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專題05一元函數的導數及其應用
（利用導函數研究不等式問題）（選填壓軸題）
目錄
一、構造或(，且)型 1
二、構造或(，且)型 5
三、構造或型 8
四、構造或型 14
五、根據不等式（求解目標）構造具體函數 19
一、構造或(，且)型
1．（23-24高二下·四川廣安·階段練習）已知函數是定義在的奇函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【優尖升-分析】令 ，由題意可得 為定義域上的偶函數，且在 上單調遞增，在 上單調遞減；分 與 兩類討論，將不等式 等價轉化為 與 ，分別解之即可．
【詳解】令 ，
當 時， ，
當 時， ，
在 上單調遞減；
又 為 的奇函數，
，即 為偶函數，
在 上單調遞增；
又由不等式 得 ，
當 ，即 時，不等式可化為 ，即 ，
由 在 上單調遞減得 ，解得 ，故 ；
當，即 時，不等式可化為 ，即 ，
由 在 上單調遞增得 ，解得 ，故 ；
綜上所述，不等式 的解集為： ．
故選：D．
2．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）已知函數為定義在上的偶函數，當時，，則下列四個判斷正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【優尖升-分析】由結構特征可知是函數的導數簡單變形得到的，故構造函數并得到函數的單調性，再結合函數奇偶性即可判斷選項中各函數值大小.
【詳解】令，則在恒成立，所以在單調遞增，所以，即，
又因為函數為定義在上的偶函數，所以，即，
故選：D.
3．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數的定義域為，，其導函數滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【優尖升-分析】
構造函數，判定其單調性計算即可.
【詳解】根據題意可令，
所以在上單調遞減，
則原不等式等價于，
由，
解之得.
故選：B
4．（2024高二下·全國·專題練習）已知是定義在非零實數集上的函數，為其導函數，且當時，．記，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【優尖升-分析】令，得，結合條件推出的正負，得到的單調性，然后判斷、 、大小關系，即可得出答案.
【詳解】令，得．
∵當時，，
∴當時，，故在上單調遞減．
又，，，
∴，
∴，故．
故選：C．
5．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習）已知偶函數的定義域是，其導函數為，對任意，都有成立，則不等式的解集為 .
【答案】
【優尖升-分析】根據不等式構造函數，利用導數判斷函數為增函數，將不等式化為（2），利用單調性即可求解.
【詳解】當時，由，
得，即.
令，則在上也為偶函數，
且當時，總成立，在上是增函數.
不等式可化為，
則，又，解得.
故答案為：
6．（23-24高二下·山東濟寧·階段練習）已知函數是定義在上的偶函數，其導函數為，當時，，且，則不等式的解集是 ．
【答案】
【優尖升-分析】構造函數，通過所給的性質，計算出的相應性質，即可將問題轉化為與有關問題，結合函數的單調性與奇偶性計算即可得.
【詳解】令，則，
由當時，，即，
故當時，，即在上單調遞增，
，故為奇函數，
故在上也單調遞增，
由，則，，
不等式可化為，
即當時，，當時，，
即當時，，當時，，
結合單調性，即有或.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于構造出函數，通過所給的性質，計算出的相應性質，再結合函數單調性于奇偶性計算即可得解.
7．（23-24高三上·河南·階段練習）已知是定義域為的偶函數，且，當時，，則使得成立的的取值范圍是 .
【答案】
【優尖升-分析】構造，由已知條件結合導數研究其單調性，利用奇偶性定義判斷的奇偶性，再將不等式化為求解集.
【詳解】令且，則，
又當時，，所以當時，，所以在上遞增，
由為偶函數，則，故為奇函數，
所以在上遞增，且，作出函數g(x)的示意圖：
又等價于，等價于或，等價于或，
所以或，故.
故答案為：.
二、構造或(，且)型
1．（23-24高二下·四川宜賓·階段練習）已知函數的定義域為，對任意，有，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【優尖升-分析】依題意令，利用導數說明函數的單調性，則不等式可化為，即，根據單調性轉化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】令，則，
所以在上單調遞增，
不等式，即，即，
所以，解得，所以不等式的解集是.
