資源簡介

培優提升六　小船渡河與關聯速度問題
(分值：100分)
選擇題1～11題，每小題8分，共88分。
對點題組練
題組一　小船渡河問題
1.圖甲是救援船水上渡河演練的場景，假設船頭始終垂直河岸，船的速度v船大小恒定，圖乙中虛線ABC是救援船渡河的軌跡示意圖，其中A點是出發點，D點位于A點的正對岸，AB段是直線，BC段是曲線，下列說法正確的是(　　)
船以該種方式渡河位移最短
船以該種方式渡河時間最長
AB段中水流速度不斷增大
BC段中水流速度不斷減小
2.唐僧、悟空、八戒、沙僧師徒四人想劃船渡過一條寬200 m、兩岸平齊的大河，他們在靜水中劃船的速度為3 m/s，河水的流速為4 m/s，對于這次劃船過河，他們有各自的看法，其中正確的是(　　)
悟空說：我們劃船過河只需要40 s的時間
八戒說：要想走最少的路就得朝著正對岸劃船
沙僧說：要想到達正對岸就得使船頭朝向正對岸
唐僧說：今天這種情況，我們是不可能到達正對岸的
3.(2024·山東東營高一期末)如圖所示，小船從岸邊A處渡河，船在靜水中的速度大小v1＝4 m/s，船頭與上游河岸的夾角為37°，河水的流速大小v2＝5 m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則小船相對河岸的速度大小為(　　)
2.4 m/s 3.0 m/s
4.5 m/s 5.0 m/s
題組二　關聯速度問題
4.如圖所示，某工作人員A以速度v沿直線水平向左拉輕繩，繩與水平方向的夾角為θ，此時表演者B速度大小為(　　)
vsin θ vcos θ
5.如圖所示，一根長直輕桿AB靠在墻角沿豎直墻和水平地面向下滑動。當AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面滑動的速度大小為v2，則v1、v2的關系是(　　)
v1＝v2tan θ v1＝
v1＝v2cos θ v1＝v2sin θ
6.如圖所示，一個長直輕桿兩端分別固定小球A和B，豎直放置，兩球質量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。由于微小的擾動，A球沿豎直光滑槽向下運動，B球沿水平光滑槽向右運動，當桿與豎直方向的夾角為θ時(圖中未標出)，關于兩球速度vA和vB的關系，下列說法正確的是(　　)
若θ＝30°，則A、B兩球的速度大小相等
若θ＝60°，則A、B兩球的速度大小相等
vA＝vBtan θ
vA＝vBsin θ
7.有兩條位于同一豎直平面內的水平軌道，軌道上有兩個物塊A和B，它們通過一根繞過光滑定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接，輕繩始終處于緊繃狀態，物塊A向右運動。如圖所示，當繩與軌道成30°角時，物塊A和B的速度大小之比為(　　)
1∶1 1∶2
∶2 2∶
綜合提升練
8.如圖所示，一條小船從碼頭A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直(沿AA′方向)。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸的碼頭B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當水流速度為v2時，小船運動到河對岸的碼頭C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是(　　)
小船沿AB、AC過河的時間相等
小船沿AC過河的時間更長
v1∶v2＝1∶2
當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A′，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°
9.(多選)(2024·廣東汕頭高一期末)生活中運送裝修材料時，常采用圖中的滑輪裝置。向右做勻速直線運動的工作人員A通過一根繞過定滑輪的輕繩吊起裝修材料B，設工作人員和裝修材料的速度大小分別為vA和vB，則下列說法正確的是(　　)
vAvA>vB
物塊B處于超重狀態
物塊B處于失重狀態
10.如圖所示，圓心在O點，半徑為R的圓弧軌道abc豎直固定在水平桌面上，Oc與Oa的夾角為60°，軌道最低點a與桌面相切。一段不可伸長的輕繩兩端系著質量分別為m和4m的小球A和B(均可視為質點)，掛在圓弧軌道邊緣c的兩邊，開始時，B位于c點，從靜止釋放，設輕繩足夠長，不計一切摩擦，則在B球由c下滑到a的過程中(　　)
當小球B經過a點時，A、B速度大小之比為1∶1
當小球B經過a點時，A、B速度大小之比為2∶
小球B經過a點時的速度大小為
小球B經過a點時的速度大小為
11.(多選)如圖所示，不可伸長的輕繩平行于斜面，一端與質量為m的物塊B相連，B與斜面光滑接觸。輕繩另一端跨過滑輪與質量為M的物塊A連接。A在外力作用下沿豎直桿以速度v1向下勻速運動，物塊B始終沿斜面運動且斜面始終靜止，當輕繩與桿的夾角為β時，物塊B的速度大小為v2，斜面傾角為α，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
