資源簡介

2024年北師大版九年級下冊數學導學案 編寫：初三數學教研組 2024.12.18
第二章 二次函數
§2.4 二次函數的應用
【學習目標】
1. 能夠建立二次函數模型解決最大面積、最大利潤等其他實際問題，進一步提高分析問題解決問題的能力；
2. 能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最值。
【學習過程】
一、面積問題
例1 如圖，矩形在直角三角形的內部，其中和分別在兩直角邊上，m，m。
（1）設矩形的一邊m，那么邊的長度如何表示？
（2）設矩形的面積為m2，當取何值時，的最大值是多少？
（3）如果把矩形的位置改為其頂點和點分別在兩直角邊上，在斜邊上。其它條件不變，那么矩形的最大面積是多少？
例2 如圖1，有長為24 m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10 m），圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃。設花圃的寬為m（寬不大于長），面積為m2。
（1）求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）請求出花圃能圍成的最大面積，并寫出此時的值；
（3）如圖2，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在上用其他材料做了寬均為1 m的兩扇小門，能否使圍成的花圃面積為51 m2？如果能，請直接寫出花圃寬和長的值；如果不能，請說明理由。
例3 如圖，Rt中，，，為中點。、是邊、上的動點，從以1 cm/s的速度出發向運動，同時以相同的速度從出發向運動，運動到停止。設運動時間為秒（），運動開始后第幾秒時，的面積最大。
[識記理解1]
1. 在矩形中，cm，cm，點從點出發沿邊向點以1 cm/s的速度移動，同時點從點出發沿邊向點以2 cm/s的速度移動。如果、兩點在分別到達、兩點后就停止移動，設運動時間為秒（），回答下列問題：
（1）運動開始后第幾秒時，的面積等于8 cm2；
（2）設五邊形的面積為cm2，寫出與的函數關系式，為何值時最小？求出的最小值。
2. 如圖，現打算用60 m的籬笆圍成一個“日”字形菜園（含隔離欄），菜園的一面靠墻m（籬笆的寬度忽略不計）。
（1）菜園面積可能為252 m2嗎？若可能，求邊長的長，若不可能，請說明理由；
（2）因場地限制，菜園的寬度不能超過8 m，求該菜園面積的最大值。
二、經濟問題
例4 某賓館客房部有60個房間供游客居住，當每個房間的定價為每天200元時，房間可以住滿。當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑。對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用。設每個房間每天的定價增加元。
（1）房間每天的入住量（間）關于（元）的函數關系式；
（2）該賓館每天的房間收費（元）關于（元）的函數關系式；
（3）該賓館客房部每天的利潤（元）關于（元）的函數關系式；當每個房間的定價為每天多少元時，有最大值？最大值是多少？
例5 某商品的進價為每件30元，現在的售價為每件40元，每星期可賣出150件。經市場調查反映，如果每件的售價每漲1元（售價每件不能高于45元），那么每星期少賣10件。設每件漲價元，每星期的銷量為件。
（1）求與的函數關系式及自變量的取值范圍；
（2）如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？
[識記理解2]
1. 一人一盔安全守規，一人一戴平安常在，某電動自行車配件店經市場調查，發現進價為40元的新款頭盔每月的銷售量（件）與售價（元）成一次函數關系。
（1）若物價局規定，該頭盔最高售價不得超過100元，當售價為多少元時，利潤為5600元；
（2）若獲利不得高于進價的80%，那么售價定為多少元時，月銷售利潤達到最大？最大利潤是多少元？
2. 某省有一種可食用的野生菌，上市時，外商李經理按市場價格30元/千克收購了這種野生菌1000千克存放入冷庫中。據預測，該野生菌的市場價格將以每天每千克上漲1元；但冷凍存放這批野生菌時每天需要支出各種費用合計310元，而且這類野生菌在冷庫中最多保存160天，同時，平均每天有3千克的野生菌損壞不能出售。
（1）設天后每千克該野生菌的市場價格為元，試寫出與之間的函數關系式；
（2）若存放天后，將這批野生菌一次性出售，設這批野生菌的銷售總額為元，試寫出與間的函數關系式；
（3）李經理將這批野生茵存放多少天后出售可獲得最大利潤W元？
3. 某商場銷售、兩種商品，每件進價均為20元。調查發現，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元。
（1）求、兩種商品的銷售單價；
（2）經市場調研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價。設種商品降價元，如果、兩種商品銷售量相同，求取何值時，商場銷售、兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？
三、結合圖像分析的其他實際問題應用
例6 如圖一位籃球運動員跳起投籃，球沿拋物線運行，已知籃框的中心離地面的距離為3.05米。
（1）求球在空中運行的最大高度；
（2）如果該運動員跳投時，球出手離地面的高度為2.25米，他距離籃框中心的水平距離是4米，請問能否準確落入籃框內？
例7 有一個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6 m，跨度為8 m，把它放在如圖所示的平面直角坐標系中。
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；
（2）若要在隧道壁上點（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5 m。求燈與點的距離。
[識記理解3]
1. 如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線運行，然后準確落入籃筐內。已知籃筐的中心離地面的高度為3.05 m，求他距籃筐中心的水平距離。
2. 如圖所示主橋拱為拋物線型，在正常水位下測得主拱寬24 m，最高點離水面8 m，以水平線為軸，的中點為原點建立坐標系。
（1）求此橋拱線所在拋物線的解析式；
（2）橋邊有一浮在水面部分高4 m，最寬處m的河魚餐船，試探索此船能否開到橋下？說明理由。
【知能提升】
一、選擇題
