資源簡(jiǎn)介

1.2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，能夠?qū)⒌炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式與實(shí)際問(wèn)題相互聯(lián)系，進(jìn)而感受等差數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用.(數(shù)學(xué)建模)
2.能夠正確推導(dǎo)有關(guān)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，并能夠靈活運(yùn)用.(邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
　　一個(gè)工廠把所生產(chǎn)的鋼管堆成如圖所示的形狀，從上面的一排起，各排鋼管的數(shù)量依次是3，4，5，6，7，8，9.
1.圖中這些鋼管的總數(shù)是多少
2.按圖中規(guī)律堆放鋼管n排，各排鋼管的數(shù)量依次是3，4，5，6，7，…，n+2.此時(shí)，鋼管總數(shù)是多少
3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么 它與什么量有關(guān)
4.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共涉及幾個(gè)量 如何求這些量
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差，可求S10. (　　)
(2)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)a17，可求S17. (　　)
(3)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S10+S20=S30. (　　)
2.若在等差數(shù)列{an}中，a1=1，d=1，則Sn=(　　).
A.n
B.n(n+1)
C.n(n-1)
D.
3.已知在等差數(shù)列{an}中，S10=120，則a1+a10=(　　).
A.10 B.12
C.20 D.24
4.已知{an}是等差數(shù)列，a1=10，前10項(xiàng)和S10=70，則其公差d=　　　　.
【合作探究】
　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉，它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑令人心醉神迷.傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的寶石鑲飾而成，共有100層，奢靡之程度，可見(jiàn)一斑.
問(wèn)題1：上述情境的圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石 你能不能快速地求出呢
問(wèn)題2：你能得出一般的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式嗎
等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn==na1+，其推導(dǎo)方法是倒序相加法.
(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=(　　).
A.-12 B.-10 C.10 D.12
(2)在等差數(shù)列{an}中，a2=2，a4=6，若數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm=30，則m的值為(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
【方法總結(jié)】通過(guò)列出方程組求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再利用求和公式列式求解.
若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=25，且a2=3，則a7=(　　).
A.12 B.13 C.14 D.15
在等差數(shù)列{an}中，a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，則m的值為(　　).
A.37 B.36 C.20 D.19
　a1，d，n，an，Sn，知三求二
問(wèn)題：在等差數(shù)列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn
　　在等差數(shù)列五個(gè)基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三個(gè)量，可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)，進(jìn)而求出余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)需注意整體代換及方程思想的應(yīng)用.
在等差數(shù)列{an}中，
(1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10；
(2)已知a1=4，S8=172，求a8和d.
【方法總結(jié)】知三求二中，一般是根據(jù)已知的三個(gè)基本量列出方程(組)，再通過(guò)解方程(組)求出其他的兩個(gè)未知量.
已知在等差數(shù)列{an}中，
(1)a1=1，a4=7，求S9；
(2)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d.
　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
　　已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.
問(wèn)題1：從函數(shù)的觀點(diǎn)分析Sn關(guān)于n的函數(shù)具有什么特點(diǎn)
問(wèn)題2：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進(jìn)行思考分析.
問(wèn)題3：an與S2n-1之間有什么等量關(guān)系 利用等差中項(xiàng)和等差數(shù)列求和公式進(jìn)行推導(dǎo).
問(wèn)題4：S奇，S偶具有什么關(guān)系 對(duì)n分類(lèi)討論.
問(wèn)題5：數(shù)列是什么數(shù)列
　　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d.
(1)Sn=An2+Bn，其中A=，B=a1-.
(2)數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(m∈N*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.
(3)S2n-1=(2n-1)an，S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
(4)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶-S奇=nd，S奇∶S偶=an∶an+1；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí)，S奇-S偶=a中，S奇∶S偶=n∶(n-1).
(5)若{an}是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同，公差是{an}的公差的.
(1)已知等差數(shù)列{an} 的前n 項(xiàng)和為Sn，若=6，則 的值為(　　).
A. B. C. D.
(2)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，則該數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)分別為　　　　.
