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第2節(jié)　第1課時(shí)　向心力　探究向心力大小的表達(dá)式
(分值：100分)
選擇題1～3題，6～10題，每小題8分，共64分。
對(duì)點(diǎn)題組練
題組一　向心力的理解
1.(2024·遼寧葫蘆島高一期末)“蕩秋千”是兒童時(shí)期比較喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目。在蕩秋千的過(guò)程中，人和座椅整體一定不受(　　)
重力 拉力
空氣阻力 向心力
2.如圖，用一根結(jié)實(shí)的細(xì)繩拴住一個(gè)小物體，在足夠大的光滑水平桌面上掄動(dòng)細(xì)繩，使小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則作用在小物體上的拉力方向(　　)
沿繩指向圓心
沿繩背向圓心
垂直于繩、與運(yùn)動(dòng)方向相同
垂直于繩、與運(yùn)動(dòng)方向相反
3.快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則水對(duì)快艇的作用力方向可能是(　　)
F1
F2
F3
F4
題組二　探究影響向心力大小的因素
溫馨提示：此系列題卡，非選擇題每空2分，分值不同題空另行標(biāo)注
4.(6分)如圖所示，向心力演示儀的擋板A、C到轉(zhuǎn)軸距離為R，擋板B到轉(zhuǎn)軸距離為2R，塔輪①④半徑相同，①②③半徑之比為1∶2∶3，④⑤⑥半徑之比為3∶2∶1。現(xiàn)通過(guò)控制變量法，用該裝置探究向心力大小與角速度、運(yùn)動(dòng)半徑，質(zhì)量的關(guān)系。
(1)當(dāng)質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)半徑一定時(shí)，探究向心力的大小與角速度的關(guān)系，將傳動(dòng)皮帶套在②④塔輪上，應(yīng)將質(zhì)量相同的小球分別放在擋板________處(選填“A”“B”或“C”中的兩個(gè))。
(2)當(dāng)質(zhì)量和角速度一定時(shí)，探究向心力的大小與運(yùn)動(dòng)半徑之間的關(guān)系，應(yīng)將皮帶套在________塔輪上(選填①②③④⑤⑥中的兩個(gè))。
(3)將大小相同的鐵球和橡膠球分別放置在A、C擋板處，傳動(dòng)皮帶套在①④兩個(gè)塔輪上，圖中標(biāo)尺上黑白相間的等分格顯示出兩個(gè)小球向心力大小的比值為3∶1，則鐵球與橡膠球的質(zhì)量之比為_(kāi)_______。
5.(8分)為“探究向心力大小與角速度的關(guān)系”，某實(shí)驗(yàn)小組通過(guò)如圖甲所示的裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。滑塊套在水平桿上，可隨水平桿一起繞豎直桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，力傳感器通過(guò)細(xì)繩連接滑塊，可測(cè)繩上拉力大小。滑塊上固定一遮光片，寬度為d，光電門可以記錄遮光片通過(guò)的時(shí)間，測(cè)出滑塊中心到豎直桿的距離為l。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中細(xì)繩始終被拉直。
(1)滑塊隨桿轉(zhuǎn)動(dòng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，每經(jīng)過(guò)光電門一次。力傳感器和光電門就同時(shí)獲得一組拉力F和遮光時(shí)間t，則滑塊的角速度ω＝________(用t、l、d表示)。
(2)為探究向心力大小與角速度的關(guān)系，得到多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，應(yīng)作出F與________(選填“t”“”“t2”或“”)的關(guān)系圖像。若作出圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線，表明此實(shí)驗(yàn)過(guò)程中向心力與________成正比(選填“角速度”“角速度的平方”或“角速度二次方根”)。
(3)若作出圖像如圖乙所示，圖線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的原因是_____________________。
題組三　向心力公式及其應(yīng)用
6.要保持一個(gè)質(zhì)量為2 kg的小球在半徑為1 m的圓周上以4 m/s的線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則需要提供的向心力為(　　)
1 N 2 N
4 N 32 N
7.一質(zhì)量為m的小球做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，則小球的向心力為(　　)
8.甲、乙兩物體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量之比為1∶2，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1∶2，角速度之比4∶3，則它們的向心力之比為(　　)
1∶4 2∶3
4∶9 9∶16
綜合提升練
9.(多選)如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線拴住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，關(guān)于小球的受力情況，下列說(shuō)法正確的是(　　)
小球受到重力、細(xì)線的拉力和向心力三個(gè)力
向心力是細(xì)線對(duì)小球的拉力和小球所受重力的合力
向心力的大小等于細(xì)線對(duì)小球拉力的水平分力
向心力的大小等于mgsin θ
10.(多選)如圖所示，一對(duì)雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員，手拉著手繞他們連線上某一點(diǎn)在冰面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知男女運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量之比為3∶2，兩人重心間距為L(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力之比為1∶1
女運(yùn)動(dòng)員以男運(yùn)動(dòng)員所站位置為圓心轉(zhuǎn)動(dòng)
男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之比為2∶3
男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度之比為2∶3
11.(14分)如圖所示為圓盤餐桌的簡(jiǎn)化示意圖，圓盤在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，質(zhì)量為m杯子(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，杯子到轉(zhuǎn)軸距離為R，求杯子：
(1)(7分)線速度v的大小；
(2)(7分)所受摩擦力f的大小。
培優(yōu)加強(qiáng)練
12.(8分)如圖甲是“探究向心力大小F與質(zhì)量m、半徑r、角速度ω的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，改變電動(dòng)機(jī)的電壓可以改變轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速：質(zhì)量為m的金屬塊放在轉(zhuǎn)臺(tái)上隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，金屬塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離為r，用一輕質(zhì)細(xì)線繞過(guò)固定在轉(zhuǎn)臺(tái)中心的光滑小滑輪與力傳感器連接，可直接測(cè)量向心力的大小F；轉(zhuǎn)臺(tái)一端下方固定擋光寬度為d的擋光桿，擋光桿經(jīng)過(guò)光電門時(shí)，系統(tǒng)將自動(dòng)記錄其擋光時(shí)間。金屬塊與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的摩擦力忽略不計(jì)。
(1)某同學(xué)測(cè)出擋光桿到轉(zhuǎn)軸的水平距離為R，轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)擋光桿經(jīng)過(guò)光電門時(shí)的擋光時(shí)間為Δt，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度ω的表達(dá)式為_(kāi)_______(用題目中所給物理量的字母表示)。
(2)該同學(xué)為了探究向心力大小F與角速度ω的關(guān)系，需要控制________和________兩個(gè)量保持不變；多次改變轉(zhuǎn)速后，記錄了一系列力與對(duì)應(yīng)角速度的數(shù)據(jù)，作出F－ω2圖像如圖乙所示，若已知金屬塊質(zhì)量m＝0.45 kg，則金屬塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離r＝________ m(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。
第1課時(shí)　向心力　探究向心力大小的表達(dá)式
1.D　[在蕩秋千的過(guò)程中，人和座椅整體受重力、繩子的拉力和空氣阻力作用，向心力是效果力，不是整體所受的力，故D正確。]
2.A　[小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由繩的拉力提供，方向沿繩指向圓心，故A正確。]
3.C　[快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提供向心力，快艇受重力，以及水對(duì)快艇的作用力，受力分析如圖所示，所以水對(duì)快艇的作用力可能為F3，故C正確。]
4.(1)A、C　(2)①④　(3)3∶1
解析　(1)需要控制兩小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，故應(yīng)選擇到轉(zhuǎn)軸距離都為R的A、C兩處。
(2)兩個(gè)變速塔輪靠皮帶傳送，即皮帶套在的塔輪上線速度相同，若控制角速度相同，則兩塔輪的半徑相同，故應(yīng)將皮帶套在①④塔輪上。
(3)由題意可得，兩球轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑和角速度相同，即兩個(gè)小球向心力之比即為兩個(gè)小球質(zhì)量之比，故為3∶1。
5.(1)　(2)　角速度的平方　(3)滑塊與水平桿之間有摩擦力
解析　(1)滑塊的角速度為ω＝＝。
(2)根據(jù)F＝mlω2＝·可知，為探究向心力大小與角速度的關(guān)系，得到多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，應(yīng)作出F與的關(guān)系圖像；若作出圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線，表明此實(shí)驗(yàn)過(guò)程中向心力與角速度的平方成正比。
(3)若作出圖像如題圖乙所示，圖線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的原因是滑塊與水平桿之間有摩擦力。
6.D　[根據(jù)向心力公式可得F向＝m＝ N＝32 N，故D正確。]
7.D　[根據(jù)F向＝m，v＝，聯(lián)立可得F向＝m＝，故D正確。]
8.C　[根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式F＝mrω2，兩個(gè)物體向心力之比為F甲∶F乙＝4∶9，故C正確。]
9.BC　[對(duì)小球受力分析可知，小球受到重力、細(xì)線的拉力兩個(gè)力，這兩個(gè)力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，如圖所示，故A錯(cuò)誤，B、C正確；根據(jù)受力分析可知向心力F＝mgtan θ，故D錯(cuò)誤。]
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10.AD　[男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)為同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，因此角速度之比為1∶1，C錯(cuò)誤；由兩運(yùn)動(dòng)員的拉力提供向心力，大小相等，則有男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力之比為1∶1，A正確；男女運(yùn)動(dòng)員以相同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，由向心力公式有m男r男ω2＝m女r女ω2，則由男女運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為r男∶r女＝m女∶m男＝2∶3，即圓心在兩人手的連線上，B錯(cuò)誤；由線速度與角速度的關(guān)系公式v＝rω，可知男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度之比為v男∶v女＝r男∶r女＝2∶3，D正確。]
