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2024年北師大版九年級下冊數學導學案 編寫：初三數學教研組 2025.01.11
第三章 圓
§3.2 垂徑定理和圓周角定理
【學習目標】
1. 理解垂徑定理及其推論的內容，能利用定理進行簡單的計算和證明，并利用垂徑定理及其推論解決實際問題；
2. 熟練掌握圓周角定理及其推論的內容，推導圓內接四邊形的相關結論，并靈活運用定理進行計算和證明。
【學習過程】
一、垂徑定理
1. 定理內容：__________________________________________________________________________。
2. 推論內容：__________________________________________________________________________。
注意：在推論中，“不是直徑”的條件不可去掉，否則平分弦的直徑不一定垂直于弦。
例1 如圖，在中，弦的長為8，是的中點，的中點到的距離為3，求的半徑。
例2 如圖，弦與弦平行，求證：、所夾的弧是等弧。
例3 如圖，直徑為10的圓柱形水管有積水（陰影部分），水面的寬度為8，求水的最大深度。
例4 如圖，在中，是的直徑，，，是上一動點，求的最小值。
[識記理解1]
1. 如圖，已知，，，求半徑及弦心距。
2. 如圖，兩個同心圓中，小圓的弦與大圓的弦在同一條直線上，求證：。
3. 已知、、、四點都在上，順次連接、、、，其中，，且，的半徑是5，求四邊形的面積。
4. 如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心的圓過點，直線與交于、兩點，求弦長的最小值。
二、圓周角定理
1. 定理內容：__________________________________________________________________________。
2. 推論內容：（1）_____________________________________________________________________。
（2）_____________________________________________________________________。
例5 如圖，、、為上的三個點，，若，求的度數。
例6 如圖，是的直徑，是弦，且，為上一點，連接，，，若，求的度數。
例7 如圖，是的直徑，點、、在上，若，求的度數。
[識記理解2]
1. 如圖，在中，半徑，互相垂直，點在上。若，求的度數。
2. 如圖，是的弦，是的半徑，且，點是的中點，若，，求弦的長。
3. 如圖，是的直徑，點，分別是弦，的中點，，，求的長。
【知能提升】
一、選擇題
1. 下列命題中，不正確的是（ ）
A. 垂直于弦的直徑平分這條弦 B. 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦
C. 弦的垂直平分線是圓的直徑. D. 平分弦所對的一條弧的直徑垂直這條弦
2. 如圖，的半徑為5，弦的長為8，是弦上的一個動點，則線段的長的最小值為（ ）
A. 3. B. 4 C. 6 D. 8
第2題圖 第3題圖
3. 如圖，直線與相交于、兩點，且與半徑垂直，垂足為，已知，，則的長為（ ）
A. 6 B. 10 C. 4. D.
4. 如圖，是的直徑，點C在上，，垂足為，，點是上的動點（不與重合），點為的中點，若在運動過程中的最大值為4，則的值為（ ）
A. . B. C. D.
第4題圖 第5題圖
5. 如圖，已知點、、、都在上，，，下列說法錯誤的是（ ）
A. B. C. . D.
6. 把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，則球的半徑長是（ ）
A. 2.5. B. 3 C. 3.5 D. 4
第6題圖 第7題圖
7. 如圖，平面直角坐標系中，經過三點，，，點是上的一動點。當點到弦的距離最大時，點的坐標是（ ）
A. . B. C. D.
8. 如圖，是的直徑，，則的度數是（ ）
A. B. C. D.
第8題圖 第9題圖
9. 如圖，在中，弦與相交于點，，，則的度數是（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，，為的兩條弦，，分別為，的中點，的半徑為2。若，則的長為（ ）
A. 2 B. C. D.
第10題圖 第11題圖
11. 如圖，菱形的頂點、、都在上，點為上一點，且點在優弧上，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題
12. 已知的半徑為8，，則在過點的所有弦中，最短的弦長為__________，最長的弦長為__________。
13. 如圖，在中，弦、互相垂直且相等，，，垂足分別為、，若，則的半徑為__________。
第13題圖 第14題圖
14. 如圖為圓弧形拱橋的側面圖，橋的跨徑所在弦m，拱高m，則拱所在圓的半徑為__________。
15. 如圖，是Rt的外接圓，于點，交于點，若，，則的長為__________。
第15題圖 第16題圖
16. 如圖，在以為圓心半徑不同的兩個圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦交小圓于點，。若，則的長為__________。
17. 如圖，點是反比例函數圖象上一點，經過坐標原點，且與兩坐標軸分別交于點，，則__________。
第17題圖 第18題圖
18. 如圖，是的半徑，是的弦，于點，的延長線與的延長線交于點。若，則__________。
三、解答題
19. 如圖，在中，為的弦，、是上的兩點，且，求證：是等腰三角形。
20. 如圖，為的直徑，弦交于，，cm，cm，求弦的長。
21. 如圖，已知是的直徑，，，。求和的度數。
22. 如圖，是弧的中點，過點的弦交于點，設的半徑為4，。
（1）求圓心到弦的距離；
（2）求的度數。
23. 如圖，在中，，連接，，過點作交的延長線于點。
（1）求證；
（2）若，，求的半徑。
24. 如圖，是的直徑，是的弦，如果。
（1）求的度數；
（2）若，求的長。
25. 如圖，有一座拱橋是圓弧形的，它的跨度米，拱高米。
（1）求圓弧所在圓的半徑的長；
（2）當洪水泛濫到水面寬度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即當米時，是否要采取緊急措施？
26. 如圖，射線平分，為射線上的一點，以為圓心，13為半徑作，分別與兩邊相交于點，和點，，連結，此時有。
（1）求證；
（2）若弦，求的長。
27. 如圖，是的直徑，，，點為弧的中點，點是直徑上的一個動點，求的最小值。
28. 如圖，的兩條弦，垂足為，點在上，平分，連接交于點，交于點。
（1）求證；
（2）連接，若，的半徑為2，求的長。
垂徑定理和圓周角定理 第1頁（共7頁）

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