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專題5 數列中的不等式問題
新高考在試題形式、試卷結構、難度調控等方面深化改革,數列解答題的難度增加,作為壓軸題出現的概率變大,數列壓軸題與不等式交匯的可能性比較大,本專題總結數列中不等式的常見類型及解法，供大家參考.
（一）比較大小
比較的大小,通常作差,轉化為判斷與0的大小,若,也可以轉化為判斷與1的大小.
【例1】已知數列的前n項和,且滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前n項和為,比較和的大小.
【解析】（1）因為
當時,
又因為時,也滿足上式
所以當時,,
（2）由,得
當時,
當時,,.
綜上所述：當時,,當時,.
（二）判斷數列不等式是否成立或由數列不等式求的范圍
此類問題,一般先把所給數列不等式轉化為關于n的不等式,通過解不等式或利用函數、數列性質求解.
【例2】已知數列滿足記數列的前項和為,
(1)求證：數列為等比數列,并求其通項；
(2)求；
(3)問是否存在正整數,使得成立？說明理由.
【解析】（1） ,
即,
所以,
（2）,所以,
當為奇數時,可令,
則
,
當為偶數時,可令
則；
（3）假設存在正整數,使得成立,
因為,,
所以只要
即只要滿足①：,和②：,
對于①只要 就可以；
對于②,
當為奇數時,滿足,顯然不成立,
當為偶數時,滿足,即
令,
因為
由于的對稱軸為,故在且為偶數,單調遞減,
當時,,故
即,且當時,最大,且最大值為,
因此,,
所以當為偶數時,②式成立,即當為偶數時,成立 .
【例3】已知數列滿足,且．
(1)設,證明：是等比數列；
(2)設數列的前n項和為,求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）證明：∵,
,,,,
又, ,,
,,
又,,,
,即,,
又,
,,
∴數列是以2為首項,2為公比的等比數列．
（2）由（1）可知數列是以2為首項,2為公比的等比數列,
,即,
,,
,又,
,
即,
,
,
,
在是一個增數列,
,
,
∴滿足題意的n的最小值是20．
（三）根據不等式恒成立求參數范圍
不等式恒成立問題,通常通過分離參數,把問題轉化為或的形式,再利用數列單調性或函數單調性,求的最值,然后確定的范圍.
【例4】（2024屆貴州省六盤水市高三下學期三診）已知為等差數列,且,．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立,求實數λ的取值范圍．
【解析】（1）設數列 的公差為d,則根據題意可得,
解得,則．
（2）由（1）可知運用等差數列求和公式,得到,
又恒成立,則恒成立,
設,則,
當時,,即；
當時,,則,則；
則,故,
故實數λ的取值范圍為．
（四）證明與通項有關的不等式
求解此類問題,一般是先確定通項,再通過放縮或數列單調性證明.
【例5】（2024屆江蘇省鹽城市高三5月考前指導卷）在數列的第項與第項之間插入個1,稱為變換．數列通過變換所得數列記為,數列通過變換所得數列記為,以此類推,數列通過變換所得數列記為（其中）．
(1)已知等比數列的首項為1,項數為,其前項和為,若,求數列的項數；
(2)若數列的項數為3,的項數記為．
①當時,試用表示；
②求證：．
【解析】（1）設等比數列的公比為,顯然,
由,得,解得.
故數列有8項,經過1次變換后的項數為,
即的項數為36.
（2）①由的項數為,則當時,,
所以
②因數列是一個3項的數列,所以,
由,所以,
于是,則有
所以,得,即,
所以.
,,于是,
則有,可得,有,即,
所以,綜上所述,．
（五）先求和再放縮,證明與前n項和有關的不等式
證明與前n項有關的不等式,若所給數列可以轉化為等差（比）數列求和,或可以裂項求和,通常是先求和,再放縮.
【例6】（2024屆浙江省精誠聯盟高三下學期適應性聯考）已知等比數列和等差數列,滿足,,,．
(1)求數列,的通項公式；
(2)記數列的前項和為,數列的前項和為．證明：．
【解析】（1）等比數列滿足,,所以單調遞增,
設的公比為,等差數列的公差為,依題意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
（六）先放縮,再求和,證明與前n項和有關的不等式
此類問題,通常是所給數列無法求和,要先把所給數列放縮成等差（比）數列或可以裂項求和、錯位相減法求和的數列,再求和,放縮時要觀察待證結論,防止放縮過度或不足.