11.(1)Rω　(2)mRω2
解析　(1)因杯子轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為R，線速度v＝Rω。
(2)根據(jù)向心力公式F＝mRω2
杯子的靜摩擦力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有
f＝mRω2。
12.(1)ω＝　(2)金屬塊的質(zhì)量m　金屬塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離r　0.20
解析　(1)擋光桿繞轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的線速度v＝，根據(jù)v＝Rω知轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度ω＝。
(2)該同學(xué)為了探究向心力大小F與角速度ω的關(guān)系，需要控制金屬塊的質(zhì)量m和金屬塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離r兩個(gè)量保持不變；根據(jù)F＝mrω2，結(jié)合圖像可得mr＝k＝＝0.09，若已知金屬塊質(zhì)量m＝0.45 kg，則金屬塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離r＝0.20 m。第2節(jié)　科學(xué)探究：向心力
第1課時(shí)　向心力　探究向心力大小的表達(dá)式
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解向心力的概念，知道向心力是根據(jù)力的作用效果命名的。2.通過(guò)實(shí)驗(yàn)，探究并了解勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力大小與半徑、線速度、角速度、質(zhì)量的關(guān)系。
知識(shí)點(diǎn)一　向心力的理解
取一根細(xì)繩，一端系一小球，另一端固定在一枚圖釘上。將圖釘釘于水平光滑木板上，如圖所示。
(1)用手指沿小球與圖釘連線的垂直方向輕輕彈擊小球，在細(xì)繩未伸直前，小球做什么運(yùn)動(dòng)？
(2)使小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)繩伸直，用手指彈擊小球，方向同上，加大彈擊力量，小球做什么運(yùn)動(dòng)？
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.定義
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體一定受到指向________的合外力的作用，這個(gè)力稱為向心力。
2.方向
始終指向________，總是與運(yùn)動(dòng)方向________。
3.作用效果
向心力只改變速度的________，不改變速度的________。
4.向心力的性質(zhì)
向心力是效果力，不是具體某個(gè)性質(zhì)的力，在受力分析時(shí)，不能多出一個(gè)向心力。
5.來(lái)源
向心力可能是________、________或________，也可能是某幾個(gè)力的____________或某一個(gè)力的分力。
例1 (多選)關(guān)于向心力，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.物體由于做圓周運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生向心力
B.向心力不改變做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度大小
C.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心力是恒定的
D.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受各力的合力即為向心力
例2 (新教材魯科版P67“圖3－14”改編)如圖，將細(xì)線穿過(guò)一根內(nèi)壁光滑平整的豎直空心管，在細(xì)線一端拴一個(gè)小螺母，另一端掛一個(gè)籃球，搖動(dòng)空心管使螺母在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)螺母的轉(zhuǎn)速達(dá)到一定值時(shí)，籃球就會(huì)懸停空中處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)螺母(　　)
A.受到重力、繩子的拉力和向心力
B.受到的重力和繩子的拉力是一對(duì)平衡力
C.做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由籃球的重力提供
D.做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和繩子拉力的合力提供
知識(shí)點(diǎn)二　探究影響向心力大小的因素
1.定性探究閱讀課本：隨著做圓周運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量變大、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變大、角速度變大，能拉起的籃球數(shù)量也變多。說(shuō)明向心力與哪些因素有關(guān)？
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2.用向心力演示器定量探究
(1)實(shí)驗(yàn)器材：向心力演示器、小球等。
(2)實(shí)驗(yàn)原理與設(shè)計(jì)
如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，可使塔輪、長(zhǎng)槽和短槽勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，槽內(nèi)的小球也就隨之做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。擋板對(duì)小球的作用力提供了小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。同時(shí)，小球擠壓擋板的力使擋板另一端壓縮測(cè)力套筒的彈簧，壓縮量可從標(biāo)尺上讀出，該讀數(shù)即顯示了向心力的大小。
(3)實(shí)驗(yàn)步驟
①把兩個(gè)質(zhì)量不同的小球分別放在長(zhǎng)槽和短槽上，調(diào)整塔輪上的皮帶和小球位置，使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑和角速度都相同。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，觀察向心力的大小與質(zhì)量的關(guān)系。
②換兩個(gè)質(zhì)量相同的小球，使兩球的角速度相同。再增大長(zhǎng)槽上小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑不同。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，觀察向心力的大小與半徑的關(guān)系。
③兩個(gè)質(zhì)量相同的小球，使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相同，觀察向心力的大小與角速度的關(guān)系。
數(shù)據(jù)分析
m1∶m2 r1∶r2 ω1∶ω2 F1∶F2 實(shí)驗(yàn)結(jié)論
實(shí)驗(yàn)一 1∶2 1∶1 1∶1 1∶2 F∝m
實(shí)驗(yàn)二 1∶1 2∶1 1∶1 2∶1 F∝r
實(shí)驗(yàn)三 1∶1 1∶1 1∶2 1∶4 F∝ω2
(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)論：向心力的大小與質(zhì)量、半徑和角速度平方成正比。
【思考】
在探究影響向心力大小的因素實(shí)驗(yàn)中，采用了什么探究方法？
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例3 某實(shí)驗(yàn)小組利用如圖所示的裝置進(jìn)行“探究向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可使塔輪、長(zhǎng)槽和短槽隨之勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。塔輪自上而下有三層，每層左、右半徑比分別是1∶1、2∶1和3∶1。左、右塔輪通過(guò)皮帶連接，并可通過(guò)改變皮帶所處層來(lái)改變左、右塔輪的角速度之比。小球在擋板A、B、C處做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑之比為1∶2∶1，兩個(gè)小球隨塔輪做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小關(guān)系可由標(biāo)尺露出的等分格的格數(shù)判斷。
(1)本實(shí)驗(yàn)中用到的方法主要是________。
A.理想實(shí)驗(yàn)法 B.等效替代法
C.微小量放大法 D.控制變量法
(2)探究向心力F與半徑r的關(guān)系時(shí)，應(yīng)將質(zhì)量相同的小球分別放在擋板C和擋板B處，將傳動(dòng)皮帶套在兩塔輪半徑________(選填“相同”或“不同”)的輪盤上。
(3)如圖所示，兩質(zhì)量相等的鋼球分別放在擋板A和C處。先將皮帶連接在左、右半徑之比為2∶1的塔輪上，實(shí)驗(yàn)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，得到左、右標(biāo)尺露出的等分格數(shù)之比為1∶4；再將皮帶連接在左、右半徑之比為3∶1的塔輪上，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，此時(shí)左、右兩邊塔輪的角速度之比為_(kāi)_______，得到左、右標(biāo)尺露出的等分格數(shù)之比為1∶9。實(shí)驗(yàn)表明做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑一定時(shí)，向心力的大小與________(選填“角速度”或“角速度的平方”)成正比。
知識(shí)點(diǎn)三　向心力公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用
1.向心力公式：F＝________或F＝________。
2.若用周期和轉(zhuǎn)速表示，向心力公式還可以寫為F＝________＝________。
【思考】
如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上有一個(gè)相對(duì)圓盤靜止的物體。
(1)物體需要的向心力由什么力提供？物體所受摩擦力沿什么方向？
(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變大后，物體仍與轉(zhuǎn)盤保持相對(duì)靜止，物體受到的摩擦力大小怎樣變化？
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例4 (2024·福建寧德高一期末)如圖所示，一半徑r＝0.2 m的甩干桶內(nèi)有一質(zhì)量m＝0.5 kg的物體，物體貼著內(nèi)壁跟著圓筒以角速度ω＝20 rad/s繞豎直中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物體的運(yùn)動(dòng)周期和線速度大小；
(2)桶壁對(duì)物體支持力的大小。
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隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
1.(向心力的理解)對(duì)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的向心力說(shuō)法正確的是(　　)
A.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個(gè)恒力
B.因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小
C.向心力一定是物體所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不變的
