資源簡介

培優(yōu)提升八　圓周運動的臨界問題
(分值：100分)
選擇題1～10題，12題，每小題8分，共88分。
對點題組練
題組一　水平面圓周運動的臨界問題
1.如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉(zhuǎn)的水平圓盤面上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍，三個物體的質(zhì)量分別為2m、m、m，它們離轉(zhuǎn)軸的距離分別為R、R、2R。當(dāng)圓盤旋轉(zhuǎn)時，若A、B、C三個物體均相對圓盤靜止，則下列說法正確的是(　　)
A的向心加速度最大
B和C所受摩擦力大小相等
當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢增大時，C比A先滑動
當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢增大時，B比A先滑動
2.如圖所示，正方形框ABCD豎直放置，兩個完全相同的小球P、Q分別穿在方框的BC、CD邊上，當(dāng)方框繞AD軸勻速轉(zhuǎn)動時，兩球均恰與方框保持相對靜止且位于BC、CD邊的中點，已知兩球與方框之間的動摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則兩球與方框間的動摩擦因數(shù)為(　　)
3.如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，輕繩AC和BC的結(jié)點C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承受的最大拉力均為mg。當(dāng)AC和BC拉直時，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC繩的長為 m。細繩AC和BC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動，因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動。當(dāng)小球的線速度緩慢增大時，為保證兩繩都不斷裂，線速度的最大值為(重力加速度g＝10 m/s2)(　　)
m/s 2 m/s
3 m/s 4 m/s
題組二　豎直面圓周運動的臨界問題
4.在游樂園乘坐如圖所示的過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)沿圓周軌道運動，已知重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，若沒有保險帶，人一定會掉下去
人在最高點時對座位仍會產(chǎn)生壓力，但壓力一定小于mg
人在最高點和最低點時的向心加速度大小相等
人在最低點時對座位的壓力大于mg
5.(多選)如圖所示，用長為l的細繩拴著質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，則下列說法中正確的是(重力加速度為g)(　　)
小球在圓周最高點時的向心力一定等于重力
小球在最高點時繩子的拉力不可能為零
若小球剛好能在豎直平面內(nèi)做圓周運動，則其在最高點的速率為
小球過最低點時繩子的拉力一定大于小球重力
6.如圖所示，長為L的輕質(zhì)細繩一端與質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點)相連，另一端可繞O點使小球在豎直平面內(nèi)運動。設(shè)小球在最高點的速度為v，重力加速度為g，不計空氣阻力，則下列說法正確的是(　　)
v最小值可以為0
若v＝，細繩必然對小球有拉力的作用
v若增大，此時小球所需的向心力將減小
若v＝，當(dāng)小球運動到最低點的速度為v時，繩子的拉力是6mg
7.如圖所示，兩個小球A、B固定在長為2L的輕桿上，球A的質(zhì)量為2m，球B的質(zhì)量為m。兩球繞桿的端點O在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，B球固定在桿的中點，A球在桿的另一端，不計小球的大小，當(dāng)小球A在最高點時，OB桿對球B的作用力恰好為零，重力加速度為g。若兩小球經(jīng)過O點正下方時，B的速度大小為，重力加速度為g，輕桿AB段和OB段的拉力大小之比為(　　)
8.(多選)如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動軸上，外界給予系統(tǒng)一定的能量后，桿和球在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動的過程中，忽略空氣阻力。某時刻若球B運動到最高點，且球B對桿恰好無作用力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
此時球B在最高點時的速度為
此時球B在最高點時的速度為
此時桿對水平軸的作用力為mg
此時桿對水平軸的作用力為1.5mg
綜合提升練
9.如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動(不計一切阻力)，小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其T－v2圖像如圖乙所示，則(　　)
數(shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量無關(guān)