＝
＝
輕繩拉力一定大于mgsin α
斜面受到地面水平向右的摩擦力
培優加強練
12.(12分)一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)(6分)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s。
①欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
(2)(6分)若船在靜水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
培優提升六　小船渡河與關聯速度問題
1.D　[若船頭垂直河岸方向渡河，則渡河時間最短，渡河位移不是最短，故A、B錯誤；若保持船頭垂直于河岸，則在垂直于河岸方向上的速度不變，根據等時性可知水平分運動的時間跟豎直分運動的時間相等，AB段中相等的時間水平方向運動的位移相同，因此水流速度不變，BC段中相等的時間水平方向運動的位移變短，因此水流速度不斷減小，故C錯誤，D正確。]
2.D　[當船頭與河岸垂直時，用時最短，為t＝＝ s，故A錯誤；由于水速大于船速，無論怎么劃，都無法到達正對岸，當船速垂直于合速度時，渡河位移有最小值，如圖，故B、C錯誤，D正確。]
3.B　[由題意可知，船頭與上游河岸的夾角為37°，船在靜水中的速度v1可以分解為垂直河岸的分速度和平行河岸的分速度，如圖所示，垂直河岸的分速度大小為v⊥＝v1sin 37°＝4×0.6 m/s＝2.4 m/s，平行河岸的分速度大小為v∥＝v1cos 37°＝4×0.8 m/s＝3.2 m/s，方向與水流方向相反。由運動的合成可得小船相對河岸的速度大小為v＝eq \r(v＋（v2－vp）2)＝ m/s＝3.0 m/s，故B正確。]
4.B　[將工作人員A的速度v沿著平行繩子和垂直繩子方向進行分解，如圖所示，則有v1＝vcos θ，B的速度與沿繩方向的速度相等，故B正確，A、C、D錯誤。]
5.A　[將A點的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向，在沿桿方向上的分速度為v11＝v1cos θ，將B點的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向，在沿桿方向上的分速度v21＝v2sin θ，由于v11＝v21，所以v1＝v2tan θ，故A正確。]
6.C　[當桿與豎直方向的夾角為θ時，根據運動的分解可知(如圖所示)，沿桿方向兩分速度大小相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ。當θ＝45°時，vA＝vB，故C正確。]
7.C　[將B的速度分解，如圖所示，則有v2＝vA，v2＝vBcos 30°，解得＝cos 30°＝，故C正確。]
8.A　[因船頭始終垂直于河岸，可知船過河的時間為t＝，即小船沿AB、AC過河的時間相等，A正確，B錯誤；由題意可知＝tan 60°，＝tan 30°，解得v1∶v2＝1∶3，C錯誤；當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A′，則合速度應該垂直河對岸，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為cos θ＝＝，則θ≠60°，D錯誤。]
9.BC　[工作人員A的運動可分解為沿繩方向和垂直于繩方向的兩個運動，設斜拉繩子與水平方向的夾角為θ，由幾何關系可得vB＝vAcos θ，所以vA>vB，故B正確，A錯誤；工作人員A向右做勻速直線運動，vA不變，所以斜拉繩子與水平方向的夾角θ減小，則cos θ增大，所以vB增大，即物塊B向上做加速直線運動，處于超重狀態，故C正確，D錯誤。]
10.D　[設B球經過a點時，A、B兩球的速度大小分別為vA、vB，A球上升的高度為h，由于兩球構成的系統機械能守恒，有4mg(R－Rcos 60°)＝mgh＋mv＋(4m)v，由幾何關系知h＝＝R，vA、vB沿繩子方向的分速度大小相等，有vA＝vBcos 30°，解得＝cos 30°＝，vB＝，故D正確。]
11.AC　[根據速度的關聯性可知，物塊B的速度大小為物塊A的速度沿著繩方向的分速度大小，即有v2＝v1cos β，可得＝，故A正確，B錯誤；由于物塊A在外力作用下做勻速直線運動，而隨著A向下運動，繩子與豎直方向的夾角β在減小，因此B的速度大小v2逐漸增大，即B沿著斜面向上做的是加速運動，則其加速度沿著斜面向上，因此在沿著斜面的方向上對B由牛頓第二定律有T－mgsin α＝ma，可知輕繩拉力一定大于mgsin α，故C正確；取斜面為研究對象，由于斜面受到B對其斜向右下方垂直于斜面的壓力，該力有兩個作用效果，一個使斜面有向右運動的趨勢，一個使斜面緊壓地面，由此可知斜面在向右運動的趨勢下受到地面水平向左的摩擦力，故D錯誤。]