【例7】（2024屆廣西柳州高級中學高三下學期3月熱身考）表示正整數a,b的最大公約數.若,且,則將k的最大值記為,例如：
(1)求;
(2)設,數列 的前n項和為 證明：
【解析】（1）依題可得表示所有不超過正整數m,且與m互質的正整數個數.
因為與2互質的數為1,所以,
因為與3互質的數為1,2,所以,
因為在中與互質的正整數只有,
所以在中與互質的正整數的個數為,因此；
（2）,則,
因為,
所以,因此有,
所以,
因為,所以.
【例8】（2024屆云南省大理新世紀中學高三數學模擬）自然常數,符號,為數學中的一個常數,是一個無限不循環小數,且為超越數,其值約為2.71828.它是自然對數的底數.有時稱它為歐拉數（Euler number）,以瑞士數學家歐拉命名；也有個較為少見的名字“納皮爾常數”,以紀念蘇格蘭數學家約翰 納皮爾（John Napier）引進對數.它就像圓周率和虛數單位,是數學中最重要的常數之一,它的其中一個定義是.設數列的通項公式為,,
(1)寫出數列的前三項,,．
(2)證明：．
【解析】（1）由通項公式得,
；；.
（2）由二項式定理得
,
所以是上的單調遞增數列,
因為,則；
又
,
綜上可知,．
（七）借助導數證明與前n項和有關的不等式.
求解此類問題,通常先利用導數證明一個不等式,再把不等式中的自變量用代換,通過累加或累乘法證明所給不等式.
【例9】牛頓（1643－1727）給出了牛頓切線法求方程的近似解：如圖設是的一個零點,任意選取作為的初始近似值,過點作曲線的切線,與軸的交點為橫坐標為,稱為的1次近似值,過點作曲線的切線,與軸的交點為橫坐標為,稱為的2次近似值．一般地,過點作曲線的切線,與軸的交點為橫坐標為,就稱為的次近似值,稱數列為牛頓數列．
(1)若的零點為,,請用牛頓切線法求的2次近似值；
(2)已知二次函數有兩個不相等的實數根,數列為的牛頓數列,數列滿足,且．
（ⅰ）設,求的解析式；
（ⅱ）證明：
【解析】（1）
,所以
當,所以
當,
所以的2次近似值為.
（2）（ⅰ）因為二次函數有兩個不等實根,
所以不妨設,
則,
因為所以
所以在橫坐標為的點處的切線方程為
令則
即,
所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知,
所以.
因為所以所以.
令則,又
所以,數列是公比為2的等比數列.
.
令,則
當時,,所以在單調遞減,
所以,即
因為所以即.
.
【例1】（2024屆山東省泰安肥城市高考仿真模擬）在足球比賽中,有時需通過點球決定勝負．
(1)撲點球的難度一般比較大,假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門,門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球,而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素,在一次點球大戰中,求門將在前三次撲到點球的個數的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練,甲 乙 丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機傳向另外人中的 人,接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人,如此不停地傳下去,假設傳出的球都能接住．記第次傳球之前球在甲腳下的概率為,易知．
① 試證明：為等比數列；
② 設第次傳球之前球在乙腳下的概率為,比較與的大小．
【解析】（1）解法一：依題意可得,門將每次可以撲到點球的概率為,
門將在前三次撲到點球的個數可能的取值為
易知,所以
故的分布列為：
0 1 2 3
所以的數學期望．
解法二：的所有可能取值為
在一次撲球中,撲到點球的概率,
所以

所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的數學期望：
（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為,
則當時,第次傳球之前球在甲腳下的概率為,
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為,
則
即,又,
所以是以為首項,公比為的等比數列．
②由①可知,所以,
所以,故．
【例2】（2024屆陜西省西北工業大學附中高三適應性訓練）已知函數
(1)若函數在內點處的切線斜率為,求點的坐標；
(2)①當時,求在上的最小值；
②證明：．
【解析】（1）設點.
由于,則,得,
則,且,所以點的坐標為.
（2）①,
則,記,
則
易知在上單調遞減,且,
,即,
所以,當時,,在上單調遞增；
當時,,在上單調遞減.
因為,
所以時,,在單調遞增,
所以,當時,取得最小值.
②由①可知,時恒成立,即恒成立.
設,則,
當時,,在上單調遞增,
所以,所以,
又,所以,
取,則,
,得證.
