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《3.2.2頻率及其穩(wěn)定性》自主學(xué)習(xí)單
—— 鄭州外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)朗悅校區(qū) 楊迪
預(yù)備性知識(shí)：
問(wèn)題1：頻率與事件發(fā)生有什么關(guān)系？
問(wèn)題2：什么是頻率的穩(wěn)定性？
問(wèn)題3：如何用頻率表示事件發(fā)生的可能性？
活動(dòng)1：（基礎(chǔ)性目標(biāo)1）
問(wèn)題1：當(dāng)進(jìn)行足球比賽的時(shí)候，裁判會(huì)通過(guò)擲硬幣來(lái)決定雙方誰(shuí)先進(jìn)攻. 那么用擲硬幣來(lái)解決爭(zhēng)端公平嗎？
問(wèn)題2：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，硬幣落下后，會(huì)出現(xiàn)兩種情況.你認(rèn)為正面朝上和正面朝下的可能性相同嗎
問(wèn)題3：和同學(xué)兩人一組做20次擲硬幣的游戲，并將記錄記載在下表中：
試驗(yàn)總次數(shù)
正面朝上的次數(shù)
正面朝下的次數(shù)
正面朝上的頻率
正面朝下的頻率
問(wèn)題4：累計(jì)全班同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果， 繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖.
試驗(yàn)總次數(shù)
正面朝上的次數(shù)
正面朝下的次數(shù)
正面朝上的頻率
正面朝下的頻率
活動(dòng)2：（基礎(chǔ)性目標(biāo)2 ）
問(wèn)題5：觀察上面的折線統(tǒng)計(jì)圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
活動(dòng)3：（基礎(chǔ)性目標(biāo)2 ）
問(wèn)題6：下表列出了歷史上一些數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，表中的數(shù)據(jù)支持你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？
試驗(yàn)者 試驗(yàn)總次數(shù)n 正面朝上的次數(shù)m 正面朝上的頻率
布豐 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
費(fèi)勒 10000 4979 0.4979
皮爾遜 12000 6019 0.5016
皮爾遜 24000 12012 0.5005
維尼 30000 14994 0.4998
羅曼諾夫斯基 80640 39699 0.4923
總結(jié)：
活動(dòng)4： （拓展性目標(biāo)3）
問(wèn)題7：頻率能否幫忙判斷事件發(fā)生的可能性？
問(wèn)題8：我們通常拋硬幣時(shí)，會(huì)說(shuō)有50%的概率正面朝上，那什么叫概率呢？
活動(dòng)5：（拓展性目標(biāo)4 ）
問(wèn)題9：事件A發(fā)生的概率可以通過(guò)什么來(lái)估算？
活動(dòng)6：（挑戰(zhàn)性目標(biāo)5）
問(wèn)題10：(1)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A)的取值范圍是什么？
(2)必然事件發(fā)生的概率是多少？
(3)不可能事件發(fā)生的概率又是多少
活動(dòng)7：（挑戰(zhàn)性目標(biāo)6）
問(wèn)題11：請(qǐng)你利用本節(jié)知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)編題目，并與同學(xué)分享！
當(dāng)堂檢測(cè)
必做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí)）在一個(gè)不透明的盒子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外斗相同.經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則盒子中可能有紅球多少個(gè)　（ ）
A.2　 B.3 C.4 D.5　
2.(拓展練習(xí)) 某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊，結(jié)果見(jiàn)下表:
射擊總次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 1000
擊中靶心的次數(shù)m 9 16 41 88 168 429 861
集中靶心的頻率
(1)請(qǐng)完成上表；
(2)根據(jù)上表，刻畫(huà)出該運(yùn)動(dòng)員集中靶心的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖；
(3)請(qǐng)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊一次便擊中靶心的概率.
3.（挑戰(zhàn)練習(xí)）下列事件中是必然事件的 ，是隨機(jī)事件的是 ，是不可能事件的是 .
