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專題3 數列求和
新高考在試題形式、試卷結構、難度調控等方面深化改革,數列解答題的難度增加,作為壓軸題出現的概率變大,數列求和是數列中的兩大基本題型題型之一,也是高考中的熱點,本專題總結數列求和的基本方法,供大家參考.
（一）等差數列求和
若一個數列為等差數列或可以轉化為等差數列,求和時可以利用等差數列前n項和公式．
【例1】（2024屆河北省滄州市滄縣中學高三下學期模擬）設正項數列的前n項和為,已知.
(1)求數列的通項公式；
(2)設,求數列的前n項和.
【解析】（1）由,得①,
當時,,解得（負值舍去）.
當時,②,
①②,得,
化為,
因為,,解得,
所以數列是首項為3、公差為2的等差數列,
所以,即.
（2）由（1）知,所以,
從而,
則,,…,,
以上n個式子相加,得.
（二）等比數列求和
若一個數列為等比數列或可以轉化為等比數列,求和時可以利用等比數列前n項和公式．
【例2】已知數列的前n項和為,,數列是公比為2的等比數列.
(1)求
(2)若,求的前2n項的和.
【解析】(1) 數列是公比為2的等比數列,且,
所以,
當時,
所以.
(2)因為為奇數時,n為偶數時,
所以的奇數項為0,偶數項構成公比為的等比數列,
所以的前2n項的和為.
（三）倒序相加求和
把數列分別正著寫和倒著寫再相加,即等差數列求和公式的推導過程的推廣,一般來說,若數列滿足,求數列的前n項和,可用倒序相加法.
【例3】已知函數,數列滿足,則數列的前2025項的和
【解析】因為,所以,
有.
記數列的前項和,又,所以
.所以.
（四）裂項求和
把數列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項．(1)用裂項相消法求和時,要對通項進行變換,如：＝(－), ,裂項后可以產生連續相互抵消的項．(2)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項．
【例4】（2024屆天津市南開區高三下學期質量監測二）已知是等差數列,公差,,且是與的等比中項.
(1)求的通項公式
(2)數列滿足,且.
（ⅰ）求的前n項和.
（ⅱ）是否存在正整數m,n（）,使得,,成等差數列,若存在,求出m,n的值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）因為為等差數列,且,所以．
又是與的等比中項,所以,即．
化簡得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
當時,
,
又也適合上式,所以,
則,
所以．
（ⅱ）假設存在正整數m,n,使得,,成等差數列,
則,即,整理得,
顯然是25的正約數,又,則或,
當,即時,與矛盾；
當,即時,,符合題意,
所以存在正整數使得,,成等差數列,此時,．
拓展：裂項求和常見變形
1.
=.
2.
=.
3.
=.
4.
=.
5.
=
=
=.
6.
=
7.
=-+-+ +-
=1-.
8.
=
9.
=
10.
=
=
11.
=
=
12．
=
=
13.
=
=
14. ++++
=+++
=
15.若是各項均不為零,且公差的等差數列,則
==
（五）錯位相減法求和
主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和,即等比數列求和公式的推導過程的推廣．錯位相減法求和時的注意點:
(1)要善于識別題目類型,特別是等比數列公比為負數的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；
(3)在應用錯位相減法求和時,若等比數列的公比為參數,應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
【例5】（2024屆浙江省紹興市柯橋區三模）已知數列的前n項和為,且,,設．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和．
【解析】（1）,即,
即,則,即,
即,又,
故數列是以為首項、以為公比的等比數列.
（2）由（1）易得,即,則,
則,
有,
則
,
故.
（六）為等差（比）數列,可并項求的前n項和
若,為等差數列或等比數列,求的前n項和可以采用,即把相鄰兩項的和看作一項,構造一個新數列求和
【例6】若數列滿足.
（1）求數列的前100項的和；
（2）若,求數列的前31項的和.
【解析】（1）數列的前100項的和為
=.
（2）若,數列的前31項的和為
=.
