資源簡介

1.3.2 等比數列的性質及其應用
【學習目標】
1.理解等比中項的概念，并能夠利用等比中項進行解題.(數學運算)
2.熟悉等比數列的相關性質，并能夠應用該知識進行靈活運算.(邏輯推理)
【自主預習】
1.已知等比數列的第m項為am，公比為q，求通項公式an.
2.若m+n=p+r，m，n，p，r∈N*，在等差數列中有am+an=ap+ar，則在等比數列中，你能得出什么結論
3.在等比數列{an}中，若q>1，則{an}是遞增數列嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)當q>1時，{an}為遞增數列. (　　)
(2)當q=1時，{an}為常數列. (　　)
(3)若{an}是等比數列，且m+n=p，則aman=ap. (　　)
(4)若等比數列{an}的公比是q，則an=amqm-n(m，n∈N*). (　　)
2.已知在等比數列{an}中，a1=1，a3=，則a5=(　　).
A.± B.- C. D.±
3.若在等比數列{an}中，a4=4，則a2·a6=(　　).
A.4 B.8 C.16 D.32
4.已知在等比數列{an}中，a7a12=5，則a8a9a10a11=　　　　.
【合作探究】
　等比中項
關于在國際象棋棋盤各個格子里放麥粒的問題，由于每一個格子里的麥粒都是前一個格子里的麥粒數的2倍，且共有64個格子，因此各個格子里的麥粒數依次是1，2，22，23，…，263.
問題1：觀察上面這個數列，這個數列的任意連續三項之間有什么樣的關系
問題2：結合情境設置，若任意選取4項，且滿足p+q=m+n，請你猜測ap·aq與am·an之間存在什么樣的關系.
1.如果在a與b之間插入一個數G，使得a，G，b成等比數列，那么稱G為a與b的等比中項，且G2=ab或G=±.
2.在等比數列中，若p+q=m+n，則ap·aq=am·an；若2m=p+q，則=ap·aq.(p，q，m，n∈N*)
(1)已知數列{an}為等比數列，若a4+a6=10，則a7(a1+2a3)+a3a9的值為(　　).
A.10 B.20 C.100 D.200
(2)在等比數列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，則+++=　　　　.
【方法總結】在應用等比數列的性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時要注意設而不求思想的運用.
在等比數列{an}中，a3和a5是一元二次方程x2+kx+5=0的兩個根，則a2a4a6的值為(　　).
A.±5 B.5 C.-5 D.25
若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11+a9a12=2e5(e為自然對數的底數)，則ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　　.
　等比數列的性質
將一根長為1米的木棒截去一半后，再從剩下的一半中截去一半，以此類推，可以得到數列：，，，，…，.
問題1：結合情境設置，你能歸納出一般的等比數列的通項公式嗎
問題2：若從上述的等比數列中按序等距離取出若干項，能否構成一個新的等比數列
　　(1)通項公式的推廣：　.
(2)若{an}，{bn}均為等比數列，且公比分別為q1，q2，則數列，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，仍為等比數列，且公比分別為　　　　.
(3)在等比數列中，按序等距離取出若干項，也構成一個等比數列，即an，an+m，an+2m，…仍為等比數列，公比為　　　　.
已知{an}為等比數列.
(1)若數列{an}滿足a2a4=，求a1a5；
(2)若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5；
(3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10.
【方法總結】利用等比數列的性質解題的基本思路：(1)充分發揮項的“下標”的指導作用，分析等比數列項與項之間的關系，選擇恰當的性質解題.(2)在等比數列的有關運算中，常常涉及次數較高的指數運算，往往是建立關于a1，q的方程組求解，但這樣解起來很麻煩.此時，常利用等比數列的性質求解，可使問題簡單明了.另外，在應用等比數列的性質解題時，需時刻注意等比數列性質成立的前提條件.
將公比為q的等比數列{an}依次取相鄰兩項的乘積組成新的數列a1a2，a2a3，a3a4，…，則此數列是(　　).
A.公比為q的等比數列 B.公比為q2的等比數列
C.公比為q3的等比數列 D.不一定是等比數列
在等比數列{an}中，若a2·a8=36，a3+a7=15，則公比q=(　　).
A.± B.± C.或 D.±或±
在等比數列{an}中，a888=3，a891=81，則公比q=　　　　.
　等比數列的判定與證明
問題1：利用等比數列的定義證明數列為等比數列的關鍵是什么
問題2：在數列{an}中，若an+1=2an，則數列{an}是等比數列嗎
問題3：若數列{an}是公比為q的等比數列，則它的通項公式為an=a1·qn-1(a1，q為非零常數，n∈N*).反之，能說明數列{an}是等比數列嗎
問題4：如何證明數列{an+1}是等比數列
判斷一個數列是等比數列的常用方法
(1)定義法：若數列{an}滿足=q(n∈N*，q為常數且不為零)或=q(n≥2且n∈N*，q為常數且不為零)，則數列{an}是等比數列.
(2)通項公式法：若數列{an}的通項公式為an=a1qn-1(n∈N*，a1≠0，q≠0)，則數列{an}是等比數列.
(3)等比中項法：若=anan+2(n∈N*且an≠0)，則數列{an}為等比數列.
(4)構造法：在條件中出現an+1=kan+b關系時，往往構造數列，方法是把an+1+x=k(an+x)與an+1=kan+b對照，求出x即可.
已知Sn是數列{an}的前n項和，且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值；
(2)若bn=an-1，試證明數列{bn}為等比數列.
【方法總結】證明一個數列是等比數列的常用方法有定義法與等比中項法，注意不管用哪種方法判定等比數列都要先強調任一項不等于零.
已知Sn是數列{an}的前n項和，且Sn=2-an，求證：{an}為等比數列.