12.(1)①垂直河岸方向　36 s　90 m
②船頭與上游河岸成60°角方向　24 s　180 m
(2)船頭與上游河岸成53°角方向　150 s　300 m
解析　(1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。
①欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向；當船頭垂直河岸時，如圖甲所示
tmin＝＝ s＝36 s
v合＝eq \r(v＋v)＝ m/s
s1＝v合tmin＝90 m。
　　
②欲使船渡河航程最短，合速度應沿垂直河岸方向，如圖乙所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以當船頭與上游河岸夾角為60°時航程最短
s2＝d＝180 m
t＝＝＝24 s。
(2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，設合速度方向與河岸下游方向夾角為θ，則航程s3＝
欲使航程最短，需使θ最大，如圖丙所示，以v1矢量末端為圓心，v2′大小為半徑作圓，出發點與圓周上某點的連線即為合速度方向，欲使v合″與水平方向夾角最大，應使v合″與圓相切，即v合″⊥v2′
sin θ＝＝
得θ＝37°
所以船頭應朝與上游河岸夾角為53°方向
t′＝＝＝150 s
s3＝＝300 m。培優提升六　小船渡河與關聯速度問題
學習目標　1.通過實例分析進一步理解運動的合成與分解的原理。2.會用運動合成與分解的理論分析小船渡河問題。3.會分析實際運動中的關聯速度問題。
提升1　小船渡河問題
如圖所示為一條寬為d的大河，小明駕著小船從A點出發，欲將一批貨物運送到對岸。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。
(1)渡河過程中，小船參與了哪兩個分運動？
(2)怎么求解小船渡河過程所用的時間？小船如何渡河時間最短？最短時間為多少？此時渡河位移為多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移為多大？
(4)小船渡河時間的長短與水流速度是否有關？
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例1 (新教材魯科版P41“遷移”改編)如圖所示，一條小船位于d＝200 m寬的河正中A點處，下游100 m處有一危險區，已知水流速度為v1＝4 m/s，求：
(1)若小船在靜水中速度為v2＝5 m/s，則小船到岸的最短時間；
(2)若小船在靜水中速度為v2＝5 m/s，則小船以最短的位移到岸，小船船頭與河岸夾角及所用時間；
(3)為了使小船避開危險區沿直線到達對岸，小船在靜水中的最小速度。
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“三模型、兩方案”解決小船渡河問題
　　
訓練 下列選項圖中，若渡河區域內的河岸平直，水流速度方向處處與河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。設木船相對靜水的速度大小恒定。以最短的時間過河，則木船在出發點P與登陸點Q之間的運動軌跡可能是(　　)
提升2　關聯速度問題
如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連。
(1)在相等的時間內，小車A和小船B運動的位移相等嗎？
(2)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？如果不相等，哪個速度大？
(3)從運動的合成與分解的角度看，小船上P點的速度可以分解為哪兩個分速度？
(4)若某時刻連接船的繩與水平方向的夾角為α，則船的速度是多大？
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1.分析繩(桿)關聯速度問題時，需要注意：應該分解物體的實際運動速度，即________。
分解方法：將物體的實際速度分解為________________和____________的兩個分量。
2.常見的速度分解模型
情景圖示 定量結論
v＝v∥＝____________
v物′＝v∥＝________
v∥＝v∥′即____________
v∥＝v∥′即____________
角度1　繩的關聯速度
例2 如圖所示，重物沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車沿斜面升高。當滑輪右側的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為(　　)
A.vsin θ B.
