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專題4 分段數(shù)列
新高考在試題形式、試卷結構、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,由于分段數(shù)列問題大多涉及分類討論思想,對能力要求更高,作為壓軸題出現(xiàn)的頻率更高,本專題總結分段數(shù)列的常見類型及求解,供大家參考.
（一）分段數(shù)列求通項
分段數(shù)列求通項,關鍵是確定n在不同范圍內(nèi)取值時與的關系,恰當進行分類是求解的難點.
【例1】（2024屆四川省成都石室中學高三下學期適應性考試）已知數(shù)列滿足 當時,
(1)求和,并證明當為偶數(shù)時是等比數(shù)列；
(2)求及.
【解析】（1）因為 當時,,
所以,.
,,又,
當為偶數(shù)時,是以為首項,以為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知,,
設,則 為偶數(shù)時,
當為奇數(shù)時,
；
設,為奇數(shù)時,,
所以.
.
（二）分段數(shù)列求和
對于分段數(shù)列求和,一般數(shù)列分幾段,求和時也分幾段,對于型的數(shù)列求和,一定要注意若為偶數(shù),則奇數(shù)項與偶數(shù)項各有項,若n為奇數(shù),則奇數(shù)項有項,偶數(shù)項有,若是公差為的等差數(shù)列,則的奇數(shù)項是公差為的等差數(shù)列,若是公比為的等比數(shù)列,則的偶數(shù)項是公比為的等比數(shù)列.
【例2】（2024屆廣東省名校教研聯(lián)盟高三下學期5月模擬）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,其前n項和為,,,,成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若,,求數(shù)列的前100項和．
【解析】（1）設數(shù)列的首項為,公差為,
根據(jù)題意得即
解得或．
又因,所以．所以的通項公式為．
（2）由（1）得．
即數(shù)列的偶數(shù)項是以4為首項,4為公差的等差數(shù)列,
奇數(shù)項是以為首項,16為公比的等比數(shù)列．
數(shù)列的前100項中偶數(shù)項有50項,奇數(shù)項有50項,
數(shù)列的前100項和．
,
．
所以．
【例3】（2024屆湖南省長沙市第一中學高考最后一卷）若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)）,則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”,且.
(1)求的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由為“比差等數(shù)列”,
得,從而.
設,則,
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因為,所以為常數(shù)列,
因此,,即,
所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,因此.
（2）當為偶數(shù)時,
；
當為奇數(shù)時,.
綜上,.
（三）型的分段數(shù)列
此類問題比較簡單,求解時只需分n為偶數(shù)與奇數(shù)即可,求指定項時要注意區(qū)分該項在奇數(shù)項或偶數(shù)項中的位置,求和時要注意奇數(shù)項與偶數(shù)項的項數(shù).
【例4】已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項和為,且滿足
(1)求；
(2)求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前2k項和;
(3)在數(shù)列中,是否存在連續(xù)的三項,按原來的順序成等差數(shù)列 若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,說明理由
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,
則,
因為,所以,即,
因為,所以,即,
解得,
所以；
（2）由（1）知,
所以對于,有,,
所以（）,
（3）在數(shù)列中,僅存在連續(xù)三項按原來的順序成等差數(shù)列,此時正整數(shù),
下面說明：
若,則由,得,
化簡得,
此式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),不可能成立,
若,則由,得,化簡得,
令,則,
所以,所以只有,此時,
綜上,在數(shù)列中,僅存在連續(xù)三項按原來的順序成等差數(shù)列,此時正整數(shù).
（四）型的分段數(shù)列
求解此題問題,一般是由已知條件推出與（或與,與）的遞推關系,再構造等差（比）數(shù)列求通項.
【例5】設數(shù)列滿足：是的等比中項.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的前20項的和.
【解析】（1）由已知,,
又是的比例中項,所以,即,顯然且,故解得；
（2）是奇數(shù)時,,,,而,
所以數(shù)列是等比數(shù)列,
．
（五）相鄰項和（積）為等差（比）數(shù)列型的分段數(shù)列
1.若,則當時,,兩式相減得,即數(shù)列與數(shù)列均是公差為的等差數(shù)列.
2.若,則,兩式相除得,即數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列.