(七)周期型數列求和
周期數列求和一般采用并項求和,即把一個周期內的所有項求和,構成一個新數列求和,求形如數列的和,一般根據正弦型函數的最小正周期,對n進行分類,然后再采用并項求和
【例7】（2024屆福建省福州第一中學高三下學期5月模擬）已知數列中,,．
(1)證明：數列為常數列；
(2)求數列的前2024項和．
【解析】（1）依題意,
,
則化為,
而,則,因此,
所以數列為常數列.
（2）由（1）知,,由,即是以6為周期的周期數列,令,
所以數列的前2024項和
.
(八)型數列求
若,為等差數列或等比數列,求的前n項和可以采用分組求和,分別求出的奇數項之和與偶數項之和再相加.
【例8】（2024屆廣東省名校教研聯盟高三下學期5月模擬）已知數列是公差不為0的等差數列,其前n項和為,,,,成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若,,求數列的前100項和．
【解析】（1）設數列的首項為,公差為,
根據題意得即
解得或．
又因,所以．
所以的通項公式為．
（2）由（1）得．
即數列的偶數項是以4為首項,4為公差的等差數列,
奇數項是以為首項,16為公比的等比數列．
數列的前100項中偶數項有50項,奇數項有50項,
數列的前100項和．
,
．
所以．
(九)為等差數列,求前n項
若有正有負,求的前項和,通常通過去絕對值,把變號與不變號的分為兩部分分別求和再相加,求和時注意對n進行討論.
【例9】已知等差數列的前項和為,與的等差中項為,.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【解析】（1）設等差數列的首項為,公差為,
由題意可知,,,
所以,解得：,,
所以；
（2）由（1）可知,,,當時,,
所以當時,
,
當時,
,
,
,
所以.
(十)等差（比）數列,插項后求和
求解此類問題的關鍵是確定原數列有多少項,新數列有多少項.
【例9】已知數列是等差數列,其前和為,,,數列滿足
(1)求數列,的通項公式；
(2)若對數列,,在與之間插入個2（）,組成一個新數列,求數列的前83項的和.
【解析】（1）設公差為,故,解得,
故,
故,①
當時,,
當時,,②
式子①-②得,,
即,
當時,也滿足上式,故；
（2）因為,所以在中,從項開始,到項為止,
共有項數為,
當時,,當時,,
故數列前項是項之后還有項為2,
.
【例1】（2024屆陜西省安康市高新中學高三模擬）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設,求的前n項和.
【解析】（1）證明：令,又,則有
,
又,所以
所以數列是以1為首項,1為公差的等差數列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
【例2】（2024屆湖南省岳陽市高三下學期5月岳汨聯考）已知等差數列滿足（）,數列是公比為3的等比數列,．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列和中的項由小到大組成新的數列,記數列的前n項和為,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵為等差數列,∴,,
,即,
∴,
因為數列是公比為3的等比數列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且數列和中的項由小到大組成新的數列,
其中,,此時,
所以數列中數列有項,數列有項,
,
．
【例3】（2024屆福建省泉州五中高三下學期適應性監測二）已知數列和的各項均為正,且,是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列,的通項公式；
(2)設,求數列的前n項和．
【解析】（1）由題設,當時或（舍）,
由,知,
兩式相減得,
（舍）或,即,
∴數列是首項為2,公差為2的等差數列,．
又．
（2）
則
當n為偶數時,；
當n為奇數時,．
所以.
【例4】（2024屆重慶市第八中學校高三下學期5月月考）已知數列滿足,．
(1)求,,,并求證：；
(2)求數列的前2n項和．
【解析】（1）,,,
證明：,
,
即,,則,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以數列是公比為2的等比數列,
故,解得：,,
故
所以
．
【例5】將n 個實數排成n行n列的數陣形式
……
(1)當時,若每一行每一列都構成等差數列,且 ,求該數陣中所有數的和.
(2)已知,且每一行構成以1為公差的等差數列,每一列構成2為公差的等差數列,求這個數的和；
(3)若 且每一列均為公差為d 的等差數列,每一行均為等比數列.已知 ,設 求的值.
【解析】（1）由題意,且每一行都成等差數列則有
,
,
,
設所有數之和為,則有,
又因為每一列成等差數列,故有,即.