C.vcos θ D.
例3 (多選)(2024·福建福州高一期末)如圖所示，一條細繩跨過光滑輕質定滑輪連接物體A、B，物體A懸掛起來，物體B穿在一根水平桿上。若物體B在水平外力作用下沿桿勻速向左運動，速度大小為v，當繩與水平桿間的夾角為θ時，下列判斷正確的是(　　)
A.物體A的速度為
B.物體A的速度為vcos θ
C.細繩的張力等于物體A的重力
D.細繩的張力大于物體A的重力
角度2　桿的關聯速度
例4 甲、乙兩光滑小球(均可視為質點)用輕桿連接，乙球處于水平地面上，甲球緊靠在豎直墻壁上，初始時輕桿豎直，桿長為4 m。施加微小的擾動，使得乙球沿水平地面向右滑動，如圖所示，當乙球距離起點3 m時，下列說法正確的是(　　)
A.甲、乙兩球的速度大小之比為∶3
B.甲、乙兩球的速度大小之比為3∶
C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等
D.甲球即將落地時，乙球的速度達到最大
隨堂對點自測
1.(小船渡河問題)如圖所示為某人游珠江，他以一定的速度且面部始終垂直于河岸向對岸游去。設江中各處水流速度相等，他游過的路程、過河所用的時間與水速的關系是(　　)
A.水速大時，路程長，時間長
B.水速大時，路程長，時間不變
C.水速大時，路程長，時間短
D.路程、時間與水速無關
2.(繩的關聯問題)如圖所示，汽車通過繩子繞過定滑輪連接重物M一起運動，不計滑輪摩擦和繩子質量，已知汽車以速度v勻速向左運動，繩子與水平方向夾角為θ，重物M的速度用vM表示。則(　　)
A.重物做勻速運動
B.重物做勻變速運動
C.vM＝vcos θ
D.v＝vMcos θ
3.(桿的關聯問題)如圖所示，一輕桿兩端分別固定著質量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質點)。將其放在一個直角形光滑槽中，已知當輕桿與槽左壁成θ角時，A球沿槽下滑的速度為vA，則此時B球的速度大小為(　　)
A.vAtan θ B.