【例6】設數(shù)列的前n項和為,且．
（1）求；
（2）若對恒成立,求的取值范圍．
【解析】（1）因為,當時,,
兩式相減得,則,
兩式相減得．
當時,,則；當時,,則,
所以.
（2）由（1）得．
要使對恒成立,則即解得,
所以的取值范圍為.
（六）型的分段數(shù)列
求解此類問題,關鍵是確定分界點.
【例7】（2023年高考全國乙卷數(shù)學真題）記為等差數(shù)列的前項和,已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,
由題意可得,即,解得,
所以,
（2）因為,
令,解得,且,
當時,則,可得；
當時,則,可得
；
綜上所述：.
【例8】（2024屆吉林省長春市東北師大附中高三第六次模擬）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零,,對任意,設．定義運算若,則,且．
(1)設,用表示；
(2)若,證明：：
(3)若數(shù)列滿足,數(shù)列滿足,設,證明：．
【解析】（1）因為,所以,
所以,
根據(jù)多項式的乘法可得：．
（2）因為,
所以．
又,
所以,
所以
（3）對于,
因為,所以,
所以,
所以,
所以．
所以．
所以．
所以
(七)含或型的分段數(shù)列
求解含或型的分段數(shù)列問題,一般借助三角函數(shù)的周期性求解,求和時通常把一個周期內(nèi)的項求和后,構造新數(shù)列求解.
【例9】（2024屆山東濰坊高三三模）已知正項等差數(shù)列的公差為2,前項和為,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）因為,
所以,即,解得或,
又因為,所以,所以.
（2）,所以,
所以為奇數(shù)時,
,
為偶數(shù)時,
,
所以前項和.
(八)當時型的分段數(shù)列
求解此類問題的關鍵是判斷在每個范圍內(nèi)數(shù)列項的個數(shù).
【例10】已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前和為,,,數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列,的通項公式；
(2)若對數(shù)列,,在與之間插入個2（）,組成一個新數(shù)列,求數(shù)列的前83項的和.
【解析】（1）設公差為,故,解得,
故,
故,①
當時,,
當時,,②
式子①-②得,,
即,當時,也滿足上式,故；
（2）因為,所以在中,從項開始,到項為止,
共有項數(shù)為,
當時,,當時,,
故數(shù)列前項是項之后還有項為2,
.
【例11】（2023年天津高考數(shù)學真題）已知是等差數(shù)列,．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數(shù)列,且對任意的,當時,則,
（Ⅰ）當時,求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
【解析】（1）由題意可得,解得,
則數(shù)列的通項公式為,
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知,當時,,
取,則,即,
當時,,
取,此時,
據(jù)此可得,
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：,
則數(shù)列的公比滿足,
當時,,所以,
所以,即,
當時,,所以,
所以數(shù)列的通項公式為,
其前項和為：.
【例1】（2024屆湖南省邵陽市高三第三次聯(lián)考）已知數(shù)列,,函數(shù),其中,均為實數(shù)．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（ⅱ）設數(shù)列的前項和為,求證：．
(2)若為奇函數(shù),,,且,問：當時,是否存在整數(shù),使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,請說明理由．（附：,）
【解析】（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2為公比,2為首項的等比數(shù)列．
．
（ⅱ）令,則,
．
顯然,當時,是遞增數(shù)列,在時,單調(diào)遞減,
可得,．
．
（2）為奇函數(shù),
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上為增函數(shù),
當時,,；
,
．
當時,．
時,,又,
當時,,．
又,的最大值為5．
【例2】（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為等差數(shù)列,,記,分別為數(shù)列,的前n項和,,．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時,．
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,而,
則,
于是,解得,,
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知,,,
當為偶數(shù)時,,
,
當時,,因此,
當為奇數(shù)時,,
當時,,因此,
所以當時,.
方法2：由（1）知,,,
當為偶數(shù)時,,
當時,,因此,
當為奇數(shù)時,若,則
,顯然滿足上式,因此當為奇數(shù)時,,
當時,,因此,
所以當時,.
【例3】（2024年天津高考數(shù)學真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項和為．若．
(1)求數(shù)列前項和；
(2)設,．
（ⅰ）當時,求證：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為,
因為,即,
可得,整理得,解得或（舍去）,
所以.