2.(向心力的分析)游樂(lè)場(chǎng)內(nèi)旋轉(zhuǎn)飛椅的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為如圖所示的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列關(guān)于飛椅的受力分析正確的是(　　)
A.飛椅受到重力、懸繩拉力和向心力的作用
B.飛椅只受向心力作用
C.飛椅在運(yùn)動(dòng)中合外力不變
D.飛椅所受的重力和懸繩拉力的合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
3.(向心力公式的應(yīng)用)如圖所示，質(zhì)量m＝1 kg的小物塊在水平轉(zhuǎn)盤上，隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知軌道半徑R＝1 m，轉(zhuǎn)盤角速度ω＝2 rad/s。則小物塊所需向心力大小為(　　)
A.3 N B.4 N
C.5 N D.6 N
第1課時(shí)　向心力　探究向心力大小的表達(dá)式
知識(shí)點(diǎn)一
導(dǎo)學(xué)　提示　(1)細(xì)繩未伸直前，小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
(2)細(xì)繩伸直后，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
知識(shí)梳理
1.圓心　2.圓心　垂直　3.方向　大小　5.彈力　重力　摩擦力　合力
例1 BD　[受到的力提供向心力，物體才做圓周運(yùn)動(dòng)，而不是由于物體做圓周運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生向心力，故A錯(cuò)誤；向心力總是與速度方向垂直，不能改變速度的大小，但能改變速度的方向，故B正確；向心力始終指向圓心，方向時(shí)刻在改變，故C錯(cuò)誤；向心力是以作用效果命名的力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心力是其所受各力的合力，故D正確。]
例2 D　[螺母受到重力、繩子的拉力，故A錯(cuò)誤；螺母受到重力和繩子的拉力的合力提供向心力，不是平衡力，故B錯(cuò)誤；螺母做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和繩子拉力的合力提供，故C錯(cuò)誤，D正確。]
知識(shí)點(diǎn)二
導(dǎo)學(xué)
1.提示　向心力與做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)角速度有關(guān)，且m變大，r變大，ω變大，向心力均變大。
[思考]　提示　控制變量法。
例3 (1)D　(2)相同　(3)1∶3　角速度的平方
解析　(1)本實(shí)驗(yàn)通過(guò)控制質(zhì)量m、角速度ω和半徑r中兩個(gè)物理量相同，探究向心力F與另外一個(gè)物理量之間的關(guān)系，采用的科學(xué)方法是控制變量法，故D正確。
(2)探究向心力F與半徑r的關(guān)系時(shí)，需要控制小球質(zhì)量m和角速度ω相同，而塔輪邊緣線速度相同，所以為了使角速度ω相同，根據(jù)v＝Rω可知應(yīng)將傳動(dòng)皮帶套在兩塔輪半徑相同的輪盤上。
(3)先將皮帶連接在左、右半徑之比為2∶1的塔輪上，此時(shí)左、右兩邊塔輪的角速度之比，即A、C處鋼球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為＝＝，并且＝＝eq \f(ω,ω)；再將皮帶連接在左、右半徑之比為3∶1的塔輪上，此時(shí)左、右兩邊塔輪的角速度之比，即A、C處鋼球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為＝＝，并且＝＝，以上數(shù)據(jù)表明做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑一定時(shí)，向心力的大小與角速度的平方成正比。
知識(shí)點(diǎn)三
1.mrω2　m　2.mr　m(2πn)2r
[思考]　提示　(1)物體隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受重力、彈力、靜摩擦力三個(gè)力作用，其中靜摩擦力指向圓心提供向心力。
(2)當(dāng)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變大后，由F＝mrω2知，需要的向心力增大，靜摩擦力提供向心力，所以靜摩擦力也增大。
例4 (1) s　4 m/s　(2)40 N
解析　(1)根據(jù)T＝可得，物體的運(yùn)動(dòng)周期
T＝ s＝ s
根據(jù)v＝rω可得，物體的線速度大小
v＝0.2×20 m/s＝4 m/s。
(2)對(duì)物體受力分析可知，筒壁對(duì)物體的支持力提供向心力，則N＝mrω2＝0.5×0.2×202 N＝40 N，即桶壁對(duì)物體支持力的大小為40 N。
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
1.B　[做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，由于方向時(shí)刻發(fā)生變化，所以向心力是一個(gè)變力，故A錯(cuò)誤；因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小，故B正確；做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的合外力的一部分提供向心力，故C錯(cuò)誤；向心力和向心加速度的方向總是指向圓心，方向時(shí)刻發(fā)生變化，故D錯(cuò)誤。]
2.D　[向心力為效果力，是由其他的力提供的，而飛椅在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中實(shí)際只受到重力與懸繩的拉力這兩個(gè)力的作用，而向心力是由這兩個(gè)力的合力提供的，故A、B錯(cuò)誤，D正確；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，所受合外力大小不變，方向始終指向圓心，即方向始終在發(fā)生變化，因此飛椅在運(yùn)動(dòng)中合外力始終在變，故C錯(cuò)誤。]
3.B　[小物塊隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由向心力公式可得小物塊所需向心力大小為F＝mRω2＝1×1×22 N＝4 N，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確。](共51張PPT)
第2節(jié)　科學(xué)探究：向心力
第1課時(shí)　向心力　探究向心力大小的表達(dá)式
第3章　圓周運(yùn)動(dòng)
1.了解向心力的概念，知道向心力是根據(jù)力的作用效果命名的。
2.通過(guò)實(shí)驗(yàn)，探究并了解勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力大小與半徑、線速度、角速度、質(zhì)量的關(guān)系。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
知識(shí)點(diǎn)
01
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
知識(shí)點(diǎn)
1
知識(shí)點(diǎn)二　探究影響向心力大小的因素
知識(shí)點(diǎn)一　向心力的理解
知識(shí)點(diǎn)三　向心力公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)一　向心力的理解
取一根細(xì)繩，一端系一小球，另一端固定在一枚圖釘上。將圖釘釘于水平光滑木板上，如圖所示。
(1)用手指沿小球與圖釘連線的垂直方向輕輕彈擊小球，在細(xì)繩未伸直前，小球做什么運(yùn)動(dòng)？
(2)使小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)繩伸直，用手指彈擊小球，方向同上，加大彈擊力量，小球做什么運(yùn)動(dòng)？
提示　(1)細(xì)繩未伸直前，小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
(2)細(xì)繩伸直后，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
1.定義
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體一定受到指向______的合外力的作用，這個(gè)力稱為向心力。
2.方向
始終指向______，總是與運(yùn)動(dòng)方向______。
3.作用效果
向心力只改變速度的______，不改變速度的______。
圓心
圓心
垂直
方向
大小
4.向心力的性質(zhì)
向心力是效果力，不是具體某個(gè)性質(zhì)的力，在受力分析時(shí)，不能多出一個(gè)向心力。
5.來(lái)源
向心力可能是______、______或________，也可能是某幾個(gè)力的______或某一個(gè)力的分力。
彈力
重力
摩擦力
合力
例1 (多選)關(guān)于向心力，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.物體由于做圓周運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生向心力
B.向心力不改變做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度大小
C.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心力是恒定的
D.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受各力的合力即為向心力
BD
解析　受到的力提供向心力，物體才做圓周運(yùn)動(dòng)，而不是由于物體做圓周運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生向心力，故A錯(cuò)誤；向心力總是與速度方向垂直，不能改變速度的大小，但能改變速度的方向，故B正確；向心力始終指向圓心，方向時(shí)刻在改變，故C錯(cuò)誤；向心力是以作用效果命名的力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心力是其所受各力的合力，故D正確。
D
例2 (新教材魯科版P67“圖3－14”改編)如圖，將細(xì)線穿過(guò)一根內(nèi)壁光滑平整的豎直空心管，在細(xì)線一端拴一個(gè)小螺母，另一端掛一個(gè)籃球，搖動(dòng)空心管使螺母在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)螺母的轉(zhuǎn)速達(dá)到一定值時(shí)，籃球就會(huì)懸停空中處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)螺母(　　)
A.受到重力、繩子的拉力和向心力
B.受到的重力和繩子的拉力是一對(duì)平衡力
C.做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由籃球的重力提供
D.做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和繩子拉力的合力提供
解析　螺母受到重力、繩子的拉力，故A錯(cuò)誤；螺母受到重力和繩子的拉力的合力提供向心力，不是平衡力，故B錯(cuò)誤；螺母做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和繩子拉力的合力提供，故C錯(cuò)誤，D正確。
知識(shí)點(diǎn)二　探究影響向心力大小的因素
1.定性探究
閱讀課本：隨著做圓周運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量變大、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變大、角速度變大，能拉起的籃球數(shù)量也變多。說(shuō)明向心力與哪些因素有關(guān)？
提示　向心力與做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)角速度有關(guān)，且m變大，r變大，ω變大，向心力均變大。
2.用向心力演示器定量探究
(1)實(shí)驗(yàn)器材：向心力演示器、小球等。
(2)實(shí)驗(yàn)原理與設(shè)計(jì)
如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，可使塔輪、長(zhǎng)槽和短槽勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，槽內(nèi)的小球也就隨之做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。擋板對(duì)小球的作用力提供了小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。同時(shí)，小球擠壓擋板的力使擋板另一端壓縮測(cè)力套筒的彈簧，壓縮量可從標(biāo)尺上讀出，該讀數(shù)即顯示了向心力的大小。
