資源簡介

培優(yōu)提升四　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
(分值：100分)
選擇題1～10題，每小題8分，共80分。
對點(diǎn)題組練
題組一　非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒
1.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、質(zhì)量分布均勻的細(xì)鏈條長為L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使長部分垂在桌面下(桌面高度大于鏈條長度，重力加速度為g)。現(xiàn)將鏈條由靜止釋放，則其上端剛離開桌面時(shí)鏈條的動(dòng)能為(　　)
0 mgL
mgL mgL
2.如圖所示，勻質(zhì)鐵鏈質(zhì)量為m，長度為L，現(xiàn)使其放在傾角為30°的光滑斜面上，其余部分豎直下垂。若由靜止釋放使鐵鏈自由運(yùn)動(dòng)，則鐵鏈下滑至整條鐵鏈剛好全部離開斜面時(shí)，鐵鏈的速度為(　　)
3.如圖，總長為l、質(zhì)量為m的均勻軟繩對稱地掛在輕質(zhì)小滑輪上，用細(xì)線將質(zhì)量也為m的物塊與軟繩連接。將物塊由靜止釋放，直到軟繩剛好全部離開滑輪，不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g，則(　　)
剛釋放時(shí)細(xì)線的拉力大小為mg
該過程中物塊的機(jī)械能減少了mgl
該過程中軟繩的重力勢能減少了mgl
軟繩離開滑輪時(shí)速度大小為
題組二　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
4.(多選)如圖所示，在兩個(gè)質(zhì)量分別為m和2m的小球a和b之間，用一根輕質(zhì)細(xì)桿連接，兩小球可繞過輕桿中心的水平軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)讓輕桿處于水平位置，靜止釋放小球后，重球b向下轉(zhuǎn)動(dòng)，輕球a向上轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)過90°的過程中，以下說法正確的是(　　)
b球的重力勢能減少，動(dòng)能增加
a球的重力勢能增加，動(dòng)能減少
a球和b球的機(jī)械能總和保持不變
a球和b球的機(jī)械能總和不斷減小
5.(多選)如圖所示，光滑細(xì)桿AB、AC在A點(diǎn)連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩中心有孔的相同小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一不可伸長的細(xì)繩相連，細(xì)繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在N球碰到A點(diǎn)前的運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法中正確的是(　　)
M球的機(jī)械能守恒
M球的機(jī)械能減少
M球和N球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
繩的拉力對N球做負(fù)功
6.如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線連接，跨過固定在水平地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的3倍。當(dāng)B位于地面時(shí)，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放(A落地時(shí)，立即燒斷細(xì)線)，B上升的最大高度是(　　)
2R
7.如圖所示，質(zhì)量為m和3m的小球A和B，系在長為L的細(xì)線兩端，桌面水平光滑，高為h(h＜L)，重力加速度為g，B球無初速度從桌邊滑下，落在沙地上靜止不動(dòng)，則A球離開桌邊的速度為(　　)
綜合提升練
8.(多選)如圖所示，傾角θ＝37°的斜面固定在水平地面上，物塊P和Q通過不可伸長的輕繩連接并跨過輕質(zhì)定滑輪，輕繩與斜面平行。已知P的質(zhì)量mP＝3 kg，開始時(shí)兩物塊均靜止，P距地面高度H＝1 m，Q與定滑輪間的距離足夠大。現(xiàn)將P、Q位置互換并從靜止釋放，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不計(jì)一切摩擦。下列說法正確的是(　　)
Q物塊的質(zhì)量為4 kg
P、Q組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
Q落地時(shí)的速度大小為2 m/s
Q落地瞬間重力的功率為100 W
9.(多選)(2024·福建師大附中期末)如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，不計(jì)小球大小。開始時(shí)a球處在圓弧上端A點(diǎn)，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑，則下列說法正確的是(　　)
