資源簡介

2.6.1 函數(shù)的單調(diào)性
【學習目標】
1.理解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系.(數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象)
2.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.(數(shù)學抽象、邏輯推理)
3.會用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(邏輯推理、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.我們知道判斷函數(shù)y=x2的單調(diào)性可以用定義法、圖象法，對于函數(shù)y=x3-3x，如何判斷它的單調(diào)性呢
2.對于可導函數(shù)f(x)，f(x)的單調(diào)性與它的導數(shù)有什么關系
3.如何利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若 x∈(a，b)，f'(x)>0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增. (　　)
(3)若 x∈(a，b)，f'(x)=0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上一定不單調(diào). (　　)
(4)已知f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，若 x≥a，f(x)≥f(a)，則f'(a)≥0. (　　)
2.下列函數(shù)中，在(0，+∞)上單調(diào)遞增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
3.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　.
4.證明：函數(shù)f(x)=x+在(0，1]上單調(diào)遞減.
【合作探究】
　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
某一型號飛機著陸后滑行的距離y(單位：m)與滑行時間x(單位：s)之間的函數(shù)關系式是y=60x-1.5x2.
問題1：作出這個函數(shù)的圖象，求出這個函數(shù)的導數(shù)y'，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負有什么關系嗎
問題2：觀察下面一些函數(shù)的圖象，探究函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)正負的關系.
導數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關系：
(1)若在某個區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)>0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增；
(2)若在某個區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)<0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減；
(3)若在某個區(qū)間上，f'(x)≥0，且只在有限個點為0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增；若在某個區(qū)間上，f'(x)≤0，且只在有限個點為0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.
求函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)區(qū)間.
【方法總結(jié)】先求f'(x)，再解不等式f'(x)>0和f'(x)<0，即可分別得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間.
求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f(x)=x+sin x，x∈(0，2π)；(2)f(x)=2x-ln x.
函數(shù)與其導數(shù)圖象間的關系
問題1：結(jié)合函數(shù)圖象，如何從導數(shù)的角度解釋函數(shù)增減快慢的情況
問題2：若函數(shù)f(x)在(a，b)上滿足f'(x)>0(或f'(x)<0)，則f(x)在(a，b)上具備什么樣的單調(diào)性
問題3：若函數(shù)f(x)為可導函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f'(x)滿足什么條件
　　函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)值大小的關系
一般地，設可導函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，
(1)如果|f'(x)|越大，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)變化得越快，那么函數(shù)y=f(x)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；
(2)如果|f'(x)|越小，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)變化得越慢，那么函數(shù)y=f(x)的圖象就比較“平緩”(向上或向下).
設f'(x)是函數(shù)f(x)的導數(shù)，y=f'(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能是(　　).
A B C D
【方法總結(jié)】依據(jù)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性與y=f'(x)函數(shù)值的正負之間的關系進行判斷.
已知函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是(　　).
A　 　　B　　　　　C　　　　　D
　含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題
如圖所示的S形公路，可近似地用函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1(a≠0)來表示.
問題：如果f(x)在R上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.
1.f(x)的解析式中含有參數(shù)，討論f(x)的單調(diào)性時，應注意不等式f'(x)≥0(或f'(x)≤0)的解集與參數(shù)是否相關，相關時要分類討論.
2.f(x)的解析式中含有參數(shù)，已知f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增(或減)，則f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在f(x)的定義域內(nèi)恒成立，有時借助數(shù)形結(jié)合法求解.
3.已知f(x)(f(x)的解析式中含有參數(shù))在某區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的值或取值范圍時，所給增(或減)區(qū)間應是f(x)的增(或減)區(qū)間的子集.
4.已知f(x)的單調(diào)區(qū)間，求f(x)中含有的參數(shù)值時，已知單調(diào)區(qū)間的端點應是f'(x)≥0(f'(x)≤0)解集的分界點.
