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2024年北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案 編寫：初三數(shù)學(xué)教研組 2024.12.13
第二章 二次函數(shù)
§2.3 二次函數(shù)和其他函數(shù)以及一元二次方程的結(jié)合
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 通過二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的結(jié)合，鞏固二次函數(shù)中參數(shù)的含義和圖像的性質(zhì)；
2. 理解二次函數(shù)的圖像和一元二次方程的解之間的聯(lián)系，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。
【學(xué)習(xí)過程】
一、二次函數(shù)和一次函數(shù)及反比例函數(shù)的結(jié)合
例1 二次函數(shù)的圖象與直線交于，兩點(diǎn)。
（1）確定二次函數(shù)與直線的解析式。
（2）如圖，分別確定當(dāng)，，時(shí)，自變量的取值范圍。
例2 若直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求常數(shù)的取值范圍。
例3 已知，試在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與所有可能的大致圖象。
[識記理解1]
1. 與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知二次函數(shù)的圖象與直線的圖象如圖所示。
（1）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為，，試確定，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接，，求的面積。
3. 若有四個(gè)解，求的取值范圍。
二、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
的圖象和軸有____個(gè)交點(diǎn)有____個(gè)根__________；
的圖象和軸有____個(gè)交點(diǎn)有____個(gè)根__________；
的圖象和軸有____個(gè)交點(diǎn)有____個(gè)根__________。
2. 一元二次方程的近似解：通過二次函數(shù)圖像上符號的變化區(qū)間利用________思想進(jìn)行估解。
3. “恒成立”與“能成立”問題
（1）恒成立：對于________的值，都滿足不等式成立的問題即為恒成立問題。對于不等式的恒成立條件為________________，對于不等式的恒成立條件為________________。
（2）能成立：對于________的值，滿足不等式成立的問題即為能成立問題。對于不等式的能成立條件為________________，對于不等式的能成立條件為________________。
例4 已知拋物線，求滿足下列條件的取值范圍。
（1）拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)、只有一個(gè)交點(diǎn)、沒有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）拋物線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。
例5 若關(guān)于的不等式對于任意實(shí)數(shù)均恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
例6 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。
例7 若關(guān)于的不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
[識記理解2]
1. 已知拋物線，求滿足下列條件的實(shí)數(shù)的取值范圍。
（1）拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)、只有一個(gè)交點(diǎn)、沒有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）拋物線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。
2. 已知關(guān)于的不等式。
（1）若對任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
（2）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
3. 設(shè)關(guān)于的不等式對于一切都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【知能提升】
一、選擇題
1. 在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（是常數(shù)，且）的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
4. 一次函數(shù)與二次函數(shù)相交于、兩點(diǎn)，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
第4題圖 第5題圖
5. 已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則的值可能為（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 4
7. 一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面坐標(biāo)系中的圖像大致是（ ）
A. B. C. D.
9. 下表給出了二次函數(shù)與自變量的部分對應(yīng)值：
… 0 1 2 …
… 5 6 5 2 …
則關(guān)于的一元二次方程的解為（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
10. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，連結(jié)。若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且，則的長為（ ）
A. B. C. 4 D.
第10題圖 第11題圖
11. 如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，有下列結(jié)論：①；②一元二次方程的正實(shí)數(shù)根在2和3之間；③；④點(diǎn)，在拋物線上，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，。其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空題
12. 已知拋物線的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為__________。
13. 若拋物線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則=__________。
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則關(guān)于的方程的解為__________。
第14題圖 第15題圖
15. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，的取值范圍是__________。
16. 如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于，兩點(diǎn)，則不等式的解集為__________。
第16題圖 第17題圖
17. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，。拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，直線經(jīng)過，。當(dāng)時(shí)，的取值范圍為__________。
18. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________個(gè)。
三、解答題
19. 如圖，頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)。
（1）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線的解析式。
20. 在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱為整點(diǎn)。設(shè)函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象。
（1）求證：無論取什么實(shí)數(shù)，圖象與軸總有公共點(diǎn)；
（2）是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請說明理由。
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（、是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，。點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)關(guān)于拋物線（、是常數(shù)）的對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，直接寫出的取值范圍；
（4）若此拋物線在點(diǎn)及點(diǎn)左側(cè)部分的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的值。
22. 如圖，一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像與該一次函數(shù)圖像交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為。
（1）求一次函數(shù)及二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，
①當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的上方時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像直接寫出的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求線段長度的最大值及此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
23. 某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整。
（1）自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對應(yīng)值列表如下，其中，________；
0 1 2 3 4
0 3 4 3 4 0
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直接畫出該函數(shù)的圖象；
（3）觀察函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)_______________________________；
（4）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，求出方程的解
24. 如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接、、、。
（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時(shí)，求的值；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試探究是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
二次函數(shù)和其他函數(shù)以及一元二次方程的結(jié)合 第1頁（共7頁）

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