(3)實(shí)驗(yàn)步驟
①把兩個(gè)質(zhì)量不同的小球分別放在長(zhǎng)槽和短槽上，調(diào)整塔輪上的皮帶和小球位置，使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑和角速度都相同。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，觀察向心力的大小與質(zhì)量的關(guān)系。
②換兩個(gè)質(zhì)量相同的小球，使兩球的角速度相同。再增大長(zhǎng)槽上小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑不同。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，觀察向心力的大小與半徑的關(guān)系。
③兩個(gè)質(zhì)量相同的小球，使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相同，觀察向心力的大小與角速度的關(guān)系。
數(shù)據(jù)分析
m1∶m2 r1∶r2 ω1∶ω2 F1∶F2 實(shí)驗(yàn)結(jié)論
實(shí)驗(yàn)一 1∶2 1∶1 1∶1 1∶2 F∝m
實(shí)驗(yàn)二 1∶1 2∶1 1∶1 2∶1 F∝r
實(shí)驗(yàn)三 1∶1 1∶1 1∶2 1∶4 F∝ω2
(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)論：向心力的大小與質(zhì)量、半徑和角速度平方成正比。
【思考】
在探究影響向心力大小的因素實(shí)驗(yàn)中，采用了什么探究方法？
提示　控制變量法。
例3 某實(shí)驗(yàn)小組利用如圖所示的裝置進(jìn)行“探究向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可使塔輪、長(zhǎng)槽和短槽隨之勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。塔輪自上而下有三層，每層左、右半徑比分別是1∶1、2∶1和3∶1。左、右塔輪通過(guò)皮帶連接，并可通過(guò)改變皮帶所處層來(lái)改變左、右塔輪的角速度之比。小球在擋板A、B、C處做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑之比為1∶2∶1，兩個(gè)小球隨塔輪做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小關(guān)系可由標(biāo)尺露出的等分格的格數(shù)判斷。
(1)本實(shí)驗(yàn)中用到的方法主要是________。
A.理想實(shí)驗(yàn)法 B.等效替代法
C.微小量放大法 D.控制變量法
(2)探究向心力F與半徑r的關(guān)系時(shí)，應(yīng)將質(zhì)量相同的小球分別放在擋板C和擋板B處，將傳動(dòng)皮帶套在兩塔輪半徑________(選填“相同”或“不同”)的輪盤上。
(3)如圖所示，兩質(zhì)量相等的鋼球分別放在擋板A和C處。先將皮帶連接在左、右半徑之比為2∶1的塔輪上，實(shí)驗(yàn)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，得到左、右標(biāo)尺露出的等分格數(shù)之比為1∶4；再將皮帶連接在左、右半徑之比為3∶1的塔輪上，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，此時(shí)左、右兩邊塔輪的角速度之比為_(kāi)_______，得到左、右標(biāo)尺露出的等分格數(shù)之比為1∶9。實(shí)驗(yàn)表明做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑一定時(shí)，向心力的大小與________(選填“角速度”或“角速度的平方”)成正比。
答案　(1)D　(2)相同　(3)1∶3　角速度的平方
解析　(1)本實(shí)驗(yàn)通過(guò)控制質(zhì)量m、角速度ω和半徑r中兩個(gè)物理量相同，探究向心力F與另外一個(gè)物理量之間的關(guān)系，采用的科學(xué)方法是控制變量法，故D正確。
(2)探究向心力F與半徑r的關(guān)系時(shí)，需要控制小球質(zhì)量m和角速度ω相同，而塔輪邊緣線速度相同，所以為了使角速度ω相同，根據(jù)v＝Rω可知應(yīng)將傳動(dòng)皮帶套在兩塔輪半徑相同的輪盤上。
知識(shí)點(diǎn)三　向心力公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用
mrω2
m(2πn)2r
【思考】
如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上有一個(gè)相對(duì)圓盤靜止的物體。
(1)物體需要的向心力由什么力提供？物體所受摩擦力沿什么方向？
(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變大后，物體仍與轉(zhuǎn)盤保持相對(duì)靜止，物體受到的摩擦力大小怎樣變化？
提示　(1)物體隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受重力、彈力、靜摩擦力三個(gè)力作用，其中靜摩擦力指向圓心提供向心力。
(2)當(dāng)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變大后，由F＝mrω2知，需要的向心力增大，靜摩擦力提供向心力，所以靜摩擦力也增大。
例4 (2024·福建寧德高一期末)如圖所示，一半徑r＝0.2 m的甩干桶內(nèi)有一質(zhì)量m＝0.5 kg的物體，物體貼著內(nèi)壁跟著圓筒以角速度ω＝20 rad/s繞豎直中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物體的運(yùn)動(dòng)周期和線速度大小；
(2)桶壁對(duì)物體支持力的大小。
根據(jù)v＝rω可得，物體的線速度大小v＝0.2×20 m/s＝4 m/s。
(2)對(duì)物體受力分析可知，筒壁對(duì)物體的支持力提供向心力，則N＝mrω2＝0.5×0.2×202 N＝40 N，即桶壁對(duì)物體支持力的大小為40 N。
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
2
B
1.(向心力的理解)對(duì)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的向心力說(shuō)法正確的是(　　)
A.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個(gè)恒力
B.因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小
C.向心力一定是物體所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不變的
解析　做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，由于方向時(shí)刻發(fā)生變化，所以向心力是一個(gè)變力，故A錯(cuò)誤；因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小，故B正確；做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的合外力的一部分提供向心力，故C錯(cuò)誤；向心力和向心加速度的方向總是指向圓心，方向時(shí)刻發(fā)生變化，故D錯(cuò)誤。
D
2.(向心力的分析)游樂(lè)場(chǎng)內(nèi)旋轉(zhuǎn)飛椅的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為如圖所示的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列關(guān)于飛椅的受力分析正確的是(　　)
A.飛椅受到重力、懸繩拉力和向心力的作用
B.飛椅只受向心力作用
C.飛椅在運(yùn)動(dòng)中合外力不變
D.飛椅所受的重力和懸繩拉力的合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
解析　向心力為效果力，是由其他的力提供的，而飛椅在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中實(shí)際只受到重力與懸繩的拉力這兩個(gè)力的作用，而向心力是由這兩個(gè)力的合力提供的，故A、B錯(cuò)誤，D正確；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，所受合外力大小不變，方向始終指向圓心，即方向始終在發(fā)生變化，因此飛椅在運(yùn)動(dòng)中合外力始終在變，故C錯(cuò)誤。
B
3.(向心力公式的應(yīng)用)如圖所示，質(zhì)量m＝1 kg的小物塊在水平轉(zhuǎn)盤上，隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知軌道半徑R＝1 m，轉(zhuǎn)盤角速度ω＝2 rad/s。則小物塊所需向心力大小為(　　)
A.3 N B.4 N
C.5 N D.6 N
解析　小物塊隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由向心力公式可得小物塊所需向心力大小為F＝mRω2＝1×1×22 N＝4 N，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確。
課后鞏固訓(xùn)練
3
D
題組一　向心力的理解
1.(2024·遼寧葫蘆島高一期末)“蕩秋千”是兒童時(shí)期比較喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目。在蕩秋千的過(guò)程中，人和座椅整體一定不受(　　)
A.重力 B.拉力
C.空氣阻力 D.向心力
解析　在蕩秋千的過(guò)程中，人和座椅整體受重力、繩子的拉力和空氣阻力作用,向心力是效果力，不是整體所受的力，故D正確。
對(duì)點(diǎn)題組練
A
2.如圖，用一根結(jié)實(shí)的細(xì)繩拴住一個(gè)小物體，在足夠大的光滑水平桌面上掄動(dòng)細(xì)繩，使小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則作用在小物體上的拉力方向(　　)
A.沿繩指向圓心
B.沿繩背向圓心
C.垂直于繩、與運(yùn)動(dòng)方向相同
D.垂直于繩、與運(yùn)動(dòng)方向相反
解析　小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由繩的拉力提供，方向沿繩指向圓心，故A正確。
C
3.快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則水對(duì)快艇的作用力方向可能是(　　)
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
解析　快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提供向心力，快艇受重力，以及水對(duì)快艇的作用力，受力分析如圖所示，所以水對(duì)快艇的作用力可能為F3，故C正確。
題組二　探究影響向心力大小的因素
4.如圖所示，向心力演示儀的擋板A、C到轉(zhuǎn)軸距離為R，擋板B到轉(zhuǎn)軸距離為2R，塔輪①④半徑相同，①②③半徑之比為1∶2∶3，④⑤⑥半徑之比為3∶2∶1。現(xiàn)通過(guò)控制變量法，用該裝置探究向心力大小與角速度、運(yùn)動(dòng)半徑，質(zhì)量的關(guān)系。
(1)當(dāng)質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)半徑一定時(shí)，探究向心力的大小與角速度的關(guān)系，將傳動(dòng)皮帶套在②④塔輪上，應(yīng)將質(zhì)量相同的小球分別放在擋板________處(選填“A”“B”或“C”中的兩個(gè))。
(2)當(dāng)質(zhì)量和角速度一定時(shí)，探究向心力的大小與運(yùn)動(dòng)半徑之間的關(guān)系，應(yīng)將皮帶套在________塔輪上(選填①②③④⑤⑥中的兩個(gè))。
(3)將大小相同的鐵球和橡膠球分別放置在A、C擋板處，傳動(dòng)皮帶套在①④兩個(gè)塔輪上，圖中標(biāo)尺上黑白相間的等分格顯示出兩個(gè)小球向心力大小的比值為3∶1，則鐵球與橡膠球的質(zhì)量之比為_(kāi)_______。
答案　(1)A、C　(2)①④　(3)3∶1
解析　(1)需要控制兩小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，故應(yīng)選擇到轉(zhuǎn)軸距離都為R的A、C兩處。
(2)兩個(gè)變速塔輪靠皮帶傳送，即皮帶套在的塔輪上線速度相同，若控制角速度相同，則兩塔輪的半徑相同，故應(yīng)將皮帶套在①④塔輪上。