a球下滑過程中機(jī)械能保持不變
b球下滑過程中機(jī)械能增加
a、b球滑到水平軌道上時(shí)速度大小為
從釋放a、b球到a、b球滑到水平軌道上，整個(gè)過程中輕桿對a球做的功為
10.(多選)如圖所示，物體A、B通過不可伸長的細(xì)繩及輕質(zhì)彈簧連接在光滑輕質(zhì)定滑輪兩側(cè)，物體A、B的質(zhì)量都為m。開始時(shí)細(xì)繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上。放手后物體A下落，與地面即將接觸時(shí)速度大小為v，此時(shí)物體B對地面恰好無壓力，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
彈簧的勁度系數(shù)為
此時(shí)彈簧的彈性勢能等于mgh－mv2
此時(shí)物體B的速度大小也為v
此時(shí)物體A的加速度大小為g，方向豎直向上
11.(8分)如圖所示，有一輕質(zhì)桿可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在桿的另一端和中點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B，桿長為L，重力加速度為g。開始時(shí)，桿靜止在水平位置，則無初速度釋放后桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，求A、B兩小球的速度大小。
培優(yōu)加強(qiáng)練
12.(12分)(2024·山東濟(jì)南高一期末)如圖所示，輕繩一端固定于O點(diǎn)，繞過輕質(zhì)光滑的動(dòng)滑輪和定滑輪，另一端與質(zhì)量為mB＝2m的物塊B相連，動(dòng)滑輪下方懸掛質(zhì)量為mA＝m的物塊A，將物塊B置于傾角為30°的固定光滑斜面的頂端。已知斜面長為L，與物塊B相連接的輕繩始終與斜面平行，懸掛動(dòng)滑輪的輕繩豎直，兩滑輪間豎直距離足夠長，空氣阻力忽略不計(jì)，兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g。現(xiàn)由靜止釋放物塊B，求：
(1)(6分)物塊B運(yùn)動(dòng)至斜面底端時(shí)的動(dòng)能；
(2)(6分)物塊B從斜面頂端運(yùn)動(dòng)至底端的過程中，克服輕繩拉力做的功。
培優(yōu)提升四　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
1.D　[取桌面下處為零勢能參考平面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得Ek＝·＋·＝mgL。故D正確。]
2.D　[把鐵鏈分成兩個(gè)部分，下一半鐵鏈重心下落的高度為h1＝，上一半鐵鏈重心下落的高度為h2＝＋sin 30°＝L，對整條鐵鏈從剛釋放到剛好全部離開斜面由機(jī)械能守恒定律得mgh1＋mgh2＝mv2，解得v＝，故D正確。]
3.D　[剛釋放時(shí)，物塊m有加速度有mg－T＝ma，拉力小于mg，故A錯(cuò)誤；物塊的重力勢能減小mgl，但物塊也獲得了速度，即動(dòng)能增加，故機(jī)械能損失小于mgl，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槔K子均勻，把繩子的重心看作在繩子的中點(diǎn)，所以繩子相當(dāng)于向下移動(dòng)了l，減小的重力勢能為mgl，故C錯(cuò)誤；對繩和物塊組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得mg·l＋mgl＝×2mv2，解得速度v＝，故D正確。]
4.AC　[在b球向下、a球向上擺動(dòng)過程中，兩球均在加速轉(zhuǎn)動(dòng)，兩球動(dòng)能增加，同時(shí)b球重力勢能減少，a球重力勢能增加，A正確，B錯(cuò)誤；a、b兩球組成的系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，C正確，D錯(cuò)誤。]
5.BC　[因M球下落的過程中細(xì)繩的拉力對M球做負(fù)功，對N球做正功，故M球的機(jī)械能減少，N球的機(jī)械能增加，但M球和N球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，B、C正確，A、D錯(cuò)誤。]
6.B　[設(shè)B的質(zhì)量為m，則A的質(zhì)量為3m，A球落地前，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有3mgR－mgR＝(3m＋m)v2，解得v＝，燒斷細(xì)線后，對B運(yùn)用動(dòng)能定理有－mgh＝0－mv2，解得h＝，則B上升的最大高度為H＝h＋R＝，故B正確。]
7.A　[從B球釋放到落地過程，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A球離開桌邊時(shí)的速度大小為v，則有3mgh＝(m＋3m)v2，解得v＝，選項(xiàng)A正確。]
