資源簡介

1.3.3 等比數列的前n項和
【學習目標】
1.會用錯位相減法推導等比數列的前n項和公式，掌握等比數列的前n項和公式，并能夠和實際問題相互聯系，進而感受等比數列的實際運用.(數學建模)
2.能夠正確推導有關等比數列前n項和的性質，并能夠進行靈活運用.(邏輯推理)
3.會用等比數列的前n項和公式解決有關等比數列的一些簡單問題，初步學會分類討論的數學思想.(數學運算)
【自主預習】
1.公比為1的等比數列的前n項和Sn如何計算
2.當q≠1時，如何計算等比數列的前n項和Sn
3.當等比數列的公比為字母時，求{an}的前n項和要注意什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)求等比數列{an}的前n項和時可直接套用公式Sn=來求. (　　)
(2)若首項為a的數列既是等差數列又是等比數列，則其前n項和為Sn=na. (　　)
(3)若某數列的前n項和公式為Sn=-aqn+a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數列一定是等比數列. (　　)
2.在等比數列{an}中，a1=1，q=2，則S5=　　　　.
3.某廠去年的產值為a，計劃在今后5年內每年比上一年的產值增長10%，則從今年起5年內該廠的總產值為　　　　.
4.已知等比數列{an}的前n 項和為Sn，若S3=10，S6=20，則S9=　　　　.
【合作探究】
　等比數列的前n項和公式
　　已知等比數列{an}的公比為q，Sn是其前n項和，則Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.
問題1：若q=1，則Sn與a1有何關系
問題2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn嗎 如何表示
　　在等比數列{an}中，Sn=
求和公式的推導方法：乘公比，錯位相減.為解題方便，有時可將求和公式變形為Sn=Bqn-B(q≠1)，其中B=，q≠0且q≠1.
在等比數列{an}中，Sn為其前n項和，q為其公比.
(1)若S2=30，S3=155，求Sn；
(2)若a1+a3=10，a4+a6=，求S5；
(3)若a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q.
【方法總結】　　解決此類問題的方法是先求出等比數列的首項a1與公比q，再代入等比數列{an}的前n項和公式求得Sn.
已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且a1=，a2a6=8(a4-2)，則S2 020=(　　).
A.22 019- B.1-2 019
C.22 020- D.1-2 020
在等比數列{an}中，Sn為其前n項和，q為其公比.
(1)若an=2n，求S6；
(2)若Sn=189，q=2，an=96，求a1和n.
　a1，q，n，an，Sn中知三求二
問題：在等比數列{an}中，若已知q，n，an，如何求a1和Sn
　　在等比數列{an}的五個基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三個量，可以將已知條件結合等比數列的性質或通項公式、前n項和公式轉化為關于基本量的方程(組)來求得余下的兩個量，計算有時要整體代換.根據等比數列{an}的前n項和公式列方程時還要注意對q是否為1進行討論.
(1)在等比數列{an}中，a3=7，前3項之和S3=21，則公比q的值為　　　　.
(2)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且a1+a3=，a2+a4=，則=　　　　.
【方法總結】等比數列{an}中的五個基本量a1，an，n，q，Sn能夠“知三求二”，體現了方程(組)的思想、整體思想，有時要用到換元法.
已知等比數列{an}中，a1=2，S3=6，求a3和公比q.
　等比數列前n項和的性質
已知等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn.
問題1：當q≠1時，從函數的角度分析Sn關于n的解析式對應的函數模型是什么
問題2：數列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進行思考分析.
問題3：Sm，Sn，Sm+n之間有什么等量關系 利用等比數列求和公式進行推導.
問題4：S奇，S偶分別是多少 兩者之間具有什么關系 對n進行分類討論.
1.若數列{an}的前n項和Sn=an-1(a≠0，a≠1，n∈N*)，則數列{an}是等比數列.
2.若公比不為-1的等比數列{an}的前n項和為Sn(Sn≠0)，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…構成等比數列，且公比為　　.
