資源簡介

勾股定理 　
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
直角三角形的性質(zhì)與判定 ★★ 1.理解直角三角形的概念. 2.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理:直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理 ★★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題.
勾股定理逆定理 ★★
此部分內(nèi)容在中考中一直是較為重要的考點(diǎn)，考查難度為中等偏上，常考考點(diǎn)為:直角三角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更是考查的重點(diǎn).出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，也可以融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.結(jié)合以上考查形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形常考的考查方向.
一．直角三角形性質(zhì)
①直角三角形的兩銳角互余；
②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；
③直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．
二．勾股定理概念
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么
變式：
（1）；（2）．
適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形．
三．勾股定理的證明
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為，
大正方形面積為，
所以．
方法三：，
，
化簡得證．
四．勾股數(shù)
（1）概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)
（2）常見的勾股數(shù)：如；；；等
（3）擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：
①（為正整數(shù)）．
②（為正整數(shù)）．
③（，為正整數(shù)）．
勾股定理
（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上，且，則的長是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于，
，，，
，，
，
，
，
故選B．
1.如圖，在中，已知，，則邊上的高為　　
A． B． C． D．無法確定
【答案】
【解析】解：作于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，如圖所示，
，，，
，
，
，
，
解得，
故選：．
2.如圖，的頂點(diǎn)，，在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長的高為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
邊長的高，
故選：．
3.如圖，在中，，通過尺規(guī)作圖得到的直線分別交，于，．連接，若，則的長為　　
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【解析】解：如圖，連接，由尺規(guī)作圖可知為的垂直平分線，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
為斜邊上的中線，
，
故選：．
4.如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形的面積是　　
A．12 B．24 C．30 D．10
【答案】
【解析】解：由勾股定理可得：
直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，
正方形的邊長的平方，
正方形的面積，
故選：．
5.如圖，線段與相交于點(diǎn)，，，，則的最小值是　　
A． B．5 C． D．
【答案】
【解析】解：如圖，
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，
，
，
，
當(dāng)三點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，的長就是所求的最小值．
過點(diǎn)作于點(diǎn)．
，，
．
在中，，
．
．
在中，由勾股定理得，
即的最小值是．
故選：．
勾股定理的證明
（2024·四川省南充·中考真題）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成在正方形中，下列三個(gè)結(jié)論：若，則；若的面積是正方形面積的倍，則點(diǎn)是的三等分點(diǎn)；將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的最大值為其中正確的結(jié)論是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：在中，
．
令，，
則，
解得舍負(fù)，
所以，．
因?yàn)橥獠康乃膫€(gè)直角三角形全等，
所以，
所以．
故正確．
因?yàn)榈拿娣e是正方形面積的倍，
所以．
因?yàn)椋?br/>所以，
整理得，
．
則，
解得舍負(fù)，
則點(diǎn)是的三等分點(diǎn)．
故正確．
由旋轉(zhuǎn)可知，
，
所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．
在中，
．
當(dāng)點(diǎn)，，共線時(shí)，取得最大值，
此時(shí)．
故正確．
故選：．
根據(jù)的正切值，結(jié)合勾股定理可求出的值．根據(jù)的面積與正方形面積之間的關(guān)系，得出關(guān)于和的方程，據(jù)此可解決問題．得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即可解決問題．
本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及解直角三角形，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
1.如圖，的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）　　．
（2）利用正方形網(wǎng)格，證明（1）中的結(jié)論．
【答案】（1）；
（2）證明見解析．
【解析】（1）解：，
故答案為：；
（2）證明：延長交格點(diǎn)于，連接，如圖，
則，，，
，，
，
為等腰直角三角形，
．
，
．
2.如圖的圖形取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為，較長的直角邊為，試求的值．
【解析】解：大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，
直角三角形的斜邊的平方為13，
直角三角形較短的直角邊為，較長的直角邊為，
，
大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積，
，即，
．
3.（1）如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請你寫出這個(gè)公式　　；在推得這個(gè)公式的過程中，主要運(yùn)用了　 　
．分類討論思想 ．整體思想 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 ．轉(zhuǎn)化思想
（2）如圖2，，，且，，在同一直線上．
求證：；
（3）伽菲爾德年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你嘗試該證明過程．
【解析】解：（1）利用大正方形面積等于兩個(gè)小正方形面積與兩矩形面積之和得出：
；
利用數(shù)形結(jié)合得出：在推得這個(gè)公式的過程中，主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想；
故答案為：；；
（2），
．
，
，
，
即．
（3），，
，
，
即
勾股定理的逆定理
下列長度的三條線段首尾相接不能構(gòu)成直角三角形的是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【解析】解：．因?yàn)椋砸裕瑸檫吔M成的三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
．因?yàn)椋砸裕瑸檫吔M成的三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
．因?yàn)椋砸裕瑸檫吔M成的三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
．因?yàn)椋砸裕瑸檫吔M成的三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
1.如圖，在中，，，邊上的中線，則的面積為　　
A．30 B．24 C．20 D．48
【解析】解：延長到，使，連接，
為的中點(diǎn)，
，
在與中，
，
，
．
又，，，
，
，
則．
故選：．
2.有一個(gè)三角形兩邊長為4和5，要使三角形為直角三角形，則第三邊長為　　
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】
【解析】解：當(dāng)要求的邊是斜邊時(shí)，則第三邊的長是；
當(dāng)要求的邊是直角邊時(shí)，則第三邊的長是．
故選：．