①內(nèi)錯(cuò)角相等
②地球圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)
③太陽(yáng)從西邊升起
④上學(xué)路上所有路口都是綠燈
選做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí)）在一個(gè)暗箱里放有m個(gè)除顏色外完全相同的球，這m個(gè)球中紅球只有4個(gè)，每次將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下顏色后放回．通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率為0.4，由此可以推算出m的值約為（　 　）
A．7 B．3 C．10 D．65
2.(基礎(chǔ)練習(xí)）為了估計(jì)魚(yú)塘中的魚(yú)數(shù)，養(yǎng)魚(yú)者先從魚(yú)塘中捕獲80條魚(yú)，在每一條魚(yú)身上做好標(biāo)記后把這些魚(yú)放歸魚(yú)塘，再?gòu)聂~(yú)塘中打撈魚(yú)．通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚(yú)中有記號(hào)的頻率穩(wěn)定在2%左右，則估計(jì)魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量為（　 　）
A．2000 B．4000 C．5000 D．8000
3.(拓展練習(xí)）某林業(yè)局將一種樹(shù)苗移植成活的情況繪制成如統(tǒng)計(jì)圖，由此可估計(jì)這種樹(shù)苗移植成活的概率約為（　 　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
課后作業(yè)（可根據(jù)自身情況選做）
必做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí))在做“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”試驗(yàn)時(shí)，下列說(shuō)法：①不同次數(shù)的試驗(yàn)，正面向上的頻率可能會(huì)不相同;②當(dāng)拋擲的次數(shù)n 很大時(shí),正面向上的次數(shù)一定為 /2：③多次重復(fù)試驗(yàn)中，正面向上發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并趨于穩(wěn)定，其中正確的是 （請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）
2.（拓展練習(xí)）用頻率估計(jì)概率，可以發(fā)現(xiàn)，拋擲硬幣，“正面朝上”的概率為 0.5，那么擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 10次，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.每?jī)纱伪赜?1次正面向上 B.可能有5次正面向上
C.必有5次正面向上 D．不可能有10 次正面向上
3.（挑戰(zhàn)練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.小明在裝有紅綠燈的十字路口，“遇到紅燈”是隨機(jī)事件
B.確定事件發(fā)生的概率是 1
C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子 600次，點(diǎn)數(shù)為1與點(diǎn)數(shù)為 6 的頻率相同
D.從某校1000名男生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行引體向上測(cè)試，其中有一名成績(jī)不及格，說(shuō)明該校50%的男生引體向上成績(jī)不及格
4.有五個(gè)面的石塊，每個(gè)面上分別標(biāo)記 1，2，3，4，5，現(xiàn)隨機(jī)投擲 100 次，每個(gè)面落在地面上的次數(shù)如下表，估計(jì)石塊標(biāo)記5的面落在地面上的概率是 .
石塊的面 1 2 3 4 5
頻數(shù) 17 28 15 16 24
選做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí))一只不透明的袋子中裝有3個(gè)黃球和n個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．課外興趣小組做摸球試驗(yàn)：每次摸出一個(gè)球，記錄下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.7附近擺動(dòng)，則n的值最可能是（　 　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.(拓展練習(xí))某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如表：
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率是（ ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
射擊次數(shù) 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九環(huán)以上”的次數(shù) 82 176 267 364 450 720 900
“射中九環(huán)以上”的頻率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
3.(挑戰(zhàn)練習(xí))下列表述中，正確的是（　 　）
A．“在地面向上拋石子，石子落在地上”是隨機(jī)事件
B．若彩票的中獎(jiǎng)率為10%，則“買100張彩票有10張中獎(jiǎng)”是必然事件
C．“從固鎮(zhèn)到蚌埠的K371次列車明天準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)”是隨機(jī)事件
D．同時(shí)擲兩枚硬幣，朝上面是一正一反的概率為.
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—— 鄭州外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)朗悅校區(qū) 楊迪
預(yù)備性知識(shí)：
問(wèn)題1：頻率與事件發(fā)生有什么關(guān)系？
問(wèn)題2：什么是頻率的穩(wěn)定性？
問(wèn)題3：如何用頻率表示事件發(fā)生的可能性？
問(wèn)題1：頻率越大，該事件發(fā)生越頻繁，這就意味著該事件發(fā)生的可能性也越大
頻率反映了事件發(fā)生的頻繁程度
問(wèn)題2："在試驗(yàn)次數(shù)" 很多"時(shí)，頻率會(huì)在一個(gè)常數(shù)附近" 波動(dòng)，"即頻率具有穩(wěn)定性."
