資源簡介

培優提升九　與圓周運動相關聯的多過程問題
(分值：100分)
選擇題1～2題，每小題10分，共20分。
1.如圖所示，質量為m的小球與長度為L的細線連接，另一端系于O點，現將小球拉至水平方向，小球由靜止開始釋放，已知小球到達最低點時對繩子的拉力大小為2.5mg，則小球由釋放至擺到最低點過程中克服空氣阻力做功大小(　　)
mgL mgL
mgL mgL
2.(2022·全國甲卷，14)北京2022年冬奧會首鋼滑雪大跳臺局部示意圖如圖所示。運動員從a處由靜止自由滑下，到b處起跳，c點為a、b之間的最低點，a、c兩處的高度差為h。要求運動員經過c點時對滑雪板的壓力不大于自身所受重力的k倍，運動過程中將運動員視為質點并忽略所有阻力，則c點處這一段圓弧雪道的半徑不應小于(　　)
3.(20分)如圖甲所示是游樂場中過山車的實物圖片，可將過山車的一部分運動簡化為圖乙的模型圖，此模型中所有軌道都是光滑的，現使小車(視作質點)從左側軌道距B點高h＝0.25 m處(圖中未標出)，由靜止開始向下運動，B點為圓軌道的最低點，小車進入圓軌道后，恰好能通過軌道的最高點A處，不計空氣阻力，小車的質量m＝1.0 kg，g取10 m/s2。求：
(1)(6分)小車通過B點時的速度大小vB；
(2)(6分)圓軌道的半徑R的大小；
(3)(8分)小車運動到圓軌道B點時對軌道的壓力大小NB。
4.(20分)如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形導軌在B點相接，導軌半徑為R。一個質量為m的物塊(可視為質點)將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物塊獲得某一向右速度后脫離彈簧，當它經過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運動恰能完成半個圓周運動到達C點。已知重力加速度為g，試求：
(1)(6分)彈簧開始時的彈性勢能；
(2)(6分)物塊從B點運動至C點克服阻力做的功；
(3)(8分)物塊離開C點后落回水平面時的動能。
5.(20分)(2023·全國甲卷，24)如圖，光滑水平桌面上有一輕質彈簧，其一端固定在墻上。用質量為m的小球壓彈簧的另一端，使彈簧的彈性勢能為Ep。釋放后，小球在彈簧作用下從靜止開始在桌面上運動，與彈簧分離后，從桌面水平飛出。小球與水平地面碰撞后瞬間，其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等；垂直于地面的速度分量大小變為碰撞前瞬間的。小球與地面碰撞后，彈起的最大高度為h，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。求：
(1)(10分)小球離開桌面時的速度大小；
(2)(10分)小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離。
6.(20分)圖甲所示為重慶釣魚城復制的古代拋石機，通過使用拋石機可以擊中幾十至幾百米遠的目標。某同學仿照古代拋石機制作一個拋石機模型如圖乙所示，炮架上橫置一個可以轉動的軸，固定在軸上的長輕桿，可繞轉軸O轉動，轉軸O到地面的距離為h＝1 m，發射前長桿A端著地與地面成30°夾角，A端半球形凹槽中放置一質量m＝3 kg的物體，兩人用手拉動長輕桿另一端B至O點正下方，當B貼近地面時剛好在O點正下方，且速度vB＝1.5 m/s，此時長輕桿受到裝置作用迅速停止，A端小凹槽中的物體從最高點水平飛出，空氣阻力可忽略不計，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)(6分)物體從最高點飛出時的速度大小vA；
