當x=40時,y的值.
附:經驗回歸方程=x+中==,=-.
【方法總結】非線性回歸問題的處理方法 (1)指數函數模型y=,其圖象如圖所示. 處理方法:兩邊取自然對數得ln y=ln ,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始數據(x,y)轉化為(x,z),再根據線性回歸模型的方法求出a,b. (2)對數函數模型y=bln x+a,其圖象如圖所示. 處理方法:設x'=ln x,原方程可化為y=bx'+a,再根據線性回歸模型的方法求出a,b. (3)二次函數模型y=bx2+a 處理方法:設x'=x2,原方程可化為y=bx'+a,再根據線性回歸模型的方法求出a,b.
某公司研制了一種對人畜無害的滅草劑,為了解其效果,通過實驗,收集到其不同濃度x(單位:mol/L)與滅死率y的數據,得下表:
濃度x/(mol/L) 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4
滅死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
(1)以x為解釋變量,y為響應變量,在=x+和=c1+c2lg x中選一個作為滅死率y關于濃度x(單位:mol/L)的經驗回歸方程,不用說明理由.
(2)①根據(1)的選擇結果及表中數據,求出所選經驗回歸方程.
②依據①中所求的經驗回歸方程,要使滅死率不低于0.8,估計該滅草劑的濃度至少要達到多少.
參考公式:對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其經驗回歸方程=x+中==,=-.
【隨堂檢測】
1.(2020年全國Ⅰ卷)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位:℃)之間的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗,由實驗數據(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:
由此散點圖,在10 ℃至40 ℃之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=a+bx
B.y=a+bx2
C.y=a+bex
D.y=a+bln x
2.下列有關線性回歸的說法,不正確的是( ).
A.當自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫作相關關系
B.在平面直角坐標系中用描點的方法得到的兩個變量的一組數據的圖形叫作散點圖
C.經驗回歸方程最能代表觀測值x,y之間的線性關系
D.任何一組觀測值都能得到具有代表意義的經驗回歸方程
3.已知具有相關關系的兩個隨機變量的一組觀測數據的散點圖分布在函數y=3e2x+1的圖象附近,令u=ln y,則可通過轉換得到經驗回歸方程為 .
4.某個服裝店經營某種服裝,某周內獲得的純利潤y(單位:元)與該周每天銷售這種服裝件數x(單位:件)之間的一組數據如表所示:
x/件 3 4 5 6 7 8 9
y/元 66 69 73 81 89 90 91
已知=280,=45 309,xiyi=3 487.
(1)求,的值(精確到小數點后兩位);
(2)已知純利潤y與每天銷售件數x之間線性相關,求出y關于x的經驗回歸方程(精確到小數點后兩位);
(3)求殘差平方和、決定系數(精確到小數點后四位).
參考答案
課時2　一元線性回歸模型及其應用
自主預習·悟新知
預學憶思
1.觀測值減去預測值所得的差稱為殘差.
2.可以通過殘差平方和比較,殘差平方和越小,擬合效果越好,也可以用R2來比較,R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好.
3.R2=1-.
4.如果具有相關關系的兩個變量x,y不是線性相關關系,那么稱它們有非線性相關關系,所得到的方程稱為非線性經驗回歸方程.
5.可以通過作出散點圖,結合已學的函數模型進行猜測.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.A　【解析】決定系數R2越大,表示回歸模型的擬合效果越好.
3.A　【解析】用殘差圖判斷模型的擬合效果,殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中,說明這樣的模型比較合適,帶狀區域的寬度越窄,說明模型的擬合精度越高.
4.④　【解析】畫出散點圖,如圖所示.
由圖可知,上述點大致在函數y=log2x的圖象上,故y=log2x可以近似地反映這些數據的規律,故填④.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:縱坐標為殘差,橫坐標可以為樣本編號或身高數據或體重的估計值等,這樣作出的圖形就是殘差圖了.
問題2:殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中,說明選用的模型比較合適,這樣的帶狀區域的寬度越窄,說明模型擬合精度越高.
新知運用
例1　【解析】(1)==2,==20,xiyi=218,=22.5,
則==7.2,=20-7.2×2=5.6,
故y關于x的經驗回歸方程為=7.2x+5.6.