8.BC　[設(shè)輕繩的彈力大小為F，對物塊Q由平衡條件有mQgsin 37°＝F，對物塊P由平衡條件有F＝mPg，聯(lián)立解得mQ＝＝5 kg，故A錯(cuò)誤；P、Q組成的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故B正確；設(shè)Q落地時(shí)速度的大小為v，此時(shí)P的速度大小也為v，由機(jī)械能守恒定律有mQgH－mPgHsin 37°＝(mQ＋mP)v2，解得v＝2 m/s，故C正確；Q落地瞬間重力的功率為P＝mQgv＝100 W，故D錯(cuò)誤。]
9.CD　[a、b球和輕桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有mgR＋2mgR＝×2mv2，解得a、b球滑到水平軌道上時(shí)速度大小為v＝，故C正確；從釋放a、b球到a、b球滑到水平軌道上，對a球，由動(dòng)能定理有W＋mgR＝mv2，解得輕桿對a球做的功為W＝，D正確；因輕桿對a球做正功，則輕桿對b球做負(fù)功，則b球的機(jī)械能減少，故B錯(cuò)誤。]
10.AB　[由題意可知，此時(shí)彈簧拉力大小等于物體B的重力，即F＝mg，彈簧伸長的長度為x＝h，由F＝kx得k＝，故A正確；物體B對地面恰好無壓力時(shí)，B的速度為零，故C錯(cuò)誤；A與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有mgh＝mv2＋Ep，則彈簧的彈性勢能Ep＝mgh－mv2，故B正確；對A，根據(jù)牛頓第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D錯(cuò)誤。]
11.　
解析　把A、B兩小球和桿看成一個(gè)系統(tǒng)，對系統(tǒng)而言，只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。
以A球在最低點(diǎn)的位置為零勢能位置，則
初狀態(tài)：系統(tǒng)的動(dòng)能為Ek1＝0
重力勢能為Ep1＝2mgL
末狀態(tài)(即桿轉(zhuǎn)到豎直位置)：
系統(tǒng)的動(dòng)能為Ek2＝mv＋mv
重力勢能為Ep2＝mg
由機(jī)械能守恒定律得
2mgL＝mgL＋mv＋mv
又因?yàn)樵跅U自由轉(zhuǎn)動(dòng)過程中A、B兩球的角速度相同，則vA＝2vB
聯(lián)立解得vA＝，vB＝。
12.(1)　(2)
解析　(1)物塊B的速度大小始終是物塊A速度大小的2倍，即vB＝2vA
對A、B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有
mBgLsin 30 °－mAg＝mAv＋mBv
解得vB＝
物塊B的動(dòng)能Ek＝mBv＝
(2)設(shè)物塊B從斜面頂端運(yùn)動(dòng)至底端的過程，克服輕繩拉力做的功為W，由動(dòng)能定理有
mBgLsin 30°－W＝mBv
解得W＝。培優(yōu)提升四　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能靈活應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的三種表達(dá)形式。2.掌握非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒問題的處理方法。3.會(huì)分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問題。
提升1　非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒
1.非質(zhì)點(diǎn)類物體機(jī)械能守恒問題的解決關(guān)鍵在于正確確定重心的位置。
2.先分段考慮各部分的重力勢能，再取各部分重力勢能的代數(shù)和作為整體的重力勢能。
3.利用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式。
角度1　“鏈條”類物體機(jī)械能守恒
例1 長為L的均勻鏈條，總質(zhì)量為m，放在光滑的水平桌面上，且使其長度的垂在桌邊，如圖所示，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，取桌面為零勢能參考平面，重力加速度為g。
(1)開始時(shí)兩部分鏈條重力勢能之和為多少？
(2)剛離開桌面時(shí)，整個(gè)鏈條的重力勢能為多少？
(3)鏈條滑至剛剛離開桌邊時(shí)的速度大小為多大？
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角度2　“液柱”類物體機(jī)械能守恒
例2 如圖所示，粗細(xì)均勻，兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，開始時(shí)兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動(dòng)，當(dāng)兩液面高度相等時(shí)，右側(cè)液面下降的速度為(重力加速度大小為g)(　　)