(2)(6分)物體在最高點飛出前對長桿凹槽在豎直方向上的彈力；
(3)(8分)物體從最高點水平飛出后落地時的動能。
培優提升九　與圓周運動相關聯的多過程問題
1.B　[小球到達最低點時對繩子的拉力大小為2.5mg，則2.5mg－mg＝m，從釋放至擺到最低點過程中mgL－W阻＝mv2－0，解得W阻＝mgL，故B正確。]
2.D　[運動員從a到c根據動能定理有mgh＝mv，在c點有FNc－mg＝meq \f(v,Rc)，FNc≤ kmg，聯立有Rc≥，故選項D正確。]
3.(1) m/s　(2)0.1 m　(3)60 N
解析　(1)由動能定理有mgh＝mv
解得vB＝＝m/s。
(2)設小車經過A點時的速度為vA，根據牛頓第二定律有mg＝eq \f(mv,R)得vA＝
根據機械能守恒定律有
mv＋2mgR＝mv
得vB＝，聯立解得R＝0.1 m。
(3)設在最低點軌道給小車的支持力為NB′，根據牛頓第二定律有
NB′－mg＝eq \f(mv,R)
解得NB′＝60 N，由牛頓第三定律可知，小車對軌道的壓力大小NB＝60 N。
4.(1)3mgR　(2)0.5mgR　(3)mgR
解析　(1)在B點時，對物塊由牛頓第二定律得
N－mg＝meq \f(v,R)，解得vB＝
物塊從A點到B點的過程中，根據機械能守恒定律可知，彈簧的彈性勢能Ep＝mv＝3mgR。
(2)物塊到達C點僅受重力mg，根據牛頓第二定律有mg＝meq \f(v,R)
物塊從B點到C點只有重力和阻力做功，根據動能定理有W－mg×2R＝mv－mv
解得W＝－0.5mgR，即物塊m從B點運動到C點克服阻力做的功的大小為0.5mgR。
(3)物塊離開C點后落回水平面的過程，根據動能定理有mg×2R＝Ek－mv
解得落回水平面時的動能為Ek＝mgR。
5.(1)　(2)
解析　(1)從釋放彈簧到小球離開桌面的過程中，小球與彈簧組成的系統機械能守恒，設小球離開桌面時的速度大小為v0，由機械能守恒定律有
Ep＝mv
解得v0＝。
(2)小球與地面碰撞彈起后在豎直方向做豎直上拋運動，設彈起時小球的豎直速度為vy1，由運動學公式有
v＝2gh
設小球落地前的瞬間豎直方向速度大小為vy，有
vy1＝vy
小球從桌面水平飛出后，做平拋運動的過程中，有
vy＝gt
其水平位移x＝v0t
聯立解得x＝。
6.(1)3 m/s　(2)16.5 N　方向豎直向下　(3)103.5 J
解析　(1)由幾何關系可知AO＝2OB＝2h
因A、B轉動的角速度相同，且v＝rω
所以A端物體在最高點的速度為vA＝2vB
解得vA＝3 m/s。
(2)物體在最高點時，由重力和桿的支持力提供向心力，有mg＋N＝meq \f(v,r)，又r＝OA＝2h
解得N＝－16.5 N，方向豎直向上
由牛頓第三定律知，物體在最高點對長桿凹槽在豎直方向上的彈力N′＝16.5 N，方向豎直向下。
(3)物體到達最高點時，距地面高度
y＝h＋＝3 m
由動能定理得mgy＝Ek－mv
可得Ek＝103.5 J。培優提升九　與圓周運動相關聯的多過程問題
學習目標　1.掌握拋體運動和圓周運動的特點，會解決拋體運動與圓周運動的綜合問題。2.利用動力學方法和功能觀點解決多過程問題。
1.問題概述
2.解題思路
(1)若一個物體參與了多個運動過程，有的過程只涉及運動和力的問題或只要求分析物體的動力學特點，則要用動力學方法求解。
(2)若某過程涉及做功和能量轉化問題，則要考慮應用動能定理、機械能守恒定律、能量守恒定律、功能關系求解。
3.解題關鍵
尋找過程間的聯系是解題的突破口。
角度1　直線運動與圓周運動組合