已知函數(shù)f(x)=-x+aln x，討論f(x)的單調(diào)性.
【方法總結(jié)】先求定義域，再求導數(shù)f'(x)，根據(jù)x的取值范圍討論導數(shù)在定義域上的符號即可.
若函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1，4)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(6，+∞)上單調(diào)遞增，試求實數(shù)a的取值范圍.
　函數(shù)單調(diào)性的應用
已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)為f(x)的導函數(shù)，且滿足f(x)<-xf'(x)，則不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是(　　).
A.(0，1) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(1，+∞)
【方法總結(jié)】用函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式時常采用構(gòu)造函數(shù)的方法，常見的構(gòu)造函數(shù)有
(1)對于f'(x)>g'(x)，構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x).
(2)對于f'(x)+g'(x)>0，構(gòu)造h(x)=f(x)+g(x).
(3)對于f'(x)+f(x)>0，構(gòu)造h(x)=exf(x).
(4)對于f'(x)>f(x)，構(gòu)造h(x)=.
(5)對于xf'(x)+f(x)>0，構(gòu)造h(x)=xf(x).
(6)對于xf'(x)-f(x)>0，構(gòu)造h(x)=(注意討論x=0的情況).
已知f(x)為R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f'(x)，且對于任意的x∈R，均有f(x)+f'(x)>0，則(　　).
A.e-2 021f(-2 021)f(0)
B.e-2 021f(-2 021)C.e-2 021f(-2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)>f(0)
D.e-2 021f(-2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)【隨堂檢測】
1.函數(shù)f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減 D.不確定
2.定義在R上的函數(shù)f(x)，若(x-1)·f'(x)<0，則(　　).
A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)與2f(1)的大小關系不確定
3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f'(x)的圖象可能是(　　).
A　 　　　B　　　　　C　　　 　D
4.函數(shù)f(x)=3+xln x的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.
5.已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x+2.
(1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
參考答案
2.6.1 函數(shù)的單調(diào)性
自主預習·悟新知
預學憶思
1.通過前面的學習，我們可以通過研究函數(shù)的導數(shù)來判斷它的單調(diào)性.
2.在區(qū)間(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.
3.先求定義域.令f'(x)>0，結(jié)合定義域得單調(diào)遞增區(qū)間；令f'(x)<0，結(jié)合定義域得單調(diào)遞減區(qū)間.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.B　【解析】(sin x)'=cos x，(xex)'=ex+xex=(1+x)ex，(x3-x)'=3x2-1，(ln x-x)'=-1，當x∈(0，+∞)時，只有(xex)'=(1+x)ex>0恒成立.
3.[-1，0]和[2，+∞)　【解析】∵當-1≤x≤0或x≥2時，f'(x)≥0，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，0]和[2，+∞).
4.【解析】f'(x)=1-=，∵x∈(0，1]，∴x2-1≤0(當且僅當x=1時，等號成立)，
∴f'(x)≤0，∴f(x)=x+在(0，1]上單調(diào)遞減.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1：
函數(shù)y=60x-1.5x2的圖象如圖所示，y'=60-3x.在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
問題2：圖象(1)中，在區(qū)間(-∞，+∞)上，y'=1>0，y=x單調(diào)遞增；
圖象(2)中，在區(qū)間(-∞，0)上，y'=2x<0，y=x2單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，+∞)上，y'=2x>0，y=x2單調(diào)遞增；
圖象(3)中，在區(qū)間(-∞，+∞)上，y'=3x2≥0，y=x3單調(diào)遞增；
圖象(4)中，在區(qū)間(-∞，0)，(0，+∞)上，y'=-<0，y=單調(diào)遞減.
新知運用
例1　【解析】由題可知，f'(x)=6x2-12x.
令f'(x)>0，解得x>2或x<0，
所以當x∈(-∞，0)或x∈(2，+∞)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
令f'(x)<0，解得0所以當x∈(0，2)時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
綜上所述，函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，0)和(2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2).