(3)由題意可得，兩球轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑和角速度相同，即兩個(gè)小球向心力之比即為兩個(gè)小球質(zhì)量之比，故為3∶1。
5.為“探究向心力大小與角速度的關(guān)系”，某實(shí)驗(yàn)小組通過(guò)如圖甲所示的裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。滑塊套在水平桿上，可隨水平桿一起繞豎直桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，力傳感器通過(guò)細(xì)繩連接滑塊，可測(cè)繩上拉力大小。滑塊上固定一遮光片，寬度為d，光電門可以記錄遮光片通過(guò)的時(shí)間，測(cè)出滑塊中心到豎直桿的距離為l。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中細(xì)繩始終被拉直。
(1)滑塊隨桿轉(zhuǎn)動(dòng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，每經(jīng)過(guò)光電門一次。力傳感器和光電門就同時(shí)獲得一組拉力F和遮光時(shí)間t，則滑塊的角速度ω＝________(用t、l、d表示)。
題組三　向心力公式及其應(yīng)用
6.要保持一個(gè)質(zhì)量為2 kg的小球在半徑為1 m的圓周上以4 m/s的線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則需要提供的向心力為(　　)
A.1 N B.2 N C.4 N D.32 N
D
D
C
8.甲、乙兩物體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量之比為1∶2，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1∶2，角速度之比4∶3，則它們的向心力之比為(　　)
A.1∶4 B.2∶3 C.4∶9 D.9∶16
解析　根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式F＝mrω2，兩個(gè)物體向心力之比為F甲∶F乙＝4∶9，故C正確。
BC
9.(多選)如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線拴住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，關(guān)于小球的受力情況，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.小球受到重力、細(xì)線的拉力和向心力三個(gè)力
B.向心力是細(xì)線對(duì)小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于細(xì)線對(duì)小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于mgsin θ
綜合提升練
解析　對(duì)小球受力分析可知，小球受到重力、細(xì)線的拉力兩個(gè)力，這兩個(gè)力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，如圖所示，故A錯(cuò)誤，B、C正確；根據(jù)受力分析可知向心力F＝mgtan θ，故D錯(cuò)誤。
AD
10.(多選)如圖所示，一對(duì)雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員，手拉著手繞他們連線上某一點(diǎn)在冰面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知男女運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量之比為3∶2，兩人重心間距為L(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力之比為1∶1
B.女運(yùn)動(dòng)員以男運(yùn)動(dòng)員所站位置為圓心轉(zhuǎn)動(dòng)
C.男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之比為2∶3
D.男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度之比為2∶3
解析　男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)為同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，因此角速度之比為1∶1，C錯(cuò)誤；由兩運(yùn)動(dòng)員的拉力提供向心力，大小相等，則有男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力之比為1∶1，A正確；男女運(yùn)動(dòng)員以相同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，由向心力公式有m男r男ω2＝m女r女ω2，則由男女運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為r男∶r女＝m女∶m男＝2∶3，即圓心在兩人手的連線上，B錯(cuò)誤；由線速度與角速度的關(guān)系公式v＝rω，可知男女運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度之比為v男∶v女＝r男∶r女＝2∶3，D正確。
11.如圖所示為圓盤餐桌的簡(jiǎn)化示意圖，圓盤在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，質(zhì)量為m杯子(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，杯子到轉(zhuǎn)軸距離為R，求杯子：
(1)線速度v的大小；
(2)所受摩擦力f的大小。
答案　(1)Rω　(2)mRω2
解析　(1)因杯子轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為R，線速度v＝Rω。
(2)根據(jù)向心力公式F＝mRω2
杯子的靜摩擦力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有f＝mRω2。
12.如圖甲是“探究向心力大小F與質(zhì)量m、半徑r、角速度ω的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，改變電動(dòng)機(jī)的電壓可以改變轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速：質(zhì)量為m的金屬塊放在轉(zhuǎn)臺(tái)上隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，金屬塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離為r，用一輕質(zhì)細(xì)線繞過(guò)固定在轉(zhuǎn)臺(tái)中心的光滑小滑輪與力傳感器連接，可直接測(cè)量向心力的大小F；轉(zhuǎn)臺(tái)一端下方固定擋光寬度為d的擋光桿，擋光桿經(jīng)過(guò)光電門時(shí)，系統(tǒng)將自動(dòng)記錄其擋光時(shí)間。金屬塊與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的摩擦力忽略不計(jì)。
培優(yōu)加強(qiáng)練
(1)某同學(xué)測(cè)出擋光桿到轉(zhuǎn)軸的水平距離為R，轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)擋光桿經(jīng)過(guò)光電門時(shí)的擋光時(shí)間為Δt，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度ω的表達(dá)式為_(kāi)_______(用題目中所給物理量的字母表示)。
(2)該同學(xué)為了探究向心力大小F與角速度ω的關(guān)系，需要控制________和________兩個(gè)量保持不變；多次改變轉(zhuǎn)速后，記錄了一系列力與對(duì)應(yīng)角速度的數(shù)據(jù)，作出F－ω2圖像如圖乙所示，若已知金屬塊質(zhì)量m＝0.45 kg，則金屬塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離r＝________ m(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。第2節(jié)　第2課時(shí)　向心加速度
(分值：100分)
選擇題1～10題，每小題8分，共80分。
對(duì)點(diǎn)題組練
題組一　向心加速度的方向和大小
1.光滑的水平面上固定著一個(gè)螺旋形光滑水平軌道，俯視如圖所示。一小球以一定速度沿軌道切線方向進(jìn)入軌道，運(yùn)動(dòng)到螺旋形中央，下列關(guān)于該小球運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法正確的是(　　)
線速度增大，角速度不變
線速度不變，角速度減小
線速度減小，向心加速度增大
角速度增大，向心加速度增大
2.游樂(lè)園有一種游戲設(shè)施叫做“魔盤”，當(dāng)質(zhì)量相同的兩個(gè)小朋友坐在“魔盤”上隨“魔盤”一起在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，他們距軸心的距離不一樣，簡(jiǎn)化模型如圖所示。兩個(gè)小朋友相比具有(　　)
相同的線速度 相同的加速度
相同的轉(zhuǎn)動(dòng)周期 相同的摩擦力
3.甲、乙兩個(gè)物體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為9∶4，轉(zhuǎn)動(dòng)周期之比為3∶4，則它們的向心加速度大小之比為(　　)
1∶4 4∶1
4∶9 9∶4
4.如圖，某校活動(dòng)中，甲、乙兩名老師進(jìn)行扳手腕比賽，最終乙獲得勝利。設(shè)乙的手肘處為O點(diǎn)，掌心處為A點(diǎn)，O、A之間的距離為30 cm。若在扳手腕過(guò)程中手肘O點(diǎn)不動(dòng)，手臂在2 s內(nèi)繞O點(diǎn)在同一平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)90°，π2＝10，則在此過(guò)程中(　　)
掌心處于平衡狀態(tài)
掌心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為45 rad/s
掌心轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小為 m/s
掌心轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度大小約為 m/s2
題組二　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析
5.(2023·全國(guó)甲卷，17)一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若其所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，運(yùn)動(dòng)周期與軌道半徑成反比，則n等于(　　)
1 2
3 4
6.如圖所示，質(zhì)量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒的豎直內(nèi)壁上，隨圓筒一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)系式正確的是(　　)
線速度vA＝vB
角速度ωA>ωB
它們受到合力FA合>FB合
它們受到的摩擦力fA>fB
7.質(zhì)量為m的飛機(jī)以恒定速率v在空中水平盤旋，如圖所示，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，重力加速度為g，則此時(shí)空氣對(duì)飛機(jī)的作用力大小為(　　)
m mg
m m
8.如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。則轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為(　　)
9.一質(zhì)量為m的物體，沿半徑為R的半圓形軌道滑行，如圖所示，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度為v，物體與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則它在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力大小為(　　)
μmg
μm(g＋) μm(g－)
綜合提升練
10.甲圖是兩個(gè)圓錐擺，兩擺球運(yùn)動(dòng)軌道在同一個(gè)水平面內(nèi)，乙圖是完全相同的兩個(gè)小球在內(nèi)壁光滑的倒圓錐內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是(　　)