當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?br/>當(dāng)v2＝c時，輕質(zhì)繩的拉力大小為＋a
當(dāng)v2＝2b時，小球受到的拉力與重力大小相等
10.如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動。當(dāng)小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與過最高點時小球速度的平方的關(guān)系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)。PQ為通過圓心的一條水平線。不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
管道的半徑為bg
小球質(zhì)量為
小球在PQ以下的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球可能有作用力
小球在PQ以上的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力
11.(12分)如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r。一段繩的一端與物塊相連，另一端系在圓盤中心上方r處，繩恰好伸直，物塊和轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)為μ，設(shè)物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，已知重力加速度為g。
(1)(6分)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動時，繩上恰好有張力，求ω1的值；
(2)(6分)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω2勻速轉(zhuǎn)動時，物塊恰好離開轉(zhuǎn)盤，求ω2的值。
培優(yōu)加強練
12.(多選)(新教材魯科版P81T9改編)如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點)，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸OO′的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩上張力為0)。物塊和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是物塊對轉(zhuǎn)盤壓力的μ倍。已知重力加速度為g，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。下列說法正確的是(　　)
當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝勻速轉(zhuǎn)動時，物塊所受的摩擦力大小為μmg
當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝勻速轉(zhuǎn)動時，細繩的拉力大小為μmg
當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝勻速轉(zhuǎn)動時，物塊所受的摩擦力大小為μmg
當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝勻速轉(zhuǎn)動時，細繩的拉力大小為μmg
培優(yōu)提升八　圓周運動的臨界問題
1.C　[A、B、C三個物體的角速度相同，根據(jù)向心加速度a＝rω2，則物體C的向心加速度最大，選項A錯誤；由摩擦力提供向心力有fB＝mRω2，fC＝m·2R·ω2，可知物體B所受摩擦力小于物體C所受摩擦力，選項B錯誤；物體恰好滑動時，kmg＝mrω2，則ω＝，故滑動的臨界角速度與質(zhì)量無關(guān)，r越大，臨界角速度越小，故物體C先滑動，選項C正確，D錯誤。]
2.B　[設(shè)方框邊長為l，小球質(zhì)量為m，對P球，根據(jù)平衡條件可得μmlω2＝mg，對Q球，根據(jù)牛頓第二定律可得μmg＝mω2，聯(lián)立解得μ＝，故B正確。]
3.B　[小球在豎直方向上合力為零，即TACsin 60°＝mg，解得TAC＝mg，當(dāng)TBC＝mg時，小球線速度具有最大值vm，根據(jù)牛頓第二定律有TACcos 60°＋TBC＝meq \f(v,r)，解得vm＝2 m/s，故B正確。]
4.D　[過山車上人經(jīng)過最高點及最低點時，受力如圖所示，
INCLUDEPICTURE"Q545.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\魯科物理必修第二冊\\配套學(xué)生WORD文檔\\答案精析\\Q545.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\魯科物理必修第二冊\\配套學(xué)生WORD文檔\\答案精析\\Q545.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\Q545.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\Q545.TIF" \* MERGEFORMATINET