1. 如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度m與水平距離m之間的關是。則他將鉛球推出的距離是（ ）
A. 8 m B. 9 m C. 10 m D. 11 m
第1題圖 第2題圖
2. 用總長為米的材料做成如圖1所示的矩形窗框，設窗框的寬為米，窗框的面積為平方米，關于的函數圖象如圖2，則的值是（ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
3. 將進貨價格為35元的商品按單價40元售出時，能賣出200個。已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個。設這種商品的售價上漲元時，獲得的利潤為元，則下列關系式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某種禮炮的升空高度(m)與飛行時間(s)的關系式是，若這種禮炮在點火升空到最高點引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為（ ）
A. 6 s B. 7 s C. 8 s D. 9 s
5. 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度(m)與小球運動時間(s)之間的函數關系為。有下列結論：①當時，小球運動到最大高度；②當小球的運動高度為40 m時，運動時間為2 s或4 s；③小球運動中的最大高度為46 m；④小球從拋出到落地需要6 s。其中正確的結論有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
6. 下表記錄了二次函數中兩個變量與的5組對應值，其中。
… 5 …
… 0 0 …
若當時，直線與該二次函數圖象有兩個公共點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線型，橋高10米，拱高8米，跨度24米，相鄰兩支柱間的距離均為6米，則支柱的長度為（ ）
A. 6米 B. 5米 C. 4.5米 D. 4米
第7題圖 第8題圖
8. 如圖，小球的飛行高度(m)與飛行時間(s)具有的函數關系，下列解釋正確的是（ ）
A. 小球的飛行高度為15 m時，小球飛行了1 s B. 小球飛行3s時飛行高度為15 m，并將繼續上升
C. 小球從飛出到落地要用4 s D. 小球的飛行高度可以達到25 m
二、填空題
9. 某商店從廠家以每件30元的價格購回一批商品，若每件商品售價為元，則可賣出件，但限定每件商品加價不能超過進價的40%，如果要使商店獲得利潤最多，每件商品定價應為__________元。
10. 小敏在今年的校運動會跳高比賽中跳出了滿意一跳，函數（的單位：s，的單位：m）可以描述他跳躍時重心高度的變化，則他起跳后到重心最高時所用的時間是__________。
11. 如圖，有一矩形養雞場，養雞場的一邊靠墻（墻足夠長），另三邊用16米的長籬笆圍成，則矩形面積的最大值是__________。
第11題圖 第12題圖
12. 如圖所示，正方形的邊長為1，、、、分別為各邊上的點，且，設小正方形的面積為，為，則關于的函數表達式是______________________________。
13. 飛機著陸后滑行距離(m)與滑行時間(s)的函數解析式是，那么飛機著陸后滑行__________秒才能停下來。
14. 如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面3 m時，水面寬4 m，水面上升2 m，水面寬度減少__________。

第14題圖 第15題圖
15. 雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①），可以發現數學的研究對象——拋物線。在如圖②所示的平面直角坐標系中，傘柄在軸上，坐標原點為傘骨、的交點。點為拋物線的頂點，點，在拋物線上，、關于軸對稱。dm，點到軸的距離是0.6 dm，、兩點之間的距離是4 dm。分別延長、交拋物線于點、，則雨傘撐開時的最大直徑的長為__________。
三、解答題
16. 如圖，在矩形中，，點在邊上，不與、重合，連接，以為邊向右上方作正方形，過點作，垂足為，連接。
（1）求證：；
（2）當為何值時，的面積最大。
17. 某商店購進一批成本為每件30元的商品，經調查發現，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示。
（1）求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數關系式；
（2）若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤（元）最大？最大利潤是多少？
（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應為多少件？
18. 某地區建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花型柱子，恰好在水面中心，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上，拋物線如圖①所示，建立右圖②所示的直角坐標系，水流噴出的高度(m)與水平距離(m)之間關系式是。
（1）求柱子的高度；
（2）求噴出的水流距水平面的最大高度；
（3）若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米時，才能使噴出的水流不至于落在池外？
19. 某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施。調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺。
（1）假設每臺冰箱降價元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是元，請寫出與之間的函數表達式；
（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？
（3）每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少？
20. 某玩具廠生產一種玩具，本著控制固定成本，降價促銷的原則，使生產的玩具能夠全部售出。據市場調查，若按每個玩具280元銷售時，每月可銷售300個。若銷售單價每降低1元，每月可多售出2個。據統計，每個玩具的固定成本（元）與月產銷量（個）滿足如下關系：
月產銷量（個） ... 160 200 240 300 ...