3.若數列{an}是公比為q的等比數列，則Sm+n=Sn+qnSm.若等比數列{an}的前n項和為Sn，則等比數列的項數為偶數時，=q；等比數列的項數為奇數時，=q.
(1)設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S6∶S3=1∶2，則S9∶S3=　　　　.
(2)已知等比數列{an}共有2n項，其和為-240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q=　　　　.
【方法總結】熟練掌握等比數列前n項和的性質是解題的關鍵，且有助于減少運算量.
設等比數列{an}的前n項和為Sn，若=3，則=(　　).
A.2 B. C. D.3
已知等比數列{an}的公比q=2，前100項的和為S100=90，則其偶數項和a2+a4+…+a100=(　　).
A.15 B.30 C.45 D.60
　錯位相減法在數列求和中的應用
設等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數列{bn}的公比為q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.
(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；
(2)當d>1時，記cn=，求數列{cn}的前n項和Tn.
【方法總結】理解錯位相減法的運算法則的兩個關鍵點，一是通過乘以公比q的同類項錯位，二是相減合并同類項，再用等比數列求和公式計算.
已知{an}是各項均為正數的數列，Sn為數列{an}的前n項和，Sn>1且2Sn=(an-1)(an+2)(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若數列{bn}滿足bn=，求數列{bn}的前n項和Tn.
【隨堂檢測】
1.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，S3=a2+10a1，a5=9，則a1=(　　).
A. B.- C. D.-
2.設數列{(-1)n}的前n項和為Sn，則Sn等于(　　).
A. B. C. D.
3.已知等比數列{an}的公比為2，其前n項和為Sn，且前5項和為1，那么前10項和等于(　　).
A.31 B.33 C.35 D.37
4.已知等比數列{an}的前n 項和為Sn，若S5=10，S10=50，則S15=　　　　.
5.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，S1，S3，S2成等差數列.
(1)求數列{an}的公比q；
(2)若a1-a3=3，求Sn.
參考答案
1.3.3 等比數列的前n項和
自主預習·悟新知
預學憶思
1.當q=1時，a1=a2=…=an，
所以Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.
2.利用公式Sn=計算.
3.若等比數列的公比為字母，應用公式求其前n項和時要注意討論公比是否為1，分情況選取合適的公式來解答.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.31　【解析】S5===31.
3.11a(1.15-1)　【解析】因為去年的產值為a，所以從今年起5年內各年的產值分別為1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，所以從今年起5年內該廠的總產值為1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11a(1.15-1).
4.30　【解析】因為數列{an}是等比數列，所以S3，S6-S3，S9-S6(S3≠0)成等比數列，即10，10，S9-20 成等比數列，顯然S9-20=10，解得S9=30.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1：Sn=na1.
問題2：∵Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，?、?br/>∴兩邊同時乘以q，可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，?、?br/>由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，
∴當q≠1時，Sn=.
新知運用
例1　【解析】(1)由題意知
解得或
所以Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)(法一)由題意知解得
所以S5==.
(法二)由a4+a6=(a1+a3)q3=，得q3=，所以q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8，所以S5==.
(3)因為a2an-1=a1an=128，a1+an=66，所以a1，an是方程x2-66x+128=0的兩個根，
解得或
又Sn==126，所以q=2或q=.
鞏固訓練1　A　【解析】由等比數列的性質及a2a6=8(a4-2)，得=8a4-16，解得a4=4.又a4=a1q3=q3，所以q=2.所以S2 020==22 019-.故選A.
鞏固訓練2　【解析】(1)∵an=2n=2×2n-1，∴a1=2，q=2.
∴S6==126.
(2)(法一)由Sn=，an=a1qn-1及已知條件，得
解得
(法二)由公式Sn=及已知條件，
得189=，解得a1=3.
由an=a1qn-1，
得96=3×2n-1，解得n=6.
探究2　情境設置
問題：利用an=a1qn-1代入q，n，an，可求出a1，利用Sn=可求出Sn.
新知運用
例2　(1)1或-　(2)2n-1　【解析】(1)根據已知條件得
所以=3，整理得2q2-q-1=0，
解得q=1或q=-.