在最高點，由mg＋N＝meq \f(v,R)得N＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,R)－g))①
在最低點，由N′－mg＝meq \f(v,R)得N′＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,R)＋g))②
當(dāng)v1≥時，在最高點無保險帶也不會掉下，且還可能會對座位有壓力，大小因v1而定，A、B錯誤；最高點、最低點兩處向心力大小不相等，向心加速度大小也不相等，C錯誤；由②式知，在最低點N′>mg，根據(jù)牛頓第三定律知，D正確。]
5.CD　[小球在圓周最高點時，向心力可能等于重力，也可能等于重力與繩子的拉力之和，取決于小球的瞬時速度的大小，故A錯誤；小球在圓周最高點時，如果向心力完全由重力提供，則可以使繩子的拉力為零，故B錯誤；小球剛好能在豎直面內(nèi)做圓周運動，則在最高點，重力提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故C正確；小球在圓周最低點時，具有豎直向上的向心加速度，處于超重狀態(tài)，拉力一定大于重力，故D正確。]
6.D　[小球到達最高點時速度最小，有mg＝m，則v的最小值為v＝，即當(dāng)v＝時，細繩對小球無拉力作用，選項A、B錯誤；v若增大，根據(jù)F＝m，可知此時小球所需的向心力將變大，選項C錯誤；若v＝，當(dāng)小球運動到最低點的速度為v時，T－mg＝m，解得繩子的拉力T＝6mg，選項D正確。]
7.B　[最低點時，A與B角速度相同，則A的速度vA＝2vB＝2，由牛頓第二定律，對A有FAB－2mg＝2meq \f(v,2L)，對B有FOB－mg－FAB＝meq \f(v,L)，解得＝，故B正確。]
8.BD　[當(dāng)球B運動至最高點時恰好對桿無作用力，則可知此時恰好由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律有mg＝meq \f(v,2L)，解得vB＝，故A錯誤，B正確；由于球A與球B為同軸轉(zhuǎn)動，角速度相等，則根據(jù)v＝rω知，此時A、B兩球的線速度之比即為半徑之比，即此時A球的線速度為vA＝＝，設(shè)此時桿對A球的作用力為T，則對A球，由牛頓第二定律有T－mg＝meq \f(v,L)，解得T＝1.5mg，由于此時B球?qū)U恰好無作用力，則僅有A球?qū)U有作用力，因此此時球?qū)U的作用力大小為1.5mg，則此時桿對水平軸的作用力為1.5mg，故C錯誤，D正確。]
9.D　[設(shè)繩長為R，小球在最高點滿足T＋mg＝m，即T＝m－mg，由題圖乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝，R＝，故A、B錯誤；當(dāng)v2＝c時，有T1＋mg＝m，將g和R的值代入得T1＝－a，故C錯誤；當(dāng)v2＝2b時，由T2＋mg＝m得T2＝a＝mg，即拉力與重力大小相等，故D正確。]
10.B　[由題圖乙可知，當(dāng)v2＝b，N＝0時，mg＝m，解得R＝，故A錯誤；當(dāng)v2＝0時，N＝mg＝a，所以m＝，故B正確；小球在水平線PQ以下的管道中運動時，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，只有外壁才可以提供這個力，所以內(nèi)側(cè)管壁對小球沒有力，故C錯誤；小球在水平線PR以上的管道中運動時，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故可能是外側(cè)管壁對小球有作用力，也可能是內(nèi)側(cè)管壁對小球有作用力，還可能均無作用力，故D錯誤。]
11.(1)　(2)
解析　(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動時，繩上恰好有張力，靜摩擦力達到最大值，則此時物塊所需向心力恰好完全由最大靜摩擦力提供，則μmg＝mrω，解得ω1＝。
(2)物塊恰好離開轉(zhuǎn)盤時，N＝0，物塊只受重力和繩的拉力，如圖所示，則有
mgtan θ＝mrω
tan θ＝＝
聯(lián)立解得ω2＝。
12.ACD　[物塊和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是fm＝μmg，當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝勻速轉(zhuǎn)動時，所需向心力為F1＝mrω2＝μmgfm，摩擦力不足以提供向心力，繩子的拉力提供部分向心力，即F2＝T＋fm，解得T＝μmg，則物塊所受的摩擦力大小為μmg，細繩的拉力大小為μmg，故C、D正確。]培優(yōu)提升八　圓周運動的臨界問題
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會分析水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題。2.掌握豎直面內(nèi)兩種圓周運動模型，并分析解決與之相關(guān)的實際問題。3.熟練掌握水平面和豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題，并分析解決與之相關(guān)的實際問題。
提升1　水平面圓周運動的臨界問題
