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9.9.2 平面直角坐標系中的位似圖形（學案含答案）
列清單·劃重點
知識點 平面直角坐標系中的位似變換
1.位似多邊形對應點的坐標的變化規律：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘同一個數 k(k≠0，1)，所對應的圖形與原圖形 ，位似中心是坐標 ，它們的相似比為 .
2.位似與平移、軸對稱、旋轉三種變換的聯系和區別：
位似、平移、軸對稱、旋轉都是圖形變換的基本形式，它們的本質區別在于：平移、軸對稱、旋轉三種圖形變換都是全等變換，而位似變換是相似(擴大、縮小或不變)變換.
明考點·識方法
考點1 位似圖形的坐標變化規律
典例1 如圖，在平面直角坐標系中,已知點 A(2,2),B(4,1),以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB 放大，則點 A 的對應點A'的坐標是 ( )
A.(1,1) B.(4,4)或(8,2) C.(4,4) D.(4,4)或(-4,-4)
思路導析 根據位似變換的性質計算，得到答案.注意 根據位似變換的概念和性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k.
變式 如圖，在平面直角坐標系中，△ABC 的頂點A 在第二象限，點 B 坐標為(-2,0),點 C坐標為(-1,0),以點 C 為位似中心，在x 軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C.若點 A 的對應點A'的坐標為(2，--3)，點B 的對應點B'的坐標為(1,0),則點 A 坐標為 ( )
A.(-3,-2)
考點2 平面直角坐標系中的位似變換
典例2 如圖所示的平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(-3,2),B(--1,3),C(-1,1),請按如下要求畫圖:
(1)以坐標原點 O 為旋轉中心，將△ABC順時針旋轉90°,得到, 請畫出△;
(2)以坐標原點O為位似中心，在x軸下方,畫出△ABC的位似圖形,使它與△ABC的位似比為2:1.
思路導析 (1)根據網格結構找出點A，B，C關于原點O為旋轉中心的對應點的位置，然后順次連接即可；
(2)利用位似的性質，找出點 的位置，然后畫出圖形即可.
變式 如圖，在平面直角坐標系中，△OAB 的頂點坐標分別為O(0，0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出△OAB 的一個位似,,使它與△OAB 的位似比為2:1;
(2)畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的；
(3)判斷和是位似圖形嗎 若是，請在圖中標出位似中心點M，并寫出點 M 的坐標.
考點3 平面直角坐標系中的位似中心的確定
典例3 如圖,△ABC 與△DEF 是位似圖形,BC,EF 都與x軸平行,點A，D與位似中心點 P 都在x軸上，點 C，E在 y軸上.若點 B 的坐標是(2,3),點F 的橫坐標為-1，則點 P 的坐標為 ( )
A.(-2,0) B.(0,-2) C.(-1.5,0). D.(0,-1.5)
思路導析 如圖，過點 B 作BH⊥x軸于點H，根據位似的性質可得 則可得點 P的坐標.
變式 如圖,△ABC 與△DEF 是位似圖形,點 B 的坐標為(3，0)，則其位似中心的坐標為 .
當堂測·夯基礎
1.如圖,矩形OABC各頂點的坐標分別為O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0，2)，以原點O為位似中心，將這個矩形按相似比 縮小，則頂點 B 在第一象限對應點的坐標是 ( )
A.(9,4) B.(4,9) C.(1, ) D.(1, )
2.在平面直角坐標系中,△ABC與△A'B'C'位似,位似中心是原點 O,點 B 與點 B'是對應頂點,B,B'的坐標分別為(1,2),(2,4),則△ABC與△A'B'C'的相似比為( )
A.2:1 B.1:2 C.3:2 D.2:3
3.如圖，在平面直角坐標系中， 與△A B C 位似,原點 O 是位似中心，且 若A(9,3),則 A 點的坐標是 .
4.如圖，在直角坐標系中， 與△ODE 是位似圖形，其中點A(2，1)，則位似中心的坐標是 .
5.如圖，在平面直角坐標系中，△OAB 的各頂點坐標分別為O(0,0),A(-2,-1), B(-1,-3),與△OAB 是以點 P 為位似中心的位似圖形.
(1)在圖中標出位似中心P的位置，并寫出點P及點B的對應點的坐標；
(2)以原點O為位似中心，在位似中心的同側畫出△OAB的一個位似圖形,使它與△OAB的相似比為2：1，并寫出點B的對應點的坐標；
(3)△OAB內部一點M的坐標為(a,b),寫出M在中的對應點.的坐標；
(4)判斷△OA B 能否看作是由△O A B 經過某種變換后得到的圖形，若能，請指出是怎樣變換得到的(直接寫出答案即可).
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點 1.位似 原點 |k|
【明考點·識方法】
典例1 D
解析：∵以原點O為位似中心，相似比為2、把△OAB放大,點A的坐標為(2,2),
∴點A的對應點A'的坐標為(2×2,2×2)或(2×(-2),2×(-2),即(4,4)或(-4、-4).
變式 C
典例2 解:(1)如圖,△A B C 即為所求;
(2)如圖,△A B C 即為所求、
變式
解:(1)如圖,△OA B 即為所作圖形;(2)如圖,△O A B 即為所作圖形;
(2)△OA;B 和△O A B 是位似圖形,點M為所求位假中心，點M的坐標為(-4，2):
典例3 A
解析：如圖，過點B作BH⊥x軸于點H，
則OE∥BH,∴△PEO∽△PBH,
∵點 B 的坐標是(2,3),點 F 的橫坐標為-1,∴CB=2,EF=1..
∵BC,EF都與x軸平行,∴BC∥EF,
∵OH=2,∴OP=2,∴點 P的坐標為(-2,0).
變式 (1,0)
【當堂測·夯基礎】
1. D 2. B 3. (3,1) 4. (4,2)
5、解:(1)點P的位置如圖所示,點 P(-5,-1)點B(3,-5);
(2)△OA B 如圖所示.點B 的坐標(-2,-6)
(3)點M在△OA2B2中的對應點M2的坐標為(2a，2b)；
(4)△OA2B2能看作是由△O1A1B1經過平移變換得到的圖形.△O1A1B1向左平移5個單位，向下平移1個單位得到△OA2B2接.
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