例1 如圖所示，豎直平面內的光滑半圓形軌道下端與水平面相切，B、C分別為半圓形軌道的最低點和最高點。小滑塊沿水平面向左滑動，經過A點時的速度vA＝6 m/s，經過B點進入光滑半圓形軌道，且恰好通過最高點C。已知半圓軌道半徑R＝0.40 m，小滑塊的質量為1 kg，小滑塊可看作質點，g＝10 m/s2。求：
(1)滑塊經過B點時對圓軌道的壓力大小；
(2)滑塊從A到B過程克服摩擦力做的功。
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角度2　平拋運動與圓周運動組合
例2 如圖所示，AB為豎直光滑圓弧的直徑，其半徑R＝0.9 m，A端沿水平方向。水平軌道BC與半徑r＝0.9 m的光滑圓弧軌道CD相接于C點，D為圓軌道的最低點，圓弧軌道CD對應的圓心角θ＝37°。一質量為M＝0.9 kg的物塊(視為質點)從水平軌道上某點以某一速度沖上豎直圓軌道，并從A點飛出，經過C點恰好沿切線進入圓弧軌道，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物塊到達C點時的速度大小vC；
(2)在A點受到的彈力大小FA；
(3)物塊對C點的壓力大小FC。
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角度3　斜拋運動與圓周運動組合
例3 (2024·福建三明高一期末)2022年2月北京舉辦了第22屆冬季奧運會，成為全球首座“雙奧之城”。圖甲為運動員在比賽中的照片，賽道簡化為圖乙所示，PQ為六分之一圓弧跳臺，O為圓心，AB為傾斜坡道。運動員在空中運動的軌跡為QMS，M為軌跡的最高點。已知運動員和裝備的總質量為m＝80 kg，經過圓弧最低點P時的速度v0＝15 m/s，跳臺的半徑R＝12.5 m。忽略一切阻力，將運動員及裝備視為質點，g取10 m/s2。求：
(1)運動員經過P點時對軌道的壓力大小；
(2)運動員在M點的速度大小；
(3)設運動員經過P點時受到軌道的支持力為N，運動中距離水平面PA的最大高度為h，若運動員以不同速率經過P點，求N和h的關系式(用符號m、g、R表示)。
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角度4　多過程組合問題
例4 如圖所示，粗糙水平面AB與豎直面內的光滑半圓形軌道在B點平滑相接，導軌半徑R＝0.4 m，一質量m＝1 kg的小滑塊(可視為質點)從A點以某一水平初速度滑上水平面AB，經過B點后恰好能通過半圓形軌道最高點C，最后落在AB上的D點，g＝10 m/s2。求：
(1)小滑塊運動到半圓形軌道最高點時的速度大小；
(2)D點與B點間的距離；
(3)小滑塊在B點對軌道的壓力大小。
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隨堂對點自測
1.如圖是為了檢驗某種防護罩承受沖擊能力的裝置的一部分，M是半徑為R＝1.0 m、固定于豎直平面內的四分之一光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平，M的下端相切處放置豎直向上的彈簧槍，可發射速度不同的質量m＝0.01 kg 的小鋼珠(可視為質點)，假設某次發射的小鋼珠沿軌道內側恰好能經過M的上端點水平飛出，g取10 m/s2，彈簧槍的長度不計，則發射該小鋼珠前，彈簧的彈性勢能為(　　)
A.0.10 J B.0.15 J
C.0.20 J D.0.25 J