問(wèn)題3：在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下，頻率可以用來(lái)近似地表示該事件發(fā)生的可能性的大小
活動(dòng)1：（基礎(chǔ)性目標(biāo)1）
問(wèn)題1：當(dāng)進(jìn)行足球比賽的時(shí)候，裁判會(huì)通過(guò)擲硬幣來(lái)決定雙方誰(shuí)先進(jìn)攻. 那么用擲硬幣來(lái)解決爭(zhēng)端公平嗎？
公平
問(wèn)題2：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，硬幣落下后，會(huì)出現(xiàn)兩種情況.你認(rèn)為正面朝上和正面朝下的可能性相同嗎
相同
問(wèn)題3：和同學(xué)兩人一組做20次擲硬幣的游戲，并將記錄記載在下表中：
試驗(yàn)總次數(shù) 20
正面朝上的次數(shù) 11
正面朝下的次數(shù) 9
正面朝上的頻率 0.55
正面朝下的頻率 0.45
問(wèn)題4：累計(jì)全班同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果， 繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖.
試驗(yàn)總次數(shù) 20 100 300 600 1000
正面朝上的次數(shù) 11 47 158 297 501
正面朝下的次數(shù) 9 53 142 303 499
正面朝上的頻率 0.55 0.47 0.527 0.495 0.501
正面朝下的頻率 0.45 0.53 0.473 0.505 0.499
活動(dòng)2：（基礎(chǔ)性目標(biāo)2 ）
問(wèn)題5：觀察上面的折線統(tǒng)計(jì)圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)較少時(shí)，折線在“0.5水平直線”的上下擺動(dòng)的幅度較大，隨著實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的增加，折線在“0.5水平直線”的上下擺動(dòng)的幅度會(huì)逐漸變小.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)， 正面朝上的頻率和正面朝下的概率都穩(wěn)定在“ 0.5 水平直線”上.
活動(dòng)3：（基礎(chǔ)性目標(biāo)2 ）
問(wèn)題6：下表列出了歷史上一些數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，表中的數(shù)據(jù)支持你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？
試驗(yàn)者 試驗(yàn)總次數(shù)n 正面朝上的次數(shù)m 正面朝上的頻率
布豐 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
費(fèi)勒 10000 4979 0.4979
皮爾遜 12000 6019 0.5016
皮爾遜 24000 12012 0.5005
維尼 30000 14994 0.4998
羅曼諾夫斯基 80640 39699 0.4923
支持
總結(jié)：一般地，在大量重復(fù)的試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.
活動(dòng)4： （拓展性目標(biāo)3）
問(wèn)題7：頻率能否幫忙判斷事件發(fā)生的可能性？
可以，頻率反映了該事件發(fā)生的頻繁程度，頻率越大，該事件發(fā)生越頻繁，這就意味著該事件發(fā)生的可能性也越大.
因而，我們就用這個(gè)常數(shù)來(lái)表示該事件發(fā)生的可能性的大小.
問(wèn)題8：我們通常拋硬幣時(shí)，會(huì)說(shuō)有50%的概率正面朝上，那什么叫概率呢？
我們把刻畫(huà)一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為這個(gè)事件發(fā)生的概率.
總結(jié)：我們常用大寫字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A發(fā)生的概率.
例如：在擲質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)中，事件“正面朝上”的頻率會(huì)在 附近擺動(dòng)，所以P(正面朝上)= .
活動(dòng)5：（拓展性目標(biāo)4 ）
問(wèn)題9：事件A發(fā)生的概率可以通過(guò)什么來(lái)估算？
用事件A發(fā)生的頻率來(lái)估算.
一般地，在大量重復(fù)的試驗(yàn)中，我們可以用事件A發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)事件A發(fā)生的概率.
活動(dòng)6：（挑戰(zhàn)性目標(biāo)5）
問(wèn)題10：(1)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A)的取值范圍是什么？
(2)必然事件發(fā)生的概率是多少？
(3)不可能事件發(fā)生的概率又是多少
(1)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A)是0與1之間的一個(gè)常數(shù).
(2)必然事件發(fā)生的概率是1.
(3)不可能事件發(fā)生的概率是0.
因此，0≤ ( )≤1.
活動(dòng)7：（挑戰(zhàn)性目標(biāo)6）
問(wèn)題11：請(qǐng)你利用本節(jié)知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)編題目，并與同學(xué)分享！
當(dāng)堂檢測(cè)
必做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí)）在一個(gè)不透明的盒子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外斗相同.經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則盒子中可能有紅球多少個(gè)　（ B ）
A.2　 B.3 C.4 D.5　
2.(拓展練習(xí)) 某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊，結(jié)果見(jiàn)下表:
射擊總次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 1000
擊中靶心的次數(shù)m 9 16 41 88 168 429 861
集中靶心的頻率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861
(1)請(qǐng)完成上表；
(2)根據(jù)上表，刻畫(huà)出該運(yùn)動(dòng)員集中靶心的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖；
(3)請(qǐng)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊一次便擊中靶心的概率.