（2）（i）由（1）可知,且,
當時,則,即
可知,
,
可得,
當且僅當時,等號成立,所以；
（ii）由（1）可知：,
若,則；若,則,
當時,,可知為等差數(shù)列,
可得,
所以,
且,符合上式,綜上所述：.
【例4】（2021年新高考1卷數(shù)學真題）已知數(shù)列滿足,
（1）記,寫出,,并求數(shù)列的通項公式；
（2）求的前20項和.
【解析】（1）由題設可得
又,,故即即
所以為等差數(shù)列,故.
（2）設的前項和為,則,因為,所以
.
【例5】（2024屆湖南長沙高三下學期三模）若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)）,則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”,且.
(1)求的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由為“比差等數(shù)列”,
得,
從而.
設,則,
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因為,
所以為常數(shù)列,
因此,,即,
所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,
因此.
（2）當為偶數(shù)時,
；
當為奇數(shù)時,.
綜上,.
【例6】設是數(shù)列的前n項和,已知,
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）求滿足的所有正整數(shù)n.
【解析】（1）由已知得,
所以,其中,,所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知,所以,,
所以,所以
,當時,單調(diào)遞減,其中,,,
所以滿足的所有正整數(shù)n為1,2.
1.（2024屆福建省廈門市高三第四次質(zhì)量檢測）設為數(shù)列的前項和,已知,且為等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)若,求的前項和.
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,因為,
所以,即,
所以,即,
當時,,
當時,,滿足上式,所以.
（2）由（1）知
則
所以數(shù)列的前項和為.
2．（2024屆重慶市第八中學校高三下學期5月月考）已知數(shù)列滿足,．
(1)求,,,并求證：；
(2)求數(shù)列的前2n項和．
【解析】（1）,,,
證明：,
,
即,,則,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,
故,解得：,,
故
所以
．
3．（2024屆貴州省貴陽市第一中學等校高三下學期三模）已知正項數(shù)列的前項和為,且滿足.試求:
(1)數(shù)列的通項公式;
(2)記,數(shù)列的前項和為,當時,求滿足條件的最小整數(shù).
【解析】（1）因為,當時,,
當時,,因為,
兩式相減得,,因為,所以,
所以,均為等差數(shù)列,,．
所以；
（2）由題意得,,
所以,
因為,所以,
解得．所以滿足條件的最小整數(shù)為9．
4．（2024屆天津市武清區(qū)楊村第一中學高考熱身練）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2),求數(shù)列的前項和.
(3)表示不超過的最大整數(shù),表示數(shù)列的前項和,集合共有4個元素,求范圍;
【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為,等差數(shù)列的公差為,
因為,
則,解得或（舍去）,
所以；.
（2）因為,,
設,
,
兩式相減得
,
所以,
當n為奇數(shù)時,,
設
,
.
（3）由題意可知：,
其中,
所以,
集合,設,
則,
所以當時,,當時,．
計算可得,,,,,
因為集合有4個元素,．
5．（2024屆天津市第一中學高三第五次月考）已知數(shù)列是等差數(shù)列,,,數(shù)列的前n項和為,且,
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若集合中恰有四個元素,求實數(shù)的取值范圍；
(3)設數(shù)列滿足,的前n項和為,證明：．
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,
由題意可得：,解得,
所以；又因為,
若,可得,解得；若,可得,
兩式相減得,即；
可知數(shù)列是以首項,公比的等比數(shù)列,所以.
（2）由（1）可知：,
若,即,可得,
設,原題意等價于關于n的不等式恰有4個不同的解,
令,
當且僅當時,等號成立,
可得,且,則,
所以實數(shù)的取值范圍為.
（3）由題意可知：,則,
則,
因為,則,即,可得,
則；
又因為,則,可得,
則；
綜上所述：.
6．（2024屆山西省高考三模）已知等差數(shù)列的公差,前項和為,且,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）因為,,
所以,解得或,
因為,所以,則；
（2）由（1）可得,
所以
.
7．（2024屆福建省廈門市高三第二次質(zhì)檢）已知為等差數(shù)列的前n項和,,,.
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列的前n項和,若,求n的最小值.