【例3】（2024屆重慶市開州中學高三下學期模擬）設有窮數列的項數為,若正整數滿足：,則稱為數列的“點”．
(1)若,求數列的“點”；
(2)已知有窮等比數列的公比為,前項和為．若數列存在“點”,求正數的取值范圍；
(3)若,數列的“點”的個數為,證明：．
【解析】（1）因為
所以,
所以數列 的 “ 點” 為 3,5 ,
（2）依題意,,因為數列存在 “點”,
所以存在 ,使得 ,
所以,即.
因為,所以,所以,
又隨的增大而增大,
所以當時,取最大值,
所以,又,所以.
當時,有,
所以數列存在 “點”,所以的取值范圍為,
（3）①若,則數列不存在 “點”,即.
由得,,所以,
②若存在,使得. 下證數列有 “點”.
證明: 若,則2是數列的 “點”;
若,因為存在,使得,
所以設數列中第1個小于的項為,
則,所以是數列的第1個 “點”.
綜上,數列存在 “點”.
不妨設數列的 “點” 由小到大依次為,
則是中第1個小于的項,
故,因為 ,
所以,所以,所以
所以
所以.綜上,,得證.
【例4】（2024屆天津市河北區高三質量檢測二）已知是等差數列,其前項和為是等比數列,已知,是和的等比中項.
(1)求和的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)記,求證：.
【解析】（1）由題意,
,
又是和的等比中項,得,
又,解得,
；
（2）,設,
則,
將以上兩式相減得
,
；
（3）
,
,
.
結論得證.
【例5】如圖,已知點列在曲線上,點列在x軸上,,,為等腰直角三角形．
(1)求,,；（直接寫出結果）
(2)求數列的通項公式；
(3)設,證明：．
【解析】（1）由為等腰直角三角形,所以直線的直線斜率為1,
故直線的方程為,與拋物線方程聯立可得,可解得或,
從而可得,可得的橫坐標為1,因為,解得,
由,所以,可得,
可得,解得；
（2）由題意可得,所以,
所以,所以,
所以,
所以是以為首項,為公差的等差數列,
所以,所以,
（3）由（1）可得,
所以,
所以,
,
所以.
1．（2024屆新疆喀什地區高三5月適應性檢測）已知數列的首項,且滿足（）．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)記,求數列的前項和,并證明．
【解析】（1）由得,
又,所以是首項為2,公比為2的等比數列．
（2）由（1）知,,所以
所以,
當時,單調遞增,故．
2．（2024屆山東省濟鋼高級中學高三5月適應性考試）已知復數數列的通項公式為（是虛數單位）,為的前項和．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求的通項公式．
【解析】（1）因為（是虛數單位）,
所以
（2）當為奇數時,；
當為偶數時,．
因此無論為奇數還是偶數,．
,當時,上式大于0．
所以,
即
（3）因為（是虛數單位）,
所以．
所以,
,
所以
.
3．已知數列滿足．
(1)證明是等比數列,并求的通項公式；
(2)證明：
【解析】（1）因為,所以,且,則,
即,所以數列是首項為,公比為7的等比數列,
所以,則；
（2）由（1）可知,,
,即,只有當時,等號成立,
所以,只有當時,等號成立,
當時,,成立,
當時,,
綜上可知,.
4．已知函數,數列滿足正整數
(1)求的最大值；
(2)求證：；
(3)求證：．
【解析】（1）因為的定義域為,所以
當時,,在上遞增,
當時,,在上遞減,
所以在時有最大值,所以,即的最大值為0；
（2）由（1）知,,所以,
所以,即,
所以,,,
累加得,即.
（3）因為,所以,得,
,,,
所以,即,所以,
所以,,,
所以,
,
所以得證．
5．（2024屆天津市南開區高三下學期質量監測二）已知函數,.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)證明：對,恒成立（為的導數）；
(3)設,證明：（）.
【解析】（1）,可得,又,
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）令,,則,,
令,則在上恒成立,故在單調遞增,
其中,故在上恒成立,故在上單調遞增,
故,即恒成立．
（3）設,證明．
令,,
因為,所以在上單調遞減,
所以,從而,．
由于,
所以．
由（2）知,（）,所以．
設,①,則,②
①－②得,
所以．
6．（2025屆江西省多所學校高三第一次大聯考）定義：若對于任意,數列滿足：①；②,其中的定義域為,則稱關于滿足性質.
