資源簡介

8.3　列聯表與獨立性檢驗
課時1　分類變量與列聯表
【學習目標】 1.了解探究分類變量之間的關系的方法.(數學抽象、數據分析) 2.能利用條形圖、列聯表探究兩個分類變量的關系.(直觀想象、數據分析)
【自主預習】
1.什么是分類變量
2.什么是2×2列聯表
3.2×2列聯表的用途是什么
4.等高堆積條形圖與表格相比有哪些優點
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)分類變量中的變量與函數的變量是同一概念. ( )
(2)等高堆積條形圖可初步分析兩分類變量是否有關系. ( )
(3)分類變量的取值可以用實數表示. ( )
2.觀察下列各圖,其中兩個分類變量x,y之間關系最強的是( ).
　　　 　A　　　　　　　　B
　 　　　C　　　　　　　　D
3.下面是2×2列聯表,
X Y 合計
y1 y2
x1 a 21 73
x2 2 25 27
合計 b 46 100
則表中a= ,b= .
【合作探究】
　2×2列聯表
問題1:飲用水的質量是人類普遍關心的問題.根據統計,飲用優質水的518人中,身體狀況優秀的有466人,飲用一般水的312人中,身體狀況優秀的有218人.請問人的身體健康狀況與飲用水的質量之間有關系嗎
問題2:請舉出2個有關分類變量的實例,并表示分類變量.
問題3:為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性,某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經常性有影響,為此對學生是否經常鍛煉的情況進行了普查.全校學生的普查數據如下:523名女生中有331名經常鍛煉,601名男生中有473名經常鍛煉.你能利用這些數據,說明該校女生和男生在體育鍛煉的經常性方面是否存在差異嗎
1.2×2列聯表
一般地,假設有兩個分類變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},將同時符合(x1,y1),(x2,y1),(x1,y2),(x2,y2)的個體數量排列成一個2×2的表格,這種形式的數據統計表稱為2×2列聯表.
X Y 合計
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
2.2×2列聯表給出了成對分類變量數據的交叉分類頻數.
在對人們飲食習慣的一次調查中,共調查了124人,其中六十歲及以上的有70人,六十歲以下的有54人.六十歲及以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主,另外27人則以肉類為主;六十歲以下的人中有21人的飲食以蔬菜為主,另外33人則以肉類為主.請根據以上數據作出飲食習慣與年齡的2×2列聯表,并利用與判斷二者是否有關系.
【方法總結】利用2×2列聯表分析兩個分類變量間的關系時,首先要根據題中數據列出2×2列聯表,然后根據頻率特征,即將與或與的值進行比較,這能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響,但方法較粗略.
下表是關于男嬰與女嬰出生時間的2×2列聯表:
性別 時間 合計
晚上 白天
男 45 A B
女 E 35 C
合計 98 D 180
那么,A= ,B= ,C= ,D= ,E= .
　等高堆積條形圖
如圖,這是調查某學校高一、高二年級學生參加社團的等高堆積條形圖.已知該校高一、高二年級的學生人數均為600(所有學生都參加了調查).
問題1:根據等高堆積條形圖,你能得到參加社團的高一和高二學生人數的什么信息
問題2:現從參加社團的學生中按分層隨機抽樣的方式抽取45人,則抽取的高二學生人數是多少
1.等高堆積條形圖與表格相比,更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響,常用等高堆積條形圖展示2×2列聯表數據的頻率特征.
2.觀察等高堆積條形圖,若發現和相差很大,則可以判斷兩個分類變量之間有關系.
為了了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關系,分別對鉛中毒病人和對照組的尿液做尿棕色素定性檢查,結果如下:
尿液 尿棕色素 合計
陽性 陰性
鉛中毒病人 29 7 36
對照組 9 28 37
合計 38 35 73
試畫出2×2列聯表的等高堆積條形圖,分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性的頻率有無差別,判斷鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關系.
【方法總結】利用等高堆積條形圖判斷兩個分類變量是否相關的步驟:
為了解網絡對中學生學習成績的影響,某地區教育主管部門從轄區初中生中隨機抽取了1 000人進行調查,發現其中經常上網的有200人,這200人中有80人期末考試不及格,而另外800人中有120人不及格.利用2×2列聯表和等高堆積條形圖判斷中學生學習成績與是否經常上網有關.