（2）設第行的和為,則有；
又因為每一列構成以2為公差的等差數列,即有當時,,
即數列構成以為首項,為公差的等差數列,即有
.
（3）由題意每一行均為等比數列,設第二行的公比為,則有,
又因為,故.從而可得第二行的通項公式,
即有,又因為每一列均為公差為的等差數列,且,
可得,即,即有,從而有,
故
.
1．（2024屆浙江省精誠聯盟高三下學期適應性聯考）已知等比數列和等差數列,滿足,,,．
(1)求數列,的通項公式；
(2)記數列的前項和為,數列的前項和為．證明：．
2．（2024屆四川省百師聯盟高三沖刺卷五）已知為正項數列的前項和,且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若,求的前10項和．
3．（2024屆浙江省杭州市高三下學期4月教學質量檢測）已知等差數列的前項和為,且．
(1)求數列的通項公式；
(2)數列滿足,令,求證：．
4．（2024屆山西省臨汾市高三第二次適應性訓練）已知數列滿足．
(1)計算,并求數列的通項公式；
(2)設數列滿足,求數列的前項和．
5．（2024屆陜西省咸陽市高考模擬檢測三）數列滿足,.
(1)求數列通項公式；
(2)設,求數列的前項和.
6．已知等差數列的首項為2,公差為8,在中每相鄰兩項之間插入三個數,使得它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列．
(1)求數列的前項和；
(2)若,,,是從中抽取的若干項按原來的順序排列組成的一個等比數列,,,令,求數列的前項和.
7．已知正項數列的前項和為,且,.
(1)求；
(2)在數列的每相鄰兩項之間依次插入,得到數列：,求的前項和．
8．已知數列的前項和為,且滿足（）,數列滿足．
(1)求,的通項公式．
(2)求數列的前項和．
9．（2024屆湖南省岳陽市高三教學質量監測三）已知等差數列滿足：,且,,成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若等差數列的公差不為零且數列滿足：,求數列的前項和．
10．（2024屆天津市武清區楊村第一中學高考熱身練）已知數列是正項等比數列,是等差數列,且,
(1)求數列和的通項公式;
(2),求數列的前項和.
(3)表示不超過的最大整數,表示數列的前項和,集合共有4個元素,求范圍;
11．（2024屆廣東省江門市新會華僑中學等校二模）已知是公差為2的等差數列,數列的前項和為,且．
(1)求的通項公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超過的最大整數,當時,是定值,求正整數的最小值．
12．（2024屆陜西省西安市第一中學高三下學期模擬三）已知數列是公差不為零的等差數列,且,,成等差數列,,,（）成等比數列,．
(1)求的值及的通項公式；
(2)令,,求證：．
13．（2024屆天津市十二區重點學校高三下學期聯考二）設是等差數列,其前項和,是等比數列,且,,.
(1)求與的通項公式；
(2)設,求數列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立,求實數的取值范圍.
14．（2024屆湖北省第九屆高三下學期4月調研）在如圖三角形數陣中,第n行有n個數,表示第i行第j個數,例如,表示第4行第3個數.該數陣中每一行的第一個數從上到下構成以m為公差的等差數列,從第三行起每一行的數從左到右構成以m為公比的等比數列其中已知,,
(1)求m及
(2)記除以3的余數為,,的前n項為,求
15．（2024屆湖南省永州市高三三模）已知數列為等比數列,為等差數列,且,,.
(1)求,的通項公式；
(2)數列的前項和為,集合共有5個元素,求實數的取值范圍；
(3)若數列中,,,求證：.
16．（2024屆天津市紅橋區高三下學期二模）已知是等差數列,是公比為正數的等比數列,且,,,．
(1)求數列{,的通項公式；
(2)設,
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題3 數列求和
新高考在試題形式、試卷結構、難度調控等方面深化改革,數列解答題的難度增加,作為壓軸題出現的概率變大,數列求和是數列中的兩大基本題型題型之一,也是高考中的熱點,本專題總結數列求和的基本方法,供大家參考.