解：(2)如圖所示
(3)概率大約是0.861.
3.（挑戰(zhàn)練習(xí)）下列事件中是必然事件的 ② ，是隨機(jī)事件的是 ①④ ，是不可能事件的是 ③ .
①內(nèi)錯(cuò)角相等
②地球圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)
③太陽(yáng)從西邊升起
④上學(xué)路上所有路口都是綠燈
選做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí)）在一個(gè)暗箱里放有m個(gè)除顏色外完全相同的球，這m個(gè)球中紅球只有4個(gè)，每次將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下顏色后放回．通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率為0.4，由此可以推算出m的值約為（　C　）
A．7 B．3 C．10 D．65
2.(基礎(chǔ)練習(xí)）為了估計(jì)魚(yú)塘中的魚(yú)數(shù)，養(yǎng)魚(yú)者先從魚(yú)塘中捕獲80條魚(yú)，在每一條魚(yú)身上做好標(biāo)記后把這些魚(yú)放歸魚(yú)塘，再?gòu)聂~(yú)塘中打撈魚(yú)．通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚(yú)中有記號(hào)的頻率穩(wěn)定在2%左右，則估計(jì)魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量為（　B　）
A．2000 B．4000 C．5000 D．8000
3.(拓展練習(xí)）某林業(yè)局將一種樹(shù)苗移植成活的情況繪制成如統(tǒng)計(jì)圖，由此可估計(jì)這種樹(shù)苗移植成活的概率約為（　B　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
課后作業(yè)（可根據(jù)自身情況選做）
必做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí))在做“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”試驗(yàn)時(shí)，下列說(shuō)法：①不同次數(shù)的試驗(yàn)，正面向上的頻率可能會(huì)不相同;②當(dāng)拋擲的次數(shù)n 很大時(shí),正面向上的次數(shù)一定為 /2：③多次重復(fù)試驗(yàn)中，正面向上發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并趨于穩(wěn)定，其中正確的是 ①③ （請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）
2.（拓展練習(xí)）用頻率估計(jì)概率，可以發(fā)現(xiàn)，拋擲硬幣，“正面朝上”的概率為 0.5，那么擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 10次，下列說(shuō)法正確的是（ B ）
A.每?jī)纱伪赜?1次正面向上 B.可能有5次正面向上
C.必有5次正面向上 D．不可能有10 次正面向上
3.（挑戰(zhàn)練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ A ）
A.小明在裝有紅綠燈的十字路口，“遇到紅燈”是隨機(jī)事件
B.確定事件發(fā)生的概率是 1
C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子 600次，點(diǎn)數(shù)為1與點(diǎn)數(shù)為 6 的頻率相同
D.從某校1000名男生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行引體向上測(cè)試，其中有一名成績(jī)不及格，說(shuō)明該校50%的男生引體向上成績(jī)不及格
4.有五個(gè)面的石塊，每個(gè)面上分別標(biāo)記 1，2，3，4，5，現(xiàn)隨機(jī)投擲 100 次，每個(gè)面落在地面上的次數(shù)如下表，估計(jì)石塊標(biāo)記5的面落在地面上的概率是 0.24 .
石塊的面 1 2 3 4 5
頻數(shù) 17 28 15 16 24
選做題：
1.(基礎(chǔ)練習(xí))一只不透明的袋子中裝有3個(gè)黃球和n個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．課外興趣小組做摸球試驗(yàn)：每次摸出一個(gè)球，記錄下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.7附近擺動(dòng)，則n的值最可能是（　D　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.(拓展練習(xí))某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如表：
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率是（ D ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
射擊次數(shù) 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九環(huán)以上”的次數(shù) 82 176 267 364 450 720 900
“射中九環(huán)以上”的頻率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
3.(挑戰(zhàn)練習(xí))下列表述中，正確的是（　C　）
A．“在地面向上拋石子，石子落在地上”是隨機(jī)事件
B．若彩票的中獎(jiǎng)率為10%，則“買100張彩票有10張中獎(jiǎng)”是必然事件
C．“從固鎮(zhèn)到蚌埠的K371次列車明天準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)”是隨機(jī)事件
D．同時(shí)擲兩枚硬幣，朝上面是一正一反的概率為.
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