甲圖中兩小球的運(yùn)動(dòng)周期相等
甲圖中兩小球的線速度大小相等
乙圖中兩個(gè)小球的線速度大小相等
乙圖中兩個(gè)小球的角速度大小相等
11.(10分)運(yùn)動(dòng)員趴在雪橇上從山坡沿截面為圓弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圓軌道上。雪橇和運(yùn)動(dòng)員(可視為質(zhì)點(diǎn))的總質(zhì)量為m，以速度v在大圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圓弧型冰道截面半徑為R，雪橇離圓弧型冰道最低點(diǎn)的豎直高度為h＝0.4R。忽略摩擦和空氣阻力，重力加速度為g。其中R未知，求：
(1)(3分)圓弧型冰道對(duì)雪橇的支持力；
(2)(3分)雪橇的向心加速度；
(3)(4分)大圓軌道的半徑r。
培優(yōu)加強(qiáng)練
12.(10分)圖甲所示是一種叫“旋轉(zhuǎn)飛椅”的游樂(lè)項(xiàng)目，將其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為如圖乙所示的模型。長(zhǎng)L＝3 m的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑r＝3 m的水平轉(zhuǎn)盤邊緣。轉(zhuǎn)盤可繞穿過(guò)其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)，鋼繩沿豎直方向自由下垂；轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角θ＝37°。將游客和座椅看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量m＝50 kg。不計(jì)鋼繩重力和空氣阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)(3分)當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的大小；
(2)(3分)當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的大小；
(3)(4分)游客由靜止到隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，鋼繩對(duì)游客和座椅做的功W。
第2課時(shí)　向心加速度
1.D　[水平軌道光滑，所以小球的線速度大小不變，但是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變小，根據(jù)ω＝可知角速度增大，根據(jù)a＝可知向心加速度變大，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。]
2.C　[小朋友隨“魔盤”一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則他們的角速度相等，又因?yàn)榻撬俣取⒕€速度以及周期滿足v＝rω，T＝，且兩個(gè)小朋友運(yùn)動(dòng)的半徑不同，所以他們的線速度不同，周期相同，故A錯(cuò)誤，C正確；由a＝rω2知，兩個(gè)小朋友的角速度相同，運(yùn)動(dòng)半徑不同，所以他們的向心加速度不同，故B錯(cuò)誤；向心力由摩擦力提供，且兩個(gè)小朋友的質(zhì)量相同，則根據(jù)F＝ma知兩個(gè)小朋友受到的摩擦力不同，故D錯(cuò)誤。]
3.B　[設(shè)甲、乙兩個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑分別為r1、r2，周期分別為T1、T2，由a＝r得＝·＝×＝，故B正確。]
4.D　[掌心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力不為零，掌心處于非平衡狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；掌心在2 s內(nèi)繞O點(diǎn)在同一平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為，ω＝，代入數(shù)據(jù)得ω＝ rad/s，故B錯(cuò)誤；根據(jù)線速度和角速度的關(guān)系v＝rω，代入數(shù)據(jù)得v＝ m/s，故C錯(cuò)誤；根據(jù)向心加速度和角速度的關(guān)系a＝rω2，代入數(shù)據(jù)得a＝ m/s2，故D正確。]
5.C　[設(shè)該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)周期為T，軌道半徑為r，所受合力為F，由題意知T＝，k為比例系數(shù)，將上式代入F＝mr得F＝mr3，即質(zhì)點(diǎn)所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，所以n＝3，故C正確。]
6.C　[A、B同軸運(yùn)動(dòng)，兩者角速度相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)v＝rω可知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由F合＝mrω2可知，選項(xiàng)C正確；在豎直方向，它們所受的靜摩擦力等于重力，由于二者質(zhì)量相等，重力相等，所以它們受到的靜摩擦力相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]
7.C　[對(duì)飛機(jī)受力分析，如圖所示。根據(jù)牛頓第二定律有F合＝m，由平行四邊形定則得空氣對(duì)飛機(jī)的作用力F＝eq \r(（mg）2＋F)＝m，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。]
8.D　[對(duì)物塊受力分析如圖所示，由牛頓第二定律有mgtan 60°＝mrω2，由幾何關(guān)系有r＝Rsin 60°，解得ω＝，A、B、C錯(cuò)誤，D正確。]
9.C　[在最低點(diǎn)，合力提供向心力，得N－mg＝m，則N＝mg＋m，由牛頓第三定律可知N＝N′，又由滑動(dòng)摩擦力公式有f＝μN(yùn)′＝μ(mg＋m)＝μm(g＋)，選項(xiàng)C正確。]
10.A　[設(shè)題圖甲中做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的其中一個(gè)小球?qū)?yīng)擺繩與豎直方向的夾角為θ，擺球與懸點(diǎn)的高度差為h，線速度大小為v，周期為T，根據(jù)牛頓第二定律有mgtan θ＝m＝mhtan θ，解得v＝tan θ，T＝2π，可知題圖甲中兩小球的線速度大小不相等，周期相等，A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)題圖乙中倒圓錐母線與豎直方向夾角為α，由牛頓第二定律可得＝m＝mrω′2，解得 v′＝，ω′＝，兩球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不同，故線速度、角速度大小均不同，C、D錯(cuò)誤。]
11.(1)mg　(2)g　(3)
解析　(1)雪橇和圓弧圓心O連線與豎直方向的夾角為α，則cos α＝＝，圓弧型冰道對(duì)雪橇的支持力N＝＝mg。
(2)由牛頓第二定律得mgtan α＝ma
解得a＝g。
(3)由向心加速度公式得a＝，解得r＝。
12.(1)7.5 m/s2　(2)6 m/s　(3)1 200 J
解析　
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(1)對(duì)游客和座椅整體受力分析如圖所示，可知mgtan θ＝ma，游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心加速度為
a＝gtan θ＝10× m/s2＝7.5 m/s2。
(2)根據(jù)幾何關(guān)系可知游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝r＋Lsin θ＝3 m＋3×0.6 m＝4.8 m
根據(jù)向心加速度公式有a＝
代入數(shù)據(jù)得游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的大小為v＝＝ m/s＝6 m/s。
(3)游客和座椅由靜止到隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有W－mgL(1－cos θ)＝mv2
解得W＝1 200 J。第2課時(shí)　向心加速度
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解向心加速度的概念，知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系。2.能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問(wèn)題。3.能掌握解決勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方法和步驟。
知識(shí)點(diǎn)一　向心加速度
如圖甲所示，地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(近似的)；如圖乙所示，光滑桌面上一個(gè)小球在細(xì)線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
(1)分析地球和小球的受力情況，說(shuō)明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)呢？
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到向心力的作用，那么它必然存在一個(gè)由________產(chǎn)生的加速度。這個(gè)加速度叫做________________。
2.方向：總是指向________，它就是速度的變化率。
3.物理意義：描述速度________變化的快慢。
4.說(shuō)明：勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的________時(shí)刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)，而是____________________。
5.向心加速度公式
(1)a＝＝________。
(2)由于v＝rω，所以向心加速度也可以寫成a＝________。
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以寫成a＝________＝________。
6.向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖所示)
7.向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，v為某位置的線速度，線速度大小變化時(shí)，向心加速度大小也發(fā)生變化。求向心加速度時(shí)，速度必須用該時(shí)刻或該位置的____________。
例1 兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.它們的線速度大小相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
B.它們的周期相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
C.它們的角速度相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
D.它們的轉(zhuǎn)速相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
　　　　
例2 (2024·吉林卷，2)“指尖轉(zhuǎn)球”是花式籃球表演中常見(jiàn)的技巧。如圖，當(dāng)籃球在指尖上繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球面上P、Q兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的(　　)
A.半徑相等
B.線速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
知識(shí)點(diǎn)二　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析
向心力的來(lái)源實(shí)例分析
實(shí)例分析 圖例 向心力來(lái)源
在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒內(nèi)壁上，有一物體隨圓筒一起轉(zhuǎn)動(dòng)而未發(fā)生滑動(dòng) 彈力提供向心力
用細(xì)繩拴住小球在光滑的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 繩的拉力(彈力)提供向心力
物體隨轉(zhuǎn)盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且物體相對(duì)于轉(zhuǎn)盤靜止 靜摩擦力提供向心力