【隨堂檢測】
1.在統計學中,研究兩個分類變量是否存在關聯性時,常用的圖表有( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.散點圖和殘差圖
B.殘差圖和列聯表
C.散點圖和等高堆積條形圖
D.等高堆積條形圖和2×2列聯表
2.為了考察A,B兩種藥物對某疾病的預防效果,進行了動物實驗,分別得到如下等高堆積條形圖.根據圖中信息,下列說法正確的是( ).
A.藥物B的預防效果優于藥物A的預防效果
B.藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果
C.藥物A,B對該疾病均有顯著的預防效果
D.藥物A,B對該疾病均沒有預防效果
3.某藝術館為了研究學生性別和學生是否喜歡國畫之間的聯系,隨機抽取了80名學生(男生50名、女生30名)進行調查,并將調查結果繪制成如圖所示的等高堆積條形圖,則這80名學生中喜歡國畫的人數為 .
4.吃零食是在中學生中普遍存在的現象,吃零食對中學生的身體發育有諸多不利的影響.下表所示的是性別與是否喜歡吃零食的2×2列聯表:
是否喜歡吃零食 性別 合計
男 女
喜歡吃零食 5 12 17
不喜歡吃零食 40 28 68
合計 45 40 85
試用等高堆積條形圖分析性別與是否喜歡吃零食有關系.
參考答案
8.3　列聯表與獨立性檢驗
課時1　分類變量與列聯表
自主預習·悟新知
預學憶思
1.為了表述方便,我們經常會使用一種特殊的隨機變量,以區別不同的現象或性質,這類隨機變量稱為分類變量.
2.一般地,假設有兩個分類變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},將同時符合(x1,y1),(x2,y1),(x1,y2),(x2,y2)的個體數量排列成一個2×2的表格,這種形式的數據統計表稱為2×2列聯表.
X Y 合計
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
3.2×2列聯表主要用于研究兩個事件之間是相互獨立的還是存在某種關聯性,它適用于分析兩個事件之間的關系.
4.等高堆積條形圖與表格相比,等高堆積條形圖更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響,常用等高堆積條形圖展示列表數據的頻率特征.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.D　【解析】觀察等高堆積條形圖,易知D選項中兩個深色條的高度相差最明顯,說明兩個分類變量之間關系最強.
3.52　54　【解析】由列聯表可知,a=73-21=52,b=a+2=52+2=54.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:有關系.我們可以根據2×2列聯表來判斷人的身體健康狀況與飲用水的質量之間的關系.
問題2:分類變量的取值可以用實數表示,例如,學生所在的班級可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示.在很多時候,這些數值只作為編號使用,并沒有通常的大小和運算意義.
問題3:能.為了方便,我們設f0=,f1=.
那么,只要求出f0和f1的值,通過比較這兩個值的大小,就可以知道女生和男生在鍛煉的經常性方面是否存在差異.由所給的數據,計算得到f0=≈0.633,f1=≈0.787.
由f1-f0≈0.787-0.633=0.154,可知男生經常鍛煉的比率比女生的高出15.4個百分點,所以該校的女生和男生在體育鍛煉的經常性方面存在差異,而且男生更經常鍛煉.
新知運用
例1　【解析】2×2列聯表如下:
飲食習慣 年齡 合計
六十歲 及以上 六十歲 以下
飲食以蔬菜為主 43 21 64
飲食以肉類為主 27 33 60
合計 70 54 124
將表中數據代入公式得==0.671 875,==0.45.
顯然二者數據具有較為明顯的差距,據此可以在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關系.
鞏固訓練　47　92　88　82　53　【解析】由2×2列聯表得
解得
探究2　情境設置
問題1:根據等高堆積條形圖可知,參加社團的高一和高二的學生人數之比為2∶3.
問題2:根據等高堆積條形圖可知,參加社團的高一和高二的學生人數之比為2∶3,由分層隨機抽樣的性質可得,抽取的高二學生人數為45×=27.
新知運用
例2　【解析】等高堆積條形圖如圖所示:
其中兩個斜條紋小矩形的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率.
由圖可以直觀地看出,鉛中毒病人和對照組相比,尿棕色素為陽性的頻率差異明顯,因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關系.
鞏固訓練　【解析】根據題目所給的數據得到如下2×2列聯表:
學習成績 是否經常上網 合計
經常 不經常
不及格 80 120 200
及格 120 680 800
合計 200 800 1 000
等高堆積條形圖如圖所示:
比較圖中陰影部分的高度可以發現經常上網中不及格的頻率明顯高于經常上網中及格的頻率,因此可以認為中學生學習成績與是否經常上網有關.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】散點圖研究的是兩個變量間的關系,2×2列聯表研究的是兩個分類變量之間是否有關聯,殘差圖體現的是預測值與觀測值間的差距,等高堆積條形圖能直觀地反映兩個分類變量的關系.