(1)請寫出一個定義域為的函數,使得關于滿足性質；
(2)設,若關于滿足性質,證明：；
(3)設,若關于滿足性質,求數列的前項和.
【解析】（1）令,定義域為R,
顯然任意,,且,
故滿足要求,（注：所有的定義域為的偶函數均符合題意）
（2）因為,所以,
移項得,
因為,所以,故,
由基本不等式,當且僅當時取到等號,
而,故,即.
（3）由題意,,
故,
設,
則,
故在上單調遞增,而,
故時,時,,
因此在上單調遞減,在上單調遞增.
不妨設,因為,
所以當時,,當或時,,
且時,時,,
故對于任意,方程有且只有兩個不同的根,
又,故的圖象關于對稱,故,
因此數列的前項和為.
7．（2024屆湖南省岳陽市湘陰縣第一中學高三下學期期中）設數列的前項和為,且．
(1)求數列的通項公式．
(2)設數列滿足,且數列的前項和為,求證：．
【解析】（1）依題意,由,可得,
當時,,解得,
當時,,
整理,得,,
∴數列是以2為首項,2為公比的等比數列,
∴；
（2）依題意及（1）,由可得,
則,
,
兩式相減,可得
,
∴,故得證．
8．（2024屆陜西省銅川市王益中學高三下學期模擬）不透明的袋子中裝有大小相同的白球和彩球各1個,將“連續兩次從袋子中有放回地摸出1個小球”記為一次試驗,若兩次均摸到彩球,則試驗成功并終止試驗,否則在袋子中添加一個相同的白球,然后進行下一次試驗．
(1)若最多只能進行3次試驗,設試驗終止時進行的次數為隨機變量,求的分布列與數學期望；
(2)若試驗可以一直進行下去,第次試驗成功的概率記為,求證：．
【解析】（1）的可能值有,
；；．
所以隨機變量的分布列為
1 2 3
．
（2）證明：因為,
,,
所以
,,
經檢驗也滿足上式,
所以．
9．（2024屆湖南省婁底市高三下學期高考考前仿真聯考）已知等比數列的各項都為正實數,.
(1)求數列的通項公式；
(2)設,數列的前項和為,證明：.
【解析】（1）設等比數列的公比為,
因為,所以,
化簡得,解得或（舍去）,
所以；
（2）證明：由（1）得,
所以,
所以,
所以
,
所以,
因為,所以.
10．（2024屆廣西貴港市高考模擬預測）某射擊運動員進行射擊訓練,已知其每次命中目標的概率均為．
(1)若該運動員共射擊6次,求其在恰好命中3次的條件下,第3次沒有命中的概率；
(2)該運動員射擊訓練不超過n（）次,當他命中兩次時停止射擊（射擊n次后,若命中的次數不足兩次也不再繼續）,設隨機變量X為該運動員的射擊次數,試寫出隨機變量X的分布列,并證明．
【解析】（1）設第i次射擊時命中目標為事件,該運動員射擊6次恰好命中3次為事件B．
,
,
．
（2）隨機變量X的所有可能取值為2,3,4,5,…,n．
若射擊次停止,則第k次命中,前次射擊中有一次命中,
故,,,
若射擊n次停止,有兩種結果：前次有一次命中或一次都沒命中,
故．
隨機變量X的分布列為
．
法一、易知,
,
易知時,,即,
∴,
．
法二、令,①
則,②
,得,
令,
則,
得
,
,．
．
11．（2024屆福建省泉州第一中學高三下學期適應性測試）已知有窮正項數列,若將每個項依次圍成一圈,滿足每一項的平方等于相鄰兩項平方的乘積,則稱該數列可圍成一個“HL-Circle”．例如：數列都可圍成“HL-Circle”．
(1)設,當時,是否存在使該數列可圍成“HL-Circle”,并說明理由：
(2)若的各項不全相等,且可圍成“HL-Circle”．
（i）求的取值集合；
（ii）求證：．
【解析】（1）由定義可得,而為正項數列,故,
故,
由最后兩式可得,故,故且,
結合可得即,故,故.
故存在,使得數列可圍成“HL-Circle”,此時數列為：.
（2）（i）若的各項不全相等,且可圍成“HL-Circle”．
則由,
結合為正項數列可得,
諸式相乘后可得,
又上述關系式即為(若下標大于,則取下標除以的余數).
故,
故(若下標大于,則取下標除以的余數).
所以(若下標大于,則取下標除以的余數).
設,
若,則即為,故,從而,,
而,故,故,故,從而,
此時均為1,與題設矛盾.
