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培優(yōu)提升十　萬(wàn)有引力的三個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題
(分值：100分)
選擇題1～9題，每小題10分，共90分。
對(duì)點(diǎn)題組練
題組一　衛(wèi)星變軌問(wèn)題
1.北京時(shí)間2022年5月10日01時(shí)56分，搭載“天舟四號(hào)”貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙五運(yùn)載火箭，在我國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射，約10分鐘后，飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，2時(shí)23分，飛船太陽(yáng)能帆板順利展開(kāi)工作，發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功。后續(xù)，“天舟四號(hào)”貨運(yùn)飛船將與在軌運(yùn)行的“空間站組合體”進(jìn)行交會(huì)對(duì)接，若對(duì)接前兩者在同一軌道上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
對(duì)接前“天舟四號(hào)”的運(yùn)行速率大于“空間站組合體”的運(yùn)行速率
對(duì)接前“天舟四號(hào)”的向心加速度小于“空間站組合體”的向心加速度
“天舟四號(hào)”通過(guò)加速可實(shí)現(xiàn)與“空間站組合體”在原軌道上對(duì)接
“天舟四號(hào)”先減速后加速可實(shí)現(xiàn)與“空間站組合體”在原軌道上對(duì)接
2.2023年10月26日，神舟十七號(hào)與天和核心艙完成自動(dòng)交會(huì)對(duì)接。如圖所示，天和核心艙繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，神舟十七號(hào)繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，且橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn)與圓軌道相切，下面說(shuō)法正確的是(　　)
航天員在核心艙中處于失重狀態(tài)，說(shuō)明航天員不受地球引力作用
若兩者在各自的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，則兩者在切點(diǎn)處的加速度相同
若兩者原來(lái)在同一圓軌道上，神舟十七號(hào)可以沿切向噴氣加速追上核心艙
設(shè)軌道所處空間存在極其稀薄的空氣，若不加干預(yù)，核心艙的軌道高度將緩慢升高
3.(多選)飛船的某段運(yùn)動(dòng)可近似為如圖所示的情境，圓形軌道Ⅰ為空間站運(yùn)行軌道，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為r，空間站運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T(mén)。橢圓軌道Ⅱ?yàn)檩d人飛船運(yùn)行軌道，兩軌道相切于A點(diǎn)，橢圓軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸為a，地球表面重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是(　　)
根據(jù)題中信息，可求出空間站運(yùn)轉(zhuǎn)速度v＝
空間站在軌道Ⅰ運(yùn)行的加速度大于g
載人飛船若要進(jìn)入軌道Ⅰ，需要在A點(diǎn)加速
空間站在圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期大于載人飛船在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期
題組二　近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的比較
4.(多選)同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，向心加速度大小為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列關(guān)系式正確的是(　　)
＝ ＝
＝ ＝
5.2022年6月5日10時(shí)44分，搭載神舟十四號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，于17時(shí)42分，成功對(duì)接于天和核心艙。已知地球半徑約6 400 km，中國(guó)空間站距地面約400 km，同步衛(wèi)星軌道距地面的高度約為36 000 km。則以下有關(guān)說(shuō)法正確的是(　　)
空間站中的宇航員不受地球引力
空間站運(yùn)行的線(xiàn)速度大于地球第一宇宙速度
地球赤道上物體的向心加速度小于同步衛(wèi)星的向心加速度
空間站的向心加速度小于同步衛(wèi)星的向心加速度
6.(多選)(2024·山西太原高一期末)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動(dòng)；b在地球的低空?qǐng)A軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空?qǐng)A軌道探測(cè)衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
a的向心加速度大于b的向心加速度
b的運(yùn)行周期小于c的運(yùn)行周期
d的角速度最小
四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是va>vb>vc>vd
題組三　雙星及三星模型
7.某雙星系統(tǒng)是由兩顆互相繞行的中央恒星組成，被氣體和塵埃盤(pán)包圍，呈現(xiàn)出“霧繞雙星”的奇幻效果。假設(shè)該系統(tǒng)中兩恒星甲、乙的質(zhì)量分別為m1、m2，兩恒星相互繞行的周期為T(mén)，引力常量為G。忽略塵埃盤(pán)對(duì)雙星引力的影響，忽略恒星的自轉(zhuǎn)，且恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩恒星之間的距離。下列說(shuō)法正確的是(　　)
恒星甲、乙繞行的軌道半徑之比為m1∶m2
恒星甲、乙繞行的加速度大小之比為m1∶m2
恒星甲、乙繞行的角速度大小之比為m1∶m2
兩恒星之間的距離為
8.如圖所示，三顆質(zhì)量均為M的星球位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。如果它們中的每一顆都在相互的引力作用下沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行而保持等邊三角形不變，已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是(　　)
其中一個(gè)星球受到另外兩個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力大小為
其中一個(gè)星球受到另外兩個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力指向圓心O
它們運(yùn)行的軌道半徑為L(zhǎng)
它們運(yùn)行的速度大小為
綜合提升練
9.(多選)(2024·山東濟(jì)南高一期末)2024年4月25日20時(shí)58分，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射。如圖為神舟十八號(hào)發(fā)射和與空間站交會(huì)對(duì)接過(guò)程示意圖，圖中Ⅰ為近地圓軌道，Ⅱ?yàn)闄E圓轉(zhuǎn)移軌道，Ⅲ為空間站所在圓軌道，飛船在三個(gè)軌道上運(yùn)行周期分別為T(mén)1、T2、T3，P、Q分別為軌道Ⅱ與軌道Ⅰ、Ⅲ的交會(huì)點(diǎn)。根據(jù)上述信息，下列說(shuō)法正確的是(　　)
飛船在三個(gè)軌道上運(yùn)行周期的大小關(guān)系為T(mén)1飛船從軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅲ時(shí)需要在Q點(diǎn)加速