A. B.
C. D.
提升2　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
1.分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能問題時(shí)，首先判斷多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒，主要看系統(tǒng)是否只有重力、彈簧彈力做功。當(dāng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，單個(gè)物體的機(jī)械能通常不守恒。
2.系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體時(shí)，有ΔEA＝－ΔEB，一個(gè)物體機(jī)械能增加，則一定有另一個(gè)物體機(jī)械能減少。
角度1　輕繩連接體
常見情景如圖所示：
分析輕繩連接體的機(jī)械能變化問題的要點(diǎn)：
(1)分析清楚兩物體速度大小是否相等。
(2)分析清楚兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化關(guān)系。
(3)對于系統(tǒng)中的單個(gè)物體，一般繩上的力對其做功，機(jī)械能不守恒；但對于系統(tǒng)整體，機(jī)械能可能守恒。
例3 如圖所示，一條不可伸長的輕質(zhì)軟繩跨過定滑輪，繩的兩端各系一個(gè)質(zhì)量分別為m、3m的小球a 和b，用手按住a球靜止于地面時(shí)，b 球離地面的高度為h。兩物體均可視為質(zhì)點(diǎn)，定滑輪的質(zhì)量及一切阻力均不計(jì)，重力加速度為g。釋放a球后，至a球上升到最高點(diǎn)時(shí)，下列說法正確的是(　　)
A.a球的機(jī)械能守恒
B.b球的機(jī)械能增加
C.a球和b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D.a球上升的最大高度為1.5h
例4 如圖所示，質(zhì)量都是m的A和B兩物體，通過不可伸長的輕繩跨過輕質(zhì)定滑輪相連，固定斜面光滑，傾角為θ，不計(jì)繩子和滑輪之間的摩擦及空氣阻力。開始時(shí)A物體離地的高度為h，B物體位于斜面的底端且與B相連的繩與斜面平行，用手托住A物體，A、B兩物體均靜止，重力加速度為g，松手后，
(1)求A物體將要落地時(shí)的速度大小；
(2)A物體落地后，B物體由于慣性將繼續(xù)沿斜面上升，求B物體在斜面上上升的最遠(yuǎn)點(diǎn)離地面的高度(B未與滑輪相撞)。
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角度2　輕桿連接體
常見情景如圖所示：
分析輕桿連接體的機(jī)械能變化問題的要求：
(1)桿對物體的作用力方向并不總是沿桿，桿能對物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不一定守恒。
(2)對于桿和物體組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦，若除重力外，沒有其他外力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
例5 (2024·福建龍巖高一期中)如圖所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有質(zhì)量均為m＝1 kg的小球A和B，且兩球之間用一根長L＝0.4 m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h＝0.3 m。現(xiàn)讓兩球從靜止開始自由下滑，最后都進(jìn)入到上方開有細(xì)槽的光滑圓管中，不計(jì)球與圓管內(nèi)壁碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)全過程A、B小球分別減小的重力勢能；
(2)A、B都進(jìn)入到光滑圓筒中時(shí)的速度大小；
(3)全過程輕桿對A做的功。
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隨堂對點(diǎn)自測
1.(非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒)如圖所示，有一條長為1 m的均勻金屬鏈條，有一半長度在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個(gè)很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半長度豎直下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動(dòng)，則鏈條剛好全部滑出斜面時(shí)的速度為(重力加速度g＝10 m/s2)(　　)
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
2.(輕繩連接體)(多選)如圖所示，細(xì)繩跨過定滑輪懸掛兩物體a和b，且a的質(zhì)量大于b的質(zhì)量，不計(jì)摩擦和定滑輪質(zhì)量，兩物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)的過程中(　　)
A.a、b各自的機(jī)械能分別守恒
B.a減少的機(jī)械能等于b增加的機(jī)械能