（一）等差數列求和
若一個數列為等差數列或可以轉化為等差數列,求和時可以利用等差數列前n項和公式．
【例1】（2024屆河北省滄州市滄縣中學高三下學期模擬）設正項數列的前n項和為,已知.
(1)求數列的通項公式；
(2)設,求數列的前n項和.
【解析】（1）由,得①,
當時,,解得（負值舍去）.
當時,②,
①②,得,
化為,
因為,,解得,
所以數列是首項為3、公差為2的等差數列,
所以,即.
（2）由（1）知,所以,
從而,
則,,…,,
以上n個式子相加,得.
（二）等比數列求和
若一個數列為等比數列或可以轉化為等比數列,求和時可以利用等比數列前n項和公式．
【例2】已知數列的前n項和為,,數列是公比為2的等比數列.
(1)求
(2)若,求的前2n項的和.
【解析】(1) 數列是公比為2的等比數列,且,
所以,
當時,
所以.
(2)因為為奇數時,n為偶數時,
所以的奇數項為0,偶數項構成公比為的等比數列,
所以的前2n項的和為.
（三）倒序相加求和
把數列分別正著寫和倒著寫再相加,即等差數列求和公式的推導過程的推廣,一般來說,若數列滿足,求數列的前n項和,可用倒序相加法.
【例3】已知函數,數列滿足,則數列的前2025項的和
【解析】因為,所以,
有.
記數列的前項和,又,所以
.所以.
（四）裂項求和
把數列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項．(1)用裂項相消法求和時,要對通項進行變換,如：＝(－), ,裂項后可以產生連續相互抵消的項．(2)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項．
【例4】（2024屆天津市南開區高三下學期質量監測二）已知是等差數列,公差,,且是與的等比中項.
(1)求的通項公式
(2)數列滿足,且.
（ⅰ）求的前n項和.
（ⅱ）是否存在正整數m,n（）,使得,,成等差數列,若存在,求出m,n的值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）因為為等差數列,且,所以．
又是與的等比中項,所以,即．
化簡得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
當時,
,
又也適合上式,所以,
則,
所以．
（ⅱ）假設存在正整數m,n,使得,,成等差數列,
則,即,整理得,
顯然是25的正約數,又,則或,
當,即時,與矛盾；
當,即時,,符合題意,
所以存在正整數使得,,成等差數列,此時,．
拓展：裂項求和常見變形
1.
=.
2.
=.
3.
=.
4.
=.
5.
=
=
=.
6.
=
7.
=-+-+ +-
=1-.
8.
=
9.
=
10.
=
=
11.
=
=
12．
=
=
13.
=
=
14. ++++
=+++
=
15.若是各項均不為零,且公差的等差數列,則
==
（五）錯位相減法求和
主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和,即等比數列求和公式的推導過程的推廣．錯位相減法求和時的注意點:
(1)要善于識別題目類型,特別是等比數列公比為負數的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；
(3)在應用錯位相減法求和時,若等比數列的公比為參數,應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
【例5】（2024屆浙江省紹興市柯橋區三模）已知數列的前n項和為,且,,設．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和．
【解析】（1）,即,
即,則,即,
即,又,
故數列是以為首項、以為公比的等比數列.
（2）由（1）易得,即,則,
則,
有,
則
,
故.
（六）為等差（比）數列,可并項求的前n項和
若,為等差數列或等比數列,求的前n項和可以采用,即把相鄰兩項的和看作一項,構造一個新數列求和
【例6】若數列滿足.
（1）求數列的前100項的和；
（2）若,求數列的前31項的和.
【解析】（1）數列的前100項的和為
=.
（2）若,數列的前31項的和為
=.
(七)周期型數列求和
周期數列求和一般采用并項求和,即把一個周期內的所有項求和,構成一個新數列求和,求形如數列的和,一般根據正弦型函數的最小正周期,對n進行分類,然后再采用并項求和
【例7】（2024屆福建省福州第一中學高三下學期5月模擬）已知數列中,,．
(1)證明：數列為常數列；
(2)求數列的前2024項和．
【解析】（1）依題意,
,
則化為,
而,則,因此,
所以數列為常數列.
