資源簡介

2.6.2 函數(shù)的極值
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何直觀角度理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象)
2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
已知函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的圖象如圖所示.
1.函數(shù)f(x)在(a，x0)，(x0，b)上的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有何特點(diǎn)
2.觀察y=f(x)的圖象，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)值f(x0)有何特點(diǎn) 它是極大值嗎
3.函數(shù)值f(x0)在定義域內(nèi)是最大的嗎
4.函數(shù)y=g(x)在(a，b)上有極大值、極小值嗎
5.結(jié)合教材的實(shí)例思考：函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎 在同一區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)唯一嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)x=0是函數(shù)y=x3的極值點(diǎn). (　　)
(2)可導(dǎo)函數(shù)一定存在極值. (　　)
(3)若f'(x0)=0，則x=x0是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn). (　　)
(4)若x=x0是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，則f'(x0)=0. (　　)
2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　).
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
3.設(shè)函數(shù)f(x)=xex，則(　　).
A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn) B.x=1為f(x)的極小值點(diǎn)
C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn) D.x=-1為f(x)的極小值點(diǎn)
4.已知函數(shù)y=3x-x3+m的極大值為10，則m的值為　　　　.
【合作探究】
　求函數(shù)的極值
在必修課程中，我們已經(jīng)研究了函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問題.但函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)附近，也存在著哪一點(diǎn)的函數(shù)值大、哪一點(diǎn)的函數(shù)值小的問題，如何利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來判斷函數(shù)在某點(diǎn)附近函數(shù)值的大小問題.
問題1：觀察下圖，函數(shù)y=f(x)在x=d，x=e，x=f，x=g，x=h，x=i等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系
問題2：y=f(x)在點(diǎn)x=d，x=e處的導(dǎo)數(shù)值是多少
問題3：在點(diǎn)x=d，x=e附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律
1.極值點(diǎn)與極值的概念
如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f'(a)=0；而且在點(diǎn)a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點(diǎn)a叫作函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫作函數(shù)y=f(x)的極小值.
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f'(b)=0；而且在點(diǎn)b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點(diǎn)b叫作函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫作函數(shù)y=f(x)的極大值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.
2.對(duì)極值概念的再理解
(1)極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較它是最大值或最小值，但并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)是最大值或最小值；
(2)一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)；
(3)函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系；
(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)；
(5)單調(diào)函數(shù)一定沒有極值.
3.y=f(x)的極值點(diǎn)x0與f'(x0)=0的關(guān)系
一般來說，“f'(x0)=0”是“函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值”的必要不充分條件.
若可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則f'(x0)=0；反之，若f'(x0)=0，則點(diǎn)x0不一定是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0一定是導(dǎo)函數(shù)f'(x)的變號(hào)零點(diǎn).
求函數(shù)y=3x3-x+1的極值.
【方法總結(jié)】　　首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求方程y'=0的根，最后檢查y'在方程根左、右兩側(cè)的值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么y在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么y在這個(gè)根處取得極小值.
求下列函數(shù)的極值：
(1)f(x)=x2e-x；(2)f(x)=.
　函數(shù)極值中的含參問題
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2，當(dāng)x=1時(shí)，有極大值3.
問題1：求a，b的值.
問題2：求函數(shù)f(x)的極小值.
1.利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值，常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.
2.因?yàn)椤皩?dǎo)數(shù)值等于零”不是“此點(diǎn)為極值點(diǎn)”的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后，必須驗(yàn)證根的合理性.
已知函數(shù)f(x)=x-aln x(a∈R)，求函數(shù)f(x)的極值.
【方法總結(jié)】求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時(shí)，有時(shí)需要用分類討論的思想才能解決問題.討論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對(duì)f'(x)的零點(diǎn)有影響，若有影響，則需要分類討論；二是看f'(x)在其零點(diǎn)附近的符號(hào)的確定是否與參數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，則需要分類討論.
已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+a(a∈R).
(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
　方程根的問題
問題1：你還記得函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定方法嗎
問題2：學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后，對(duì)于方程根的問題又將如何處理呢
用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù)，是一種很有效的方法.它通過函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù).
設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5，x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【方法總結(jié)】(1)先求出f'(x)，再令f'(x)=0，進(jìn)而求解函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
若函數(shù)f(x)=2x3-6x+k在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【隨堂檢測(cè)】
1.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是(　　).
A.在(-2，1)上f(x)是增函數(shù) B.在(1，3)上f(x)是減函數(shù)
C.當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值 D.當(dāng)x=4時(shí)，f(x)取得極大值
2.函數(shù)f(x)=x2-ln x的極值點(diǎn)為(　　).
A.0，1，-1 B. C.- D.，-
3.函數(shù)f(x)=的極大值為(　　).
A.0 B. C. D.
4.若函數(shù)y=-x3+6x2+m的極大值為13，則實(shí)數(shù)m=　　　　.
5.已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7，求關(guān)于x的方程f(x)=a(a∈R)的解的個(gè)數(shù).
參考答案
2.6.2 函數(shù)的極值
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.f(x)在(a，x0)上單調(diào)遞增，其導(dǎo)數(shù)值大于零，在(x0，b)上單調(diào)遞減，其導(dǎo)數(shù)值小于零.
2.f(x0)的值在(a，b)內(nèi)最大.是.
3.不一定.
4.y=g(x)在(a，b)上有極小值g(x0)，無極大值.
5.函數(shù)的極大值與極小值并無確定的大小關(guān)系，一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值.在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值或極小值可以不止有一個(gè).
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，f'(x)在(a，b)上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，但是在原點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，故x=0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).其余的3個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，其中有2個(gè)點(diǎn)滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，故極大值點(diǎn)有2個(gè).