飛船在軌道Ⅱ上從P點(diǎn)運(yùn)行到Q點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能逐漸減小
飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能小于在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能
培優(yōu)加強(qiáng)練
10.(10分)(2024·陜西渭南高一期末)2022年4月16日，圓滿(mǎn)完成任務(wù)的三名中國(guó)航天英雄乘坐神舟十三號(hào)飛船從空間站順利返回地面，刷新中國(guó)載人航天器最快返回的記錄，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)航天的又一項(xiàng)重大技術(shù)突破。如圖所示，某顆衛(wèi)星的返回回收過(guò)程可簡(jiǎn)化如下：軌道1是某近地圓軌道，其半徑可近似看作等于地球半徑，軌道2是位于與軌道1同一平面內(nèi)的中地圓軌道，軌道半徑為地球半徑的3倍。一顆在軌道2上運(yùn)行的質(zhì)量為m的衛(wèi)星通過(guò)兩次制動(dòng)變軌，先從轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)入軌道1運(yùn)行，調(diào)整好姿態(tài)再伺機(jī)進(jìn)入大氣層，返回地面。已知地球半徑為R，衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行時(shí)的加速度大小為a，忽略其他星體對(duì)該衛(wèi)星的作用力，試求：
(1)(5分)該衛(wèi)星在軌道2上運(yùn)行的速度；
(2)(5分)該衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上從軌道2上的A點(diǎn)運(yùn)行至軌道1上的B點(diǎn)(A、B與地心在同一直線(xiàn)上)所需的最短時(shí)間。
培優(yōu)提升十　萬(wàn)有引力的三個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題
1.D　[對(duì)接前“天舟四號(hào)”與“空間站組合體”兩者在同一軌道上運(yùn)動(dòng)，由G＝m＝ma得v＝，a＝G，同一軌道，運(yùn)行速率，向心加速度相等，A、B錯(cuò)誤；“天舟四號(hào)”與“空間站組合體”在同一軌道上，此時(shí)“天舟四號(hào)”受到的萬(wàn)有引力提供向心力，若讓“天舟四號(hào)”加速，所需要的向心力變大，萬(wàn)有引力不變，所以“天舟四號(hào)”做離心運(yùn)動(dòng)，不能實(shí)現(xiàn)對(duì)接，C錯(cuò)誤；“天舟四號(hào)”與“空間站組合體”在同一軌道上，“天舟四號(hào)”先減速做近心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入較低的軌道，后加速做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑變大，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)接，D正確。]
2.B　[航天員在核心艙中處于失重狀態(tài)，但航天員仍受地球引力作用，故A錯(cuò)誤；若兩者在各自的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，則兩者在切點(diǎn)處時(shí)，根據(jù)＝ma得a＝，可知兩者在切點(diǎn)處的加速度相同，故B正確；若兩者原來(lái)在同一圓軌道上，若神舟十七號(hào)沿切向噴氣加速，則萬(wàn)有引力不足以提供向心力，神舟十七號(hào)將做離心運(yùn)動(dòng)，不可能追上核心艙，故C錯(cuò)誤；設(shè)軌道所處空間存在極其稀薄的空氣，若不加干預(yù)，核心艙的速度將減小，則萬(wàn)有引力大于所需的向心力，核心艙的軌道高度將緩慢降低，故D錯(cuò)誤。]
3.ACD　[由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求出空間站運(yùn)轉(zhuǎn)速度v＝，A正確；設(shè)地球半徑為R，在地球表面G＝mg，空間站在軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)G＝ma，可知，空間站在軌道Ⅰ運(yùn)行的加速度小于g，B錯(cuò)誤；載人飛船若要進(jìn)入軌道Ⅰ，需要在A點(diǎn)加速，C正確；由開(kāi)普勒第三定律可知空間站在圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期大于載人飛船在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期，D正確。]
4.AD　[以第一宇宙速度運(yùn)行的衛(wèi)星為近地衛(wèi)星。對(duì)于衛(wèi)星，其共同特點(diǎn)是萬(wàn)有引力提供向心力，則G＝m，故＝，對(duì)于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，角速度相等，根據(jù)an＝ω2r，有＝。故A、D正確。]
5.C　[空間站中的宇航員受地球的引力，故A錯(cuò)誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，空間站線(xiàn)速度小于地球第一宇宙速度，故B錯(cuò)誤；赤道上物體與同步衛(wèi)星角速度相同，由a＝ω2r可知地球赤道上物體的向心加速度小于同步衛(wèi)星的向心加速度，故C正確；根據(jù)G＝ma知空間站的向心加速度大于同步衛(wèi)星的向心加速度，故D錯(cuò)誤。]
6.BC　[根據(jù)題意，a、c具有相同的周期、相同的角速度，根據(jù)a＝rω2得aaωc＝ωa>ωd，故C正確；根據(jù)G＝m得v＝，所以vb>vc>vd，根據(jù)v＝ωr知vc>va，故D錯(cuò)誤。]
7.D　[設(shè)恒星甲、乙繞行的軌道半徑分別為r1、r2，根據(jù)G＝m1r1＝m2r2得r1∶r2＝m2∶m1，故A錯(cuò)誤；根據(jù)G＝m1a1＝m2a2得a1∶a2＝m2∶m1，故B錯(cuò)誤；兩恒星繞行的周期相同，由ω＝得ω1∶ω2＝1∶1，故C錯(cuò)誤；兩恒星之間的距離L＝r1＋r2，聯(lián)立解得L＝，故D正確。]
8.B　[根據(jù)萬(wàn)有引力定律，任意兩顆星球之間的萬(wàn)有引力為F1＝，方向沿著它們的連線(xiàn)，其中一個(gè)星球受到另外兩個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力為F＝2F1cos 30°＝，方向指向圓心O，A錯(cuò)誤，B正確；由rcos 30°＝，解得它們運(yùn)行的軌道半徑r＝L，C錯(cuò)誤；由＝M，可得v＝，D錯(cuò)誤。]
9.ABD　[由題知，軌道Ⅰ半徑小于軌道Ⅱ半長(zhǎng)軸，軌道Ⅲ半徑最大，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律＝k，知T110.(1)　(2)2π
解析　(1)在軌道2上，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有
G＝m
在軌道1上，根據(jù)牛頓第二定律得G＝ma
聯(lián)立解得v＝。
(2)轉(zhuǎn)移軌道是橢圓軌道，其長(zhǎng)軸2r＝R＋3R＝4R
衛(wèi)星在軌道2上的周期T2滿(mǎn)足
G＝meq \f(4π2,T)·3R
設(shè)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道的周期為T(mén)，由開(kāi)普勒第三定律可得＝eq \f(（3R）3,T)
衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道的最短時(shí)間tmin＝T
聯(lián)立解得tmin＝2π。培優(yōu)提升十　萬(wàn)有引力的三個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握衛(wèi)星常見(jiàn)的三種變軌問(wèn)題。2.會(huì)比較同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的運(yùn)動(dòng)參量。
3.理解雙星、三星運(yùn)動(dòng)模型。