若,則即為,而,
,故,此時均為1,與題設矛盾.
若,則即為,而,所以,故,
從而,
而,故,故,
此時均為1,與題設矛盾.
若,則即為,而,所以,
而,故,故,故,
故,故,故,
此時均為1,與題設矛盾.
若,則,故,
故,故,故,故,故,
此時均為1,與題設矛盾.
綜上,.
（ii）由均值不等式得,
由上面三組數內必有一組不相等,否則,
從而與題設矛盾,
故等號不成立,從而,
又,由④和⑥得
因此由⑤得：
．
故原式得證.
12．已知數列中,,設為前項和,,已知數列,設的前項和．
(1)求；
(2)若對任意恒成立,求實數的取值范圍．
【解析】（1）由可得：,,
上面兩式相減得：,整理得：,,
所以數列是常數列,即,所以,則,
所以
兩邊同乘以2得：
兩式相減得：,
即.
（2）由可得：,整理得：,
當為偶數時,上面不等式可化簡為：,
利用該數列單調遞增性可知：,所以,
當為奇數時,上面不等式可化簡為：,
再利用該數列單調遞減性可知：,所以,
綜上可得：.
13．（2024屆河北省邢臺市部分高中二模）已知數列的前項和為,且．
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：．
【解析】（1）當時,.
當時,,,兩式相減得：
.
所以是以為首項,以為公比的等比數列.
所以.
（2）由（1）知：
所以.
當時,,
當時,,故,
所以.
14．（2024屆江西省宜豐中學高三下學期模擬）設,.
(1)當時,證明：；
(2)證明：.
【解析】（1）因為定義域為,
所以,
所以為定義在上的偶函數,下取,
可知,令
則在內單調遞增,可得,
即在內恒成立,可知在內單調遞增,
所以在內的最小值為,結合偶函數性質可知：.
（2）由（1）可得：,當且僅當時,等號成立,
即,令,則,當時,,即,
則有：,,,,
相加可得：,
因為,則,所以,
即.
15．（2024屆江蘇省揚州中學高三下學期全真模擬）帕德近似是法國數學家帕德發明的用多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數m,n,函數在處的階帕德近似定義為：,且滿足：,,,…,．注：,,,,…已知在處的階帕德近似為．
(1)求實數a,b的值；
(2)當時,試比較與的大小,并證明；
(3)已知正項數列滿足：,,求證：．
【解析】（1）由題意得,,
,故,,
解得,.
（2）由上可得,要比較與的 ,
,只需比較1與的 ,
令,,
所以,從而可得在上單調遞增,
所以,即,
所以.
（3）設,,
當時,,在上單調遞減,
當時,,在上單調遞增,
故,即,當且僅當時等號成立；
由題意知,令,,
故該函數在上遞減,
故可得,即,可得；
一方面：由（2）可得,
又因為,
所以可得,即,即,
即,
故,
即,所以.
另一方面：要證明
,
兩邊同時除以,原式
令,
由基本不等式,
故,所以在單調遞增,
所以,得證.
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新高考在試題形式、試卷結構、難度調控等方面深化改革,數列解答題的難度增加,作為壓軸題出現的概率變大,數列壓軸題與不等式交匯的可能性比較大,本專題總結數列中不等式的常見類型及解法，供大家參考.
（一）比較大小
比較的大小,通常作差,轉化為判斷與0的大小,若,也可以轉化為判斷與1的大小.
【例1】已知數列的前n項和,且滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前n項和為,比較和的大小.
【解析】（1）因為
當時,
又因為時,也滿足上式
所以當時,,
（2）由,得
當時,
當時,,.
綜上所述：當時,,當時,.
（二）判斷數列不等式是否成立或由數列不等式求的范圍
此類問題,一般先把所給數列不等式轉化為關于n的不等式,通過解不等式或利用函數、數列性質求解.
【例2】已知數列滿足記數列的前項和為,
(1)求證：數列為等比數列,并求其通項；
(2)求；
(3)問是否存在正整數,使得成立？說明理由.
【解析】（1） ,
即,
所以,
（2）,所以,
當為奇數時,可令,
則
,
當為偶數時,可令
則；
（3）假設存在正整數,使得成立,
因為,,
所以只要
即只要滿足①：,和②：,
對于①只要 就可以；
對于②,
當為奇數時,滿足,顯然不成立,
當為偶數時,滿足,即
令,
因為
由于的對稱軸為,故在且為偶數,單調遞減,
當時,,故
即,且當時,最大,且最大值為,
因此,,
所以當為偶數時,②式成立,即當為偶數時,成立 .