C.a減少的重力勢能等于b增加的機(jī)械能
D.a和b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
3.(輕桿連接體)如圖所示，半徑為R＝0.4 m的圓弧形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，圓弧形軌道與光滑的水平地面相切，可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量均為m＝0.5 kg的小球甲、乙用輕桿連接，置于圓弧形軌道上，小球甲與O點(diǎn)等高，小球乙位于圓心O的正下方。某時(shí)刻將兩小球由靜止釋放，最終它們在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。重力加速度g＝10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。則下列說法正確的是(　　)
A.兩小球最終在水平面上運(yùn)動(dòng)的速度大小為 m/s
B.兩小球最終在水平面上運(yùn)動(dòng)的速度大小為2 m/s
C.整個(gè)過程中輕桿對小球乙做的功為0.5 J
D.整個(gè)過程中輕桿對小球乙做的功為1 J
培優(yōu)提升四　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
提升1
例1 (1)－　(2)－　(3)
解析　(1)開始時(shí)鏈條的重力勢能
Ep1＝－×＝－。
(2)剛滑離桌面時(shí)，鏈條的重力勢能
Ep2＝mg×＝－。
(3)設(shè)鏈條滑至剛剛離開桌邊時(shí)的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得Ep1＝Ep2＋mv2
聯(lián)立解得v＝。
例2 A　[當(dāng)兩液面高度相等時(shí)，減少的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為液體的動(dòng)能，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mg×h＝mv2，解得v＝，A正確。]
提升2
例3 D　[a球在上升過程中繩子對a球做正功，a球機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；b球在下降的過程中繩子對b球做負(fù)功，b球機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；b球落地后，速度變?yōu)?，有能量損失，所以釋放a球后，至a球上升到最高點(diǎn)時(shí)a球和b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，故C錯(cuò)誤；設(shè)當(dāng)b球剛落地時(shí)a、b球的速度大小為v，對于a、b兩球組成的系統(tǒng)來說，只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，取地面為參考平面，對系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律得3mgh＝mgh＋mv2＋×3mv2，此后a球做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有v2＝2gh′，解得h′＝0.5h，所以a球能達(dá)到的最大高度H＝h＋h′＝1.5h，故D正確。]
例4 (1)　(2)h(1＋sin θ)
解析　(1)兩物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則
mgh－mghsin θ＝(m＋m)v2
解得v＝。
(2)當(dāng)A物體落地后，B物體由于慣性將繼續(xù)上升，此時(shí)繩子松弛，對B物體而言，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，設(shè)其上升的最遠(yuǎn)點(diǎn)離地面的高度為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mv2＝mg(H－h(huán)sin θ)，解得H＝h(1＋sin θ)。
例5 (1)5 J　3 J　(2)2 m/s　(3)－1 J
解析　(1)對A：ΔEpA＝－mg(Lsin 30°＋h)＝－5 J，
A的重力勢能減少了5 J。
對B：ΔEpB＝－mgh＝－3 J，B的重力勢能減少了3 J。
(2)選地面為零勢能參考平面，設(shè)A、B都進(jìn)入到光滑圓筒中時(shí)的速度大小為vt，對AB組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得
mg(Lsin 30°＋h)＋mgh＝×2mv
解得vt＝2 m/s。
(3)設(shè)全過程輕桿對A做的功為W桿，對A由動(dòng)能定理得mg(Lsin 30°＋h)＋W桿＝mv
解得W桿＝－1 J。
隨堂對點(diǎn)自測
1.A　[設(shè)鏈條的質(zhì)量為2m，長度為L，以初始狀態(tài)鏈條的最高點(diǎn)所在的水平面為零勢能參考平面，鏈條的機(jī)械能為E＝Ep＋Ek＝－mg·sin θ－mg·＋0＝－mgL，設(shè)鏈條全部滑出斜面時(shí)的速度為v，則動(dòng)能為Ek′＝×2mv2，重力勢能為Ep′＝－2mg·，由機(jī)械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝＝2.5 m/s，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。]