【解析】（1）設數(shù)列的公差為d,
依題意,, 即,解得,
所以的通項公式是.
（2）由（1）知,所以,
,
恒成立,
令,
由,由于,所以.
所以
所以的最小值為4.
8．（2024屆天津市十二區(qū)重點學校高三下學期聯(lián)考）設是等差數(shù)列,其前項和,是等比數(shù)列,且,,.
(1)求與的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,
由,,又,,,
由,,又,,,
,,
即,．
（2）當為奇數(shù)時,,
記,則有
,
,
得：
,
,
,
當為偶數(shù)時,,
記,
,
．
（3）由與恒成立,
可得恒成立,
恒成立,即求的最大值,
設,
,
單調(diào)遞增,
又,
,
．
9．（2024屆山東省煙臺市高三二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列,其前4項和為16,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設的公差為,由題意知,即,
即有,因為,可得,,
所以；
（2）設數(shù)列的前項中的奇數(shù)項之和為,偶數(shù)項之和為,
則
,
,
所以．
10．已知等差數(shù)列的前項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）時,,
時,,
又,
所以；
（2）由（1）,
當時,,
當時,
,
.
11．已知的前項和是,且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）由①得,當時,②,
聯(lián)立①②得,
所以有,
因為,所以．
（2）設數(shù)列的前項中的奇數(shù)項之和為,偶數(shù)項之和為,
由（1）知
則,
,
綜上：．
12．已知正項數(shù)列的前項和為,且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若的前項和為,求.
【解析】（1）因為①,時,②,
①-②整理得,
數(shù)列是正項數(shù)列,,
當時,,
,數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
；
（2）由題意知,設的前項中奇數(shù)項的和為,偶數(shù)項的和為,
,
,
.
13.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1＝－9,a2為整數(shù),且a5≤0,a6≥0.
(1) 求{an}的通項公式；
(2) 設b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n項和Tn.
【解析】 設{an}的公差為d,由題意得
所以≤d≤.因為a2∈Z,所以d＝2,
所以an＝2n－11.
(2) 設b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n項和Tn.
由題可知,當n為偶數(shù)時,bn＋bn＋1＝(－2)n＝2n.
①當n為奇數(shù)(n≥3)時,Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝b1＋22＋24＋…＋2n－1＝＋＝.
當n＝1時也符合上式．
②當n為偶數(shù)時, Tn＝Tn－1＋bn＝＋an－1＝＋2n－13.
所以Tn＝
14.（2020天津高考真題）已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（2）對任意的正整數(shù),設求數(shù)列的前項和．
【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為q.
由,,可得d=1.
從而的通項公式為.
由,
又q≠0,可得,解得q=2,
從而的通項公式為.
(2)當n為奇數(shù)時,,
當n為偶數(shù)時,,
對任意的正整數(shù)n,有,
和 ①
由①得 ②
由①②得,
由于,
從而得：.
因此,.
所以,數(shù)列的前2n項和為.
15.（2024屆廣東省廣州實驗中學校考）已知數(shù)列滿足,且的前100項和
(1)求的首項；
(2)記,數(shù)列的前項和為,求證：.
【解析】（1）當為奇數(shù)時,；
則偶數(shù)項構成以為公差的等差數(shù)列,
所以當為偶數(shù)時,；
當為偶數(shù)時,,
則奇數(shù)項構成以1為公差的等差數(shù)列,
所以當為奇數(shù)時,,
則,又,
所以,
解得,.
（2）由（1）得,,,,
當時,,
∴,
綜上,知.
16．（2024云南省昆明市五華區(qū)高三上學期第五次檢測數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足,數(shù)列滿足．
(1)求,的值及數(shù)列的通項公式；
(2)若（,）,求的取值范圍；
(3)在數(shù)列中,是否存在正整數(shù),,使,,（,,）構成等比數(shù)列？若存在,求符合條件的一組的值,若不存在,請說明理由．
【解析】（1）由已知得：,
．
因為,,所以,
而,所以是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）不等式化為：,
設,
則,
所以在上單調(diào)遞增,
所以,因為在上恒成立,
所以,
所以的取值范圍為．
（3）若,,（,,）構成等比數(shù)列,
則,即：,
所以,
由于,均為正整數(shù),所以奇數(shù)必須是完全平方數(shù),
又因為,所以,
則為奇數(shù)的平方,不妨取,,
所以,當時,,,即：,不滿足題意,舍去；
當時,,,即：,,不滿足題意,舍去；
當時,,,即：,.