提升1　衛(wèi)星變軌問(wèn)題
1.變軌問(wèn)題概述
2.變軌問(wèn)題分析
人造衛(wèi)星的發(fā)射過(guò)程要經(jīng)過(guò)多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。
(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。
(2)在A點(diǎn)點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。
(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。
3.變軌過(guò)程各物理量分析
(1)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線(xiàn)速度v不相等，圖中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。
(2)同一個(gè)橢圓軌道上近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)線(xiàn)速度大小不相等，從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)線(xiàn)速度逐漸增大。
(3)兩個(gè)不同圓軌道上的線(xiàn)速度v不相等，軌道半徑越大，v越小，圖中vⅠ＞vⅢ。
(4)不同軌道上運(yùn)行周期T不相等。根據(jù)開(kāi)普勒第三定律＝k知，內(nèi)側(cè)軌道的周期小于外側(cè)軌道的周期。圖中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。
(5)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處加速度a相同，圖中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。
角度1　發(fā)射變軌問(wèn)題
例1 2022年1月22日，我國(guó)實(shí)踐21號(hào)衛(wèi)星(SJ－21)將一顆失效的北斗導(dǎo)航衛(wèi)星從擁擠的地球同步軌道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地軌道”上。拖拽時(shí)，航天器先在P點(diǎn)加速進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道，而后在Q點(diǎn)加速進(jìn)入墓地軌道。如圖所示，此舉標(biāo)志著航天器被動(dòng)移位和太空垃圾處理新方式的成功執(zhí)行，在該過(guò)程中，航天器(　　)
A.在同步軌道上運(yùn)動(dòng)的周期小于在轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)動(dòng)的周期
B.在同步軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度小于在墓地軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度
C.在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度大于在墓地軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度
D.在同步軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度大于在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度
訓(xùn)練1 (多選)2021年2月5日，天問(wèn)一號(hào)火星探測(cè)器順利完成地火轉(zhuǎn)移段第四次軌道中途修正，以確保按計(jì)劃實(shí)施火星捕獲。如圖所示，其過(guò)程簡(jiǎn)化為探測(cè)器先進(jìn)入繞火星圓軌道Ⅰ，經(jīng)過(guò)與其相切的繞火星橢圓軌道Ⅱ再轉(zhuǎn)移到繞火星圓軌道Ⅲ，A、B分別為橢圓軌道Ⅱ上的近火點(diǎn)和遠(yuǎn)火點(diǎn)。探測(cè)器在變軌過(guò)程中質(zhì)量視為不變。則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.探測(cè)器在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能
B.探測(cè)器在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期大于在軌道Ⅰ上的運(yùn)行周期
C.探測(cè)器在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的加速度小于在軌道Ⅰ上B點(diǎn)的加速度
D.探測(cè)器在軌道Ⅱ上A點(diǎn)時(shí)的速率大于在軌道Ⅲ上A點(diǎn)時(shí)的速率
角度2　對(duì)接變軌問(wèn)題
例2 2022年11月30日，神舟十五號(hào)載人飛船與天和核心艙完成對(duì)接，航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸進(jìn)入天和核心艙。對(duì)接過(guò)程的示意圖如圖所示，天和核心艙處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ，神舟十五號(hào)飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運(yùn)行周期為T(mén)1，通過(guò)變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B處與天和核心艙對(duì)接。則神舟十五號(hào)飛船(　　)
A.由軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅲ需在B點(diǎn)減速
B.沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T(mén)2＝T1
C.在軌道Ⅰ上A點(diǎn)的加速度大于在軌道Ⅱ上A點(diǎn)的加速度
D.在軌道Ⅲ上B點(diǎn)的線(xiàn)速度大于在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的線(xiàn)速度
提升2　近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的比較
1.近地衛(wèi)星
近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認(rèn)為等于地球半徑R，其線(xiàn)速度大小為v1＝7.9 km/s，角速度、向心加速度最大，周期最小。
2.地球同步衛(wèi)星
(1)“同步”的含義就是和地球保持相對(duì)靜止，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期。
(2)特點(diǎn)
①定周期：所有同步衛(wèi)星周期均為T(mén)＝24 h。
②定點(diǎn)：相對(duì)地面靜止且在赤道上的某點(diǎn)的正上方。
③定軌道：同步衛(wèi)星軌道必須在地球赤道的正上方，運(yùn)轉(zhuǎn)方向必須跟地球自轉(zhuǎn)方向一致，即由西向東。
3.近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的比較
(1)運(yùn)行周期：同步衛(wèi)星與赤道上物體的運(yùn)行周期相同。由T＝2π可知，近地衛(wèi)星的周期小于同步衛(wèi)星的周期，即T近＜T同＝T物。
(2)向心加速度：由G＝ma知，同步衛(wèi)星的加速度小于近地衛(wèi)星的加速度。由a＝rω2＝r知，同步衛(wèi)星的加速度大于赤道上物體的加速度，即a近＞a同＞a物。
例3 (2024·福建福州高一期末)如圖所示，a為放在赤道上相對(duì)地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的同步衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說(shuō)法中正確的是(　　)
A.b衛(wèi)星的運(yùn)行速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為ab>ac>aa