1.水平面內(nèi)的圓周運動是指物體做圓周運動的軌跡在水平面內(nèi)。
2.物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發(fā)生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進而出現(xiàn)某些物理量或運動狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)。
3.水平面內(nèi)的圓周運動常見的臨界條件
(1)與繩的彈力有關(guān)的臨界條件：繩彈力恰好為0或不被拉斷的最大值。
(2)與支持面彈力有關(guān)的臨界條件：支持力恰好為0。
(3)與靜摩擦力有關(guān)的臨界條件：靜摩擦力達到最大值。
4.解題關(guān)鍵
(1)在圓周運動問題中，當(dāng)出現(xiàn)“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態(tài)的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
角度1　與繩的彈力有關(guān)的臨界問題
例1 (多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細桿的A點和B點，如圖所示，若兩繩均伸直，繩b水平且長為l，繩a與水平方向成θ角。當(dāng)輕桿繞豎直軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.a繩的張力不可能為零
B.a繩的張力隨角速度ω的增大而增大
C.當(dāng)角速度ω>時，b繩中有彈力
D.若b繩突然被剪斷，則a繩的張力一定發(fā)生變化
角度2　與支持面的彈力有關(guān)的臨界問題
例2 如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ＝45°，一條長為L的輕繩(質(zhì)量不計)，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質(zhì)量為m的小物體(物體可看成質(zhì)點)，物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。重力加速度為g，求：
(1)當(dāng)v1＝時，繩對物體的拉力大?。?br/>(2)當(dāng)v2＝時，繩對物體的拉力大小。
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角度3　與靜摩擦力有關(guān)的臨界問題
例3 (新教材魯科版P78T3改編)如圖所示，質(zhì)量相等的甲、乙兩物體放在旋轉(zhuǎn)的圓臺上，甲物體到轉(zhuǎn)軸的距離2r是乙物體到轉(zhuǎn)軸距離的兩倍，甲、乙與圓臺間的最大靜摩擦力相等，動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)圓臺旋轉(zhuǎn)時，甲、乙均未滑動，下列說法正確的是(　　)
A.這時的轉(zhuǎn)速可能為ω＝
B.這時的轉(zhuǎn)速可能為ω＝
C.當(dāng)v甲＝時甲不會被甩出
D.當(dāng)v乙＝時甲不會被甩出
提升2　豎直面圓周運動的臨界問題
角度1　輕繩模型
1.模型概述
無支撐物(如球與繩連接；沿內(nèi)軌道運動的“過山車”等)的豎直面內(nèi)的圓周運動，稱為“輕繩模型”。
2.模型特點
比較項目 特點
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，也可能等于零
受力示意圖
力學(xué)方程 mg＋F彈＝m
臨界特征 F彈＝0，即mg＝m，得v＝
v＝的意義 物體能否過最高點的臨界點
例4 如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球，用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運動。重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為多大？
(2)當(dāng)小球在最高點的速度為4 m/s時，輕繩拉力多大？
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的速度不能超過多大？
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角度2　輕桿模型
1.模型概述
有支撐物(如球與桿連接；小球在彎管內(nèi)運動等)的豎直面內(nèi)的圓周運動，稱為“輕桿模型”。
2.模型特點
比較項目 特點
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
力學(xué)方程 mg＋N＝m
臨界特征 v＝0，即F向＝0，此時N＝mg
v＝的意義 N表現(xiàn)為拉力還是支持力的臨界點
例5 有一輕質(zhì)桿長L為0.5 m，一端固定一小球，質(zhì)量m為0.5 kg，桿繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運動(g＝10 m/s2)。
(1)當(dāng)小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大?。?br/>(2)當(dāng)小球運動到最高點速率分別為1 m/s和4 m/s時，求小球?qū)U的作用力；