【例3】已知數列滿足,且．
(1)設,證明：是等比數列；
(2)設數列的前n項和為,求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）證明：∵,
,,,,
又, ,,
,,
又,,,
,即,,
又,
,,
∴數列是以2為首項,2為公比的等比數列．
（2）由（1）可知數列是以2為首項,2為公比的等比數列,
,即,
,,
,又,
,
即,
,
,
,
在是一個增數列,
,
,
∴滿足題意的n的最小值是20．
（三）根據不等式恒成立求參數范圍
不等式恒成立問題,通常通過分離參數,把問題轉化為或的形式,再利用數列單調性或函數單調性,求的最值,然后確定的范圍.
【例4】（2024屆貴州省六盤水市高三下學期三診）已知為等差數列,且,．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立,求實數λ的取值范圍．
【解析】（1）設數列 的公差為d,則根據題意可得,
解得,則．
（2）由（1）可知運用等差數列求和公式,得到,
又恒成立,則恒成立,
設,則,
當時,,即；
當時,,則,則；
則,故,
故實數λ的取值范圍為．
（四）證明與通項有關的不等式
求解此類問題,一般是先確定通項,再通過放縮或數列單調性證明.
【例5】（2024屆江蘇省鹽城市高三5月考前指導卷）在數列的第項與第項之間插入個1,稱為變換．數列通過變換所得數列記為,數列通過變換所得數列記為,以此類推,數列通過變換所得數列記為（其中）．
(1)已知等比數列的首項為1,項數為,其前項和為,若,求數列的項數；
(2)若數列的項數為3,的項數記為．
①當時,試用表示；
②求證：．
【解析】（1）設等比數列的公比為,顯然,
由,得,解得.
故數列有8項,經過1次變換后的項數為,
即的項數為36.
（2）①由的項數為,則當時,,
所以
②因數列是一個3項的數列,所以,
由,所以,
于是,則有
所以,得,即,
所以.
,,于是,
則有,可得,有,即,
所以,綜上所述,．
（五）先求和再放縮,證明與前n項和有關的不等式
證明與前n項有關的不等式,若所給數列可以轉化為等差（比）數列求和,或可以裂項求和,通常是先求和,再放縮.
【例6】（2024屆浙江省精誠聯盟高三下學期適應性聯考）已知等比數列和等差數列,滿足,,,．
(1)求數列,的通項公式；
(2)記數列的前項和為,數列的前項和為．證明：．
【解析】（1）等比數列滿足,,所以單調遞增,
設的公比為,等差數列的公差為,依題意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
（六）先放縮,再求和,證明與前n項和有關的不等式
此類問題,通常是所給數列無法求和,要先把所給數列放縮成等差（比）數列或可以裂項求和、錯位相減法求和的數列,再求和,放縮時要觀察待證結論,防止放縮過度或不足.
【例7】（2024屆廣西柳州高級中學高三下學期3月熱身考）表示正整數a,b的最大公約數.若,且,則將k的最大值記為,例如：
(1)求;
(2)設,數列 的前n項和為 證明：
【解析】（1）依題可得表示所有不超過正整數m,且與m互質的正整數個數.
因為與2互質的數為1,所以,
因為與3互質的數為1,2,所以,
因為在中與互質的正整數只有,
所以在中與互質的正整數的個數為,因此；
（2）,則,
因為,
所以,因此有,
所以,
因為,所以.
【例8】（2024屆云南省大理新世紀中學高三數學模擬）自然常數,符號,為數學中的一個常數,是一個無限不循環小數,且為超越數,其值約為2.71828.它是自然對數的底數.有時稱它為歐拉數（Euler number）,以瑞士數學家歐拉命名；也有個較為少見的名字“納皮爾常數”,以紀念蘇格蘭數學家約翰 納皮爾（John Napier）引進對數.它就像圓周率和虛數單位,是數學中最重要的常數之一,它的其中一個定義是.設數列的通項公式為,,
(1)寫出數列的前三項,,．
(2)證明：．
【解析】（1）由通項公式得,
；；.
（2）由二項式定理得
,
所以是上的單調遞增數列,
因為,則；
又
,
綜上可知,．
（七）借助導數證明與前n項和有關的不等式.