(2)①殘差表:
編號 1 2 3 4 5
x 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
-0.8 -0.4 2 0.4 -1.2
殘差圖:
②殘差圖所在帶狀區域的寬度為2-(-1.2)=3.2.因為3.2<4,所以我們認為該模型擬合精度比較高.
鞏固訓練　D　【解析】由題意得==10,==8,則樣本點的中心為(10,8).
因為經驗回歸方程為=x+40,所以8=10+40,解得=-3.2,所以=-3.2x+40,
當x=11時,=4.8,則相對應于點(11,5)的殘差為5-4.8=0.2.
探究2　情境設置
問題1:將式子兩邊取自然對數,得到ln =x-0.5,令=ln ,則=x-0.5,根據題中所給的表格,列出x,z的取值對應的表格,求得,,利用經驗回歸直線過樣本點的中心,列出等量關系式,求得.
問題2:由=,得ln =x-0.5,令=ln ,則=x-0.5.
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
==2.5,==3.5.
∵經驗回歸直線=x-0.5過點(,),
∴3.5=·2.5-0.5,解得=1.6.
問題3:由上可知=1.6x-0.5,∴=e1.6x-0.5,
當x=5時,=e1.6×5-0.5=.
新知運用
例2　【解析】(1)作出散點圖,如圖所示,從散點圖可以看出y與x不具有線性相關關系,根據已有知識可以發現樣本點分布在某一條指數型函數曲線y=c1的周圍,其中c1,c2為待定的參數.
(2)對y=c1的兩邊取自然對數,把指數關系變為線性關系,令z=ln y,則變換后的樣本點應分布在直線z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周圍,這樣就可以利用經驗回歸模型來建立y與x之間的非線性經驗回歸方程了,數據可以轉化為
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
則≈27.429,≈3.612,xizi=733.741,=5 414,
∴=≈≈0.273,
=-≈3.612-0.273×27.429=-3.876,
求得經驗回歸方程為=0.273x-3.876,
∴=.
殘差表如下:
y 7 11 21 24 66 115 325
6.404 11.056 19.087 32.950 56.883 129.024 292.657
0.596 -0.056 1.913 -8.950 9.117 -14.024 32.343
(3)當x=40時,=≈1 146.
鞏固訓練　【解析】(1)根據表格中數據可知解釋變量x呈現指數增長,而響應變量y增長幅度不大,
故選=c1+c2lg x.
(2)①令u=lg x,則=+u,
所以可得如下數據:
u -12 -10 -8 -6 -4
y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
則=×(-12-10-8-6-4)=-8,=×(0.1+0.24+0.46+0.76+0.94)=0.5,
=(-12)2+(-10)2+(-8)2+(-6)2+(-4)2=360,
uiyi=(-12)×0.1+(-10)×0.24+(-8)×0.46+(-6)×0.76+(-4)×0.94=-15.6,
所以==0.11,=0.5-0.11×(-8)=1.38,
所以=1.38+0.11u,即=1.38+0.11lg x.
②依題意,=1.38+0.11lg x≥0.8,即0.11lg x≥-0.58,即lg x≥-,
所以x≥1,即要使滅死率不低于0.8,則估計該滅草劑的濃度至少要達到1 mol/L.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】根據散點圖,用光滑的曲線把圖中各點依次連起來(圖略),由圖并結合選項可排除A,B,C.故選D.
2.D　【解析】只有當數據點整體上分布在一條直線附近時,才能得到具有代表意義的經驗回歸方程.
3.u=1+ln 3+2x　【解析】由y=3e2x+1,得ln y=ln(3e2x+1),
即ln y=ln 3+2x+1.令u=ln y,則經驗回歸方程為u=1+ln 3+2x.
4.【解析】(1)==6,
=≈79.86.
(2)因為y與x具有線性相關關系,所以可設經驗回歸方程為=x+,
則=≈4.75,≈79.86-6×4.75=51.36,
所以y關于x的經驗回歸方程為=4.75x+51.36.