(3)當(dāng)小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41 N，求小球運動的速率。
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訓(xùn)練 (多選)如圖所示，管壁光滑的圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)，半徑為R。質(zhì)量為m的小球在管道內(nèi)做圓周運動，管道內(nèi)徑遠小于軌道半徑，下列有關(guān)說法中正確的是(　　)
A.小球通過最高點的最小速度為0
B.小球通過最高點的最小速度為
C.若小球經(jīng)過最低點時速度大小為，則此時小球?qū)艿赖淖饔昧Υ笮?mg
D.若小球經(jīng)過最高點時速度大小為，則此時小球?qū)艿雷饔昧Υ笮閙g
隨堂對點自測
1.(水平面內(nèi)的臨界問題)如圖所示，粗糙水平圓盤上，質(zhì)量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
A.A、B都有沿切線方向且向后滑動的趨勢
B.B運動所需的向心力大于A運動所需的向心力
C.盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍
D.若B相對圓盤先滑動，則A、B間的動摩擦因數(shù)μA小于盤與B間的動摩擦因數(shù)μB
2.(豎直面內(nèi)的臨界問題)(多選)如圖所示，輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，另一端固定一個小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做圓周運動，當(dāng)小球運動至最高點時，輕桿對小球的作用力(　　)
A.方向一定豎直向上 　 B.方向可能豎直向下
C.大小可能為0 　 D.大小不可能為0
3.(豎直面內(nèi)的臨界問題)(新教材魯科版P83T8改編)雜技演員在做“水流星”表演時，用一根細繩系著盛水的杯子，掄起繩子，讓杯子在豎直面內(nèi)做圓周運動。如圖所示，杯內(nèi)水的質(zhì)量m＝0.5 kg，繩長l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高點水不流出的最小速率；
(2)水在最高點速率v＝3 m/s時，水對杯底的壓力大小。
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培優(yōu)提升八　圓周運動的臨界問題
提升1
例1 AC　[小球做勻速圓周運動，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故A正確；根據(jù)豎直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a繩的拉力不變，故B錯誤；當(dāng)b繩伸直且拉力為零時，有＝mlω2，解得ω＝，可知當(dāng)角速度ω>時，b繩中有彈力，故C正確；由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的張力可能不變，故D錯誤。]
例2 (1) mg　(2)2mg
解析　當(dāng)物體剛要離開錐面時，錐面對物體沒有支持力，由牛頓第二定律得
Tcos θ－mg＝0，Tsin θ＝meq \f(v,Lsin θ)
解得v0＝。
(1)因v1＜v0，此時錐面對物體有支持力，設(shè)為N1，對物體受力分析，如圖甲所示，則有
T1cos θ＋N1sin θ－mg＝0
T1sin θ－N1cos θ＝meq \f(v,Lsin θ)
解得T1＝mg。
(2)因v2＞v0，則物體離開錐面，設(shè)繩與豎直方向的夾角為α，如圖乙所示。
則T2cos α－mg＝0，T2sin α＝meq \f(v,L sin α)
解得T2＝2mg。
INCLUDEPICTURE"Q528.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\魯科物理必修第二冊\\配套學(xué)生WORD文檔\\答案精析\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\魯科物理必修第二冊\\配套學(xué)生WORD文檔\\答案精析\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 魯科版\\配套學(xué)生WORD文檔\\答案精析\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET
例3 B　[物體恰好不相對滑動時，有f＝μmg＝mRω2，解得臨界角速度為ω＝，甲、乙與圓臺間的最大靜摩擦力相等，質(zhì)量相等，半徑越大，臨界角速度越小，則轉(zhuǎn)臺的臨界角速度為ω臨＝，則圓臺旋轉(zhuǎn)時的角速度范圍為ω≤，故A錯誤，B正確；當(dāng)最大靜摩擦力提供向心力時，有f＝μmg＝m，解得v＝，甲、乙與圓臺間的最大靜摩擦力相等，質(zhì)量相等，半徑越大，臨界線速度越大，則轉(zhuǎn)臺的臨界線速度為v臨＝，則圓臺旋轉(zhuǎn)時的線速度范圍為v≤，當(dāng)v甲＝時甲會被甩出，且當(dāng)v乙＝時甲也會被甩出，故C、D錯誤。]
提升2
例4 (1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