求解此類問題,通常先利用導數證明一個不等式,再把不等式中的自變量用代換,通過累加或累乘法證明所給不等式.
【例9】牛頓（1643－1727）給出了牛頓切線法求方程的近似解：如圖設是的一個零點,任意選取作為的初始近似值,過點作曲線的切線,與軸的交點為橫坐標為,稱為的1次近似值,過點作曲線的切線,與軸的交點為橫坐標為,稱為的2次近似值．一般地,過點作曲線的切線,與軸的交點為橫坐標為,就稱為的次近似值,稱數列為牛頓數列．
(1)若的零點為,,請用牛頓切線法求的2次近似值；
(2)已知二次函數有兩個不相等的實數根,數列為的牛頓數列,數列滿足,且．
（ⅰ）設,求的解析式；
（ⅱ）證明：
【解析】（1）
,所以
當,所以
當,
所以的2次近似值為.
（2）（ⅰ）因為二次函數有兩個不等實根,
所以不妨設,
則,
因為所以
所以在橫坐標為的點處的切線方程為
令則
即,
所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知,
所以.
因為所以所以.
令則,又
所以,數列是公比為2的等比數列.
.
令,則
當時,,所以在單調遞減,
所以,即
因為所以即.
.
【例1】（2024屆山東省泰安肥城市高考仿真模擬）在足球比賽中,有時需通過點球決定勝負．
(1)撲點球的難度一般比較大,假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門,門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球,而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素,在一次點球大戰中,求門將在前三次撲到點球的個數的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練,甲 乙 丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機傳向另外人中的 人,接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人,如此不停地傳下去,假設傳出的球都能接住．記第次傳球之前球在甲腳下的概率為,易知．
① 試證明：為等比數列；
② 設第次傳球之前球在乙腳下的概率為,比較與的大小．
【解析】（1）解法一：依題意可得,門將每次可以撲到點球的概率為,
門將在前三次撲到點球的個數可能的取值為
易知,所以
故的分布列為：
0 1 2 3
所以的數學期望．
解法二：的所有可能取值為
在一次撲球中,撲到點球的概率,
所以

所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的數學期望：
（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為,
則當時,第次傳球之前球在甲腳下的概率為,
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為,
則
即,又,
所以是以為首項,公比為的等比數列．
②由①可知,所以,
所以,故．
【例2】（2024屆陜西省西北工業大學附中高三適應性訓練）已知函數
(1)若函數在內點處的切線斜率為,求點的坐標；
(2)①當時,求在上的最小值；
②證明：．
【解析】（1）設點.
由于,則,得,
則,且,所以點的坐標為.
（2）①,
則,記,
則
易知在上單調遞減,且,
,即,
所以,當時,,在上單調遞增；
當時,,在上單調遞減.
因為,
所以時,,在單調遞增,
所以,當時,取得最小值.
②由①可知,時恒成立,即恒成立.
設,則,
當時,,在上單調遞增,
所以,所以,
又,所以,
取,則,
,得證.
【例3】（2024屆重慶市開州中學高三下學期模擬）設有窮數列的項數為,若正整數滿足：,則稱為數列的“點”．
(1)若,求數列的“點”；
(2)已知有窮等比數列的公比為,前項和為．若數列存在“點”,求正數的取值范圍；
(3)若,數列的“點”的個數為,證明：．
【解析】（1）因為
所以,
所以數列 的 “ 點” 為 3,5 ,
（2）依題意,,因為數列存在 “點”,
所以存在 ,使得 ,
所以,即.
因為,所以,所以,
又隨的增大而增大,
所以當時,取最大值,
所以,又,所以.
當時,有,
所以數列存在 “點”,所以的取值范圍為,
（3）①若,則數列不存在 “點”,即.
由得,,所以,
②若存在,使得. 下證數列有 “點”.
證明: 若,則2是數列的 “點”;
若,因為存在,使得,
所以設數列中第1個小于的項為,
則,所以是數列的第1個 “點”.
綜上,數列存在 “點”.
不妨設數列的 “點” 由小到大依次為,
則是中第1個小于的項,
故,因為 ,
所以,所以,所以
所以
所以.綜上,,得證.
【例4】（2024屆天津市河北區高三質量檢測二）已知是等差數列,其前項和為是等比數列,已知,是和的等比中項.
(1)求和的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)記,求證：.
【解析】（1）由題意,
,
又是和的等比中項,得,
又,解得,
；
（2）,設,
則,
將以上兩式相減得
,
；
（3）
,
,
.