故選D.
2.B　【解析】根據兩個表中的等高堆積條形圖知,藥物A實驗結果顯示未服用藥與服用藥時的患病差異較藥物B實驗結果顯示的大,故藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果.
3.58　【解析】由等高堆積條形圖可知,男生中喜歡國畫的占80%,女生中喜歡國畫的占60%,
則這80名學生中喜歡國畫的人數為50×80%+30×60%=58.
4.【解析】根據2×2列聯表所給的數據,可得出男生中喜歡吃零食的頻率為≈0.11,女生中喜歡吃零食的頻率為=0.3,兩者差距是|0.3-0.11|=0.19,兩者相差較大.作出等高堆積條形圖,如圖所示,比較圖中兩個深色條形的高度可以發現,女生中喜歡吃零食的頻率明顯高于男生中喜歡吃零食的頻率,因此可以認為性別與是否喜歡吃零食有關系.8.3　列聯表與獨立性檢驗
課時2　獨立性檢驗
【學習目標】 1.通過實例,理解2×2列聯表的統計意義.(數據分析) 2.理解獨立性檢驗的基本思想及其實施步驟.(數學抽象、數學分析) 3.通過實例,了解2×2列聯表、獨立性檢驗及其應用.(數學分析、數學運算、數學建模)
【自主預習】
1.什么是獨立性檢驗
2.獨立性檢驗的計算公式是什么
3.獨立性檢驗解決實際問題的主要環節有哪些
4.獨立性檢驗與反證法的思想類似,那么獨立性檢驗是反證法嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)獨立性檢驗的方法就是反證法. ( )
(2)獨立性檢驗中χ2的取值可通過統計表從數據上說明兩分類變量的相關性的大小. ( )
(3)事件A與B的獨立性檢驗無關,即兩個事件互不影響. ( )
(4)χ2的大小是判斷事件A與B是否相關的統計量. ( )
2.下列選項中,可以有95%以上的把握認為“A與B有關系”的χ2的值是( ).
A.2.700 B.2.710 C.3.765 D.5.014
3.為了調查一線城市和非一線城市的育齡婦女的二孩生育意愿,某機構用簡單隨機抽樣的方法從不同地區調查了100位育齡婦女,結果如下表.
二孩生育意愿 城市級別 合計
非一線 一線
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
合計 58 42 100
由χ2=,n=a+b+c+d,
得χ2=≈9.616.
參照下表:
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,可以得到的結論是 .
4.某校對學生課外活動進行調查,結果整理成下表:
性別 課外活動 合計
喜歡體育 喜歡文娛
男生 21 23 44
女生 6 29 35
合計 27 52 79
試根據小概率值α=0.005的獨立性檢驗,分析喜歡體育還是文娛與性別是否有關系.
參考公式:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【合作探究】
　獨立性檢驗
高中流行這樣一句話:文科就怕數學不好,理科就怕英語不好.以下是一次針對高三文科學生成績的調查所得的數據:
數學成績 總成績 合計
總成績好 總成績不好
數學成績好 478 a 490
數學成績不好 399 24 423
合計 b c 913
問題:你能求出表中a,b,c的值嗎 由表中的數據,能否認為文科學生總成績不好與數學成績不好有關系.
1.零假設
設X和Y為定義在Ω上,取值于{0,1}的成對分類變量.我們希望判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關聯.注意到{X=0}和{X=1},{Y=0}和{Y=1}都是互為對立事件,我們需要判斷下面的假定關系,H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常稱H0為零假設或原假設.
2.χ2的計算公式
設X和Y的2×2列聯表如下:
X Y 合計
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
則χ2=,n=a+b+c+d.
為了了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關,對本班45人進行了問卷調查,得到了如下的2×2列聯表:
性別 是否喜愛打籃球 合計
喜愛打籃球 不喜愛打籃球
男 5
女 5
合計 45
已知從45人中隨機抽取1人,是男同學的概率為.
(1)請將上面的2×2列聯表補充完整;
(2)根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析喜愛打籃球是否與性別有關.