(3)若等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且=，則=　　　　.
【方法總結(jié)】(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…是等差數(shù)列；(2)通過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系即可求得的表達(dá)式.
設(shè)等差數(shù)列{an} 的前n 項(xiàng)和為Sn，若S3=16，S6=8，則S12=(　　).
A.-50 B.-60
C.-70 D.-80
在等差數(shù)列{an}中，a1=2 020，前n項(xiàng)和為Sn，若-=-2，則S2 024=　　　　.
一個(gè)等差數(shù)列前12項(xiàng)的和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差為　　　　.
　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用
(2020年全國(guó)Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)(　　).
A.3 699塊 B.3 474塊
C.3 402塊 D.3 339塊
【方法總結(jié)】應(yīng)用等差數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路：
已知甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.
(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇
(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇
【隨堂檢測(cè)】
1.已知等差數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和為27，a10=8，則a100=(　　).
A.100 B.99
C.98 D.97
2.已知Sn 是等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和，若S20=15，S60=75，則S40=(　　).
A.40 B.45
C.50 D.55
3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若=，則=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.
4.在等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4+a7<0，則n=　　　　時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn取最大值.
5.某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來(lái)之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20輛同型號(hào)翻斗車(chē)，平均每輛車(chē)工作24小時(shí).從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車(chē)目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車(chē)到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線
參考答案
1.2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.3+4+5+6+7+8+9=42，即鋼管總數(shù)是42.
2.設(shè)鋼管總數(shù)是S，則S=3+4+5+…+(n+2)=(n+2)+(n+1)+…+3.
所以2S=[3+(n+2)]×n=n2+5n，
即S=n2+n.
故鋼管總數(shù)是n2+n.
3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+d，它與首項(xiàng)a1，公差d和項(xiàng)數(shù)n這三個(gè)量有關(guān)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=，它與首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an和項(xiàng)數(shù)n這三個(gè)量有關(guān).
4.在這些公式中共含有5個(gè)量，即a1，d，n，an，Sn，只需知道其中的3個(gè)量就可以通過(guò)解方程組求出另外的2個(gè)量.
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.D　【解析】Sn=na1+d=n+==.故選D.
3.D　【解析】由S10==120，得a1+a10=24.
4.-　【解析】S10=10a1+d=70，又a1=10，所以d=-.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問(wèn)題1：
S21==231.
問(wèn)題2：設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]，
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]，
∴2Sn=(a1+an)·n，
由此可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=.
新知運(yùn)用
例1　(1)B　(2)C　【解析】(1)設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題中的條件可得3×3×2+d=2×2+d+4×2+d，解得d=-3，所以a5=a1+4d=2-12=-10.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則a1+d=2，a1+3d=6，故a1=0，d=2，則Sm=m2-m=30，解得m=6或m=-5(舍去).
鞏固訓(xùn)練1　B　【解析】由S5=得，25=，解得a4=7，所以7=3+2d，解得d=2，所以a7=a4+3d=7+3×2=13.
鞏固訓(xùn)練2　A　【解析】am=a1+a2+…+a9=9a1+d=36d=(m-1)d，解得m=37.
探究2　情境設(shè)置
問(wèn)題：利用an=a1+(n-1)d可求a1；利用Sn=或Sn=na1+d可求Sn.
新知運(yùn)用
例2　【解析】(1)
解得
∴a8=a6+2d=10+2×3=16，
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172，
解得a8=39，
又∵a8=4+(8-1)d=39，
∴d=5.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a4=a1+3d=1+3d=7，所以d=2.
故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)由題意得，Sn===-5，解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-，所以d=-.
探究3　情境設(shè)置
問(wèn)題1：Sn=na1+d=n2+a1-n=An2+Bn，其中A=，B=a1-，
故Sn關(guān)于n的函數(shù)解析式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)解析式.
問(wèn)題2：當(dāng)m=2時(shí)，S2=a1+a2，S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=(a1+a2)+4d，S6-S4=a5+a6=a1+4d+a2+4d=(a1+a2)+8d，所以S2，S4-S2，S6-S4成等差數(shù)列，公差為4d.