2.如圖所示，粗糙的水平軌道和光滑的豎直圓軌道ABCD相切于A點，小滑塊P靜置在水平軌道上，現對P施加水平向右的恒力F使之由靜止向右運動，到A點時撤去F。研究發現：當起點在M點左側或N點右側時，P進入圓軌道后不會脫離軌道。設MA與NA的比值為k，小滑塊與水平軌道間的動摩擦因數為μ，則(　　)
A.μ越大，k越大 B.μ越大，k越小
C.k＝2 D.k＝
培優提升九　與圓周運動相關聯的多過程問題
例1 (1)60 N　(2)8 J
解析　(1)小滑塊恰好通過最高點C，則其在C點有
mg＝meq \f(v,R)
從C到B過程，對小滑塊由動能定理，有
2mgR＝mv－mv
在B點，對小滑塊由牛頓第二定律得
N－mg＝meq \f(v,R)
聯立解得N＝60 N
根據牛頓第三定律，經過B點時對圓軌道的壓力大小為60 N。
(2)對滑塊，從A 到B 由動能定理得
－Wf＝mv－mv
解得Wf＝8 J。
例2 (1)10 m/s　(2)55 N　(3)107.2 N
解析　(1)物塊經過C點恰好沿切線進入圓弧軌道，對于A到C的平拋運動過程，有v＝2g×2R
又sin θ＝，聯立解得vC＝10 m/s。
(2)tan θ＝，在A點有Mg＋FA＝Meq \f(v,R)
聯立解得FA＝55 N。
(3)在C點有FC′－Mgcos θ＝Meq \f(v,r)
聯立解得FC′＝107.2 N
根據牛頓第三定律可知物塊對C點壓力大小
FC＝FC′＝107.2 N。
例3 (1)2 240 N　(2)5 m/s　(3)h＝N－
解析　(1)運動員經過P點時，根據牛頓第二定律有
N－mg＝meq \f(v,R)
解得N＝2 240 N，根據牛頓第三定律得，運動員經過P點時對軌道的壓力大小N′＝N＝2 240 N。
(2)PQ為六分之一圓弧跳臺，則∠POQ＝60°，運動員由P到Q過程有
－mg(R－Rcos θ)＝mv－mv
解得vQ＝10 m/s
由于運動員做斜拋運動，在最高點M的速度為
vM＝vQcos θ＝vQ＝5 m/s。
(3)在P點根據牛頓第二定律有N－mg＝meq \f(v,R)
從P點到Q點，由動能定理得
－mg＝mv－mv
根據斜拋運動關系得vM＝vQcos θ＝vQ
從P點到M點，由動能定理得
－mgh＝mv－mv
聯立整理得h＝N－。
例4 (1)2 m/s　(2)0.8 m　(3)60 N
解析　(1)小滑塊經過B點后恰好能通過半圓形軌道最高點C，有mg＝meq \f(v,R)
解得小滑塊運動到半圓形軌道最高點時的速度大小為vC＝＝2 m/s。
(2)小滑塊經過最高點C后做平拋運動，豎直方向有
2R＝gt2
D點與B點間的距離為x＝vCt＝0.8 m。
(3)根據動能定理有2mgR＝mv－mv
根據牛頓第二定律有N－mg＝meq \f(v,R)
根據牛頓第三定律得小滑塊在B點對軌道的壓力大小為N′＝N＝60 N。
隨堂對點自測
1.B　[設小鋼珠在M軌道最高點的速度為v，在最高點，由題意可得mg＝m，從發射前到最高點，由機械能守恒定律有Ep＝mgR＋mv2＝0.15 J，B正確。]
2.D　[由題意知：滑塊從M點恰好能到最高點，有(F－f)MA－mg·2R＝mv2，在最高點時，由重力提供向心力得mg＝，滑塊從N點恰好能到B點，有(F－f)NA－mgR＝0，聯立解得k＝＝，k的取值與μ無關，故D正確。](共39張PPT)
培優提升九　與圓周運動相關聯的多過程問題
第3章　圓周運動
1.掌握拋體運動和圓周運動的特點，會解決拋體運動與圓周運動的綜合問題。
2.利用動力學方法和功能觀點解決多過程問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
1.問題概述
2.解題思路
(1)若一個物體參與了多個運動過程，有的過程只涉及運動和力的問題或只要求分析物體的動力學特點，則要用動力學方法求解。