(2)設等比數列{an}的公比為q，
因為
由②÷①得q=，所以a1=2，
所以an=2×n-1=22-n，
Sn==41-，
所以==2n-1.
鞏固訓練　【解析】若q=1，則S3=3a1=6，符合題意，
此時a3=a1=2.
若q≠1，則由等比數列的前n項和公式，
得S3===6，
解得q=1(舍去)或q=-2，
此時a3=a1q2=2×(-2)2=8.
綜上所述，q=1，a3=2或q=-2，a3=8.
探究3　情境設置
問題1：若q≠1，則Sn==qn-=Aqn-A，其中A=.
故等比數列Sn關于n的解析式對應的函數模型是f(x)=Axn-A(A≠0).
問題2：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k構成等比例數列.當q=-1時，例如an=(-1)n，當k為偶數時，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k都等于零，不能構成等比數列.
當q≠-1時，Sn≠0，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k構成等比數列，
因為S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk，
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k，
所以==qk，所以Sk，S2k-Sk，S3k-S2k構成等比數列.
問題3：當公比q=1時，有Sn=na1，Sm=ma1，Sm+n=(m+n)a1，所以Sn+qnSm=na1+1n·ma1=(m+n)a1，所以Sm+n=Sn+qnSm；當公比q≠1時，有Sn=(1-qn)，Sm=(1-qm)，Sm+n=(1-qn+m)，所以Sn+qnSm=(1-qn)+qn·(1-qm)=(1-qn+qn-qm+n)=·(1-qn+m)，所以Sm+n=Sn+qnSm.
綜上可得，Sm+n=Sn+qnSm.
問題4：已知等比數列{an}的前n項和為Sn，則S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1，S偶=a2+a4+a6+…+a2n(n∈N*).若項數為2n(n∈N*)，則===q；若項數為2n+1(n∈N*)，則===q.
新知生成
2.qn
新知運用
例3　(1)3∶4　(2)2　【解析】(1)由等比數列的性質得S3，S6-S3，S9-S6仍成等比數列，于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6)，不妨令S3=2，則S6=1，代入解得S9=，故S9∶S3=3∶4.
(2)由題意知
解得
故公比q===2.
鞏固訓練1　B　【解析】設等比數列{an}的公比為q(q≠0)，由題意知q≠-1，根據等比數列前n項和的性質，得==1+q3=3，解得q3=2.于是===.
鞏固訓練2　D　【解析】設S=a1+a3+…+a99，則a2+a4+…+a100=(a1+a3+…+a99)q=2S.
因為S100=a1+a2+…+a100=90，所以3S=90，解得S=30，
所以a2+a4+…+a100=2S=60.
探究4
例4　【解析】(1)由題意得
解得或
故或
(2)由d>1，知an=2n-1，bn=2n-1，故cn=，
于是Tn=1+++++…+，?、?br/>Tn=+++++…+，　②
由①-②可得Tn=2+++…+-=3-，故Tn=6-.
鞏固訓練　【解析】(1)當n=1時，a1=S1=，解得a1=2或a1=-1，因為an>0，所以a1=2.
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-，即(an-an-1-1)(an+an-1)=0，
因為an>0，所以an-an-1=1.
所以數列{an}是首項為2，公差為1的等差數列，
故an=n+1.
(2)因為bn=，所以bn=，
因此Tn=++…++，
Tn=++…++，
兩式相減得Tn=++…+-=--，
所以Tn=--=-.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由題知等比數列{an}的公比q≠1，則S3==a1q+10a1，得q2=9.又a5=a1q4=9，所以a1=.故選C.
2.D　【解析】Sn==.
3.B　【解析】根據等比數列性質得=q5，
∴=25，∴S10=33.
4.210　【解析】設S15=x，
∵S5，S10-S5，S15-S10 為等比數列，∴10，40，x-50 為等比數列，
∴402=10(x-50)，解得x=210.
5.【解析】(1)依題意得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，
由于a1≠0，故2q2+q=0.
又q≠0，所以q=-.
(2)由已知可得a1-a1-2=3，解得a1=4.
所以Sn==×1--n.

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