(3)列出殘差表:
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
65.61 70.36 75.11 79.86 84.61 89.36 94.11
0.39 -1.36 -2.11 1.14 4.39 0.64 -3.11
所以殘差的平方和為0.392+(-1.36)2+(-2.11)2+1.142+4.392+0.642+(-3.11)2=37.107 2,
決定系數R2=1-=1-≈0.944 3.8.2　一元線性回歸模型及其應用
課時1　一元線性回歸模型
【學習目標】 1.了解一元線性回歸模型各量的意義.(數學抽象) 2.掌握最小二乘法的思想及意義.(邏輯推理、數學運算) 3.會求經驗回歸方程并進行簡單應用.(數學運算、數學建模)
【自主預習】
1.經驗回歸直線一定過成對樣本數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的某一點嗎
2.點(,)在經驗回歸直線上嗎
3.假設y與x具有相關關系,而且經驗回歸方程為=x+.則經驗回歸直線的單調性是由哪個參數決定的
4.利用經驗回歸方程求得的函數值一定是真實值嗎
5.經驗回歸方程與直線方程有何區別
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)求經驗回歸方程前可以不進行相關性檢驗. ( )
(2)經驗回歸直線一定過樣本點的中心. ( )
(3)選取一組數據的部分點得到的經驗回歸方程與由整組數據得到的經驗回歸方程一定相同. ( )
(4)根據經驗回歸方程得到的結論一定是可靠的. ( )
2.由變量x與y相對應的一組數據(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的經驗回歸方程為=2x+45,則=( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.135 B.90 C.67 D.63
3.已知工人工資y(單位:元)關于勞動生產率x(單位:千元)的經驗回歸方程為=50+80x,則下列判斷正確的是( ).
A.當勞動生產率為1 000元時,工人工資為130元
B.勞動生產率每提高1 000元,工人工資平均提高80元
C.勞動生產率每提高1 000元,工人工資平均提高130元
D.當月工資為250元時,勞動生產率為2 000元
4.已知經驗回歸直線的斜率的估計值是1.23,且過定點(4,5),則經驗回歸方程是 .
【合作探究】
　一元線性回歸模型
　　
根據統計,某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量y(單位:百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(單位:千克)之間的對應數據的散點圖如圖所示.
問題1:依據數據的散點圖,計算樣本相關系數r.
問題2:問題1的計算表明y與x之間具有很強的相關性,能用一個函數模型來刻畫y與x之間的關系嗎
問題3:用什么模型來刻畫y與x之間的關系
1.一元線性回歸模型的相關概念
(1)一元線性回歸模型:我們稱為Y關于x的一元線性回歸模型.
(2)因變量和自變量:Y稱為因變量或響應變量,x稱為自變量或解釋變量.
(3)參數:a和b為模型的未知參數,a稱為截距參數,b稱為斜率參數.
(4)隨機誤差:e是Y與bx+a之間的隨機誤差.
2.模型中的Y也是隨機變量,其值雖然不能由變量x的值確定,卻能表示為bx+a與e的和(疊加),前一部分由x所確定,后一部分是隨機的.如果e=0,那么Y與x之間的關系就可以用一元線性函數模型來描述.
3.在一元線性回歸模型Y=bx+a+e中,e產生的原因主要有以下幾種:(1)所用的確定性函數不恰當引起的誤差;(2)忽略了某些因素的影響;(3)存在觀測誤差.
(多選題)在一元線性回歸模型Y=bx+a+e中,下列說法錯誤的是( ).
A.Y=bx+a+e是一次函數
B.響應變量Y是由解釋變量x唯一確定的
C.響應變量Y除了受解釋變量x的影響外,可能還受到其他因素的影響,這些因素會導致隨機誤差e的產生
D.隨機誤差e是計算不準確造成的,可通過精確計算避免隨機誤差e的產生
【方法總結】明確一元線性回歸模型的含義是解題的關鍵,其中a和b為模型的未知參數,a稱為截距參數,b稱為斜率參數,e是Y與bx+a之間的隨機誤差.
關于一元線性回歸模型給出下列說法:
①表達式Y=bx+a+e刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關關系;
②bx+a反映了由于x的變化而引起的Y的變化;
③誤差項e是一個期望值為0的隨機變量,即E(e)=0;
④對于所有的x值,e的方差σ2都相同.
以上說法正確的是 .(填序號)
　最小二乘法
霧霾天氣影響了人們的生活,對霧霾天氣的研究也漸漸多了起來,某研究機構對某地春節燃放煙花爆竹的天數x與霧霾天數y進行統計分析,得出下表數據:
x 4 5 7 8
y 2 3 5 6
問題1:請畫出上表數據的散點圖.
問題2:能用一元線性回歸模型表示y與x的關系嗎
問題3:如何求出一元線性回歸模型的方程呢
問題4:求出該一元線性回歸模型的方程.