(2)若某過程涉及做功和能量轉化問題，則要考慮應用動能定理、機械能守恒定律、能量守恒定律、功能關系求解。
3.解題關鍵
尋找過程間的聯系是解題的突破口。
角度1　直線運動與圓周運動組合
例1 如圖所示，豎直平面內的光滑半圓形軌道下端與水平面相切，B、C分別為半圓形軌道的最低點和最高點。小滑塊沿水平面向左滑動，經過A點時的速度vA＝6 m/s，經過B點進入光滑半圓形軌道，且恰好通過最高點C。已知半圓軌道半徑R＝0.40 m，小滑塊的質量為1 kg，小滑塊可看作質點，g＝10 m/s2。求：
(1)滑塊經過B點時對圓軌道的壓力大小；
(2)滑塊從A到B過程克服摩擦力做的功。
答案　(1)60 N　(2)8 J
角度2　平拋運動與圓周運動組合
例2 如圖所示，AB為豎直光滑圓弧的直徑，其半徑R＝0.9 m，A端沿水平方向。水平軌道BC與半徑r＝0.9 m的光滑圓弧軌道CD相接于C點，D為圓軌道的最低點，圓弧軌道CD對應的圓心角θ＝37°。一質量為M＝0.9 kg的物塊(視為質點)從水平軌道上某點以某一速度沖上豎直圓軌道，并從A點飛出，經過C點恰好沿切線進入圓弧軌道，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物塊到達C點時的速度大小vC；
(2)在A點受到的彈力大小FA；
(3)物塊對C點的壓力大小FC。
答案　(1)10 m/s　(2)55 N　(3)107.2 N
角度3　斜拋運動與圓周運動組合
例3 (2024·福建三明高一期末)2022年2月北京舉辦了第22屆冬季奧運會，成為全球首座“雙奧之城”。圖甲為運動員在比賽中的照片，賽道簡化為圖乙所示，PQ為六分之一圓弧跳臺，O為圓心，AB為傾斜坡道。運動員在空中運動的軌跡為QMS，M為軌跡的最高點。已知運動員和裝備的總質量為m＝80 kg，經過圓弧最低點P時的速度v0＝15 m/s，跳臺的半徑R＝12.5 m。忽略一切阻力，將運動員及裝備視為質點，g取10 m/s2。求：
(1)運動員經過P點時對軌道的壓力大小；
(2)運動員在M點的速度大小；
(3)設運動員經過P點時受到軌道的支持力為N，運動中距離水平面PA的最大高度為h，若運動員以不同速率經過P點，求N和h的關系式(用符號m、g、R表示)。
角度4　多過程組合問題
例4 如圖所示，粗糙水平面AB與豎直面內的光滑半圓形軌道在B點平滑相接，導軌半徑R＝0.4 m，一質量m＝1 kg的小滑塊(可視為質點)從A點以某一水平初速度滑上水平面AB，經過B點后恰好能通過半圓形軌道最高點C，最后落在AB上的D點，g＝10 m/s2。求：
(1)小滑塊運動到半圓形軌道最高點時的速度大小；
(2)D點與B點間的距離；
(3)小滑塊在B點對軌道的壓力大小。
答案　(1)2 m/s　(2)0.8 m　(3)60 N
隨堂對點自測
2
B
1.如圖是為了檢驗某種防護罩承受沖擊能力的裝置的一部分，M是半徑為R＝1.0 m、固定于豎直平面內的四分之一光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平，M的下端相切處放置豎直向上的彈簧槍，可發射速度不同的質量m＝0.01 kg 的小鋼珠(可視為質點)，假設某次發射的小鋼珠沿軌道內側恰好能經過M的上端點水平飛出，g取10 m/s2，彈簧槍的長度不計，則發射該小鋼珠前，彈簧的彈性勢能為(　　)
A.0.10 J B.0.15 J
C.0.20 J D.0.25 J
D
2.如圖所示，粗糙的水平軌道和光滑的豎直圓軌道ABCD相切于A點，小滑塊P靜置在水平軌道上，現對P施加水平向右的恒力F使之由靜止向右運動，到A點時撤去F。研究發現：當起點在M點左側或N點右側時，P進入圓軌道后不會脫離軌道。設MA與NA的比值為k，小滑塊與水平軌道間的動摩擦因數為μ，則(　　)