C.a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為T(mén)a＝TcD.a物體與地球的萬(wàn)有引力全部提供給a物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力
訓(xùn)練2 如圖所示，衛(wèi)星A是2022年8月20日我國(guó)成功發(fā)射的遙感三十五號(hào)04組衛(wèi)星，衛(wèi)星B是地球同步衛(wèi)星，若它們均可視為繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星P是地球赤道上還未發(fā)射的衛(wèi)星，已知地球周期為24 h，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.衛(wèi)星A、B、P的速度大小關(guān)系為vP>vA>vB
B.要將衛(wèi)星A轉(zhuǎn)移到衛(wèi)星B的軌道上需要對(duì)衛(wèi)星A進(jìn)行減速
C.衛(wèi)星B在12 h內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是π
D.衛(wèi)星B的向心加速度大小小于衛(wèi)星P隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小
提升3　雙星及三星模型
1.雙星模型
(1)定義：
繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱(chēng)為雙星系統(tǒng)，如圖所示。
(2)特點(diǎn)
①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供，即＝m1r1ω，＝m2r2ω。
②兩顆星的周期、角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③軌道半徑與雙星距離的關(guān)系為r1＋r2＝L。
(3)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即＝，與星體運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度大小成正比，即＝。
2.三星模型
三星系統(tǒng)存在著兩種基本的構(gòu)成形式
(1)三顆星位于同一直線(xiàn)上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)。
(2)三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)動(dòng)，如圖甲和圖乙所示(設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m)。
①圖甲中，B、C對(duì)A的萬(wàn)有引力的合力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有eq \f(Gm2,R)＋＝mR1。
②圖乙中，B、C對(duì)A的萬(wàn)有引力的合力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有cos 30°＋cos 30°＝mR2，其中r＝2R2cos 30°。
角度1　雙星模型
例4 (多選)我國(guó)某科研團(tuán)隊(duì)在距離地球約300光年到1萬(wàn)光年的地方，發(fā)現(xiàn)了罕見(jiàn)的“霧繞雙星”，其電腦模擬圖如圖甲所示。假設(shè)某“雙星”系統(tǒng)示意圖如圖乙所示，兩恒星A、B以連線(xiàn)上的某一點(diǎn)O為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩恒星A、B間的距離保持不變。已知恒星A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，恒星A、B到O點(diǎn)的距離分別為r1、r2，兩恒星均可看成質(zhì)點(diǎn)，引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.＝
B.恒星A轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為
C.恒星B轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為2π(r1＋r2)
D.恒星A的向心加速度大小為eq \f(Gm2,r)
角度2　三星模型
例5 (多選)(2024·福建泉州高一期末)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線(xiàn)上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三個(gè)星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，則(　　)
A.直線(xiàn)三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線(xiàn)速度相同
B.此三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)＝4πR
C.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L(zhǎng)＝R
D.三角形三星系統(tǒng)的線(xiàn)速度大小為
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
1.(變軌問(wèn)題)中國(guó)自行研制、具有完全知識(shí)產(chǎn)權(quán)的神舟飛船某次發(fā)射過(guò)程簡(jiǎn)化如下：飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，由長(zhǎng)征運(yùn)載火箭送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，在B點(diǎn)通過(guò)變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖所示。則(　　)
A.飛船在B點(diǎn)通過(guò)加速?gòu)臋E圓軌道進(jìn)入預(yù)定圓軌道
B.在B點(diǎn)變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道后，飛船的機(jī)械能比在橢圓軌道上的小
C.在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，飛船在A點(diǎn)的加速度比B點(diǎn)的小
D.在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，飛船在A點(diǎn)的速度比B點(diǎn)的小
2.(近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的比較)(多選)已知我國(guó)某顆量子通信衛(wèi)星的軌道距地面高度約為500 km，該高度低于地球同步衛(wèi)星軌道距地面高度，該量子通信衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則該量子通信衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的(　　)
A.周期比地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期長(zhǎng)
B.周期比地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期短
C.線(xiàn)速度比地球同步衛(wèi)星的線(xiàn)速度大
D.線(xiàn)速度比地球同步衛(wèi)星的線(xiàn)速度小
3.(雙星問(wèn)題)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)處于寧?kù)o態(tài)的中子星與紅矮星組成的雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為2∶1，同時(shí)繞它們連線(xiàn)上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，研究成果于2022年9月22日發(fā)表在《自然天文》期刊上。則此中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的(　　)
A.角速度大于紅矮星的角速度
