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2024年北師大版九年級下冊數學導學案 編寫：初三數學教研組 2025.01.08
第三章 圓
§3.1 圓的定義和性質
【學習目標】
1. 明確圓的概念，了解確定圓的條件，掌握點與圓的位置關系及其判定方法；
2. 探索圓的對稱性，歸納圓心角、弧、弦之間的關系定理及推論；
【學習過程】
一、與圓有關的概念
1. 圓的定義
（1）在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點隨之旋轉所形成的圖形叫做_____，固定的端點叫做_________，線段叫做_________。以點為圓心的圓，記作_____，讀作_________。
（2）圓是到定點的距離等于_________的點的集合。
2. 連結圓上任意兩點的線段叫做_________，經過圓心的弦叫做_________，圓心到弦的距離叫做_________。
3. 圓心相同、半徑不等的兩個圓叫做_________，圓心不同、半徑相等的兩個圓叫做_________。
4. 圓上任意兩點間的部分叫做_________，簡稱弧。以、為端點的弧記作_________，讀作_________。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做_________，大于半圓的弧叫做_________，小于半圓的弧叫做_________。在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做_________。
5. 頂點在_________的角叫做圓心角，頂點在_________的角叫做圓周角。
例1 如圖，點，，以及點，，分別在一條直線上，指出在中的弦、直徑、弧、優弧、劣弧、圓周角、圓心角。
例2 如圖，的直徑與弦的延長線交于點，若，，求的度數。
[識記理解1]
1. 如圖，是的直徑，點，在上，，，連接，求的度數。
2. 在如圖，某海域內以點為圓心、3 km為半徑的圓形區域為多暗礁的危險區，但漁業資源豐富，漁船要從點處前往處進行捕魚，，兩點之間的距離是10 km，如果漁船始終保持10 km/h的航速行駛，那么在什么時段內，漁船是安全的？漁船何時進入危險區域？
二、點與圓的位置關系
1. 點與圓的位置關系的性質與判定
點在圓外點到圓心的距離_________半徑，即_________；
點在圓上點到圓心的距離_________半徑，即_________；
點在圓內點到圓心的距離_________半徑，即_________。
2. 平面上在圓外的一個點到圓的最小距離是__________________，最大距離是__________________。
例3 已知直線與直線同時經過點，點是在以點為圓心、為半徑的圓上的一個動點，求線段的最小值。
[識記理解2]
1. 平面上的一個點到圓的最小距離是4 cm，最大距離是9 cm，求圓的半徑。
2. 如圖，在邊長為5的菱形中，，是邊的中點，是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到，連接，求長度的最小值。
三、圓的對稱性
1. 圓是_________圖形，也是_________圖形，具有____________。
2. 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量_________。
例4 如圖，，是的弦，且，若，求的度數。
例5 如圖，是圓內接三角形，點是圓上一點，連結，，與交于點，且滿足，。若，，求的長度。
[識記理解3]
1. 如圖，是的直徑，，若，求的度數。
2. 如圖，，是上的兩點，，是的中點。求證：四邊形是菱形。
四、確定圓的條件
1. ______________的三個點可以確定一個圓，且_________一個圓可以被確定。
2. 三角形的三個頂點可以確定_________圓，這個三角形叫作圓的____________，這個圓叫作三角形的_________。
3. 三角形的外心
（1）定義：三角形_________的圓心，即三角形三條____________的交點。
（2）性質：三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于_______________，即滿足垂直平分線的性質。
（3）位置：銳角三角形的外心在三角形_________，直角三角形的外心在__________，鈍角三角形的外心在三角形_________。
例6 如圖，直角坐標系中，，，經過，，三點的圓，圓心為，求點的坐標。
例7 已知是圓內接等腰三角形，它的底邊長是8，若圓的半徑是5，求的面積。
[識記理解4]
1. 如圖，的三個頂點的坐標分別為，，，求的外接圓圓心的坐標。
2. 在Rt中，，，，求這個三角形的外接圓的直徑。
【知能提升】
一、選擇題
1. 已知的半徑為5，則該圓中最長的弦的長是（ ）
A. B. C. 10. D. 15
2. 下列說法，不正確的是（ ）
A. 過圓心的弦是圓的直徑 B. 長度相等的弧是等弧.
C. 周長相等的兩個圓是等圓 D. 半圓是弧，但弧不一定是半圓
3. 在平面直角坐標系中，點，的半徑為4，那么點與的位置關系是（ ）
A. 點在圓內 B. 點在圓上 C. 點在圓外. D. 不能確定
4. 下列說法正確的是（ ）
A. 等弧所對的弦相等 B. 相等的弦所對的弧相等
C. 相等的圓心角所對的弧相等. D. 相等的圓心角所對的弦相等
5. 已知點是半徑為5的內一點，且，在過點的所有弦中，弦長為整數的條數為（ ）
A. 2 　　　 B. 3 　　　 C. 4.　　　 D. 5
6. 已知，，三點可以確定一個圓，則以下點坐標不滿足要求的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖是一塊被打碎的圓形玻璃，若想要去店里配到與原來大小一樣的圓形玻璃，應該帶去店里的碎片是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
第7題圖 第8題圖
8. 如圖，是的外接圓，弦交于點，，，過點作于點，延長交于點，若，，則的長為（ ）
A. B. C. 13 D. 14.
二、填空題
9. 如圖，在中，弦有__________，直徑是__________，優弧有__________，劣弧有__________。
第9題圖 第10題圖
10. 如圖，是的直徑，，半徑，是弧上的動點（不與點，，重合），，，垂足分別是，，則的長為__________。
11. ，是半徑為5 cm的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是__________。
12. 如圖，是半徑為1的半圓弧，為等邊三角形，是上的一動點，則的面積的最大值是__________。
第12題圖 第13題圖
13. 如圖，點，的坐標分別為，，為坐標平面內一點，，為線段的中點，連接，當最大時，點的坐標為__________。
14. 已知的半徑為，點和圓心之間的距離為，且是關于的一元二次方程的實數根，則點與的位置關系是__________。
15. 如圖，在中，，，則__________。
第15題圖 第16題圖
16. 如圖，是的直徑，，，則的度數是__________。
三、解答題
17. 如圖，，，求的度數。
18. 如圖，在Rt中，，，，是的角平分線，過，，三點的圓與斜邊交于點，連接。
（1）求證：；
（2）求外接圓的半徑。
19. 如圖，平面直角坐標系中有一個。
（1）用無刻度的直尺和圓規作出的外接圓的圓心，利用網格并寫出圓心坐標是__________；
（2）判斷點與的位置關系，說明理由。
圓的定義和性質 第1頁（共7頁）

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