結論得證.
【例5】如圖,已知點列在曲線上,點列在x軸上,,,為等腰直角三角形．
(1)求,,；（直接寫出結果）
(2)求數列的通項公式；
(3)設,證明：．
【解析】（1）由為等腰直角三角形,所以直線的直線斜率為1,
故直線的方程為,與拋物線方程聯立可得,可解得或,
從而可得,可得的橫坐標為1,因為,解得,
由,所以,可得,
可得,解得；
（2）由題意可得,所以,
所以,所以,
所以,
所以是以為首項,為公差的等差數列,
所以,所以,
（3）由（1）可得,
所以,
所以,
,
所以.
1．（2024屆新疆喀什地區高三5月適應性檢測）已知數列的首項,且滿足（）．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)記,求數列的前項和,并證明．
2．（2024屆山東省濟鋼高級中學高三5月適應性考試）已知復數數列的通項公式為（是虛數單位）,為的前項和．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求的通項公式．
3．已知數列滿足．
(1)證明是等比數列,并求的通項公式；
(2)證明：
4．已知函數,數列滿足正整數
(1)求的最大值；
(2)求證：；
(3)求證：．
5．（2024屆天津市南開區高三下學期質量監測二）已知函數,.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)證明：對,恒成立（為的導數）；
(3)設,證明：（）.
6．（2025屆江西省多所學校高三第一次大聯考）定義：若對于任意,數列滿足：①；②,其中的定義域為,則稱關于滿足性質.
(1)請寫出一個定義域為的函數,使得關于滿足性質；
(2)設,若關于滿足性質,證明：；
(3)設,若關于滿足性質,求數列的前項和.
7．（2024屆湖南省岳陽市湘陰縣第一中學高三下學期期中）設數列的前項和為,且．
(1)求數列的通項公式．
(2)設數列滿足,且數列的前項和為,求證：．
8．（2024屆陜西省銅川市王益中學高三下學期模擬）不透明的袋子中裝有大小相同的白球和彩球各1個,將“連續兩次從袋子中有放回地摸出1個小球”記為一次試驗,若兩次均摸到彩球,則試驗成功并終止試驗,否則在袋子中添加一個相同的白球,然后進行下一次試驗．
(1)若最多只能進行3次試驗,設試驗終止時進行的次數為隨機變量,求的分布列與數學期望；
(2)若試驗可以一直進行下去,第次試驗成功的概率記為,求證：．
9．（2024屆湖南省婁底市高三下學期高考考前仿真聯考）已知等比數列的各項都為正實數,.
(1)求數列的通項公式；
(2)設,數列的前項和為,證明：.
10．（2024屆廣西貴港市高考模擬預測）某射擊運動員進行射擊訓練,已知其每次命中目標的概率均為．
(1)若該運動員共射擊6次,求其在恰好命中3次的條件下,第3次沒有命中的概率；
(2)該運動員射擊訓練不超過n（）次,當他命中兩次時停止射擊（射擊n次后,若命中的次數不足兩次也不再繼續）,設隨機變量X為該運動員的射擊次數,試寫出隨機變量X的分布列,并證明．
11．（2024屆福建省泉州第一中學高三下學期適應性測試）已知有窮正項數列,若將每個項依次圍成一圈,滿足每一項的平方等于相鄰兩項平方的乘積,則稱該數列可圍成一個“HL-Circle”．例如：數列都可圍成“HL-Circle”．
(1)設,當時,是否存在使該數列可圍成“HL-Circle”,并說明理由：
(2)若的各項不全相等,且可圍成“HL-Circle”．
（i）求的取值集合；
（ii）求證：．
12．已知數列中,,設為前項和,,已知數列,設的前項和．
(1)求；
(2)若對任意恒成立,求實數的取值范圍．
13．（2024屆河北省邢臺市部分高中二模）已知數列的前項和為,且．
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：．
14．（2024屆江西省宜豐中學高三下學期模擬）設,.
(1)當時,證明：；
(2)證明：.
15．（2024屆江蘇省揚州中學高三下學期全真模擬）帕德近似是法國數學家帕德發明的用多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數m,n,函數在處的階帕德近似定義為：,且滿足：,,,…,．注：,,,,…已知在處的階帕德近似為．
(1)求實數a,b的值；
(2)當時,試比較與的大小,并證明；
(3)已知正項數列滿足：,,求證：．
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