2.BD　[a下落過程中，繩的拉力對a做負(fù)功，a的機(jī)械能減少；b上升過程中，繩的拉力對b做正功，b的機(jī)械能增加，A錯(cuò)誤；a、b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，a減少的機(jī)械能等于b增加的機(jī)械能，B、D正確；a減少的重力勢能并沒有全部轉(zhuǎn)化為b的機(jī)械能，還有一部分轉(zhuǎn)變成a的動(dòng)能，C錯(cuò)誤。]
3.D　[兩個(gè)球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則mgR＝mv2＋mv2，解得v＝＝ m/s＝2 m/s，故A、B錯(cuò)誤；整個(gè)過程中，對球乙，根據(jù)動(dòng)能定理有W＝mv2＝×0.5×22 J＝1 J，故C錯(cuò)誤，D正確。](共47張PPT)
培優(yōu)提升四　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
第1章　功和機(jī)械能
1.能靈活應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的三種表達(dá)形式。
2.掌握非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒問題的處理方法。
3.會(huì)分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問題。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點(diǎn)自測
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
提升
1
提升2　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
提升1　非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒
提升1　非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒
1.非質(zhì)點(diǎn)類物體機(jī)械能守恒問題的解決關(guān)鍵在于正確確定重心的位置。
2.先分段考慮各部分的重力勢能，再取各部分重力勢能的代數(shù)和作為整體的重力勢能。
3.利用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式。
(1)開始時(shí)兩部分鏈條重力勢能之和為多少？
(2)剛離開桌面時(shí)，整個(gè)鏈條的重力勢能為多少？
(3)鏈條滑至剛剛離開桌邊時(shí)的速度大小為多大？
角度2　“液柱”類物體機(jī)械能守恒
例2 如圖所示，粗細(xì)均勻，兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，開始時(shí)兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動(dòng)，當(dāng)兩液面高度相等時(shí)，右側(cè)液面下降的速度為(重力加速度大小為g)(　　)
A
提升2　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
1.分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能問題時(shí)，首先判斷多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒，主要看系統(tǒng)是否只有重力、彈簧彈力做功。當(dāng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，單個(gè)物體的機(jī)械能通常不守恒。
2.系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體時(shí)，有ΔEA＝－ΔEB，一個(gè)物體機(jī)械能增加，則一定有另一個(gè)物體機(jī)械能減少。
角度1　輕繩連接體
常見情景如圖所示：
分析輕繩連接體的機(jī)械能變化問題的要點(diǎn)：
(1)分析清楚兩物體速度大小是否相等。
(2)分析清楚兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化關(guān)系。
(3)對于系統(tǒng)中的單個(gè)物體，一般繩上的力對其做功，機(jī)械能不守恒；但對于系統(tǒng)整體，機(jī)械能可能守恒。
D
例3 如圖所示，一條不可伸長的輕質(zhì)軟繩跨過定滑輪，繩的兩端各系一個(gè)質(zhì)量分別為m、3m的小球a 和b，用手按住a球靜止于地面時(shí)，b 球離地面的高度為h。兩物體均可視為質(zhì)點(diǎn)，定滑輪的質(zhì)量及一切阻力均不計(jì)，重力加速度為g。釋放a球后，至a球上升到最高點(diǎn)時(shí)，下列說法正確的是(　　)
A.a球的機(jī)械能守恒
B.b球的機(jī)械能增加
C.a球和b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D.a球上升的最大高度為1.5h