B.線(xiàn)速度小于紅矮星的線(xiàn)速度
C.軌道半徑大于紅矮星的軌道半徑
D.向心力大小約為紅矮星的2倍
培優(yōu)提升十　萬(wàn)有引力的三個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題
提升1
例1 A　[根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知，在同步軌道上運(yùn)動(dòng)的周期小于在轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)動(dòng)的周期，故A正確；根據(jù)G＝mω2r得ω＝，由于同步軌道的半徑小于墓地軌道的半徑，則在同步軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度大于在墓地軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度，故B錯(cuò)誤；航天器在Q點(diǎn)經(jīng)過(guò)加速才能進(jìn)入墓地軌道，所以在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度小于在墓地軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度，故C錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可知a＝G，由于G、M、r都相等，所以在同步軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度等于在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度，故D錯(cuò)誤。]
訓(xùn)練1 AD　[探測(cè)器在圓軌道Ⅰ上的B點(diǎn)需點(diǎn)火減速才能進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力做負(fù)功，探測(cè)器的機(jī)械能減小，即探測(cè)器在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能，故A正確；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律＝k可知，軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸小于軌道Ⅰ的半徑，故探測(cè)器在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期小于在軌道Ⅰ上的運(yùn)行周期，故B錯(cuò)誤；B點(diǎn)到火星球心的距離r一定，由a＝G可知，探測(cè)器在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的加速度等于在軌道Ⅰ上B點(diǎn)的加速度，故C錯(cuò)誤；探測(cè)器在橢圓軌道Ⅱ近火點(diǎn)A需減速才能進(jìn)入圓軌道Ⅲ，故探測(cè)器在軌道Ⅱ上A點(diǎn)時(shí)的速率大于在軌道Ⅲ上A點(diǎn)時(shí)的速率，故D正確。]
例2 D　[由低軌道Ⅱ進(jìn)入高軌道Ⅲ需在B點(diǎn)點(diǎn)火加速，則在軌道Ⅲ上B點(diǎn)的線(xiàn)速度大于在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的線(xiàn)速度，故A錯(cuò)誤，D正確；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得eq \f(r,T)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2)))\s\up12(3),T)，可得沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T(mén)2＝T1，故B錯(cuò)誤；根據(jù)＝ma得a＝，由于M、r都相同，則在軌道Ⅰ上A點(diǎn)的加速度等于在軌道Ⅱ上A點(diǎn)的加速度，故C錯(cuò)誤。]
提升2
例3 B　[第一宇宙速度是最大的運(yùn)行速度，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，b衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)線(xiàn)速度等于7.9 km/s，故A錯(cuò)誤；由題可知a、c具有相同的角速度，根據(jù)a＝rω2知，由于rc>ra，所以ac>aa，對(duì)于b、c有G＝ma，得a＝，由rc>rb可知ab>ac，綜上得 ab>ac>aa，故B正確；由題知Ta＝Tc，對(duì)于b、c由G＝mr，得T＝2π，由rc>rb可知Tc>Tb，綜上得Ta＝Tc>Tb，故C錯(cuò)誤；a物體與地球的萬(wàn)有引力一部分提供給a物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，一部分為物體的重力，故D錯(cuò)誤。]
訓(xùn)練2 C　[對(duì)于衛(wèi)星A、B，根據(jù)G＝m得v＝，由圖可知rAvB，對(duì)于衛(wèi)星P、B，由v＝rω可知ω相等時(shí)，vB>vP，則衛(wèi)星A、B、P的速度大小關(guān)系為vA>vB>vP，故A錯(cuò)誤；要將衛(wèi)星A轉(zhuǎn)移到衛(wèi)星B的軌道上，須先在近地圓軌道加速做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入橢圓軌道，使橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)在地球同步軌道上，當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，再加速進(jìn)入地球同步軌道，故要將衛(wèi)星A轉(zhuǎn)移到衛(wèi)星B的軌道上至少需要對(duì)衛(wèi)星A進(jìn)行兩次加速，故B錯(cuò)誤；地球同步衛(wèi)星B在12 h內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角為θ＝2π×＝π，故C正確；衛(wèi)星B和衛(wèi)星P同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，根據(jù)a＝ω2r可知，衛(wèi)星B的向心加速度大小大于衛(wèi)星P隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小，故D錯(cuò)誤。]
提升3
例4 AC　[兩星繞同一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則角速度相同，根據(jù)G＝m1ω2r1＝m2ω2r2得＝，恒星A轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω＝，A正確，B錯(cuò)誤；恒星B轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T(mén)＝＝2π(r1＋r2)，C正確；恒星A的向心加速度大小為a＝ω2r1＝，D錯(cuò)誤。]
例5 BC　[直線(xiàn)三星系統(tǒng)中甲星和丙星角速度相同，運(yùn)動(dòng)半徑相同，由v＝ωR知甲星和丙星的線(xiàn)速度大小相等，方向不同，故A錯(cuò)誤；萬(wàn)有引力提供向心力，則G＋G＝MR，得T＝4πR，故B正確；兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，根據(jù)題意可得，三星系統(tǒng)中任意星體所受合力為F＝2cos 30°G＝G，則F＝Mr，軌道半徑r與邊長(zhǎng)L的關(guān)系為L(zhǎng)＝r，解得L＝R，故C正確；三角形三星系統(tǒng)的線(xiàn)速度大小為v＝，得v＝·，故D錯(cuò)誤。]
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