故選：C
2．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數的定義域為，對任意，有，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【優尖升-分析】依據題意，合理構造函數，利用導數解不等式即可.
【詳解】令，故，故在上單調遞增，
若，則，
故解即可，由題意得解即可，解得，
故不等式的解集是，即A正確.
故選：A
3．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）函數是定義在上的奇函數，對任意實數恒有，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【優尖升-分析】首先構造函數， 根據導數判斷函數的單調性，再結合選項，依次判斷.
【詳解】設，則，
由條件可知，，所以，則函數在上單調遞增，
因為函數是定義在上的奇函數，則，即，故A錯誤；
由函數的單調性可知，，得，故B正確；
由，得，故C錯誤；
由，得，故D錯誤.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是構造函數，從而可以根據函數的單調性，判斷選項.
4．（23-24高二上·江蘇揚州·期末）已知定義在上的可導函數，其導函數為，若，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【優尖升-分析】構造函數，利用導數分析函數的單調性，將所求不等式變形為，結合函數的單調性可得出原不等式的解集.
【詳解】構造函數，該函數的定義域為，
則，
所以，函數在上為增函數，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集為.
故選：A.
5．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）對上可導的函數，若滿足，且，則的解集是 ．
【答案】
【優尖升-分析】依據題意構造函數，用導數判斷函數的單調性，再解不等式即可.
【詳解】令，，而，
易知，故，則在上單調遞增，
而，若，則，則.
故答案為：
6．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習）若定義在上的函數滿足，且，則不等式的解集為
【答案】
【優尖升-分析】構造，利用導數得在上單調遞增，把轉化為，利用單調性解不等式即可.
【詳解】構造，
所以，
所以在上單調遞增，且，
不等式可化為，即，所以，
所以原不等式的解集為.
故答案為：
三、構造或型
1．（23-24高二下·重慶·階段練習）函數是定義在上的奇函數，其導函數為，且，當時，，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【優尖升-分析】構造函數，判斷函數的奇偶性，再利用導數求出函數的單調區間，進而可得出函數的符號分布情況，即可得解.
【詳解】令，
則，
所以函數在上單調遞減，
因為函數是定義在上的奇函數，所以，
則，
所以函數為偶函數，
又，所以，
則當或時，，
當或時，，
由，
得或，
解得或，
所以關于的不等式的解集為.
故選：A.
2．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數的定義域為，其導函數是.若對任意的有，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【優尖升-分析】根據給定條件，構造函數，利用導數探討函數的單調性，再利用單調性求解不等式即得.
【詳解】令函數，，求導得，
因此函數在上單調遞減，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集為.
故選：B
3．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知函數及其導函數的定義域均為，且為偶函數，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【優尖升-分析】構建，求導，利用導數判斷原函數單調性，結合單調性解不等式.
【詳解】令，則，
因為，則，且，
可知，且僅當時，則在上單調遞增，
又因為為偶函數，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等價于，
可得，解得，
所以不等式的解集為.
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：構建函數，利用單調性解不等式，利用誘導公式可得，等價于，即可得結果.
4．（23-24·山東濰坊·模擬預測）設奇函數定義在上，其導函數為，且，當時，，則關于的不等式的解集為 ．
【答案】
【優尖升-分析】根據題意構造函數，求導，由是奇函數，判斷奇偶性，判斷單調性，進而解不等式.
【詳解】根據題意構造函數，則
由是奇函數，則,
所以是偶函數，
由時，，
所以當，，當時，，
故在單調遞增，在單調遞減，
又，所以,
所以當時，轉化為,所以，
當時，轉化為，所以，
故答案為：
5．（23-24高二下·云南保山·期中）已知是定義在上的奇函數，其導函數為，，且當時，，則不等式的解集為 ．
【答案】．
【優尖升-分析】
由時，，可構造函數，判斷其單調性，即可求得時，即的解集，再利用函數單調性和奇偶性，結合時，，即，可解得此時解集，綜合可得答案.