C.vAcos θ D.vAsin θ
培優提升六　小船渡河與關聯速度問題
提升1
導學　提示　(1)①船相對水的運動(即船在靜水中的運動)。
②船隨水漂流的運動。
(2)由于水流速度始終沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的寬度除以垂直于河岸方向的速度得出過河時間。因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可。由圖可知，tmin＝，此時船渡河的位移大小s＝，位移方向滿足tan θ＝。
(3)情況一：v水最短的位移為河寬d，此時合速度垂直河岸。船頭與上游河岸夾角θ滿足：v船cos θ＝v水，如圖所示。渡河所用時間t＝。
情況二：v水>v船
如圖所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設為α)，此時航程最短。由圖可知sin α＝，最短位移為s＝＝d。此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。
(4)無關。
例1 (1)20 s　(2)37°　 s　(3)2 m/s
解析　(1)當船頭與河岸垂直時，時間最短
t1＝＝20 s。
(2)設船頭與河岸的夾角為θ，渡河時間為t2，合成圖如圖：
可知，cos θ＝＝
則θ＝37°
t2＝eq \f(d,2\r(v－v))＝ s。
(3)設小船避開危險區合速度與水流方向的夾角為α，則tan α＝＝，則α＝30°
當船頭分運動與合運動垂直時，取得最小值。如圖所示
最小速度v2min＝v1sin α＝2 m/s。
訓練 D　[以最短的時間過河，則木船的船頭垂直于河岸，木船渡河同時參與了兩個運動，垂直河岸的分運動和平行河岸的分運動，其中垂直河岸的分速度等于木船相對靜水的速度，保持不變；平行河岸的分速度等于水速，根據題意可知平行河岸的分速度先增大后減小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲線運動，根據加速度方向指向軌跡的凹側可知，D正確，A、B、C錯誤。]
提升2
導學　提示　(1)不相等。如圖，船的位移s船大于車的位移s車，且s車＝l1－l2。
(2)不相等，船的速度大于車的速度。
(3)如圖，P點速度可以分解為沿繩方向的分速度和垂直于繩方向的分速度。
(4)由v＝v船cos α得v船＝。
知識梳理
1.合速度　垂直于繩(桿)　沿繩(桿)　2.v物cos θ　v物cos θ　v物cos θ＝v物′cos α　v物cos α＝v物′cos β
例2 C　[將重物的速度按圖示兩個方向分解，如圖所示，得繩子速率為v繩＝vcos θ；而繩子速率等于小車的速率，則小車的速率為v車＝v繩＝vcos θ，故C正確。]
例3 BD　[將物體B的速度按圖示兩個方向分解，如圖所示。故物體A的速度等于沿繩方向的速度，則有vA＝vcos θ，故A錯誤，B正確；物體B向左勻速運動，則θ減小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速運動，故細繩的張力大于物體A的重力，故C錯誤，D正確。]
例4 B　[當乙球距離起點3 m時，設輕桿與豎直方向夾角為θ，則sin θ＝，cos θ＝，將兩球的速度分別沿桿和垂直于桿的方向進行分解，如圖所示，則v1在沿桿方向的分量為v1桿＝v1cos θ，v2在沿桿方向的分量為v2桿＝v2sin θ，結合v1桿＝v2桿，解得v1∶v2＝3∶，A錯誤，B正確；當甲球即將落地時，θ接近90°，此時甲球的速度達到最大，根據v1cos θ＝v2sin θ，得此時乙球的速度v2接近0，C、D錯誤。]
隨堂對點自測
1.B　[將人運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，水流的運動不影響垂直于河岸方向上的運動，在垂直于河岸方向上t＝，人的劃水速度不變，所以過河的時間不變。水流速的大小影響在沿河岸方向上的位移，s＝v水t，時間不變，水流速越大，沿河岸方向上的位移越大，根據運動的合成，發生的位移(路程)越大，B正確，A、C、D錯誤。]
2.C　[將汽車的速度分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，則有vM＝vcos θ，由于運動過程θ減小，cos θ增大，則重物M的速度vM增大，重物M做加速運動。假設繩子足夠長，經過足夠長的時間，θ趨近于0°，cos θ趨近于1，vM趨近于v，可知重物并不是做勻加速運動，C正確，A、B、D錯誤。]
3.B　[如圖所示，將A、B兩球的速度分別分解為沿著桿方向和垂直桿方向兩個分速度，對A球有vA2＝vAcos θ，對B球有vB2＝vB sin θ，由于vA2、vB2沿著同一個桿，則有vA2＝vB2，即vA cos θ ＝vBsin θ，解得vB＝vA＝，故B正確。](共52張PPT)