參考公式:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【方法總結】這類問題的解決方法:先確定a,b,c,d,n的值并求出χ2的值,再與臨界值相比較,作出判斷,解題時注意正確運用公式,代入數據準確計算.
為了調查觀眾對某電影結局的滿意程度,研究人員在某電影院隨機抽取了1 000名觀眾作調查,所得結果如下表所示,其中不滿意該電影的結局的觀眾占被調查觀眾總數的.
對該電影的結局 的滿意程度 性別 合計
男 女
滿意 400
不滿意 200
合計
(1)完善上述2×2列聯表.
(2)依據α=0.001的獨立性檢驗,分析觀眾對該電影結局的滿意程度與性別是否有關.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
　獨立性檢驗的應用
問題1:當χ2≥3.841時,認為事件A與B有關,此推斷犯錯誤的概率不超過多少
問題2:在研究打鼾與患心臟病之間的關系中,通過收集數據、整理分析數據得到“打鼾與患心臟病有關”的結論,并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的.我們是否可以判定100個心臟病患者中一定有打鼾的人
1.臨界值
根據小概率事件在一次試驗中不大可能發生的規律,確定χ2大小的標準來推斷H0是否成立可以通過確定一個與H0相矛盾的小概率事件來實現.在假定H0的條件下,對于有放回簡單隨機抽樣,當樣本容量n充分大時,統計學家得到了χ2的近似分布.忽略χ2的實際分布與該近似分布的誤差后,對于任何小概率值α,可以找到相應的正實數xα,使得P(χ2≥xα)=α成立.
我們稱xα為α的臨界值,這個臨界值就可作為判斷χ2大小的標準.概率值α越小,臨界值xα越大.當總體很大時,抽樣有、無放回對χ2的分布影響較小.因此,在應用中往往不嚴格要求抽樣必須是有放回的.
由P(χ2≥xα)=α可知,只要把概率值α取得充分小,在假設H0成立的情況下,事件{χ2≥xα}是不大可能發生的.根據這個規律,如果該事件發生,我們就可以推斷H0不成立.不過這個推斷有可能犯錯誤,但犯錯誤的概率不會超過α.
2.獨立性檢驗
基于小概率值α的檢驗規則:
當χ2≥xα時,我們就推斷H0不成立,即認為X和Y不獨立,該推斷犯錯誤的概率不超過α;
當χ2這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”,簡稱獨立性檢驗.
為了了解某市創建文明城市過程中,學生對創建工作的滿意情況,相關部門對某中學的100名學生進行調查,其中有50名男生對創建工作表示滿意,有15名女生對創建工作表示不滿意.已知在全部100名學生中隨機抽取1人,其對創建工作表示滿意的概率為.是否有充足的證據說明學生對創建工作的滿意情況與性別有關
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【方法總結】獨立性檢驗的基本思想是要確認“兩個分類變量有關系”這一結論成立的可信程度,首先假設“兩個分類變量沒有關系”,在該假設下我們構造的統計量χ2應該很小,若用觀測數據計算的統計量χ2很大,則在一定程度上說明假設不合理.由χ2與臨界值的大小關系作出判斷.
為加強環境保護,治理空氣污染,環境監測部門對某市空氣質量進行調研,隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),整理得下表:
PM2.5 SO2
[0,50] [0,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;
(2)根據所給數據,完成下面的2×2列聯表:
PM2.5 SO2 合計
[0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
合計
(3)根據(2)中的列聯表,判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【隨堂檢測】
1.在某次飛行航程中,因遭遇惡劣氣候,機內55名男乘客中有24名暈機,34名女乘客中有8名暈機,在檢驗這些乘客暈機是否與性別有關時,采用的數據分析方法應是( ).　　　　　　　　　　　　　　　
A.頻率分布直方圖 B.回歸分析
C.獨立性檢驗 D.用樣本估計總體
2.某校為了研究“學生的性別”和“對待某一活動的態度”是否有關,運用2×2列聯表進行獨立性檢驗,經計算χ2=7.069,則認為“學生性別與支持某項活動有關系”的犯錯誤的概率不超過( ).
A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%
3.兩個分類變量X和Y的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},在2×2列聯表中,其樣本頻數分別是a=10,b=21,c+d=35.若X與Y有關系的可信程度不小于97.5%,則c=( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
附:
α 0.05 0.025
xα 3.841 5.024
4.某高校《統計初步》課程的教師隨機調查了選該課的學生的一些情況,得到如下2×2列聯表:
性別 專業 合計
非統計專業 統計專業
男 13 10 23
女 7 20 27
合計 20 30 50
則χ2≈ (結果保留三位小數),在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為學生主修統計專業與性別有關.