【詳解】由題意知當時，，，
故令，則，
即在上單調遞增，且，
故由可解得，
即當時，，則即；
此時的解集為；
當時，，則即，
因為是定義在上的奇函數，
故為上的偶函數，
則在上單調遞減，且，
故由可解得，
當時，無意義，
綜合可得不等式的解集為，
故答案為：
【點睛】
方法點睛：本題是關于函數的奇偶性以及單調性綜合型題目，解答時要根據已知時，，根據其結構特征構造函數，并由此判斷其單調性，再根據函數奇偶性，結合不等式變形，即可求解.
6．（23-24·山東·模擬預測）定義在上的可導函數的值域為，滿足，若，則的最小值為 .
【答案】
【優尖升-分析】化簡條件式得，構造函數及，判斷其單調性即可.
【詳解】∵，∴，則化簡得：，
令，則，
即，
令，則，故在上單調遞增，
則，
故答案為：
四、構造或型
1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定義在上的函數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【優尖升-分析】構造函數，，求導得到其單調性，從而得到，化簡后得到答案.
【詳解】令，，
故恒成立，
故在上單調遞增，
故，即.
故選：B
2．（23-24高二上·寧夏石嘴山·期末）定義在上的函數，是它的導函數，且恒有成立．則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【優尖升-分析】
根據條件構造函數，求函數的導數，利用函數的單調性，一一判斷各選項，即得到結論．
【詳解】
當，
則不等式等價為，
即，
設，，
則，
即函數在上單調遞增，
則，，，，
即，，
，，
則，故A正確；
，得不出，故B錯誤．
，故C錯誤．
，故D錯誤．
故選：A．
3．（23-24·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，當時，不等式恒成立（為的導函數），若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【優尖升-分析】構造函數，分析函數的奇偶性及其在上的單調性，可得出，，，結合函數在上的單調性可得出、、的大小關系.
【詳解】由題意得函數為偶函數，構造函數，
所以，
易知當時，，所以函數在上單調遞減．
因為，則，
由，則，
且，
因為函數在上單調遞減，且，
所以，即，
故選：C．
4．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知函數的定義域為，其導函數是．有，則關于的不等式的解集為 ．
【答案】
【優尖升-分析】令，根據題設條件，求得，得到函數在內的單調遞減函數，再把不等式化為，結合單調性和定義域，即可求解.
【詳解】由題意，函數滿足，
令，則
函數是定義域內的單調遞減函數，
由于，關于的不等式可化為，
即，所以且，解得，
不等式的解集為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：構造法求解與共存問題的求解策略：
對于不給出具體函數的解析式，只給出函數和滿足的條件，需要根據題設條件構造抽象函數，再根據條件得出構造函數的單調性，應用單調性解決問題，常見類型：（1）型；（2）型；（3）為常數型.
5．（23-24高二下·重慶·期末）偶函數定義域為，其導函數為，若對，有成立，則關于的不等式的解集為 ．
【答案】
【優尖升-分析】令，，依題意可得為偶函數且在上單調遞減，根據函數的奇偶性與單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】令，，因為定義域為上的偶函數，
所以，則，即為偶函數，
又，
因為對，有成立，所以當時，
即在上單調遞減，則在上單調遞增，
又，所以，則不等式等價于，
即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：
6．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數的定義域為，其導函數是.有，則關于的不等式的解集為 .
【答案】
【優尖升-分析】構造函數，利用導數說明函數的單調性，將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】依題意令，，
則，
因為當時，，
所以當時，，
∴在上單調遞減，
則等價于，即，
∴，解得，所以所求不等式的解集為.
故答案為：
五、根據不等式（求解目標）構造具體函數
1．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）設，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【優尖升-分析】構造函數，由的單調性可知，所以，再由可得，所以，即可得出答案.
【詳解】構造函數，的定義域為，
，令可得：，令可得：，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
故，即，
變形可得，即，所以；
又，所以，又因為，
所以，綜上，，
故選：B．
2．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習）已知是自然對數的底數，設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【優尖升-分析】設，利用求導判斷該函數的單調性，比較的大小，再設，利用求導判斷函數的單調性，得到，可比較的大小，即得.
【詳解】設，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.