培優提升六　小船渡河與關聯速度問題
第2章　拋體運動
1.通過實例分析進一步理解運動的合成與分解的原理。
2.會用運動合成與分解的理論分析小船渡河問題。
3.會分析實際運動中的關聯速度問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　關聯速度問題
提升1　小船渡河問題
提升1　小船渡河問題
如圖所示為一條寬為d的大河，小明駕著小船從A點出發，欲將一批貨物運送到對岸。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。
(1)渡河過程中，小船參與了哪兩個分運動？
(2)怎么求解小船渡河過程所用的時間？小船如何渡河時間最短？最短時間為多少？此時渡河位移為多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移為多大？
(4)小船渡河時間的長短與水流速度是否有關？
提示　(1)①船相對水的運動(即船在靜水中的運動)。
②船隨水漂流的運動。
(4)無關。
(1)若小船在靜水中速度為v2＝5 m/s，則小船到岸的最短時間；
(2)若小船在靜水中速度為v2＝5 m/s，則小船以最短的位移到岸，小船船頭與河岸夾角及所用時間；
(3)為了使小船避開危險區沿直線到達對岸，小船在靜水中的最小速度。
(2)設船頭與河岸的夾角為θ，渡河時間為t2，合成圖如圖：
“三模型、兩方案”解決小船渡河問題
D
訓練 下列選項圖中，若渡河區域內的河岸平直，水流速度方向處處與河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。設木船相對靜水的速度大小恒定。以最短的時間過河，則木船在出發點P與登陸點Q之間的運動軌跡可能是(　　)
解析　以最短的時間過河，則木船的船頭垂直于河岸，木船渡河同時參與了兩個運動，垂直河岸的分運動和平行河岸的分運動，其中垂直河岸的分速度等于木船相對靜水的速度，保持不變；平行河岸的分速度等于水速，根據題意可知平行河岸的分速度先增大后減小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲線運動，根據加速度方向指向軌跡的凹側可知，D正確，A、B、C錯誤。
提升2　關聯速度問題
如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連。
(1)在相等的時間內，小車A和小船B運動的位移相等嗎？
(2)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？如果不相等，哪個速度大？
(3)從運動的合成與分解的角度看，小船上P點的速度可以分解為哪兩個分速度？
(4)若某時刻連接船的繩與水平方向的夾角為α，則船的速度是多大？
提示　(1)不相等。如圖，船的位移s船大于車的位移s車，且s車＝l1－l2。
(2)不相等，船的速度大于車的速度。
(3)如圖，P點速度可以分解為沿繩方向的分速度和垂直于繩方向的分速度。
1.分析繩(桿)關聯速度問題時，需要注意：應該分解物體的實際運動速度，即________。
分解方法：將物體的實際速度分解為________________和__________的兩個分量。
合速度
垂直于繩(桿)
沿繩(桿)
2.常見的速度分解模型
情景圖示 定量結論
v＝v∥＝________________
v物′＝v∥＝________________
v物cos θ
v物cos θ
情景圖示 定量結論
v∥＝v∥′即__________________________________
v∥＝v∥′即__________________________________
v物cos θ＝v物′cos α
v物cos α＝v物′cos β
角度1　繩的關聯速度
例2 如圖所示，重物沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車沿斜面升高。當滑輪右側的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為(　　)
C
解析　將重物的速度按圖示兩個方向分解，如圖所示，得繩子速率為v繩＝vcos θ；而繩子速率等于小車的速率，則小車的速率為v車＝v繩＝vcos θ，故C正確。
例3 (多選)(2024·福建福州高一期末)如圖所示，一條細繩跨過光滑輕質定滑輪連接物體A、B，物體A懸掛起來，物體B穿在一根水平桿上。若物體B在水平外力作用下沿桿勻速向左運動，速度大小為v，當繩與水平桿間的夾角為θ時，下列判斷正確的是(　　)
BD