用細(xì)繩拴住小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí) 拉力和重力的合力提供向心力
小球在細(xì)繩作用下，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí) 繩的拉力的水平分力(或拉力與重力的合力)提供向心力
例3 (新教材魯科版P67“圖3－13”改編)向心加速度由向心力產(chǎn)生。下面請(qǐng)分析解決涉及圓周運(yùn)動(dòng)的一些動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。在圖中，若水平圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω＝0.6 rad/s，質(zhì)量為m＝30 kg的小孩坐在距離軸心1 m處隨圓臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)。
(1)小孩的向心加速度為多大？
(2)小孩受到的靜摩擦力為多大？
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例4 如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為l的細(xì)線懸于固定點(diǎn)B，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線與豎直方向的夾角是θ，重力加速度為g。不計(jì)空氣阻力，求：
(1)細(xì)線對(duì)小球的拉力大小F；
(2)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T；
(3)若保持軌跡圓的圓心O到懸點(diǎn)B的距離h不變，改變繩長(zhǎng)l，則小球運(yùn)動(dòng)周期的變化情況。
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圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的分析思路
(1)明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。
(2)確定物體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面、圓心、半徑。
(3)找出向心力的來(lái)源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計(jì)算出沿半徑方向的合力F合。
(4)利用牛頓第二定律列方程F合＝mrω2＝m＝mr。
(5)解方程求出待求物理量。　　
例5 如圖所示，在光滑水平面上，輕彈簧的一端固定在豎直轉(zhuǎn)軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小球，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球以角速度ω繞豎直轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(k>mω2)。則小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小為(　　)
A.ω2L B.
C. D.
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
1.(向心加速度的理解)關(guān)于向心加速度，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.由a＝知，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度恒定
B.勻速圓周運(yùn)動(dòng)不屬于勻速運(yùn)動(dòng)
C.向心加速度能表示速度方向改變，也能表示速度大小改變
D.做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度方向時(shí)刻指向圓心
2.(向心加速度的大小)自行車靠一條鏈子將兩個(gè)齒輪連接起來(lái)，一輛自行車的齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖如圖所示，O1、O2是自行車的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)齒輪1和2的中心，A和B分別是齒輪1和齒輪2邊緣上一點(diǎn)，其中齒輪1上有一點(diǎn)C，C點(diǎn)到齒輪1中心O1的距離為齒輪1半徑的一半，則(　　)
A.A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度相同
B.B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度相等
C.B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度之比為4∶1
D.B點(diǎn)和C點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1
3.(圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球用長(zhǎng)度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn)，并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則它們的(　　)
A.角速度相同
B.線速度大小相同
C.向心加速度大小相同
D.受到的向心力大小相同
第2課時(shí)　向心加速度
知識(shí)點(diǎn)一
導(dǎo)學(xué)　提示　(1)地球只受到太陽(yáng)引力作用，方向指向太陽(yáng)(圓心)，加速度方向指向太陽(yáng)(圓心)。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圖釘(圓心)，故加速度的方向指向圖釘(圓心)。
(2)由于加速度的方向指向圓心，始終與線速度方向垂直，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的。勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變加速曲線運(yùn)動(dòng)。
知識(shí)梳理
1.向心力　向心加速度　2.圓心　3.方向　4.方向　變加速曲線運(yùn)動(dòng)　5.(1)rω2　(2)ωv　(3)r　4π2f2r　7.瞬時(shí)速度
例1 A　[根據(jù)a＝可知線速度大小相等時(shí)，半徑小的向心加速度大，A正確；根據(jù)a＝r可知周期相等時(shí)，半徑大的向心加速度大，B錯(cuò)誤；根據(jù)a＝rω2可知角速度相等時(shí)，半徑小的向心加速度小，C錯(cuò)誤；根據(jù)a＝4π2n2r可知轉(zhuǎn)速相等時(shí)，半徑小的向心加速度小，D錯(cuò)誤。]
例2 D　[由圖可知rP知識(shí)點(diǎn)二
例3 (1)0.36 m/s2　(2)10.8 N
解析　(1)小孩受到的向心加速度為
a＝rω2＝1×0.62 m/s2＝0.36 m/s2。
(2)小孩受到的靜摩擦力提供小孩做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，即f＝ma＝10.8 N。
例4 (1)　(2)2π　(3)不變
解析　(1)對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖所示
則有F＝。
(2)根據(jù)牛頓第二定律得
mgtan θ＝mω2lsin θ
解得ω＝
周期T＝＝2π。
(3)根據(jù)上述有ω＝，根據(jù)幾何關(guān)系有cos θ＝，解得ω＝，若保持軌跡圓的圓心O到懸點(diǎn)B的距離h不變，增大繩長(zhǎng)l，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω不會(huì)發(fā)生改變，周期不變。
例5 B　[設(shè)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為L(zhǎng)1－L，根據(jù)牛頓第二定律得F＝mω2L1，其中F＝k(L1－L)，向心加速度為a＝ω2L1，聯(lián)立解得a＝，選項(xiàng)B正確。]
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
1.B　[由a＝知，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小是恒定的，但是方向不斷改變，A錯(cuò)誤；勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向不斷改變，故不屬于勻速運(yùn)動(dòng)，B正確；向心加速度只表示速度方向改變快慢，C錯(cuò)誤；只有做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度方向才時(shí)刻指向圓心，D錯(cuò)誤。]
2.D　[A點(diǎn)和B點(diǎn)是鏈條傳動(dòng)，線速度大小相等，方向不同，故A錯(cuò)誤；A點(diǎn)和C點(diǎn)是同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，即ωA＝ωC，根據(jù)v＝ωr，可得＝＝，因?yàn)関A＝vB，所以vB∶vC＝2∶1，故D正確；因?yàn)閮升X輪的半徑關(guān)系未知，無(wú)法比較B、C兩點(diǎn)向心加速度的大小，故B、C錯(cuò)誤。]
3.A　[設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)合力提供向心力有mgtan θ＝mrω2，根據(jù)幾何關(guān)系得tan θ＝，解得ω＝，所以它們的角速度相同，故A正確；兩個(gè)小球的角速度相同，根據(jù)v＝rω知線速度大小不同，故B錯(cuò)誤；設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)mgtan θ＝ma得a＝gtan θ，因?yàn)榧?xì)線與豎直方向的夾角為θ不同，故向心加速度大小不同，故C錯(cuò)誤；設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，則F＝mgtan θ，因?yàn)榧?xì)線與豎直方向的夾角為θ不同，故向心加速度大小不同，故D錯(cuò)誤。](共49張PPT)
第2節(jié)　科學(xué)探究：向心力
第2課時(shí)　向心加速度
第3章　圓周運(yùn)動(dòng)
1.理解向心加速度的概念，知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系。
2.能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問(wèn)題。
3.能掌握解決勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方法和步驟。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
知識(shí)點(diǎn)
01
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
知識(shí)點(diǎn)
1
知識(shí)點(diǎn)二　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析
知識(shí)點(diǎn)一　向心加速度
知識(shí)點(diǎn)一　向心加速度
如圖甲所示，地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(近似的)；如圖乙所示，光滑桌面上一個(gè)小球在細(xì)線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
(1)分析地球和小球的受力情況，說(shuō)明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)呢？
提示　(1)地球只受到太陽(yáng)引力作用，方向指向太陽(yáng)(圓心)，加速度方向指向太陽(yáng)(圓心)。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圖釘(圓心)，故加速度的方向指向圖釘(圓心)。
(2)由于加速度的方向指向圓心，始終與線速度方向垂直，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的。勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變加速曲線運(yùn)動(dòng)。
1.定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到向心力的作用，那么它必然存在一個(gè)由________產(chǎn)生的加速度。這個(gè)加速度叫做____________。
2.方向：總是指向______，它就是速度的變化率。
3.物理意義：描述速度______變化的快慢。