1.經驗回歸方程(直線)
我們將=x+稱為Y關于x的經驗回歸方程,也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式,其圖形稱為經驗回歸直線.
2.最小二乘法
求經驗回歸方程的方法叫作最小二乘法,求得的,叫作b,a的最小二乘估計.
3.方程=x+是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回歸方程,其中,是待定參數,其最小二乘估計分別為==,=-,其中=xi,=yi,(,)稱為樣本點的中心.
4.經驗回歸方程與直線方程的區別:經驗回歸方程中y的上方加記號“^ ”是為了與實際值y相區別,因為經驗回歸方程中“”的值是通過統計大量數據所得到的一個預測值,它具有隨機性,因而對于每一個具體的實際值而言,的值只是比較接近,但存在一定的誤差,即y=+e(其中e為隨機變量),預測值與實際值y的接近程度由隨機變量e的標準差決定.
大學生小敏利用寒假參加社會實踐,對機械銷售公司7月份至12月份某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調查,銷售單價x和銷售量y之間的一組數據如表所示:
月份 7 8 9 10 11 12
銷售單價x/元 9 9.5 10 10.5 11 8
銷售量y/件 11 10 8 6 5 14
(1)根據7月份至11月份的數據,求出y關于x的經驗回歸方程.
(2)若由經驗回歸方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過0.5件,則認為所得到的經驗回歸方程是理想的,試問(1)中所得到的經驗回歸方程是否理想
(3)預計在今后的銷售中,銷售量與銷售單價仍然服從(1)中的關系,若該種機械配件的成本是2.5元/件,則該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤 (注:利潤=銷售收入-成本)
參考公式:在經驗回歸方程=x+中,=,=-.
參考數據:xiyi=392,=502.5.
【方法總結】用經驗回歸方程估計總體的一般步驟: (1)作出散點圖,判斷散點是否在一條直線附近; (2)若散點在一條直線附近,則用公式求出,,并寫出經驗回歸方程,否則求出的經驗回歸方程是沒有意義的; (3)根據經驗回歸方程對總體進行估計.
某醫療器械廠統計了口罩生產車間每名工人的生產速度,將所得數據分成[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70],共五組,并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.已知前四組的頻率成等差數列,第五組與第二組的頻率相等.
(1)估計口罩生產車間工人生產速度的中位數.
(2)為了了解該車間工人的生產速度是否與他們的工作經驗有關,現從車間所有工人中隨機抽樣調查了5名工人的生產速度以及他們的工齡(參加工作的年限),數據如下表:
工齡x/年 6 8 12 10 14
生產速度y/(件/小時) 40 55 60 60 65
根據上述數據求每名工人的生產速度y關于他的工齡x的經驗回歸方程=x+,并據此估計該車間某位有18年工齡的工人的生產速度.
經驗回歸方程=x+中=,=-.
【隨堂檢測】
1.已知變量y與x正線性相關,且由觀測數據算得樣本平均數=3,=3.5,則由該觀測數據算得的經驗回歸方程可能為( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.=0.4x+2.3
B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5
D.=-0.3x+4.4
2.根據如下樣本數據得到的經驗回歸方程為=x+,若=5.4,則x每增加1個單位,y估計( ).
x 3 4 5 6 7
y 4 2.5 -0.5 0.5 -2
A.增加0.9個單位
B.減少0.9個單位
C.增加1個單位
D.減少1個單位
3.如圖,這是一組數據(x,y)的散點圖,經最小二乘法計算,y與x之間的經驗回歸方程為=x+1,則= .
4.某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析,得下表數據:
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
已知記憶力x和判斷力y是線性相關的,求經驗回歸方程.
參考答案
8.2　一元線性回歸模型及其應用
課時1　一元線性回歸模型
自主預習·悟新知
預學憶思
1.不一定.
2.在.
3..
4.不一定,它只是真實值的一個預測值.
5.經驗回歸方程中y的上方加記號“^”,是為了與實際值y相區別,因為經驗回歸方程中的“”的值是通過統計大量數據所得到的一個預測值,它具有隨機性,因而對于每一個具體的實際值而言,的值只是比較接近,但存在一定的誤差,即y=+e(其中e為隨機變量),預測值與實際值y的接近程度由隨機變量e的標準差決定.直線方程中y與x的關系是確定的,對于每一個x的值,y都有唯一確定的值與之對應.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.D　【解析】∵=×(1+5+7+13+19)=9,=2+45,
∴=2×9+45=63,故選D.