解析　將物體B的速度按圖示兩個方向分解，如圖所示。故物體A的速度等于沿繩方向的速度，則有vA＝vcos θ，故A錯誤，B正確；物體B向左勻速運動，則θ減小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速運動，故細繩的張力大于物體A的重力，故C錯誤，D正確。
角度2　桿的關聯速度
例4 甲、乙兩光滑小球(均可視為質點)用輕桿連接，乙球處于水平地面上，甲球緊靠在豎直墻壁上，初始時輕桿豎直，桿長為4 m。施加微小的擾動，使得乙球沿水平地面向右滑動，如圖所示，當乙球距離起點3 m時，下列說法正確的是(　　)
B
隨堂對點自測
2
B
1.(小船渡河問題)如圖所示為某人游珠江，他以一定的速度且面部始終垂直于河岸向對岸游去。設江中各處水流速度相等，他游過的路程、過河所用的時間與水速的關系是(　　)
A.水速大時，路程長，時間長
B.水速大時，路程長，時間不變
C.水速大時，路程長，時間短
D.路程、時間與水速無關
C
2.(繩的關聯問題)如圖所示，汽車通過繩子繞過定滑輪連接重物M一起運動，不計滑輪摩擦和繩子質量，已知汽車以速度v勻速向左運動，繩子與水平方向夾角為θ，重物M的速度用vM表示。則(　　)
A.重物做勻速運動 B.重物做勻變速運動
C.vM＝vcos θ D.v＝vMcos θ
解析　將汽車的速度分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，則有vM＝vcos θ，由于運動過程θ減小，cos θ增大，則重物M的速度vM增大，重物M做加速運動。假設繩子足夠長，經過足夠長的時間，θ趨近于0°，cos θ趨近于1，vM趨近于v，可知重物并不是做勻加速運動，C正確，A、B、D錯誤。
B
3.(桿的關聯問題)如圖所示，一輕桿兩端分別固定著質量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質點)。將其放在一個直角形光滑槽中，已知當輕桿與槽左壁成θ角時，A球沿槽下滑的速度為vA，則此時B球的速度大小為(　　)
課后鞏固訓練
3
D
題組一　小船渡河問題
1.圖甲是救援船水上渡河演練的場景，假設船頭始終垂直河岸，船的速度v船大小恒定，圖乙中虛線ABC是救援船渡河的軌跡示意圖，其中A點是出發點，D點位于A點的正對岸，AB段是直線，BC段是曲線，下列說法正確的是(　　)
A.船以該種方式渡河位移最短
B.船以該種方式渡河時間最長
C.AB段中水流速度不斷增大
D.BC段中水流速度不斷減小
對點題組練
解析　若船頭垂直河岸方向渡河，則渡河時間最短，渡河位移不是最短，故A、B錯誤；若保持船頭垂直于河岸，則在垂直于河岸方向上的速度不變，根據等時性可知水平分運動的時間跟豎直分運動的時間相等，AB段中相等的時間水平方向運動的位移相同，因此水流速度不變，BC段中相等的時間水平方向運動的位移變短，因此水流速度不斷減小，故C錯誤，D正確。
D
2.唐僧、悟空、八戒、沙僧師徒四人想劃船渡過一條寬200 m、兩岸平齊的大河，他們在靜水中劃船的速度為3 m/s，河水的流速為4 m/s，對于這次劃船過河，他們有各自的看法，其中正確的是(　　)
A.悟空說：我們劃船過河只需要40 s的時間
B.八戒說：要想走最少的路就得朝著正對岸劃船
C.沙僧說：要想到達正對岸就得使船頭朝向正對岸
D.唐僧說：今天這種情況，我們是不可能到達正對岸的
B
3.(2024·山東東營高一期末)如圖所示，小船從岸邊A處渡河，船在靜水中的速度大小v1＝4 m/s，船頭與上游河岸的夾角為37°，河水的流速大小v2＝5 m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則小船相對河岸的速度大小為(　　)
A.2.4 m/s B.3.0 m/s
C.4.5 m/s D.5.0 m/s
B
題組二　關聯速度問題
4.如圖所示，某工作人員A以速度v沿直線水平向左拉輕繩，繩與水平方向的夾角為θ，此時表演者B速度大小為(　　)
解析　將工作人員A的速度v沿著平行繩子和垂直繩子方向進行分解，如圖所示，則有v1＝vcos θ，B的速度與沿繩方向的速度相等，故B正確，A、C、D錯誤。
A
5.如圖所示，一根長直輕桿AB靠在墻角沿豎直墻和水平地面向下滑動。當AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面滑動的速度大小為v2，則v1、v2的關系是(　　)
解析　將A點的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向，在沿桿方向上的分速度為v11＝v1cos θ，將B點的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向，在沿桿方向上的分速度v21＝v2sin θ，由于v11＝v21，所以v1＝v2tan θ，故A正確。