鞏固訓練　【解析】(1)由題意知，f'(x)=+cos x，令f'(x)>0，得+cos x>0，即cos x>-.
∵x∈(0，2π)，∴0同理，令f'(x)<0，得∴該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，，，2π；單調(diào)遞減區(qū)間為，.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=2-.
令2->0，解得x>；令2-<0，解得0∴該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為0，.
探究2　情境設置
問題1：一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.
如圖所示，函數(shù)y=f(x)在(0，b)或(a，0)內(nèi)的圖象“陡峭”，在(b，+∞)或(-∞，a)內(nèi)的圖象“平緩”.
問題2：若f'(x)>0，則f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；若f'(x)<0，則f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減.
問題3：f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
新知運用
例2　C　【解析】由導函數(shù)的圖象可得，當x<0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
當0當x>2時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
只有C選項的圖象符合.故選C.
鞏固訓練　D　【解析】觀察導數(shù)f'(x)的圖象可知，當x<0或x>x1時，導數(shù)f'(x)<0，即函數(shù)f(x)在(-∞，0)和(x1，+∞)上單調(diào)遞減；當00，即函數(shù)f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞增.故選D.
探究3　情境設置
問題：f'(x)=3ax2+6x-1，
由題意得3ax2+6x-1≤0在R上恒成立.
當a≠0時，由題意得解得a≤-3.
故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-3].
新知運用
例3　【解析】f(x)的定義域為(0，+∞)，
f'(x)=--1+=-.
①若a≤2，則f'(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時，f'(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.
②若a>2，令f'(x)=0，得x=或x=.
當x∈0，∪，+∞時，f'(x)<0；
當x∈，時，f'(x)>0.
所以f(x)在0，，，+∞上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.
綜上所述，當a∈(-∞，2]時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當a∈(2，+∞)時，f(x)在0，，，+∞上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.
鞏固訓練　【解析】由題意得，f'(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)]，令f'(x)=0，得x=1或x=a-1.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，4)上單調(diào)遞減，所以當x∈(1，4)時，f'(x)≤0.又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(6，+∞)上單調(diào)遞增，所以當x∈(6，+∞)時，f'(x)≥0，所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7，即實數(shù)a的取值范圍為[5，7].
探究4　
例4　B　【解析】構(gòu)造函數(shù)y=xf(x)，x∈(0，+∞)，
則y'=f(x)+xf'(x)<0，
所以函數(shù)y=xf(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.
又因為f(x+1)>(x-1)f(x2-1)，
所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1)，
所以x+10，x+1>0，
解得x>2，
所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2，+∞).故選B.
鞏固訓練　A　【解析】構(gòu)造函數(shù)h(x)=exf(x)，
則h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，
所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增，
故h(-2 021)同理，h(2 021)>h(0)，即e2 021f(2 021)>f(0).故選A.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】f'(x)=2-cos x，∵cos x≤1，
∴f'(x)>0，∴f(x)在R上是增函數(shù).
2.C　【解析】當x>1時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
∴f(2)當x<1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
∴f(0)因此f(0)+f(2)<2f(1).
3.D　【解析】由f(x)的圖象可知，f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減，∴在(0，+∞)上f'(x)<0，在(-∞，0)上f'(x)>0.故選D.
4.，+∞　【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=ln x+1，令f'(x)>0，即ln x+1>0，得x>，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞.
5.【解析】(1)∵f(x)=x3-x2-x+2，∴f'(x)=3x2-2x-1，∴f'(2)=7.
又f(2)=4，∴曲線f(x)在點(2，4)處的切線方程為y-4=7(x-2)，即7x-y-10=0.
(2)∵f'(x)=3x2-2x-1=(x-1)(3x+1)，
∴當x∈-∞，-∪(1，+∞)時，f'(x)>0；當x∈-，1時，f'(x)<0.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞，-，(1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為-，1.

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