（2）由（1）知,,由,即是以6為周期的周期數列,令,
所以數列的前2024項和
.
(八)型數列求
若,為等差數列或等比數列,求的前n項和可以采用分組求和,分別求出的奇數項之和與偶數項之和再相加.
【例8】（2024屆廣東省名校教研聯盟高三下學期5月模擬）已知數列是公差不為0的等差數列,其前n項和為,,,,成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若,,求數列的前100項和．
【解析】（1）設數列的首項為,公差為,
根據題意得即
解得或．
又因,所以．
所以的通項公式為．
（2）由（1）得．
即數列的偶數項是以4為首項,4為公差的等差數列,
奇數項是以為首項,16為公比的等比數列．
數列的前100項中偶數項有50項,奇數項有50項,
數列的前100項和．
,
．
所以．
(九)為等差數列,求前n項
若有正有負,求的前項和,通常通過去絕對值,把變號與不變號的分為兩部分分別求和再相加,求和時注意對n進行討論.
【例9】已知等差數列的前項和為,與的等差中項為,.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【解析】（1）設等差數列的首項為,公差為,
由題意可知,,,
所以,解得：,,
所以；
（2）由（1）可知,,,當時,,
所以當時,
,
當時,
,
,
,
所以.
(十)等差（比）數列,插項后求和
求解此類問題的關鍵是確定原數列有多少項,新數列有多少項.
【例9】已知數列是等差數列,其前和為,,,數列滿足
(1)求數列,的通項公式；
(2)若對數列,,在與之間插入個2（）,組成一個新數列,求數列的前83項的和.
【解析】（1）設公差為,故,解得,
故,
故,①
當時,,
當時,,②
式子①-②得,,
即,
當時,也滿足上式,故；
（2）因為,所以在中,從項開始,到項為止,
共有項數為,
當時,,當時,,
故數列前項是項之后還有項為2,
.
【例1】（2024屆陜西省安康市高新中學高三模擬）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設,求的前n項和.
【解析】（1）證明：令,又,則有
,
又,所以
所以數列是以1為首項,1為公差的等差數列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
【例2】（2024屆湖南省岳陽市高三下學期5月岳汨聯考）已知等差數列滿足（）,數列是公比為3的等比數列,．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列和中的項由小到大組成新的數列,記數列的前n項和為,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵為等差數列,∴,,
,即,
∴,
因為數列是公比為3的等比數列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且數列和中的項由小到大組成新的數列,
其中,,此時,
所以數列中數列有項,數列有項,
,
．
【例3】（2024屆福建省泉州五中高三下學期適應性監測二）已知數列和的各項均為正,且,是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列,的通項公式；
(2)設,求數列的前n項和．
【解析】（1）由題設,當時或（舍）,
由,知,
兩式相減得,
（舍）或,即,
∴數列是首項為2,公差為2的等差數列,．
又．
（2）
則
當n為偶數時,；
當n為奇數時,．
所以.
【例4】（2024屆重慶市第八中學校高三下學期5月月考）已知數列滿足,．
(1)求,,,并求證：；
(2)求數列的前2n項和．
【解析】（1）,,,
證明：,
,
即,,則,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以數列是公比為2的等比數列,
故,解得：,,
故
所以
．
【例5】將n 個實數排成n行n列的數陣形式
……
(1)當時,若每一行每一列都構成等差數列,且 ,求該數陣中所有數的和.
(2)已知,且每一行構成以1為公差的等差數列,每一列構成2為公差的等差數列,求這個數的和；
(3)若 且每一列均為公差為d 的等差數列,每一行均為等比數列.已知 ,設 求的值.
【解析】（1）由題意,且每一行都成等差數列則有
,
,
,
設所有數之和為,則有,
又因為每一列成等差數列,故有,即.
（2）設第行的和為,則有；
又因為每一列構成以2為公差的等差數列,即有當時,,
即數列構成以為首項,為公差的等差數列,即有
.
（3）由題意每一行均為等比數列,設第二行的公比為,則有,
又因為,故.從而可得第二行的通項公式,
即有,又因為每一列均為公差為的等差數列,且,
可得,即,即有,從而有,
故
.