C
6.如圖所示，一個長直輕桿兩端分別固定小球A和B，豎直放置，兩球質量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。由于微小的擾動，A球沿豎直光滑槽向下運動，B球沿水平光滑槽向右運動，當桿與豎直方向的夾角為θ時(圖中未標出)，關于兩球速度vA和vB的關系，下列說法正確的是(　　)
A.若θ＝30°，則A、B兩球的速度大小相等
B.若θ＝60°，則A、B兩球的速度大小相等
C.vA＝vBtan θ
D.vA＝vBsin θ
C
7.有兩條位于同一豎直平面內的水平軌道，軌道上有兩個物塊A和B，它們通過一根繞過光滑定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接，輕繩始終處于緊繃狀態，物塊A向右運動。如圖所示，當繩與軌道成30°角時，物塊A和B的速度大小之比為(　　)
A
綜合提升練
8.如圖所示，一條小船從碼頭A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直(沿AA′方向)。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸的碼頭B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當水流速度為v2時，小船運動到河對岸的碼頭C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是(　　)
A.小船沿AB、AC過河的時間相等
B.小船沿AC過河的時間更長
C.v1∶v2＝1∶2
D.當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A′，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°
BC
9.(多選)(2024·廣東汕頭高一期末)生活中運送裝修材料時，常采用圖中的滑輪裝置。向右做勻速直線運動的工作人員A通過一根繞過定滑輪的輕繩吊起裝修材料B，設工作人員和裝修材料的速度大小分別為vA和vB，則下列說法正確的是(　　)
A.vAvB
C.物塊B處于超重狀態 D.物塊B處于失重狀態
解析　工作人員A的運動可分解為沿繩方向和垂直于繩方向的兩個運動，設斜拉繩子與水平方向的夾角為θ，由幾何關系可得vB＝vAcos θ，所以vA>vB，故B正確，A錯誤；工作人員A向右做勻速直線運動，vA不變，所以斜拉繩子與水平方向的夾角θ減小，則cos θ增大，所以vB增大，即物塊B向上做加速直線運動，處于超重狀態，故C正確，D錯誤。
D
10.如圖所示，圓心在O點，半徑為R的圓弧軌道abc豎直固定在水平桌面上，Oc與Oa的夾角為60°，軌道最低點a與桌面相切。一段不可伸長的輕繩兩端系著質量分別為m和4m的小球A和B(均可視為質點)，掛在圓弧軌道邊緣c的兩邊，開始時，B位于c點，從靜止釋放，設輕繩足夠長，不計一切摩擦，則在B球由c下滑到a的過程中(　　)
AC
11.(多選)如圖所示，不可伸長的輕繩平行于斜面，一端與質量為m的物塊B相連，B與斜面光滑接觸。輕繩另一端跨過滑輪與質量為M的物塊A連接。A在外力作用下沿豎直桿以速度v1向下勻速運動，物塊B始終沿斜面運動且斜面始終靜止，當輕繩與桿的夾角為β時，物塊B的速度大小為v2，斜面傾角為α，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
12.一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s。
①欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
(2)若船在靜水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
培優加強練
解析　(1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。
①欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向；當船頭垂直河岸時，如圖甲所示
②欲使船渡河航程最短，合速度應沿垂直河岸方向，如圖乙所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以當船頭與上游河岸夾角為60°時航程最短s2＝d＝180 m

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