3.D　【解析】對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=ex+xex=ex(x+1)，令f'(x)=0，解得x=-1，易知x=-1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).
4.8　【解析】y'=3-3x2=3(1+x)(1-x)，令y'=0，解得x1=-1，x2=1，經(jīng)判斷知x=1是極大值點(diǎn)，故當(dāng)x=1時(shí)，y=2+m=10，解得m=8.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1：以x=d，x=e兩點(diǎn)為例，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=d處的函數(shù)值f(d)比它在點(diǎn)x=d附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=e處的函數(shù)值f(e)比它在點(diǎn)x=e附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大.
問題2：0.
問題3：在點(diǎn)x=d附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0.類似地，在點(diǎn)x=e附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0.
新知運(yùn)用
例1　【解析】y'=9x2-1，令y'=0，解得x1=，x2=-.
當(dāng)x變化時(shí)，y'和y的變化情況如下表：
x -∞，- - -， ，+∞
y' + 0 - 0 +
y ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
因此，當(dāng)x=-時(shí)，y有極大值，極大值為；
當(dāng)x=時(shí)，y有極小值，極小值為.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，
f'(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)'=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f'(x)=0，得x(2-x)e-x=0，解得x=0或x=2.
當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)，f(x)的變化情況如表所示：
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ 4e-2 ↘
因此，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(0)=0；當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值，且極大值為f(2)=4e-2=.
(2)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?0，+∞)，
且f'(x)=，
令f'(x)=0，解得x=e.
當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)與f(x)的變化情況如表所示：
x (0，e) e (e，+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
故當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，且極大值為f(e)=.
探究2　情境設(shè)置
問題1：f'(x)=3ax2+2bx，∵當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極大值3，
∴∴
解得
問題2：f'(x)=-18x2+18x=-18x(x-1).
當(dāng)f'(x)=0時(shí)，x=0或x=1；
當(dāng)f'(x)>0時(shí)，0當(dāng)f'(x)<0時(shí)，x<0或x>1.
∴函數(shù)f(x)=-6x3+9x2的極小值為f(0)=0.
新知運(yùn)用
例2　【解析】由f'(x)=1-=(x>0)知，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，+∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；
②當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，解得x=a，
又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f'(x)<0，
當(dāng)x∈(a，+∞)時(shí)，f'(x)>0，
所以函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值，且極小值為f(a)=a-aln a，無極大值.
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln a，無極大值.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ln x-x+1(x>0)，則f'(x)=-1=.
令f'(x)>0，解得01.
所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，
故f(x)在x=1處取得極大值，極大值為f(1)=0，無極小值.
(2)因?yàn)閒(x)=ln x-ax+a(x>0)，所以f'(x)=-a=.
當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，無極值.
當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，解得0.
因此，f(x)在0，上單調(diào)遞增，在，+∞上單調(diào)遞減，所以f(x)在x=處取得極大值，極大值為f=a-ln a-1，無極小值.
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有極大值，極大值為a-ln a-1，無極小值.
探究3　情境設(shè)置
問題1：確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：
(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)=0的根的判別式Δ>0，Δ=0，Δ<0來完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷.
(2)對(duì)于一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，不僅要用到零點(diǎn)存在定理，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確定，如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.
(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)·f(b)<0，則y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點(diǎn).
問題2：學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后，對(duì)于函數(shù)的圖象可以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法，畫出草圖，一般地，方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
新知運(yùn)用
例3　【解析】(1)f'(x)=3x2-6，令f'(x)=0，
解得x1=-，x2=.
因?yàn)楫?dāng)x>或x<-時(shí)，f'(x)>0，
當(dāng)-所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-)和(，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-，).
當(dāng)x=-時(shí)，f(x)有極大值，極大值為5+4；
當(dāng)x=時(shí)，f(x)有極小值，極小值為5-4.
(2)由(1)的分析知y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示.
所以，當(dāng)5-4直線y=a與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
即方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(5-4，5+4).
鞏固訓(xùn)練　【解析】f(x)=2x3-6x+k，則f'(x)=6x2-6，
令f'(x)=0，得x=-1或x=1，
可知f(x)在(-1，1)上單調(diào)遞減，在(-∞，-1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增.
所以f(x)的極大值為f(-1)=4+k，極小值為f(1)=-4+k.
要使函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，
只需4+k<0或-4+k>0(如圖所示)，
圖①　　　　　　　　圖②
即k<-4或k>4.
所以k的取值范圍為(-∞，-4)∪(4，+∞).
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.C　【解析】由y=f'(x)的圖象可得y=f(x)的大致圖象，如圖所示.
由圖可知，A，B，D均錯(cuò)誤.故選C.
2.B　【解析】由題意得，f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f'(x)=3x-=，令f'(x)=0，得x=或x=-(舍去).當(dāng)x>時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)03.C　【解析】由題意得f'(x)=.
由f'(x)>0，得02.
故f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上單調(diào)遞減，在(0，2)上單調(diào)遞增，
故f(x)的極大值為f(2)=.故選C.
4.-19　【解析】y'=-3x2+12x=-3x(x-4).
由y'=0，得x=0或x=4.
當(dāng)x∈(-∞，0)∪(4，+∞)時(shí)，y'<0；
當(dāng)x∈(0，4)時(shí)，y'>0.∴當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取得極大值.
故-64+96+m=13，解得m=-19.
5.【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)，
令f'(x)=0，得6x(x-2)=0，解得x=0或x=2.
當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)與f(x)的變化情況如表所示.
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 7 ↘ -1 ↗
當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞；
當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→-∞.
∴當(dāng)a<-1或a>7時(shí)，方程有一個(gè)解；
當(dāng)a=-1或a=7時(shí)，方程有兩個(gè)解；
當(dāng)-1

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