例4 如圖所示，質(zhì)量都是m的A和B兩物體，通過不可伸長的輕繩跨過輕質(zhì)定滑輪相連，固定斜面光滑，傾角為θ，不計(jì)繩子和滑輪之間的摩擦及空氣阻力。開始時(shí)A物體離地的高度為h，B物體位于斜面的底端且與B相連的繩與斜面平行，用手托住A物體，A、B兩物體均靜止，重力加速度為g，松手后，
(1)求A物體將要落地時(shí)的速度大小；
(2)A物體落地后，B物體由于慣性將繼續(xù)沿斜面上升，求B物體在斜面上上升的最遠(yuǎn)點(diǎn)離地面的高度(B未與滑輪相撞)。
角度2　輕桿連接體
常見情景如圖所示：
分析輕桿連接體的機(jī)械能變化問題的要求：
(1)桿對物體的作用力方向并不總是沿桿，桿能對物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不一定守恒。
(2)對于桿和物體組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦，若除重力外，沒有其他外力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
例5 (2024·福建龍巖高一期中)如圖所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有質(zhì)量均為m＝1 kg的小球A和B，且兩球之間用一根長L＝0.4 m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h＝0.3 m。現(xiàn)讓兩球從靜止開始自由下滑，最后都進(jìn)入到上方開有細(xì)槽的光滑圓管中，不計(jì)球與圓管內(nèi)壁碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)全過程A、B小球分別減小的重力勢能；
(2)A、B都進(jìn)入到光滑圓筒中時(shí)的速度大小；
(3)全過程輕桿對A做的功。
解析　(1)對A：ΔEpA＝－mg(Lsin 30°＋h)＝－5 J，
A的重力勢能減少了5 J。
對B：ΔEpB＝－mgh＝－3 J，B的重力勢能減少了3 J。
(2)選地面為零勢能參考平面，設(shè)A、B都進(jìn)入到光滑圓筒中時(shí)的速度大小為vt，對AB組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得
隨堂對點(diǎn)自測
2
A
1.(非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒)如圖所示，有一條長為1 m的均勻金屬鏈條，有一半長度在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個(gè)很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半長度豎直下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動(dòng)，則鏈條剛好全部滑出斜面時(shí)的速度為(重力加速度g＝10 m/s2)(　　)
BD
2.(輕繩連接體)(多選)如圖所示，細(xì)繩跨過定滑輪懸掛兩物體a和b，且a的質(zhì)量大于b的質(zhì)量，不計(jì)摩擦和定滑輪質(zhì)量，兩物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)的過程中(　　)
A.a、b各自的機(jī)械能分別守恒
B.a減少的機(jī)械能等于b增加的機(jī)械能
C.a減少的重力勢能等于b增加的機(jī)械能
D.a和b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
解析　a下落過程中，繩的拉力對a做負(fù)功，a的機(jī)械能減少；b上升過程中，繩的拉力對b做正功，b的機(jī)械能增加，A錯(cuò)誤；a、b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，a減少的機(jī)械能等于b增加的機(jī)械能，B、D正確；a減少的重力勢能并沒有全部轉(zhuǎn)化為b的機(jī)械能，還有一部分轉(zhuǎn)變成a的動(dòng)能，C錯(cuò)誤。
D
課后鞏固訓(xùn)練
3
D
對點(diǎn)題組練
D
D
AC
題組二　多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
4.(多選)如圖所示，在兩個(gè)質(zhì)量分別為m和2m的小球a和b之間，用一根輕質(zhì)細(xì)桿連接，兩小球可繞過輕桿中心的水平軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)讓輕桿處于水平位置，靜止釋放小球后，重球b向下轉(zhuǎn)動(dòng)，輕球a向上轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)過90°的過程中，以下說法正確的是(　　)
A.b球的重力勢能減少，動(dòng)能增加
B.a球的重力勢能增加，動(dòng)能減少
C.a球和b球的機(jī)械能總和保持不變
D.a球和b球的機(jī)械能總和不斷減小
解析　在b球向下、a球向上擺動(dòng)過程中，兩球均在加速轉(zhuǎn)動(dòng)，兩球動(dòng)能增加，同時(shí)b球重力勢能減少，a球重力勢能增加，A正確，B錯(cuò)誤；a、b兩球組成的系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，C正確，D錯(cuò)誤。