同理可得S2m-Sm=(a1+a2+…+a2m)-(a1+a2+…+am)=am+1+am+2+…+a2m=(a1+a2+…+am)+m2d，
S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=(a1+a2+…+am)+2m2d，
所以Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數(shù)列，公差為m2d.
問(wèn)題3：S2n-1==(2n-1)an.
問(wèn)題4：若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+…+d=nd，===；
若項(xiàng)數(shù)為2n-1，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an，所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=·(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an，S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan，所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(這里an=a中，a中是中間項(xiàng))，==.
問(wèn)題5：已知數(shù)列{an}的公差為d，則Sn=na1+n(n-1)d，所以有=+a1-，=+a1-.因?yàn)?=+a1---a1-=，所以數(shù)列是首項(xiàng)為a1，公差為的等差數(shù)列.
新知運(yùn)用
例3　(1)B　(2)11　7　(3) 　【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列{an} 為等差數(shù)列，所以S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9 成等差數(shù)列.
因?yàn)?6，設(shè)S3=k，則S9=6k，由2(S6-S3)=S3+(S9-S6)，即2(S6-k)=k+(6k-S6)，得S6=3k，所以S12-S9=4k，所以S12=10k，所以= .
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n+1，S奇=a1+a3+…+a2n+1==(n+1)an+1，S偶=a2+a4+a6+…+a2n==nan+1，
所以==，解得n=3，所以項(xiàng)數(shù)為2n+1=7.
又因?yàn)镾奇-S偶=an+1=a中，所以a4=S奇-S偶=44-33=11，所以中間項(xiàng)為11.
(3)因?yàn)閿?shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)以及求和公式可得====，又因?yàn)?，將n=9 代入得=== .
鞏固訓(xùn)練1　D　【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9 成等差數(shù)列，
且該數(shù)列的公差為(S6-S3)-S3=-8-16=-24，則S9-S6=(S6-S3)-24=-32，
所以S12-S9=(S9-S6)-24=-56，因此S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=-80.
鞏固訓(xùn)練2　-6 072　【解析】設(shè){an}的公差為d0，
∵Sn=，
∴=，∴-=-=.
∵為常數(shù)，∴為等差數(shù)列.
設(shè)的公差為d，
∵a1=2 020，∴=2 020.
∵-=2d=-2，
∴d=-1，
∴=2 020+2 023×(-1)=-3，則S2 024=-6 072.
鞏固訓(xùn)練3　5　【解析】設(shè)等差數(shù)列前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.
由已知條件，得解得
又S偶-S奇=6d，所以d==5.
探究4
例4　C　【解析】設(shè)第n環(huán)天心石塊數(shù)為an，第一層共有n環(huán)，則{an}是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，an=9+(n-1)×9=9n，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以S3n-S2n=S2n-Sn+729，
即-=-+729，即9n2=729，解得n=9，所以S3n=S27==3 402.故選C.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)設(shè)n分鐘后相遇，依題意，有2n++5n=70，
整理得n2+13n-140=0，解得n=7或n=-20(舍去).
故相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后7分鐘.
(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意，有2n++5n=3×70，
整理得n2+13n-420=0，解得n=15或n=-28(舍去).
故第2次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后15分鐘.
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.C　【解析】∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，∴S9=(a1+a9)=9a5=27，∴a5=3.又∵a10=8，
∴解得∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C.
2.A　【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得S20，S40-S20，S60-S40 成等差數(shù)列，
所以2(S40-15)=15+(75-S40)，解得S40=40.
3.A　【解析】因?yàn)镾2n-1=(2n-1)an，
所以==×=1.
4.5　【解析】∵∴
∴Sn的最大值為S5，∴n=5.
5.【解析】從第一輛車(chē)投入工作算起各車(chē)工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a1，a2，…，a25.
由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1=24，公差d=-.
25輛翻斗車(chē)完成的工作量為a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-=500，而需要完成的工作量為24×20=480.∵500>480，∴在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線.

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