所以符合條件的一組的值可以是．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題4 分段數(shù)列
新高考在試題形式、試卷結構、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,由于分段數(shù)列問題大多涉及分類討論思想,對能力要求更高,作為壓軸題出現(xiàn)的頻率更高,本專題總結分段數(shù)列的常見類型及求解,供大家參考.
（一）分段數(shù)列求通項
分段數(shù)列求通項,關鍵是確定n在不同范圍內(nèi)取值時與的關系,恰當進行分類是求解的難點.
【例1】（2024屆四川省成都石室中學高三下學期適應性考試）已知數(shù)列滿足 當時,
(1)求和,并證明當為偶數(shù)時是等比數(shù)列；
(2)求及.
【解析】（1）因為 當時,,
所以,.
,,又,
當為偶數(shù)時,是以為首項,以為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知,,
設,則 為偶數(shù)時,
當為奇數(shù)時,
；
設,為奇數(shù)時,,
所以.
.
（二）分段數(shù)列求和
對于分段數(shù)列求和,一般數(shù)列分幾段,求和時也分幾段,對于型的數(shù)列求和,一定要注意若為偶數(shù),則奇數(shù)項與偶數(shù)項各有項,若n為奇數(shù),則奇數(shù)項有項,偶數(shù)項有,若是公差為的等差數(shù)列,則的奇數(shù)項是公差為的等差數(shù)列,若是公比為的等比數(shù)列,則的偶數(shù)項是公比為的等比數(shù)列.
【例2】（2024屆廣東省名校教研聯(lián)盟高三下學期5月模擬）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,其前n項和為,,,,成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若,,求數(shù)列的前100項和．
【解析】（1）設數(shù)列的首項為,公差為,
根據(jù)題意得即
解得或．
又因,所以．所以的通項公式為．
（2）由（1）得．
即數(shù)列的偶數(shù)項是以4為首項,4為公差的等差數(shù)列,
奇數(shù)項是以為首項,16為公比的等比數(shù)列．
數(shù)列的前100項中偶數(shù)項有50項,奇數(shù)項有50項,
數(shù)列的前100項和．
,
．
所以．
【例3】（2024屆湖南省長沙市第一中學高考最后一卷）若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)）,則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”,且.
(1)求的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由為“比差等數(shù)列”,
得,從而.
設,則,
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因為,所以為常數(shù)列,
因此,,即,
所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,因此.
（2）當為偶數(shù)時,
；
當為奇數(shù)時,.
綜上,.
（三）型的分段數(shù)列
此類問題比較簡單,求解時只需分n為偶數(shù)與奇數(shù)即可,求指定項時要注意區(qū)分該項在奇數(shù)項或偶數(shù)項中的位置,求和時要注意奇數(shù)項與偶數(shù)項的項數(shù).
【例4】已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項和為,且滿足
(1)求；
(2)求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前2k項和;
(3)在數(shù)列中,是否存在連續(xù)的三項,按原來的順序成等差數(shù)列 若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,說明理由
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,
則,
因為,所以,即,
因為,所以,即,
解得,
所以；
（2）由（1）知,
所以對于,有,,
所以（）,
（3）在數(shù)列中,僅存在連續(xù)三項按原來的順序成等差數(shù)列,此時正整數(shù),
下面說明：
若,則由,得,
化簡得,
此式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),不可能成立,
若,則由,得,化簡得,
令,則,
所以,所以只有,此時,
綜上,在數(shù)列中,僅存在連續(xù)三項按原來的順序成等差數(shù)列,此時正整數(shù).
（四）型的分段數(shù)列
求解此題問題,一般是由已知條件推出與（或與,與）的遞推關系,再構造等差（比）數(shù)列求通項.
【例5】設數(shù)列滿足：是的等比中項.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的前20項的和.