4.說(shuō)明：勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的______時(shí)刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)，而是________________。
向心力
向心加速度
圓心
方向
方向
變加速曲線運(yùn)動(dòng)
rω2
ωv
4π2f2r
6.向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖所示)
7.向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，v為某位置的線速度，線速度大小變化時(shí)，向心加速度大小也發(fā)生變化。求向心加速度時(shí)，速度必須用該時(shí)刻或該位置的__________。
瞬時(shí)速度
A
例1 兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.它們的線速度大小相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
B.它們的周期相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
C.它們的角速度相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
D.它們的轉(zhuǎn)速相等時(shí)，半徑小的向心加速度大
D
例2 (2024·吉林卷，2)“指尖轉(zhuǎn)球”是花式籃球表演中常見(jiàn)的技巧。如圖，當(dāng)籃球在指尖上繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球面上P、Q兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的(　　)
A.半徑相等
B.線速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
知識(shí)點(diǎn)二　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析
向心力的來(lái)源實(shí)例分析
例3 (新教材魯科版P67“圖3－13”改編)向心加速度由向心力產(chǎn)生。下面請(qǐng)分析解決涉及圓周運(yùn)動(dòng)的一些動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。在圖中，若水平圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω＝0.6 rad/s，質(zhì)量為m＝30 kg的小孩坐在距離軸心1 m處隨圓臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)。
(1)小孩的向心加速度為多大？
(2)小孩受到的靜摩擦力為多大？
答案　(1)0.36 m/s2　(2)10.8 N
解析　(1)小孩受到的向心加速度為a＝rω2＝1×0.62 m/s2＝0.36 m/s2。
(2)小孩受到的靜摩擦力提供小孩做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，即
f＝ma＝10.8 N。
例4 如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為l的細(xì)線懸于固定點(diǎn)B，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線與豎直方向的夾角是θ，重力加速度為g。不計(jì)空氣阻力，求：
(1)細(xì)線對(duì)小球的拉力大小F；
(2)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T；
(3)若保持軌跡圓的圓心O到懸點(diǎn)B的距離h不變，
改變繩長(zhǎng)l，則小球運(yùn)動(dòng)周期的變化情況。
解析　(1)對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖所示
(2)根據(jù)牛頓第二定律得mgtan θ＝mω2lsin θ
B
例5 如圖所示，在光滑水平面上，輕彈簧的一端固定在豎直轉(zhuǎn)軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小球，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球以角速度ω繞豎直轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(k>mω2)。則小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小為(　　)
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
2
B
D
2.(向心加速度的大小)自行車靠一條鏈子將兩個(gè)齒輪連接起來(lái)，一輛自行車的齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖如圖所示，O1、O2是自行車的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)齒輪1和2的中心，A和B分別是齒輪1和齒輪2邊緣上一點(diǎn)，其中齒輪1上有一點(diǎn)C，C點(diǎn)到齒輪1中心O1的距離為齒輪1半徑的一半，則(　　)
A.A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度相同
B.B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度相等
C.B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度之比為4∶1
D.B點(diǎn)和C點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1
A
3.(圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球用長(zhǎng)度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn)，并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則它們的(　　)
A.角速度相同
B.線速度大小相同
C.向心加速度大小相同
D.受到的向心力大小相同
課后鞏固訓(xùn)練
3
D
題組一　向心加速度的方向和大小
1.光滑的水平面上固定著一個(gè)螺旋形光滑水平軌道，俯視如圖所示。一小球以一定速度沿軌道切線方向進(jìn)入軌道，運(yùn)動(dòng)到螺旋形中央，下列關(guān)于該小球運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法正確的是(　　)
A.線速度增大，角速度不變
B.線速度不變，角速度減小
C.線速度減小，向心加速度增大
D.角速度增大，向心加速度增大
對(duì)點(diǎn)題組練
C
2.游樂(lè)園有一種游戲設(shè)施叫做“魔盤”，當(dāng)質(zhì)量相同的兩個(gè)小朋友坐在“魔盤”上隨“魔盤”一起在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，他們距軸心的距離不一樣，簡(jiǎn)化模型如圖所示。兩個(gè)小朋友相比具有(　　)
A.相同的線速度 B.相同的加速度
C.相同的轉(zhuǎn)動(dòng)周期 D.相同的摩擦力
B
3.甲、乙兩個(gè)物體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為9∶4，轉(zhuǎn)動(dòng)周期之比為3∶4，則它們的向心加速度大小之比為(　　)
A.1∶4 B.4∶1 C.4∶9 D.9∶4
D
C
題組二　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析
5.(2023·全國(guó)甲卷，17)一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若其所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，運(yùn)動(dòng)周期與軌道半徑成反比，則n等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
6.如圖所示，質(zhì)量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒的豎直內(nèi)壁上，隨圓筒一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)系式正確的是(　　)
A.線速度vA＝vB B.角速度ωA>ωB
C.它們受到合力FA合>FB合 D.它們受到的摩擦力fA>fB
解析　A、B同軸運(yùn)動(dòng)，兩者角速度相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)v＝rω可知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由F合＝mrω2可知，選項(xiàng)C正確；在豎直方向，它們所受的靜摩擦力等于重力，由于二者質(zhì)量相等，重力相等，所以它們受到的靜摩擦力相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
C
7.質(zhì)量為m的飛機(jī)以恒定速率v在空中水平盤旋，如圖所示，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，重力加速度為g，則此時(shí)空氣對(duì)飛機(jī)的作用力大小為(　　)
D
8.如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。則轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為(　　)
C
9.一質(zhì)量為m的物體，沿半徑為R的半圓形軌道滑行，如圖所示，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度為v，物體與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則它在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力大小為(　　)
A
綜合提升練
10.甲圖是兩個(gè)圓錐擺，兩擺球運(yùn)動(dòng)軌道在同一個(gè)水平面內(nèi)，乙圖是完全相同的兩個(gè)小球在內(nèi)壁光滑的倒圓錐內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.甲圖中兩小球的運(yùn)動(dòng)周期相等
B.甲圖中兩小球的線速度大小相等
C.乙圖中兩個(gè)小球的線速度大小相等
D.乙圖中兩個(gè)小球的角速度大小相等
11.運(yùn)動(dòng)員趴在雪橇上從山坡沿截面為圓弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圓軌道上。雪橇和運(yùn)動(dòng)員(可視為質(zhì)點(diǎn))的總質(zhì)量為m，以速度v在大圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圓弧型冰道截面半徑為R，雪橇離圓弧型冰道最低點(diǎn)的豎直高度為h＝0.4R。忽略摩擦和空氣阻力，重力加速度為g。其中R未知，求：
(1)圓弧型冰道對(duì)雪橇的支持力；
(2)雪橇的向心加速度；
(3)大圓軌道的半徑r。
12.圖甲所示是一種叫“旋轉(zhuǎn)飛椅”的游樂(lè)項(xiàng)目，將其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為如圖乙所示的模型。長(zhǎng)L＝3 m的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑r＝3 m的水平轉(zhuǎn)盤邊緣。轉(zhuǎn)盤可繞穿過(guò)其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)，鋼繩沿豎直方向自由下垂；轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角θ＝37°。將游客和座椅看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量m＝50 kg。不計(jì)鋼繩重力和空氣阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
培優(yōu)加強(qiáng)練
(1)當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的大小；
(2)當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的大小；
(3)游客由靜止到隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，鋼繩對(duì)游客和座椅做的功W。
答案　(1)7.5 m/s2　(2)6 m/s　(3)1 200 J

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