1．（2024屆浙江省精誠聯盟高三下學期適應性聯考）已知等比數列和等差數列,滿足,,,．
(1)求數列,的通項公式；
(2)記數列的前項和為,數列的前項和為．證明：．
【解析】（1）等比數列滿足,,所以單調遞增,
設的公比為,等差數列的公差為,依題意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
2．（2024屆四川省百師聯盟高三沖刺卷五）已知為正項數列的前項和,且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若,求的前10項和．
【解析】（1）由題意知：,即,
當時,,
兩式相減,可得,
因為,可得．
又因為,當時,,即,
解得或（舍去）,所以（符合）,
從而,所以數列表示首項為3,公差為2的等差數列．
所以數列的通項公式為．
（2）由題意得,
所以
,
所以.
3．（2024屆浙江省杭州市高三下學期4月教學質量檢測）已知等差數列的前項和為,且．
(1)求數列的通項公式；
(2)數列滿足,令,求證：．
【解析】（1）設等差數列的首項為,公差為．
由,得,
解得：,所以．
（2）由（1）知,,
即,,,……,,
利用累乘法可得：
,也符合上式,
所以．
4．（2024屆山西省臨汾市高三第二次適應性訓練）已知數列滿足．
(1)計算,并求數列的通項公式；
(2)設數列滿足,求數列的前項和．
【解析】（1）由題可知,,
令,,得；
令,得．
由已知,
可得,
兩式相減得．
解法一：
整理得：．又滿足上式．從而對均成立．
因此為常數列,即有,故．
解法二：
整理得：．又滿足上式．
故．
即．當時符合上式,故．
（2）由（1）可知,所以．
因此
=.
5．（2024屆陜西省咸陽市高考模擬檢測三）數列滿足,.
(1)求數列通項公式；
(2)設,求數列的前項和.
【解析】（1）數列中,,,顯然,則,
數列是首項為1,公差為1的等差數列,,
所以數列通項公式是.
（2）由（1）知,,
當時,,,
當時,,
所以.
6．已知等差數列的首項為2,公差為8,在中每相鄰兩項之間插入三個數,使得它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列．
(1)求數列的前項和；
(2)若,,,是從中抽取的若干項按原來的順序排列組成的一個等比數列,,,令,求數列的前項和.
【解析】（1）因為等差數列的首項為2,公差為8,
所以,,
又在中每相鄰兩項之間插入三個數,使得它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列,設其公差為,
則,,
所以,
所以,即數列的通項公式為,.
所以數列的前項和.
（2）設等比數列,,,的公比為,由于,為等比數列的前兩項,且,
則,所以.
由（1）知,所以,從而,
于是
由,
得,
所以,
所以
從而.
7．已知正項數列的前項和為,且,.
(1)求；
(2)在數列的每相鄰兩項之間依次插入,得到數列：,求的前項和．
【解析】（1）因為,
所以,當時,
所以
所以,
因為,所以,故.
當時,適合上式,所以,,
所以當時,,
所以
（2）（解法1）因為,
所以數列：,
設,
則,
因為,所以,
所以的前項由個與個組成,
所以.
（解法2）設,
則,
因為,所以,
根據數列的定義,知
所以,
所以.
8．已知數列的前項和為,且滿足（）,數列滿足．
(1)求,的通項公式．
(2)求數列的前項和．
【解析】（1）解：當時,,所以,
因為,當時,可得,
兩式相減,得,
所以,所以,
又因為,所以是首項為,公比為的等比數列,所以,
所以．
（2）解:由（1）得,
當時,,
則,
兩式相減得
,
所以,
當時,
,
綜上可知,數列的前項和.
9．（2024屆湖南省岳陽市高三教學質量監測三）已知等差數列滿足：,且,,成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若等差數列的公差不為零且數列滿足：,求數列的前項和．
【解析】（1）設數列的公差為,依題意,成等比數列,所以,
解得或,當時,；當時,
所以數列的通項公式為或.
（2）因為等差數列的公差不為零,由（1）知,則
,
所以,
即.