因，則，即得；
再設，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
故時，，則，即，故得.
綜上，可得.
故選：A.
3．（2024·遼寧·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，也是定義在上的奇函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【優尖升-分析】根據為奇函數及為偶函數可求，利用導數可判斷為上的減函數，從而可求不等式的解.
【詳解】因為，故，
故，
因為是定義在上的奇函數，故，
故，故，故，
此時，故為上的減函數，
而等價于，
即即，故或
故選：A .
4．（2024·貴州畢節·模擬預測）定義在上的可導函數滿足，若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【優尖升-分析】構造函數，利用導數判斷出函數的單調性，再將所求不等式變形為函數的形式，再根據函數的單調性解不等式即可.
【詳解】令，則，
所以函數在上是減函數，
由，得，
即，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
5．（2024·陜西西安·模擬預測）定義在上的函數的導函數為，且有，且對任意都有，則使得成立的的取值范圍是 .
【答案】
【優尖升-分析】構造函數，根據導數確定函數的單調性，即可結合奇偶性求解.
【詳解】由知是奇函數，，
設，則，
在上單調遞增，由得，
即，，得的取值范圍是.
故答案為：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題05一元函數的導數及其應用
（利用導函數研究不等式問題）（選填壓軸題）
目錄
一、構造或(，且)型 1
二、構造或(，且)型 2
三、構造或型 3
四、構造或型 4
五、根據不等式（求解目標）構造具體函數 5
一、構造或(，且)型
1．（23-24高二下·四川廣安·階段練習）已知函數是定義在的奇函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）已知函數為定義在上的偶函數，當時，，則下列四個判斷正確的為（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數的定義域為，，其導函數滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·全國·專題練習）已知是定義在非零實數集上的函數，為其導函數，且當時，．記，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習）已知偶函數的定義域是，其導函數為，對任意，都有成立，則不等式的解集為 .
6．（23-24高二下·山東濟寧·階段練習）已知函數是定義在上的偶函數，其導函數為，當時，，且，則不等式的解集是 ．
7．（23-24高三上·河南·階段練習）已知是定義域為的偶函數，且，當時，，則使得成立的的取值范圍是 .
二、構造或(，且)型
1．（23-24高二下·四川宜賓·階段練習）已知函數的定義域為，對任意，有，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數的定義域為，對任意，有，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）函數是定義在上的奇函數，對任意實數恒有，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·江蘇揚州·期末）已知定義在上的可導函數，其導函數為，若，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）對上可導的函數，若滿足，且，則的解集是 ．
6．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習）若定義在上的函數滿足，且，則不等式的解集為
三、構造或型
1．（23-24高二下·重慶·階段練習）函數是定義在上的奇函數，其導函數為，且，當時，，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數的定義域為，其導函數是.若對任意的有，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知函數及其導函數的定義域均為，且為偶函數，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24·山東濰坊·模擬預測）設奇函數定義在上，其導函數為，且，當時，，則關于的不等式的解集為 ．
5．（23-24高二下·云南保山·期中）已知是定義在上的奇函數，其導函數為，，且當時，，則不等式的解集為 ．
6．（23-24·山東·模擬預測）定義在上的可導函數的值域為，滿足，若，則的最小值為 .
四、構造或型
1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定義在上的函數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·寧夏石嘴山·期末）定義在上的函數，是它的導函數，且恒有成立．則（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，當時，不等式恒成立（為的導函數），若，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知函數的定義域為，其導函數是．有，則關于的不等式的解集為 ．
5．（23-24高二下·重慶·期末）偶函數定義域為，其導函數為，若對，有成立，則關于的不等式的解集為 ．
6．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數的定義域為，其導函數是.有，則關于的不等式的解集為 .
五、根據不等式（求解目標）構造具體函數
1．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）設，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習）已知是自然對數的底數，設，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·遼寧·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，也是定義在上的奇函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·貴州畢節·模擬預測）定義在上的可導函數滿足，若，則的取值范圍為 ．
5．（2024·陜西西安·模擬預測）定義在上的函數的導函數為，且有，且對任意都有，則使得成立的的取值范圍是 .
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