3.小華想用老師提供的三條線段首尾相連圍成一個(gè)直角三角形，則他應(yīng)該選擇的三條線段長度是　　
A．2、3、4 B．3、4、5 C．4、5、6 D．5、6、7
【答案】
【解析】解：，故選項(xiàng)不符合題意；
，故選項(xiàng)符合題意；
，故選項(xiàng)不符合題意；
，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
4.下列條件中不能判斷是直角三角形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：，故是直角三角形，選項(xiàng)不符合題意；
，
，故是直角三角形，選項(xiàng)不符合題意；
，
是直角三角形，選項(xiàng)不符合題意；
，
最大角，故不是直角三角形，選項(xiàng)符合題意；
故選：．
勾股定理的應(yīng)用
（2024·江蘇省淮安·中考真題）某公園廣場的地面由形狀、大小完全相同的一種地磚密鋪無空隙、不重疊的拼接而成，鋪設(shè)方式如圖圖是其中一塊地磚的示意圖，，，，，，部分尺寸如圖所示單位：結(jié)合圖、圖信息，可求得的長度是______．
【答案】
【解析】解：作，設(shè)，，
由圖一可知，，，四邊形是矩形，
則，，
則，
，
，
．
故答案為：．
作，設(shè)，，由圖一可知，，，四邊形是矩形，，再根據(jù)勾股定理求出，即可解答．
本題考查了平面鑲嵌，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
1.無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：如圖是長為的細(xì)木筷斜放在杯子內(nèi)的示意圖，
在中，，，
，
細(xì)木筷在杯子內(nèi)的部分最長為，
，
木筷露在杯子外面的部分至少，
故選：．
2.勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)（即水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：設(shè)繩索的長是，則，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
即繩索的長是，
故選：．
3.如圖，，，，一機(jī)器人在點(diǎn)處看見一個(gè)小球從點(diǎn)出發(fā)沿著方向勻速滾向點(diǎn)，機(jī)器人立即從點(diǎn)出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)處截住了小球，如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程是　　
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】
【解析】解：設(shè)，則，
依題意知，
在中，，
即，解得，
米．
故選：．勾股定理 　
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
直角三角形的性質(zhì)與判定 ★★ 1.理解直角三角形的概念. 2.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理:直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形
勾股定理 ★★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題.
勾股定理逆定理 ★★
此部分內(nèi)容在中考中一直是較為重要的考點(diǎn)，考查難度為中等偏上，常考考點(diǎn)為:直角三角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更是考查的重點(diǎn).出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，也可以融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.結(jié)合以上考查形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形常考的考查方向.
一．直角三角形性質(zhì)
①直角三角形的兩銳角互余；
②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；
③直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．
二．勾股定理概念
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么
變式：
（1）；（2）．
適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形．
三．勾股定理的證明
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為，
大正方形面積為，
所以．
方法三：，
，
化簡得證．
四．勾股數(shù)
（1）概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)
（2）常見的勾股數(shù)：如；；；等
（3）擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：
①（為正整數(shù)）．
②（為正整數(shù)）．
③（，為正整數(shù)）．
勾股定理
（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上，且，則的長是( )
A. B. C. D.
1.如圖，在中，已知，，則邊上的高為　　
A． B． C． D．無法確定
2.如圖，的頂點(diǎn)，，在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長的高為　　
A． B． C． D．
3.如圖，在中，，通過尺規(guī)作圖得到的直線分別交，于，．連接，若，則的長為　　
A．2 B．3 C． D．
4.如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形的面積是　　
A．12 B．24 C．30 D．10
5.如圖，線段與相交于點(diǎn)，，，，則的最小值是　　
A． B．5 C． D．
勾股定理的證明
（2024·四川省南充·中考真題）如圖是我國漢代趙爽在注解<<周髀算經(jīng)>>時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成在正方形中，下列三個(gè)結(jié)論：若，則；若的面積是正方形面積的倍，則點(diǎn)是的三等分點(diǎn)；將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的最大值為其中正確的結(jié)論是( )
A. B. C. D.
1.如圖，的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）　　．
（2）利用正方形網(wǎng)格，證明（1）中的結(jié)論．
2.如圖的圖形取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為，較長的直角邊為，試求的值．
3.（1）如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請你寫出這個(gè)公式　　；在推得這個(gè)公式的過程中，主要運(yùn)用了　 　
．分類討論思想 ．整體思想 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 ．轉(zhuǎn)化思想
（2）如圖2，，，且，，在同一直線上．
求證：；
（3）伽菲爾德年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你嘗試該證明過程．
勾股定理的逆定理
下列長度的三條線段首尾相接不能構(gòu)成直角三角形的是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
1.如圖，在中，，，邊上的中線，則的面積為　　
A．30 B．24 C．20 D．48
2.有一個(gè)三角形兩邊長為4和5，要使三角形為直角三角形，則第三邊長為　　
A．3 B． C．3或 D．3或
3.小華想用老師提供的三條線段首尾相連圍成一個(gè)直角三角形，則他應(yīng)該選擇的三條線段長度是　　
A．2、3、4 B．3、4、5 C．4、5、6 D．5、6、7
4.下列條件中不能判斷是直角三角形的是　　
A． B． C． D．
勾股定理的應(yīng)用
（2024·江蘇省淮安·中考真題）某公園廣場的地面由形狀、大小完全相同的一種地磚密鋪無空隙、不重疊的拼接而成，鋪設(shè)方式如圖圖是其中一塊地磚的示意圖，，，，，，部分尺寸如圖所示單位：結(jié)合圖、圖信息，可求得的長度是______．
1.無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有　　
A． B． C． D．
2.勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)（即水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是　　
A． B． C． D．
3.如圖，，，，一機(jī)器人在點(diǎn)處看見一個(gè)小球從點(diǎn)出發(fā)沿著方向勻速滾向點(diǎn)，機(jī)器人立即從點(diǎn)出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)處截住了小球，如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程是　　
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米

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