解析　(1)在最高點，對小球受力分析如圖甲，由牛頓第二定律得mg＋F1＝m
甲
又F1≥0
聯(lián)立得v≥，即v≥2 m/s，所以小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2 m/s。
(2)將v2＝4 m/s代入mg＋F2＝meq \f(v,R)得
F2＝15 N。
(3)由分析可知，小球在最低點時輕繩張力最大，對小球受力分析如圖乙，由牛頓第二定律得F3－mg＝meq \f(v,R)
乙
將F3＝45 N代入得v3＝4 m/s
即小球的速度不能超過4 m/s。
例5 (1) m/s　(2)4 N，方向豎直向下　11 N，方向豎直向上　(3)6 m/s
解析　(1)小球在最高點時剛好對桿無作用力，此時重力提供向心力，有mg＝meq \f(v,L)
代入數(shù)據(jù)解得v1＝＝ m/s。
(2)當(dāng)小球運動到最高點速率為1 m/s時，小球A受到桿向上的支持力。根據(jù)牛頓第二定律可得mg－F1＝meq \f(v,L)，代入數(shù)據(jù)得F1＝4 N，根據(jù)牛頓第三定律可得小球?qū)U的作用力大小為4 N，方向豎直向下；當(dāng)小球運動到最高點速率為4 m/s時，小球A受到桿向下的拉力，根據(jù)牛頓第二定律有F2＋mg＝meq \f(v,L)，代入數(shù)據(jù)解得F2＝11 N，根據(jù)牛頓第三定律可得小球?qū)U的作用力大小為11 N，方向豎直向上。
(3)當(dāng)小球運動到最低點時，根據(jù)牛頓第二定律有
F－mg＝meq \f(v,L)
代入數(shù)據(jù)解得v4＝6 m/s。
訓(xùn)練 AC　[小球在管道內(nèi)做圓周運動，在最高點時管道能給小球豎直向上的支持力，則小球能夠通過最高點的最小速度為零，故A正確，B錯誤；若小球經(jīng)過最低點時速度大小為，根據(jù)牛頓第二定律有N－mg＝m，解得N＝6mg，根據(jù)牛頓第三定律可知，此時小球?qū)艿赖淖饔昧Υ笮?mg，故C正確；若小球經(jīng)過最高點時速度大小為，則根據(jù)牛頓第二定律有N′＋mg＝m，解得N′＝0，則可知此時小球?qū)艿狼『脽o作用力，即作用力大小為0，故D錯誤。]
隨堂對點自測
1.C　[A、B整體在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物塊所受合外力提供向心力，摩擦力方向指向圓心，物塊有沿徑向向外滑動的趨勢，故A錯誤；物塊做勻速圓周運動，向心力F＝mrω2，A、B質(zhì)量相同，一起做勻速圓周運動的角速度、半徑也相等，所以，兩者運動所需的向心力相等，故B錯誤；由受力分析可知B對A的摩擦力等于F，盤對B的摩擦力等于2F，故C正確；若B相對圓盤先滑動，則2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D錯誤。]
2.BC　[設(shè)桿長為R，當(dāng)重力剛好提供小球做圓周運動的向心力時，桿對小球無作用力，此時有mg＝m，解得v＝，當(dāng)v>時，桿對小球提供拉力，當(dāng)v<時，桿對小球提供支持力，故B、C正確，A、D錯誤。]
3.(1) m/s　(2)10 N
解析　(1)在最高點水不流出的臨界條件是重力大小等于水做圓周運動的向心力大小，即mg＝meq \f(v,r)，其中r＝，解得vmin＝ m/s。
(2)因為3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圓周運動的向心力，所以對于水有N＋mg＝m
解得N＝10 N
由牛頓第三定律可知，水對杯底的壓力大小為
N′＝N＝10 N。(共57張PPT)
培優(yōu)提升八　圓周運動的臨界問題
第3章　圓周運動
1.會分析水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題。
2.掌握豎直面內(nèi)兩種圓周運動模型，并分析解決與之相關(guān)的實際問題。
3.熟練掌握水平面和豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題，并分析解決與之相關(guān)的實際問題。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
提升
1
提升2　豎直面圓周運動的臨界問題
提升1　水平面圓周運動的臨界問題
提升1　水平面圓周運動的臨界問題
1.水平面內(nèi)的圓周運動是指物體做圓周運動的軌跡在水平面內(nèi)。
2.物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發(fā)生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進而出現(xiàn)某些物理量或運動狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)。
3.水平面內(nèi)的圓周運動常見的臨界條件
(1)與繩的彈力有關(guān)的臨界條件：繩彈力恰好為0或不被拉斷的最大值。
(2)與支持面彈力有關(guān)的臨界條件：支持力恰好為0。
(3)與靜摩擦力有關(guān)的臨界條件：靜摩擦力達到最大值。
4.解題關(guān)鍵
(1)在圓周運動問題中，當(dāng)出現(xiàn)“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態(tài)的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