1.A　[從橢圓軌道進(jìn)入預(yù)定圓軌道是由低軌道到高軌道，需要在切點(diǎn)位置加速，可知飛船在B點(diǎn)通過(guò)加速?gòu)臋E圓軌道進(jìn)入預(yù)定圓軌道，故A正確；從橢圓軌道進(jìn)入預(yù)定圓軌道是由低軌道到高軌道，需要在切點(diǎn)B位置加速，可知在B點(diǎn)變軌后，飛船的機(jī)械能比在橢圓軌道上的大，故B錯(cuò)誤；根據(jù)G＝ma得a＝G，飛船在A點(diǎn)距離地心的間距小于B點(diǎn)距離地心的間距，則飛船在A點(diǎn)的加速度比B點(diǎn)的大，故C錯(cuò)誤；在橢圓軌道上從A運(yùn)行至B過(guò)程，萬(wàn)有引力做負(fù)功，飛船的動(dòng)能減小，則飛船的速度減小，可知在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，飛船在A點(diǎn)的速度比B點(diǎn)的大，故D錯(cuò)誤。]
2.BC　[根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有G＝mr得T＝，因?yàn)榱孔油ㄐ判l(wèi)星的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以量子通信衛(wèi)星的周期比同步衛(wèi)星的周期短，故A錯(cuò)誤，B正確；由G＝m得v＝，量子通信衛(wèi)星的線(xiàn)速度比地球同步衛(wèi)星的線(xiàn)速度大，故C正確，D錯(cuò)誤。]
3.B　[雙星系統(tǒng)中，由于兩星在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相等，則雙星系統(tǒng)的角速度相等，即中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度等于紅矮星的角速度，A錯(cuò)誤；根據(jù)＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，解得＝，即星體質(zhì)量越大，軌道半徑越小，根據(jù)題意中子星質(zhì)量大，可知，中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑小于紅矮星的軌道半徑，C錯(cuò)誤；根據(jù)v＝ωr知，雙星系統(tǒng)角速度相等，中子星的軌道半徑小一些，則中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度小于紅矮星的線(xiàn)速度，B正確；雙星系統(tǒng)中，由星體之間的萬(wàn)有引力提供向心力，可知，中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的向心力大小等于紅矮星的向心力大小，D錯(cuò)誤。](共56張PPT)
培優(yōu)提升十　萬(wàn)有引力的三個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題
第4章　萬(wàn)有引力定律及航天
1.掌握衛(wèi)星常見(jiàn)的三種變軌問(wèn)題。
2.會(huì)比較同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的運(yùn)動(dòng)參量。
3.理解雙星、三星運(yùn)動(dòng)模型。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
提升
1
提升2　近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的比較
提升1　衛(wèi)星變軌問(wèn)題
提升3　雙星及三星模型
提升1　衛(wèi)星變軌問(wèn)題
1.變軌問(wèn)題概述
2.變軌問(wèn)題分析
人造衛(wèi)星的發(fā)射過(guò)程要經(jīng)過(guò)多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。
(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。
(2)在A點(diǎn)點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。
(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。
3.變軌過(guò)程各物理量分析
(1)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線(xiàn)速度v不相等，圖中
vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。
(2)同一個(gè)橢圓軌道上近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)線(xiàn)速度大小不相等，從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)線(xiàn)速度逐漸增大。
角度1　發(fā)射變軌問(wèn)題
例1 2022年1月22日，我國(guó)實(shí)踐21號(hào)衛(wèi)星(SJ－21)將一顆失效的北斗導(dǎo)航衛(wèi)星從擁擠的地球同步軌道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地軌道”上。拖拽時(shí)，航天器先在P點(diǎn)加速進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道，而后在Q點(diǎn)加速進(jìn)入墓地軌道。如圖所示，此舉標(biāo)志著航天器被動(dòng)移位和太空垃圾處理新方式的成功執(zhí)行，在該過(guò)程中，航天器(　　)
A.在同步軌道上運(yùn)動(dòng)的周期小于在轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)動(dòng)的周期
B.在同步軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度小于在墓地軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度
C.在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度大于在墓地軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度
D.在同步軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度大于在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度
A
AD
訓(xùn)練1 (多選)2021年2月5日，天問(wèn)一號(hào)火星探測(cè)器順利完成地火轉(zhuǎn)移段第四次軌道中途修正，以確保按計(jì)劃實(shí)施火星捕獲。如圖所示，其過(guò)程簡(jiǎn)化為探測(cè)器先進(jìn)入繞火星圓軌道Ⅰ，經(jīng)過(guò)與其相切的繞火星橢圓軌道Ⅱ再轉(zhuǎn)移到繞火星圓軌道Ⅲ，A、B分別為橢圓軌道Ⅱ上的近火點(diǎn)和遠(yuǎn)火點(diǎn)。探測(cè)器在變軌過(guò)程中質(zhì)量視為不變。則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.探測(cè)器在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能
B.探測(cè)器在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期大于在軌道Ⅰ上的運(yùn)行周期
C.探測(cè)器在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的加速度小于在軌道Ⅰ上B點(diǎn)的加速度
D.探測(cè)器在軌道Ⅱ上A點(diǎn)時(shí)的速率大于在軌道Ⅲ上A點(diǎn)時(shí)的速率
D
角度2　對(duì)接變軌問(wèn)題
例2 2022年11月30日，神舟十五號(hào)載人飛船與天和核心艙完成對(duì)接，航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸進(jìn)入天和核心艙。對(duì)接過(guò)程的示意圖如圖所示，天和核心艙處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ，神舟十五號(hào)飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運(yùn)行周期為T(mén)1，通過(guò)變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B處與天和核心艙對(duì)接。則神舟十五號(hào)飛船(　　)
提升2　近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的比較