3.B　【解析】因為經驗回歸直線的斜率為80,所以x每增加1,y平均增加80,即勞動生產率每提高1 000元,工人工資平均提高80元.
4.=1.23x+0.08　【解析】經驗回歸直線的斜率的估計值為1.23,即=1.23,又經驗回歸直線過定點(4,5),∴=5-1.23×4=0.08,∴=1.23x+0.08.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:因為==5,==5,
(xi-)(yi-)=(-3)×(-2)+(-1)×(-1)+0×0+1×1+3×2=14,
(xi-)2=(-3)2+(-1)2+02+12+32=20,
(yi-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,
所以r===≈0.99.
問題2:不能,因為西紅柿畝產量的增加量y除了與某種液體肥料的使用量x有關系外,還與陽光、溫度等有關系.
問題3:根據散點圖,可以用一元線性回歸模型來刻畫.
新知運用
例1　ABD　【解析】對于A,在一元線性回歸模型Y=bx+a+e中,方程表示的不是確定性關系,因此Y=bx+a+e不是一次函數,所以A錯誤;
對于B,響應變量Y不是由解釋變量x唯一確定的,所以B錯誤;
對于C,響應變量Y除了受解釋變量x的影響外,可能還受到其他因素的影響,這些因素會導致隨機誤差e的產生,所以C正確;
對于D,隨機誤差是不能避免的,只能將誤差縮小,所以D錯誤.
故選ABD.
鞏固訓練　①②③④　【解析】根據一元線性回歸模型的含義可知,以上說法均正確.
探究2　情境設置
問題1:畫出散點圖,如圖所示.
問題2:能,從散點圖看,這些散點大致在一條直線上.
問題3:用最小二乘法求出y關于x的一元線性回歸模型的方程.
問題4:xiyi=4×2+5×3+7×5+8×6=106,=×(4+5+7+8)=6,=×(2+3+5+6)=4,=42+52+72+82=154,則===1,=-=4-6=-2,
故一元線性回歸模型的方程為=x+=x-2.
新知運用
例2　【解析】(1)因為=×(9+9.5+10+10.5+11)=10,=×(11+10+8+6+5)=8,
所以==-3.2,則=8-(-3.2)×10=40,
于是y關于x的經驗回歸方程為=-3.2x+40.
(2)當x=8時,=-3.2×8+40=14.4,則=|14.4-14|=0.4<0.5,
所以可以認為所得到的經驗回歸方程是理想的.
(3)令銷售利潤為W,則W=(x-2.5)(-3.2x+40)=-3.2x2+48x-100=-3.2(x-7.5)2+80,
所以當x=7.5時,W取得最大值.
故當該配件的銷售單價定為7.5元時,獲得的利潤最大.
鞏固訓練　【解析】(1)設前四組的頻率分別為a1,a2,a3,a4,公差為d,由題意知a2=a1+d=0.016×10=0.16,
故a1+a2+a3+a4=4a1+6d=1-0.16=0.84,
聯立解得a1=0.06,d=0.1.
故各組頻率分別為0.06,0.16,0.26,0.36,0.16.
又a1+a2+a3=0.48,
所以中位數為50+×10=.
(2)由題意得=10,=56,(xi-)(yi-)=110,
(xi-)2=40,
則===,
=-=56-×10=,
故經驗回歸方程為=x+.
當x=18時,=78,故估計該車間某位有18年工齡的工人的生產速度為78件/小時.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】因為變量y和x正線性相關,所以經驗回歸直線的斜率為正,排除C,D;將點(3,3.5)代入選項A和B的方程中檢驗,排除B.故選A.
2.B　【解析】由題意可得=5,=×(4+2.5-0.5+0.5-2)=0.9.因為經驗回歸方程為=x+,=5.4,且經驗回歸直線過點(5,0.9),所以0.9=5+5.4,解得=-0.9,所以x每增加1個單位,y估計減少0.9個單位.
3.0.8　【解析】==2,==2.6,將點(2,2.6)代入=x+1中,解得=0.8.
4.【解析】由已知得==9,==4,
=62+82+102+122=344,xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,
則===0.7,=-=4-0.7×9=-2.3,
故所求的經驗回歸方程為=0.7x-2.3.

展開更多......

收起↑