【解析】（1）由已知,,
又是的比例中項,所以,即,顯然且,故解得；
（2）是奇數(shù)時,,,,而,
所以數(shù)列是等比數(shù)列,
．
（五）相鄰項和（積）為等差（比）數(shù)列型的分段數(shù)列
1.若,則當時,,兩式相減得,即數(shù)列與數(shù)列均是公差為的等差數(shù)列.
2.若,則,兩式相除得,即數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列.
【例6】設數(shù)列的前n項和為,且．
（1）求；
（2）若對恒成立,求的取值范圍．
【解析】（1）因為,當時,,
兩式相減得,則,
兩式相減得．
當時,,則；當時,,則,
所以.
（2）由（1）得．
要使對恒成立,則即解得,
所以的取值范圍為.
（六）型的分段數(shù)列
求解此類問題,關鍵是確定分界點.
【例7】（2023年高考全國乙卷數(shù)學真題）記為等差數(shù)列的前項和,已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,
由題意可得,即,解得,
所以,
（2）因為,
令,解得,且,
當時,則,可得；
當時,則,可得
；
綜上所述：.
【例8】（2024屆吉林省長春市東北師大附中高三第六次模擬）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零,,對任意,設．定義運算若,則,且．
(1)設,用表示；
(2)若,證明：：
(3)若數(shù)列滿足,數(shù)列滿足,設,證明：．
【解析】（1）因為,所以,
所以,
根據(jù)多項式的乘法可得：．
（2）因為,
所以．
又,
所以,
所以
（3）對于,
因為,所以,
所以,
所以,
所以．
所以．
所以．
所以
(七)含或型的分段數(shù)列
求解含或型的分段數(shù)列問題,一般借助三角函數(shù)的周期性求解,求和時通常把一個周期內(nèi)的項求和后,構造新數(shù)列求解.
【例9】（2024屆山東濰坊高三三模）已知正項等差數(shù)列的公差為2,前項和為,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）因為,
所以,即,解得或,
又因為,所以,所以.
（2）,所以,
所以為奇數(shù)時,
,
為偶數(shù)時,
,
所以前項和.
(八)當時型的分段數(shù)列
求解此類問題的關鍵是判斷在每個范圍內(nèi)數(shù)列項的個數(shù).
【例10】已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前和為,,,數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列,的通項公式；
(2)若對數(shù)列,,在與之間插入個2（）,組成一個新數(shù)列,求數(shù)列的前83項的和.
【解析】（1）設公差為,故,解得,
故,
故,①
當時,,
當時,,②
式子①-②得,,
即,當時,也滿足上式,故；
（2）因為,所以在中,從項開始,到項為止,
共有項數(shù)為,
當時,,當時,,
故數(shù)列前項是項之后還有項為2,
.
【例11】（2023年天津高考數(shù)學真題）已知是等差數(shù)列,．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數(shù)列,且對任意的,當時,則,
（Ⅰ）當時,求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
【解析】（1）由題意可得,解得,
則數(shù)列的通項公式為,
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知,當時,,
取,則,即,
當時,,
取,此時,
據(jù)此可得,
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：,
則數(shù)列的公比滿足,
當時,,所以,
所以,即,
當時,,所以,
所以數(shù)列的通項公式為,
其前項和為：.
【例1】（2024屆湖南省邵陽市高三第三次聯(lián)考）已知數(shù)列,,函數(shù),其中,均為實數(shù)．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（ⅱ）設數(shù)列的前項和為,求證：．
(2)若為奇函數(shù),,,且,問：當時,是否存在整數(shù),使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,請說明理由．（附：,）
【解析】（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2為公比,2為首項的等比數(shù)列．
．
（ⅱ）令,則,
．
顯然,當時,是遞增數(shù)列,在時,單調(diào)遞減,
可得,．
．
（2）為奇函數(shù),
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上為增函數(shù),
當時,,；
,
．
當時,．
時,,又,
當時,,．
又,的最大值為5．
【例2】（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為等差數(shù)列,,記,分別為數(shù)列,的前n項和,,．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時,．
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,而,
則,
于是,解得,,
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知,,,
當為偶數(shù)時,,
,
當時,,因此,
當為奇數(shù)時,,
當時,,因此,
所以當時,.
方法2：由（1）知,,,
當為偶數(shù)時,,
當時,,因此,
當為奇數(shù)時,若,則
,顯然滿足上式,因此當為奇數(shù)時,,
當時,,因此,
所以當時,.