1.近地衛(wèi)星
近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認(rèn)為等于地球半徑R，其線(xiàn)速度大小為v1＝7.9 km/s，角速度、向心加速度最大，周期最小。
2.地球同步衛(wèi)星
(1)“同步”的含義就是和地球保持相對(duì)靜止，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期。
(2)特點(diǎn)
①定周期：所有同步衛(wèi)星周期均為T(mén)＝24 h。
②定點(diǎn)：相對(duì)地面靜止且在赤道上的某點(diǎn)的正上方。
③定軌道：同步衛(wèi)星軌道必須在地球赤道的正上方，運(yùn)轉(zhuǎn)方向必須跟地球自轉(zhuǎn)方向一致，即由西向東。
例3 (2024·福建福州高一期末)如圖所示，a為放在赤道上相對(duì)地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的同步衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說(shuō)法中正確的是(　　)
A.b衛(wèi)星的運(yùn)行速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為ab>ac>aa
C.a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為T(mén)a＝TcD.a物體與地球的萬(wàn)有引力全部提供給a物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力
B
訓(xùn)練2 如圖所示，衛(wèi)星A是2022年8月20日我國(guó)成功發(fā)射的遙感三十五號(hào)04組衛(wèi)星，衛(wèi)星B是地球同步衛(wèi)星，若它們均可視為繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星P是地球赤道上還未發(fā)射的衛(wèi)星，已知地球周期為24 h，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.衛(wèi)星A、B、P的速度大小關(guān)系為vP>vA>vB
B.要將衛(wèi)星A轉(zhuǎn)移到衛(wèi)星B的軌道上需要對(duì)衛(wèi)星A進(jìn)行減速
C.衛(wèi)星B在12 h內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是π
D.衛(wèi)星B的向心加速度大小小于衛(wèi)星P隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小
C
提升3　雙星及三星模型
1.雙星模型
(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱(chēng)為雙星系統(tǒng)，如圖所示。
2.三星模型
三星系統(tǒng)存在著兩種基本的構(gòu)成形式
(1)三顆星位于同一直線(xiàn)上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)。
(2)三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)動(dòng)，如圖甲和圖乙所示(設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m)。
角度1　雙星模型
例4 (多選)我國(guó)某科研團(tuán)隊(duì)在距離地球約300光年到1萬(wàn)光年的地方，發(fā)現(xiàn)了罕見(jiàn)的“霧繞雙星”，其電腦模擬圖如圖甲所示。假設(shè)某“雙星”系統(tǒng)示意圖如圖乙所示，兩恒星A、B以連線(xiàn)上的某一點(diǎn)O為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩恒星A、B間的距離保持不變。已知恒星A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，恒星A、B到O點(diǎn)的距離分別為r1、r2，兩恒星均可看成質(zhì)點(diǎn)，引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
AC
角度2　三星模型
例5 (多選)(2024·福建泉州高一期末)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線(xiàn)上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三個(gè)星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，則(　　)
BC
隨堂對(duì)點(diǎn)自測(cè)
2
A
1.(變軌問(wèn)題)中國(guó)自行研制、具有完全知識(shí)產(chǎn)權(quán)的神舟飛船某次發(fā)射過(guò)程簡(jiǎn)化如下：飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，由長(zhǎng)征運(yùn)載火箭送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，在B點(diǎn)通過(guò)變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖所示。則(　　)
A.飛船在B點(diǎn)通過(guò)加速?gòu)臋E圓軌道進(jìn)入預(yù)定圓軌道
B.在B點(diǎn)變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道后，飛船的機(jī)械能比在橢圓軌道上的小
C.在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，飛船在A點(diǎn)的加速度比B點(diǎn)的小
D.在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，飛船在A點(diǎn)的速度比B點(diǎn)的小
BC
2.(近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的比較)(多選)已知我國(guó)某顆量子通信衛(wèi)星的軌道距地面高度約為500 km，該高度低于地球同步衛(wèi)星軌道距地面高度，該量子通信衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則該量子通信衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的(　　)
A.周期比地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期長(zhǎng)
B.周期比地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期短
C.線(xiàn)速度比地球同步衛(wèi)星的線(xiàn)速度大
D.線(xiàn)速度比地球同步衛(wèi)星的線(xiàn)速度小
B
3.(雙星問(wèn)題)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)處于寧?kù)o態(tài)的中子星與紅矮星組成的雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為2∶1，同時(shí)繞它們連線(xiàn)上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，研究成果于2022年9月22日發(fā)表在《自然天文》期刊上。則此中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的(　　)
A.角速度大于紅矮星的角速度
B.線(xiàn)速度小于紅矮星的線(xiàn)速度
C.軌道半徑大于紅矮星的軌道半徑
D.向心力大小約為紅矮星的2倍
課后鞏固訓(xùn)練
3
D
題組一　衛(wèi)星變軌問(wèn)題