AC
角度1　與繩的彈力有關(guān)的臨界問題
例1 (多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細桿的A點和B點，如圖所示，若兩繩均伸直，繩b水平且長為l，繩a與水平方向成θ角。當(dāng)輕桿繞豎直軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
角度2　與支持面的彈力有關(guān)的臨界問題
例2 如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ＝45°，一條長為L的輕繩(質(zhì)量不計)，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質(zhì)量為m的小物體(物體可看成質(zhì)點)，物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。重力加速度為g，求：
角度3　與靜摩擦力有關(guān)的臨界問題
例3 (新教材魯科版P78T3改編)如圖所示，質(zhì)量相等的甲、乙兩物體放在旋轉(zhuǎn)的圓臺上，甲物體到轉(zhuǎn)軸的距離2r是乙物體到轉(zhuǎn)軸距離的兩倍，甲、乙與圓臺間的最大靜摩擦力相等，動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)圓臺旋轉(zhuǎn)時，甲、乙均未滑動，下列說法正確的是(　　)
B
提升2　豎直面圓周運動的臨界問題
角度1　輕繩模型
1.模型概述
無支撐物(如球與繩連接；沿內(nèi)軌道運動的“過山車”等)的豎直面內(nèi)的圓周運動，稱為“輕繩模型”。
2.模型特點
例4 如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球，用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運動。重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為多大？
(2)當(dāng)小球在最高點的速度為4 m/s時，輕繩拉力多大？
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的速度不能超過多大？
甲
又F1≥0
乙
角度2　輕桿模型
1.模型概述
有支撐物(如球與桿連接；小球在彎管內(nèi)運動等)的豎直面內(nèi)的圓周運動，稱為“輕桿模型”。
2.模型特點
例5 有一輕質(zhì)桿長L為0.5 m，一端固定一小球，質(zhì)量m為0.5 kg，桿繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運動(g＝10 m/s2)。
(1)當(dāng)小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大??；
(2)當(dāng)小球運動到最高點速率分別為1 m/s和4 m/s時，求小球?qū)U的作用力；
(3)當(dāng)小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41 N，求小球運動的速率。
AC
訓(xùn)練 (多選)如圖所示，管壁光滑的圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)，半徑為R。質(zhì)量為m的小球在管道內(nèi)做圓周運動，管道內(nèi)徑遠小于軌道半徑，下列有關(guān)說法中正確的是(　　)
隨堂對點自測
2
C
1.(水平面內(nèi)的臨界問題)如圖所示，粗糙水平圓盤上，質(zhì)量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
A.A、B都有沿切線方向且向后滑動的趨勢
B.B運動所需的向心力大于A運動所需的向心力
C.盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍
D.若B相對圓盤先滑動，則A、B間的動摩擦因數(shù)μA小于盤與B間的動摩擦因數(shù)μB
解析　A、B整體在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物塊所受合外力提供向心力，摩擦力方向指向圓心，物塊有沿徑向向外滑動的趨勢，故A錯誤；物塊做勻速圓周運動，向心力F＝mrω2，A、B質(zhì)量相同，一起做勻速圓周運動的角速度、半徑也相等，所以，兩者運動所需的向心力相等，故B錯誤；由受力分析可知B對A的摩擦力等于F，盤對B的摩擦力等于2F，故C正確；若B相對圓盤先滑動，則2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D錯誤。
BC
2.(豎直面內(nèi)的臨界問題)(多選)如圖所示，輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，另一端固定一個小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做圓周運動，當(dāng)小球運動至最高點時，輕桿對小球的作用力(　　)
A.方向一定豎直向上 B.方向可能豎直向下
C.大小可能為0 D.大小不可能為0
