資源簡介

2024年北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案 編寫：初三數(shù)學(xué)教研組 2024.12.12
第二章 二次函數(shù)
§2.2 確定二次函數(shù)的表達(dá)式 二次函數(shù)的最值
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 能用待定系數(shù)法、函數(shù)性質(zhì)法、橫截距法正確求出二次函數(shù)的解析式，深刻體會數(shù)學(xué)建模以及數(shù)形結(jié)合的思想；
2. 掌握二次函數(shù)表達(dá)式的幾種常見形式，并能根據(jù)條件靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇表達(dá)式；
3. 通過二次函數(shù)的性質(zhì)討論參數(shù)的范圍，進(jìn)而解決二次函數(shù)的最值問題。
【學(xué)習(xí)過程】
一、待定系數(shù)法確定一般式的二次函數(shù)表達(dá)式
一般當(dāng)已知拋物線上的________坐標(biāo)時，可設(shè)函數(shù)的解析式為________________________。
例1 已知拋物線經(jīng)過，，，求二次函數(shù)的表達(dá)式。
[識記理解1]
1. 已知二次函數(shù)經(jīng)過，，，求二次函數(shù)的表達(dá)式。
二、函數(shù)性質(zhì)法確定頂點(diǎn)式（配方式）的二次函數(shù)表達(dá)式
一般當(dāng)已知拋物線的________或________時，可設(shè)函數(shù)的解析式為________________________。
例2 已知經(jīng)過，兩點(diǎn)，且拋物線頂點(diǎn)到的距離為2，求此拋物線的解析式。
[識記理解2]
1. 已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求此拋物線的解析式。
2. 如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對稱軸是直線，，，請解答下列問題：
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷與的位置關(guān)系。
三、橫截距法確定交點(diǎn)式的二次函數(shù)表達(dá)式
當(dāng)已知拋物線與________的兩個交點(diǎn)，時，可設(shè)函數(shù)的解析式為________________________。
例3 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求這個二次函數(shù)的解析式。
例4 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，解答下列問題。
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)此二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，求的面積。
[識記理解3]
1. 已知拋物線開口向下，交于，兩點(diǎn)，且過。
（1）求該拋物線的解析式；
（2）請寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線上，并寫出拋物線平移后的表達(dá)式。
四、二次函數(shù)的最值問題
例5 求下列函數(shù)的最值：（1）；（2）；（3）。
例6 （1）探究函數(shù)的函數(shù)值的范圍；
（2）已知函數(shù)，其中，求該函數(shù)值的范圍。
[識記理解4]
1. 已知二次函數(shù)，求該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)的最大值和最小值。
2. 已知二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為，求的值。
3. 已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是。
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）將圖象繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到新的拋物線，求得到二次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)時，二次函數(shù)有最大值1，求的值。
【知能提升】
一、選擇題
1. 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)、，則的值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 拋物線的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的解析式為，則、的值為（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知存在一個二次函數(shù)過，，其與的形狀一致，那么該二次函數(shù)的表達(dá)式為（ ）
A. B. C. D.
4. 小英在用“描點(diǎn)法”探究二次函數(shù)性質(zhì)時，畫出了以下表格，但是部分?jǐn)?shù)據(jù)已經(jīng)遺忘（如下表所示），小英只記得遺忘的三個數(shù)中（如，，所示），有兩個數(shù)相同。根據(jù)以上信息，小英探究的二次函數(shù)可能是（ ）
… 0 1 2 3 …
… …
A. B. C. D.
5. 已知某二次函數(shù)上兩點(diǎn)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則該二次函數(shù)的解析式可以是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題
6. 已知二次函數(shù)，當(dāng)時，的值為4，那么當(dāng)時，的值為__________。
7. 已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線的解析式為______________________________。
8. 已知二次函數(shù)對稱軸為，且在軸上截得的線段長為6，與軸交點(diǎn)為，則此二次函數(shù)的解析式為______________________________。
9. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)，且圖象與軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則該二次函數(shù)的解析式為______________________________。
10. 已知拋物線與二次函數(shù)的圖象的開口大小相同，方向相反，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為____________________。
11. 如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，該圖象與軸的另一個交點(diǎn)為，則長為__________。
第11題圖 第12題圖
12. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，將線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則拋物線的解析式為____________________。
13. 已知點(diǎn)為函數(shù)上一動點(diǎn)。當(dāng)時，的取值范圍是，則函數(shù)的解析式為______________________________。
三、解答題
14. 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和。
（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)和點(diǎn)是該拋物線上兩個不同的點(diǎn)，已知，求的值。
15. 如圖所示，四邊形是平行四邊形，過點(diǎn)、、作拋物線，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，求拋物線的解析式。
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為。
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時，寫出的取值范圍。
17. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長為4，頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，連接、、。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求此拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的面積。
18. 如圖所示，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)。
（1）求拋物線的解析式、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)在線段上（不與，重合），過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示的長；
（3）設(shè)拋物線上有一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在該拋物線上什么位置時，滿足，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)。
19. 如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)。
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此時距離之和的最小值；
（3）如果點(diǎn)和點(diǎn)在的圖象上，且，，求的值。
確定二次函數(shù)的表達(dá)式 二次函數(shù)的最值 第1頁（共7頁）

展開更多......

收起↑