【隨堂檢測】
1.對任意等比數列{an}，下列說法一定正確的是(　　).
A.a1，a3，a9成等比數列 B.a2，a3，a6成等比數列
C.a2，a4，a8成等比數列 D.a3，a6，a9成等比數列
2.(多選題)若在等比數列{an}中，a2a3a4=8，a7=8，則公比q可以為 (　　).
A. B.2 C.- D.-2
3.若1，a1，a2，4成等差數列，1，b1，b2，b3，4成等比數列，則的值等于(　　).
A.- B. C.± D.
4.在數列{an}中，已知a2=4，a3=15，且數列{an+n}是等比數列，則an=　　　.
5.從盛滿a(a>1)升純酒精的容器里倒出1升，然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此繼續下去，問：
(1)第n次操作后溶液的濃度是多少
(2)當a=2時，至少應操作幾次后才能使溶液的濃度低于10%
參考答案
1.3.2 等比數列的性質及其應用
自主預習·悟新知
預學憶思
1.由am=a1qm-1，得a1=，
所以an=a1qn-1=·qn-1=amqn-m.
2.在等比數列中，若m+n=p+r，m，n，p，r∈N*，則aman=apar.
3.不一定，還需看a1的符號，只有當a1>0，q>1時，{an}才是遞增數列.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　【解析】在等比數列{an}中，=a1·a5，所以a5==.
3.C　【解析】∵{an}是等比數列，∴a2·a6==16.
4.25　【解析】∵{an}是等比數列，
∴a8·a11=a9·a10=a7·a12，
∴a8a9a10a11=(a7a12)2=52=25.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：前一項與后一項的積是中間項的平方.
問題2：ap·aq=am·an.
新知運用
例1　(1)C　(2)-　【解析】(1)a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100.
(2)因為+=，+=，
由等比數列的性質知a7a10=a8a9，
所以+++==÷-=-.
鞏固訓練1　A　【解析】由根與系數的關系得a3a5=5，又因為=a2a6=a3a5=5，所以a4=±，所以a2a4a6=±5.
鞏固訓練2　50　【解析】由題意得a10a11=e5，所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)…(a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50.
探究2　情境設置
問題1：an=n-1=2n-2=m·n-m=，所以一般的等比數列的通項公式為an=am·qn-m(n，m∈N*).
問題2：能.
新知生成
(1)an=am·qn-m(n，m∈N*)
(2)，q1，q1q2，
(3)qm
新知運用
例2　【解析】(1)在等比數列{an}中，∵a2a4=，
∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=.
(2)由等比中項的性質，得+2a3a5+=25，即(a3+a5)2=25，
∵an>0，∴a3+a5=5.
(3)由等比數列的性質知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
=log395=10.
鞏固訓練1　B　【解析】∵=·=q·q=q2，n≥2且n∈N*，
∴{anan+1}是以q2為公比的等比數列.故選B.
鞏固訓練2　D　【解析】∵a2·a8=a3·a7，
∴由
解得或
若a3=3，a7=12，則有12=3×q4，
∴q=±；
若a3=12，a7=3，則有3=12×q4，
∴q=±.故選D.
鞏固訓練3　3　【解析】∵a891=a888q891-888=a888q3，
∴q3===27，
∴q=3.
探究3　情境設置
問題1：關鍵是能夠證明(n∈N*)是一個非零常數.
問題2：不一定.當an≠0時，數列{an}是等比數列；當an=0時，數列{an}不是等比數列.
問題3：能.根據等比數列的定義可以判斷.
問題4：證明=q(q≠0)即可.
新知運用
例3　【解析】(1)因為Sn=2an+n-4，
所以當n=1時，S1=2a1+1-4=a1，解得a1=3.
(2)因為Sn=2an+n-4，
所以當n≥2時，Sn-1=2an-1+(n-1)-4，
Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)，
即an=2an-1-1，
所以an-1=2(an-1-1)，
又bn=an-1，所以bn=2bn-1(n≥2)，且b1=a1-1=2≠0，所以bn=2n(n∈N*)，
所以數列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數列.
鞏固訓練　【解析】因為Sn=2-an，所以Sn+1=2-an+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1，
所以an+1=an.
又因為S1=2-a1=a1，所以a1=1≠0，
又由an+1=an知an≠0，
所以=，所以an=n-1(n∈N*)，
所以數列{an}是首項為1，公比為的等比數列.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】因為=a3a9，所以a3，a6，a9成等比數列.
2.AC　【解析】因為數列{an}是等比數列，所以a2a3a4==8，解得a3=2，所以a7=a3q4=2q4=8，即q2=2，所以q= 或q=-.
3.A　【解析】∵1，a1，a2，4成等差數列，
∴3(a2-a1)=4-1，∴a2-a1=1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比數列，設其公比為q，∴=1×4=4，且b2=1×q2>0，
∴b2=2，∴==-.
4.2×3n-1-n　【解析】∵數列{an+n}是等比數列，
∴(a2+2)2=(a1+1)·(a3+3)，∴(4+2)2=(a1+1)×(15+3)，解得a1=1，∴公比q===3，
∴an+n=2×3n-1，∴an=2×3n-1-n.
5.【解析】(1)由題意知，開始時溶液的濃度為1，設第n次操作后溶液的濃度為an，則第1次操作后溶液的濃度為a1=1-，第(n+1)次操作后溶液的濃度為an+1=an1-，
所以{an}是首項為1-，公比為1-的等比數列，
所以an=a1qn-1=1-n，即第n次操作后溶液的濃度是1-n.
(2)當a=2時，令an=n<，得n≥4.
故至少應操作4次后才能使溶液的濃度低于10%.

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