3.(豎直面內(nèi)的臨界問題)(新教材魯科版P83T8改編)雜技演員在做“水流星”表演時，用一根細繩系著盛水的杯子，掄起繩子，讓杯子在豎直面內(nèi)做圓周運動。如圖所示，杯內(nèi)水的質(zhì)量m＝0.5 kg，繩長l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高點水不流出的最小速率；
(2)水在最高點速率v＝3 m/s時，水對杯底的壓力大小。
解得N＝10 N
由牛頓第三定律可知，水對杯底的壓力大小為N′＝N＝10 N。
課后鞏固訓(xùn)練
3
C
題組一　水平面圓周運動的臨界問題
1.如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉(zhuǎn)的水平圓盤面上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍，三個物體的質(zhì)量分別為2m、m、m，它們離轉(zhuǎn)軸的距離分別為R、R、2R。當(dāng)圓盤旋轉(zhuǎn)時，若A、B、C三個物體均相對圓盤靜止，則下列說法正確的是(　　)
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢增大時，C比A先滑動
D.當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢增大時，B比A先滑動
對點題組練
B
2.如圖所示，正方形框ABCD豎直放置，兩個完全相同的小球P、Q分別穿在方框的BC、CD邊上，當(dāng)方框繞AD軸勻速轉(zhuǎn)動時，兩球均恰與方框保持相對靜止且位于BC、CD邊的中點，已知兩球與方框之間的動摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則兩球與方框間的動摩擦因數(shù)為(　　)
B
D
題組二　豎直面圓周運動的臨界問題
4.在游樂園乘坐如圖所示的過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)沿圓周軌道運動，已知重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A.車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，若沒有保險帶，人一定會掉下去
B.人在最高點時對座位仍會產(chǎn)生壓力，但壓力一定小于mg
C.人在最高點和最低點時的向心加速度大小相等
D.人在最低點時對座位的壓力大于mg
解析　過山車上人經(jīng)過最高點及最低點時，受力如圖所示，
CD
D
6.如圖所示，長為L的輕質(zhì)細繩一端與質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點)相連，另一端可繞O點使小球在豎直平面內(nèi)運動。設(shè)小球在最高點的速度為v，重力加速度為g，不計空氣阻力，則下列說法正確的是(　　)
B
BD
8.(多選)如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動軸上，外界給予系統(tǒng)一定的能量后，桿和球在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動的過程中，忽略空氣阻力。某時刻若球B運動到最高點，且球B對桿恰好無作用力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
D
9.如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動(不計一切阻力)，小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其T－v2圖像如圖乙所示，則(　　)
綜合提升練
B
10.如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動。當(dāng)小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與過最高點時小球速度的平方的關(guān)系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)。PQ為通過圓心的一條水平線。不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動時，繩上恰好有張力，求ω1的值；
(2)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω2勻速轉(zhuǎn)動時，物塊恰好離開轉(zhuǎn)盤，求ω2的值。
ACD
12.(多選)(新教材魯科版P81T9改編)如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點)，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸OO′的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩上張力為0)。物塊和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是物塊對轉(zhuǎn)盤壓力的μ倍。已知重力加速度為g，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。下列說法正確的是(　　 )
培優(yōu)加強練

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