【例3】（2024年天津高考數(shù)學真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項和為．若．
(1)求數(shù)列前項和；
(2)設,．
（ⅰ）當時,求證：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為,
因為,即,
可得,整理得,解得或（舍去）,
所以.
（2）（i）由（1）可知,且,
當時,則,即
可知,
,
可得,
當且僅當時,等號成立,所以；
（ii）由（1）可知：,
若,則；若,則,
當時,,可知為等差數(shù)列,
可得,
所以,
且,符合上式,綜上所述：.
【例4】（2021年新高考1卷數(shù)學真題）已知數(shù)列滿足,
（1）記,寫出,,并求數(shù)列的通項公式；
（2）求的前20項和.
【解析】（1）由題設可得
又,,故即即
所以為等差數(shù)列,故.
（2）設的前項和為,則,因為,所以
.
【例5】（2024屆湖南長沙高三下學期三模）若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)）,則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”,且.
(1)求的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由為“比差等數(shù)列”,
得,
從而.
設,則,
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因為,
所以為常數(shù)列,
因此,,即,
所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,
因此.
（2）當為偶數(shù)時,
；
當為奇數(shù)時,.
綜上,.
【例6】設是數(shù)列的前n項和,已知,
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）求滿足的所有正整數(shù)n.
【解析】（1）由已知得,
所以,其中,,所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知,所以,,
所以,所以
,當時,單調(diào)遞減,其中,,,
所以滿足的所有正整數(shù)n為1,2.
1.（2024屆福建省廈門市高三第四次質(zhì)量檢測）設為數(shù)列的前項和,已知,且為等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)若,求的前項和.
2．（2024屆重慶市第八中學校高三下學期5月月考）已知數(shù)列滿足,．
(1)求,,,并求證：；
(2)求數(shù)列的前2n項和．
3．（2024屆貴州省貴陽市第一中學等校高三下學期三模）已知正項數(shù)列的前項和為,且滿足.試求:
(1)數(shù)列的通項公式;
(2)記,數(shù)列的前項和為,當時,求滿足條件的最小整數(shù).
4．（2024屆天津市武清區(qū)楊村第一中學高考熱身練）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2),求數(shù)列的前項和.
(3)表示不超過的最大整數(shù),表示數(shù)列的前項和,集合共有4個元素,求范圍;
5．（2024屆天津市第一中學高三第五次月考）已知數(shù)列是等差數(shù)列,,,數(shù)列的前n項和為,且,
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若集合中恰有四個元素,求實數(shù)的取值范圍；
(3)設數(shù)列滿足,的前n項和為,證明：．
6．（2024屆山西省高考三模）已知等差數(shù)列的公差,前項和為,且,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
7．（2024屆福建省廈門市高三第二次質(zhì)檢）已知為等差數(shù)列的前n項和,,,.
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列的前n項和,若,求n的最小值.
8．（2024屆天津市十二區(qū)重點學校高三下學期聯(lián)考）設是等差數(shù)列,其前項和,是等比數(shù)列,且,,.
(1)求與的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
9．（2024屆山東省煙臺市高三二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列,其前4項和為16,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
10．已知等差數(shù)列的前項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
11．已知的前項和是,且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設求數(shù)列的前項和．
12．已知正項數(shù)列的前項和為,且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若的前項和為,求.
13.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1＝－9,a2為整數(shù),且a5≤0,a6≥0.
(1) 求{an}的通項公式；
(2) 設b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n項和Tn.
14.（2020天津高考真題）已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（2）對任意的正整數(shù),設求數(shù)列的前項和．
15.（2024屆廣東省廣州實驗中學校考）已知數(shù)列滿足,且的前100項和
(1)求的首項；
(2)記,數(shù)列的前項和為,求證：.
16．（2024云南省昆明市五華區(qū)高三上學期第五次檢測數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足,數(shù)列滿足．
(1)求,的值及數(shù)列的通項公式；
(2)若（,）,求的取值范圍；
(3)在數(shù)列中,是否存在正整數(shù),,使,,（,,）構成等比數(shù)列？若存在,求符合條件的一組的值,若不存在,請說明理由．
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