每個玩具的固定成本（元） ... 60 48 40 32 ...
（1）寫出月產銷量（個）與銷售單價（元）之間的函數關系式；
（2）求每個玩具的固定成本（元）與月產銷量（個）之間的函數關系式；
（3）若每個玩具的固定成本為30元，則它占銷售單價的幾分之幾？
（4）若該廠這種玩具的月產銷量不超過400個，則每個玩具的固定成本至少為多少元？銷售單價最低為多少元？
21. 一座拱橋的示意圖如圖2所示，當水面寬為16米時，橋洞頂部離水面4米。已知橋洞的拱橋是拋物線，請嘗試解決以下問題：
（1）建立合適的平面直角坐標系，求該拋物線的表達式；
（2）由于暴雨導致水位上漲了2米，求此時水面的寬度；
（3）已知一艘貨船的高為米，寬為米，其截面如圖3所示。為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎上最多能上升多少米？（結果精確到）
22. 某商場在銷售旺季臨近時，某品牌的童裝銷售價格呈上升趨勢，假如這種童裝開始時的售價為每件20元，并且每周漲價2元，從第6周開始，保持每件30元的穩定價格銷售，直到11周結束，該童裝不再銷售。
（1）請建立銷售價格（元）與周次之間的函數關系；
（2）若該品牌童裝于進貨當周售完，且每件進價（元）與周次之間的關系為，且為整數，那么該品牌童裝在第幾周售出后，每件獲得利潤最大？并求最大利潤為多少？
23. 疫情期間，按照防疫要求，學生在進校時必須排隊接受體溫檢測。實驗中學數學興趣小組統計了學生早晨到校情況，發現學生到校的累計人數（人）隨時間（分鐘）的變化可看作是的二次函數，其圖象經過原點，且頂點坐標為，其中。校門口有一個體溫檢測棚，每分鐘可檢測48人。
（1）求與之間的函數解析式；
（2）求校門口排隊等待體溫檢測的學生人數最多時有多少人；
（3）檢測體溫到第2分鐘時，為減少排隊等候時間，學校在校門口臨時增設一個人工體溫檢測點。已知人工每分鐘可檢測12人，人工檢測多長時間后，校門口不再出現排隊等待的情況。
24. 如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1 m長。小紅在點處將沙包（看作點）拋出，其運動的路線為拋物線的一部分，小琪恰在點處接住沙包，然后跳起在點處將沙包回傳，其運動的路線為拋物線的一部分。
（1）寫出拋物線的頂點坐標，并求出、的值；
（2）若小紅在軸右側、距離軸6 m的位置上，且與點的垂直距離小于0.5 m的范圍內可以接到回傳的沙包，求的整數值；
（3）若小紅在軸上方、距離軸1 m的高度上，且與點的水平距離不超過1 m的范圍內可以接到回傳的沙包，求的整數值。
25. 在平面直角坐標系中，拋物線經過點，是該拋物線上一點，其橫坐標為。以為對角線作矩形，軸。
（1）求拋物線所對應的函數表達式；
（2）當拋物線在矩形內部的點的縱坐標隨的增大而減小時，求的取值范圍；
（3）設拋物線在矩形內部的圖象（包括邊界）的最高點的縱坐標與最低點的縱坐標之差為時，求與之間的函數關系式；
（4）設這條拋物線的頂點為，的面積為。當時，求的值。
二次函數的應用 第1頁（共7頁）

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