課后鞏固訓練
3
B
1.如圖所示，質量為m的小球與長度為L的細線連接，另一端系于O點，現將小球拉至水平方向，小球由靜止開始釋放，已知小球到達最低點時對繩子的拉力大小為2.5mg，則小球由釋放至擺到最低點過程中克服空氣阻力做功大小(　　)
D
2.(2022·全國甲卷，14)北京2022年冬奧會首鋼滑雪大跳臺局部示意圖如圖所示。運動員從a處由靜止自由滑下，到b處起跳，c點為a、b之間的最低點，a、c兩處的高度差為h。要求運動員經過c點時對滑雪板的壓力不大于自身所受重力的k倍，運動過程中將運動員視為質點并忽略所有阻力，則c點處這一段圓弧雪道的半徑不應小于(　　)
3.如圖甲所示是游樂場中過山車的實物圖片，可將過山車的一部分運動簡化為圖乙的模型圖，此模型中所有軌道都是光滑的，現使小車(視作質點)從左側軌道距B點高h＝0.25 m處(圖中未標出)，由靜止開始向下運動，B點為圓軌道的最低點，小車進入圓軌道后，恰好能通過軌道的最高點A處，不計空氣阻力，小車的質量m＝1.0 kg，g取10 m/s2。求：
(1)小車通過B點時的速度大小vB；
(2)圓軌道的半徑R的大小；
(3)小車運動到圓軌道B點時對軌道的壓力大小NB。
4.如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形導軌在B點相接，導軌半徑為R。一個質量為m的物塊(可視為質點)將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物塊獲得某一向右速度后脫離彈簧，當它經過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運動恰能完成半個圓周運動到達C點。已知重力加速度為g，試求：
(1)彈簧開始時的彈性勢能；
(2)物塊從B點運動至C點克服阻力做的功；
(3)物塊離開C點后落回水平面時的動能。
(1)小球離開桌面時的速度大小；
(2)小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離。
6.圖甲所示為重慶釣魚城復制的古代拋石機，通過使用拋石機可以擊中幾十至幾百米遠的目標。某同學仿照古代拋石機制作一個拋石機模型如圖乙所示，炮架上橫置一個可以轉動的軸，固定在軸上的長輕桿，可繞轉軸O轉動，轉軸O到地面的距離為h＝1 m，發射前長桿A端著地與地面成30°夾角，A端半球形凹槽中放置一質量m＝3 kg的物體，兩人用手拉動長輕桿另一端B至O點正下方，當B貼近地面時剛好在O點正下方，且速度vB＝1.5 m/s，此時長輕桿受到裝置作用迅速停止，A端小凹槽中的物體從最高點水平飛出，空氣阻力可忽略不計，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物體從最高點飛出時的速度大小vA；
(2)物體在最高點飛出前對長桿凹槽在豎直方向上的彈力；
(3)物體從最高點水平飛出后落地時的動能。
答案　(1)3 m/s　(2)16.5 N　方向豎直向下 (3)103.5 J
解析　(1)由幾何關系可知AO＝2OB＝2h
因A、B轉動的角速度相同，且v＝rω
所以A端物體在最高點的速度為vA＝2vB
解得vA＝3 m/s。
解得N＝－16.5 N，方向豎直向上
由牛頓第三定律知，物體在最高點對長桿凹槽在豎直方向上的彈力N′＝16.5 N，方向豎直向下。

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