1.北京時(shí)間2022年5月10日01時(shí)56分，搭載“天舟四號(hào)”貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙五運(yùn)載火箭，在我國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射，約10分鐘后，飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，2時(shí)23分，飛船太陽(yáng)能帆板順利展開(kāi)工作，發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功。后續(xù)，“天舟四號(hào)”貨運(yùn)飛船將與在軌運(yùn)行的“空間站組合體”進(jìn)行交會(huì)對(duì)接，若對(duì)接前兩者在同一軌道上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
對(duì)點(diǎn)題組練
A.對(duì)接前“天舟四號(hào)”的運(yùn)行速率大于“空間站組合體”
的運(yùn)行速率
B.對(duì)接前“天舟四號(hào)”的向心加速度小于“空間站組合體”
的向心加速度
C.“天舟四號(hào)”通過(guò)加速可實(shí)現(xiàn)與“空間站組合體”在原軌道上對(duì)接
D.“天舟四號(hào)”先減速后加速可實(shí)現(xiàn)與“空間站組合體”在原軌道上對(duì)接
B
2.2023年10月26日，神舟十七號(hào)與天和核心艙完成自動(dòng)交會(huì)對(duì)接。如圖所示，天和核心艙繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，神舟十七號(hào)繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，且橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn)與圓軌道相切，下面說(shuō)法正確的是(　　)
A.航天員在核心艙中處于失重狀態(tài)，說(shuō)明航天員不受地球引力作用
B.若兩者在各自的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，則兩者在切點(diǎn)處的加速度相同
C.若兩者原來(lái)在同一圓軌道上，神舟十七號(hào)可以沿切向噴氣加速追上核心艙
D.設(shè)軌道所處空間存在極其稀薄的空氣，若不加干預(yù)，核心艙的軌道高度將緩慢升高
ACD
3.(多選)飛船的某段運(yùn)動(dòng)可近似為如圖所示的情境，圓形軌道Ⅰ為空間站運(yùn)行軌道，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為r，空間站運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T(mén)。橢圓軌道Ⅱ?yàn)檩d人飛船運(yùn)行軌道，兩軌道相切于A點(diǎn)，橢圓軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸為a，地球表面重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是(　 　)
AD
題組二　近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的比較
4.(多選)同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，向心加速度大小為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列關(guān)系式正確的是(　　)
C
5.2022年6月5日10時(shí)44分，搭載神舟十四號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，于17時(shí)42分，成功對(duì)接于天和核心艙。已知地球半徑約6 400 km，中國(guó)空間站距地面約400 km，同步衛(wèi)星軌道距地面的高度約為36 000 km。則以下有關(guān)說(shuō)法正確的是(　　)
A.空間站中的宇航員不受地球引力
B.空間站運(yùn)行的線(xiàn)速度大于地球第一宇宙速度
C.地球赤道上物體的向心加速度小于同步衛(wèi)星的向心加速度
D.空間站的向心加速度小于同步衛(wèi)星的向心加速度
BC
6.(多選)(2024·山西太原高一期末)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動(dòng)；b在地球的低空?qǐng)A軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空?qǐng)A軌道探測(cè)衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.a的向心加速度大于b的向心加速度
B.b的運(yùn)行周期小于c的運(yùn)行周期
C.d的角速度最小
D.四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是va>vb>vc>vd
D
B
8.如圖所示，三顆質(zhì)量均為M的星球位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。如果它們中的每一顆都在相互的引力作用下沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行而保持等邊三角形不變，已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是(　　)
ABD
9.(多選)(2024·山東濟(jì)南高一期末)2024年4月25日20時(shí)58分，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射。如圖為神舟十八號(hào)發(fā)射和與空間站交會(huì)對(duì)接過(guò)程示意圖，圖中Ⅰ為近地圓軌道，Ⅱ?yàn)闄E圓轉(zhuǎn)移軌道，Ⅲ為空間站所在圓軌道，飛船在三個(gè)軌道上運(yùn)行周期分別為T(mén)1、T2、T3，P、Q分別為軌道Ⅱ與軌道Ⅰ、Ⅲ的交會(huì)點(diǎn)。根據(jù)上述信息，下列說(shuō)法正確的是(　 　)
綜合提升練
A.飛船在三個(gè)軌道上運(yùn)行周期的大小關(guān)系為T(mén)1B.飛船從軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅲ時(shí)需要在Q點(diǎn)加速
C.飛船在軌道Ⅱ上從P點(diǎn)運(yùn)行到Q點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能逐漸減小
D.飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能小于在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能
培優(yōu)加強(qiáng)練
10.(2024·陜西渭南高一期末)2022年4月16日，圓滿(mǎn)完成任務(wù)的三名中國(guó)航天英雄乘坐神舟十三號(hào)飛船從空間站順利返回地面，刷新中國(guó)載人航天器最快返回的記錄，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)航天的又一項(xiàng)重大技術(shù)突破。如圖所示，某顆衛(wèi)星的返回回收過(guò)程可簡(jiǎn)化如下：軌道1是某近地圓軌道，其半徑可近似看作等于地球半徑，軌道2是位于與軌道1同一平面內(nèi)的中地圓軌道，軌道半徑為地球半徑的3倍。一顆在軌道2上運(yùn)行的質(zhì)量為m的衛(wèi)星通過(guò)兩次制動(dòng)變軌，先從轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)入軌道1運(yùn)行，調(diào)整好姿態(tài)再伺機(jī)進(jìn)入大氣層，返回地面。已知地球半徑為R，衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行時(shí)的加速度大小為a，忽略其他星體對(duì)該衛(wèi)星的作用力，試求：
(1)該衛(wèi)星在軌道2上運(yùn)行的速度；
(2)該衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上從軌道2上的A點(diǎn)運(yùn)行至軌道1上的B點(diǎn)(A、B與地心在同一直線(xiàn)上)所需的最短時(shí)間。
(2)轉(zhuǎn)移軌道是橢圓軌道，其長(zhǎng)軸2r＝R＋3R＝4R

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