參考答案
課時2　獨立性檢驗
自主預習·悟新知
預學憶思
1.利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”,簡稱獨立性檢驗.
2.χ2=,其中n=a+b+c+d.
3.(1)提出零假設H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.
(2)根據抽樣數據整理出2×2列聯表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.
(3)根據檢驗規則得出推斷結論.
(4)在X和Y不獨立的情況下,根據需要,通過比較相應的頻率,分析X和Y之間的影響規律.
4.不是.因為反證法不會出錯,而獨立性檢驗依據的是小概率事件幾乎不發生.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.D　【解析】χ2=5.014>3.841,故D正確.
3.二孩生育意愿與城市級別有關　【解析】因為χ2≈9.616>6.635,
所以根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,可以得到的結論是二孩生育意愿與城市級別有關.
4.【解析】零假設為H0:喜歡體育還是文娛與性別沒有關系.
∵a=21,b=23,c=6,d=29,n=79,
∴χ2=
=≈8.106>7.879=x0.005.
根據小概率值α=0.005的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為喜歡體育還是文娛與性別有關.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題:a=490-478=12,b=478+399=877,c=a+24=12+24=36.
零假設為H0:文科學生的總成績與數學成績的好壞無關系.
根據表中數據,計算得到χ2=≈6.233>3.841,
根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷H0不成立,
即認為文科學生總成績不好與數學成績不好有關系.
新知運用
例1　【解析】(1)根據題意,男同學有45×=25(人),補充2×2列聯表如下:
性別 是否喜愛打籃球 合計
喜愛打籃球 不喜愛打籃球
男 20 5 25
女 5 15 20
合計 25 20 45
(2)零假設為H0:喜愛打籃球與性別無關.
根據表中數據,計算χ2==≈13.613>10.828,
根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為喜愛打籃球與性別有關.
鞏固訓練　【解析】(1)不滿意該電影結局的觀眾的人數為1 000×=300,
完善表格中的數據,如下表所示:
對該電影的結局 的滿意程度 性別 合計
男 女
滿意 400 300 700
不滿意 100 200 300
合計 500 500 1 000
(2)零假設為H0:觀眾對該電影結局的滿意程度與性別無關.
根據表中數據,計算χ2=≈47.619>10.828,
根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為觀眾對該電影結局的滿意程度與性別有關.
探究2　情境設置
問題1:由臨界值表可知,當χ2≥3.841時,認為事件A與B有關,此推斷犯錯誤的概率不超過0.05.
問題2:這是獨立性檢驗,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“打鼾與患心臟病有關”,這只是一個概率,即打鼾與患心臟病有關的可能性為99%.根據概率的意義可知100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有.
新知運用
例2　【解析】由題意得2×2列聯表如下:
性別 滿意情況 合計
滿意 不滿意
男 50 5 55
女 30 15 45
合計 80 20 100
零假設為H0:學生對創建工作的滿意情況與性別無關.
根據表中的數據,計算得到χ2=≈9.091>6.635,
根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,我們推出H0不成立,即認為學生對創建工作的滿意情況與性別有關.
鞏固訓練　【解析】(1)根據抽查數據,該市100天里空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的天數為32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的概率的估計值為=0.64.
(2)根據所給數據,可得如下2×2列聯表:
PM2.5 SO2 合計
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16 80
(75,115] 10 10 20
合計 74 26 100
(3)根據2×2列聯表中的數據可得χ2=≈7.484.
由于7.484>6.635=x0.010,根據小概率值α=0.010的獨立性檢驗,有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.
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1.C　【解析】根據題意,結合題目中的數據,列出2×2列聯表,計算χ2的值,對照臨界值表可得出概率結論,這種分析數據的方法是獨立性檢驗.
2.B　【解析】∵χ2=7.069>6.635=x0.01,
∴認為“學生性別與支持某項活動有關系”的犯錯誤的概率不超過1%.
3.A　【解析】2×2列聯表如下:
X Y 合計
y1 y2
x1 10 21 31
x2 c d 35
合計 10+c 21+d 66
故χ2=≥5.024.把選項A,B,C,D分別代入驗證,可知選A.
4.4.844　0.05　【解析】χ2=≈4.844>3.841,
故在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為學生主修統計專業與性別有關.

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