10．（2024屆天津市武清區楊村第一中學高考熱身練）已知數列是正項等比數列,是等差數列,且,
(1)求數列和的通項公式;
(2),求數列的前項和.
(3)表示不超過的最大整數,表示數列的前項和,集合共有4個元素,求范圍;
【解析】（1）設等比數列的公比為,等差數列的公差為,
因為,
則,解得或（舍去）,
所以；.
（2）因為,,
設,
,
兩式相減得
,
所以,
當n為奇數時,,
設
,
.
（3）由題意可知：,
其中,
所以,
集合,設,
則,
所以當時,,當時,．
計算可得,,,,,
因為集合有4個元素,．
11．（2024屆廣東省江門市新會華僑中學等校二模）已知是公差為2的等差數列,數列的前項和為,且．
(1)求的通項公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超過的最大整數,當時,是定值,求正整數的最小值．
【解析】（1）設,則．
因為是公差為2的等差數列,所以．
設,則,
所以時,
．
所以,即,
又,滿足上式,所以
（2）（方法一）因為,
所以
兩式相減得．
設,
則,
兩式相減得
,
則．
所以,即．
（方法二）因為,
所以．
所以
則,
即．
（3）當時,,且,所以的定值為9．
所以當時,．
令,則,
,
所以單調遞減．
因為,所以,即正整數的最小值為
12．（2024屆陜西省西安市第一中學高三下學期模擬三）已知數列是公差不為零的等差數列,且,,成等差數列,,,（）成等比數列,．
(1)求的值及的通項公式；
(2)令,,求證：．
【解析】（1）設的公差為,
∵,,成等差數列,∴,
即,
考慮到,化簡得,即
∴,∵,,（）成等比數列,
∴,即,
即,解得．
∵,∴,解得．
∴,∵,解得,．
∴．
（2）由（1）可知,
當時,
所以
．
13．（2024屆天津市十二區重點學校高三下學期聯考二）設是等差數列,其前項和,是等比數列,且,,.
(1)求與的通項公式；
(2)設,求數列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立,求實數的取值范圍.
【解析】（1）設等差數列的公差為,等比數列的公比為,
由,,又,,,
由,,又,,,
,,
即,．
（2）當為奇數時,,
記,則有
,
,
得：
,
,
,
當為偶數時,,
記,
,
．
（3）由與恒成立,
可得恒成立,
恒成立,即求的最大值,
設,
,
單調遞增,
又,
,
．
14．（2024屆湖北省第九屆高三下學期4月調研）在如圖三角形數陣中,第n行有n個數,表示第i行第j個數,例如,表示第4行第3個數.該數陣中每一行的第一個數從上到下構成以m為公差的等差數列,從第三行起每一行的數從左到右構成以m為公比的等比數列其中已知,,
(1)求m及
(2)記除以3的余數為,,的前n項為,求
【解析】（1）由題意,可知,
,,
,,
化簡整理,得,解得舍去,或,
,
,
（2）
j
等于除以3的余數.
當j為奇數時
①時
②時
③時
當j為偶數時
①時
②時
③時
時
當時
當時,
綜上
15．（2024屆湖南省永州市高三三模）已知數列為等比數列,為等差數列,且,,.
(1)求,的通項公式；
(2)數列的前項和為,集合共有5個元素,求實數的取值范圍；
(3)若數列中,,,求證：.
【解析】（1）設數列的公比為,數列的公差為,
則由,,所以,所以,
,即,所以,
所以；
（2）設數列,
則,
所以
,
,
令,
,
可得,
故當時,最大,
且,
所以,即的取值范圍為.
（3）由,
則當時,
,
當時,也滿足上式,
所以,
,
所以原不等式成立.
16．（2024屆天津市紅橋區高三下學期二模）已知是等差數列,是公比為正數的等比數列,且,,,．
(1)求數列{,的通項公式；
(2)設,
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【解析】（1）設的首項為,公差為,的公比為,
因為,,
所以,
解得或（舍）,
所以,即,
所以,
又,,即,
解得,
所以,即
（2）（ⅰ）因為,則,
則；
（ⅱ）因為,
所以.
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