BC
5.(多選)如圖所示，光滑細(xì)桿AB、AC在A點(diǎn)連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩中心有孔的相同小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一不可伸長的細(xì)繩相連，細(xì)繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在N球碰到A點(diǎn)前的運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法中正確的是(　　)
A.M球的機(jī)械能守恒
B.M球的機(jī)械能減少
C.M球和N球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
D.繩的拉力對N球做負(fù)功
解析　因M球下落的過程中細(xì)繩的拉力對M球做負(fù)功，對N球做正功，故M球的機(jī)械能減少，N球的機(jī)械能增加，但M球和N球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，B、C正確，A、D錯(cuò)誤。
B
6.如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線連接，跨過固定在水平地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的3倍。當(dāng)B位于地面時(shí)，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放(A落地時(shí)，立即燒斷細(xì)線)，B上升的最大高度是(　　)
A
7.如圖所示，質(zhì)量為m和3m的小球A和B，系在長為L的細(xì)線兩端，桌面水平光滑，高為h(h＜L)，重力加速度為g，B球無初速度從桌邊滑下，落在沙地上靜止不動(dòng)，則A球離開桌邊的速度為(　　)
BC
綜合提升練
8.(多選)如圖所示，傾角θ＝37°的斜面固定在水平地面上，物塊P和Q通過不可伸長的輕繩連接并跨過輕質(zhì)定滑輪，輕繩與斜面平行。已知P的質(zhì)量mP＝3 kg，開始時(shí)兩物塊均靜止，P距地面高度H＝1 m，Q與定滑輪間的距離足夠大。現(xiàn)將P、Q位置互換并從靜止釋放，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不計(jì)一切摩擦。下列說法正確的是(　　)
CD
AB
10.(多選)如圖所示，物體A、B通過不可伸長的細(xì)繩及輕質(zhì)彈簧連接在光滑輕質(zhì)定滑輪兩側(cè)，物體A、B的質(zhì)量都為m。開始時(shí)細(xì)繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上。放手后物體A下落，與地面即將接觸時(shí)速度大小為v，此時(shí)物體B對地面恰好無壓力，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
11.如圖所示，有一輕質(zhì)桿可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在桿的另一端和中點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B，桿長為L，重力加速度為g。開始時(shí)，桿靜止在水平位置，則無初速度釋放后桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，求A、B兩小球的速度大小。
解析　把A、B兩小球和桿看成一個(gè)系統(tǒng)，對系統(tǒng)而言，只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。
以A球在最低點(diǎn)的位置為零勢能位置，則
初狀態(tài)：系統(tǒng)的動(dòng)能為Ek1＝0
重力勢能為Ep1＝2mgL
末狀態(tài)(即桿轉(zhuǎn)到豎直位置)：
12.(2024·山東濟(jì)南高一期末)如圖所示，輕繩一端固定于O點(diǎn)，繞過輕質(zhì)光滑的動(dòng)滑輪和定滑輪，另一端與質(zhì)量為mB＝2m的物塊B相連，動(dòng)滑輪下方懸掛質(zhì)量為mA＝m的物塊A，將物塊B置于傾角為30°的固定光滑斜面的頂端。已知斜面長為L，與物塊B相連接的輕繩始終與斜面平行，懸掛動(dòng)滑輪的輕繩豎直，兩滑輪間豎直距離足夠長，空氣阻力忽略不計(jì)，兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g。現(xiàn)由靜止釋放物塊B，求：
培優(yōu)加強(qiáng)練
(1)物塊B運(yùn)動(dòng)至斜面底端時(shí)的動(dòng)能；
(2)物塊B從斜面頂端運(yùn)動(dòng)至底端的過程中，克服輕繩拉力做的功。
解析　(1)物塊B的速度大小始終是物塊A速度大小的2倍，即vB＝2vA
對A、B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有
(2)設(shè)物塊B從斜面頂端運(yùn)動(dòng)至底端的過程，克服輕繩拉力做的功為W，由動(dòng)能定理有

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