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2024年北師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案 編寫(xiě)：初三數(shù)學(xué)教研組 2025.01.13
第三章 圓
§3.3 直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系 切線(xiàn)長(zhǎng)定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 理解直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系和判定方法，并掌握切線(xiàn)的性質(zhì)定理和判定定理；
2. 理解切線(xiàn)長(zhǎng)的定義，掌握切線(xiàn)長(zhǎng)定理并能運(yùn)用切線(xiàn)長(zhǎng)定理進(jìn)行有關(guān)的證明與解決實(shí)際問(wèn)題。
【學(xué)習(xí)過(guò)程】
一、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系
1. 直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定
直線(xiàn)和圓相交直線(xiàn)和圓有_________個(gè)交點(diǎn)圓心到直線(xiàn)的距離_________半徑，即_________；
直線(xiàn)和圓相切直線(xiàn)和圓有_________個(gè)交點(diǎn)圓心到直線(xiàn)的距離_________半徑，即_________；
直線(xiàn)和圓相離直線(xiàn)和圓有_________個(gè)交點(diǎn)圓心到直線(xiàn)的距離_________半徑，即_________。
2. 當(dāng)直線(xiàn)和圓相交時(shí)，這條直線(xiàn)稱(chēng)為_(kāi)________；當(dāng)直線(xiàn)和圓相切時(shí)，這條直線(xiàn)稱(chēng)為_(kāi)________。
例1 如圖，已知，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且。以點(diǎn)為圓心，為半徑，作。求的取值范圍使的與射線(xiàn)相交、相切、相離。
[識(shí)記理解1]
1. 已知在Rt中，，，，若以為圓心，為半徑的圓與邊有交點(diǎn)，求的取值范圍。
二、切線(xiàn)的性質(zhì)和判定
1. 切線(xiàn)的性質(zhì)：切線(xiàn)和圓有且只有_________個(gè)交點(diǎn)，切線(xiàn)和圓心的距離_________半徑，圓的切線(xiàn)_________過(guò)切點(diǎn)的半徑。
2. 切線(xiàn)的判定方法
（1）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的_________且_________于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；
（2）定義法：直線(xiàn)和圓_________公共點(diǎn)時(shí)，這條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；
（3）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線(xiàn)的距離_________半徑（即）時(shí)，直線(xiàn)與圓相切。
例2 如圖，在Rt中，，在上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與相切于點(diǎn)，連接，若，求的度數(shù)。
例3 如圖，已知為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，點(diǎn)在圓上，。求證：是的切線(xiàn)。
例4 如圖，中，，是的中點(diǎn)，與相切于。求證：是的切線(xiàn)。
[識(shí)記理解2]
1. 如圖，為的切線(xiàn)，點(diǎn)為切點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，，若，求的度數(shù)。
2. 如圖，中，，以為直徑的交于，于。求證：是的切線(xiàn)。
3. 如圖，在Rt中，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，作與相切于點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使，連接。判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。
三、三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心
1. 和三角形三邊都相切的圓叫作這個(gè)三角形的_________，這個(gè)三角形叫作這個(gè)圓的_________。
2. 三角形的內(nèi)心
（1）定義：三角形_________的圓心，即三角形三條____________的交點(diǎn)。
（2）性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，等于_______________，即滿(mǎn)足角平分線(xiàn)的性質(zhì)。
（3）位置：任何三角形的內(nèi)心在三角形的_________。
3. 三角形內(nèi)切圓的半徑公式：__________________，直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式：__________________。
例5 如圖，在Rt中，，是的內(nèi)切圓，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，求的度數(shù)。
例6 如圖，是的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)作，與，分別交于點(diǎn)，，求證：。
[識(shí)記理解3]
1. 如圖，是的內(nèi)切圓，與，，分別相切于點(diǎn)，，，，求的大小。
2. 如圖，中，是內(nèi)心，的平分線(xiàn)和的外接圓相交于點(diǎn)。求證：。
四、切線(xiàn)長(zhǎng)定理
1. 切線(xiàn)長(zhǎng)的定義：過(guò)圓外一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn)，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的_________的長(zhǎng)度叫作切線(xiàn)長(zhǎng)。
2. 切線(xiàn)長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)畫(huà)圓的兩條切線(xiàn)，它們的_________相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)_________兩條切線(xiàn)的夾角。
例7 如圖，四邊形外切于，且，，求四邊形的周長(zhǎng)。
例8 如圖，，分別與相切于點(diǎn)，，為弦，為的直徑，若，cm。
（1）求證：是等邊三角形；
（2）求的長(zhǎng)。
[識(shí)記理解4]
1. 如圖，直線(xiàn)，，分別與相切于點(diǎn)，，，且，cm，cm。求：
（1）的度數(shù)；
（2）的長(zhǎng)和的半徑。
2. 如圖，為的直徑，，分別與相切于點(diǎn)，，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。
（1）求證：；
（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，且，求的長(zhǎng)。
【知能提升】
一、選擇題
1. 已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若的半徑為3 cm，線(xiàn)段cm，cm，則直線(xiàn)與的位置關(guān)系為（ ）
A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切.
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓（ ）
A. 與軸相離，與軸相切. B. 與軸相離，與軸相交
C. 與軸相切，與軸相交 D. 與軸相切，與軸相離
3. 如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. . C. D.
第3題圖 第4題圖
4. 如圖，是的半徑，是的弦，于點(diǎn)，是的切線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）
A. . B. 1.5 C. 1 D.
5. 如圖，是的直徑，延長(zhǎng)至，切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接。若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 3 B. C. 6 D. .
第5題圖 第6題圖
6. 如圖，中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在外，交于點(diǎn)，以下條件不能判定是的切線(xiàn)的是（ ）
A. B. C. D. 點(diǎn)是的中點(diǎn).
7. 如圖，為半直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，切半于，且，則的值為（ ）
A. B. . C. D.
第7題圖 第8題圖
8. 如圖，過(guò)半徑為2的外一點(diǎn)作的兩條切線(xiàn)、，切點(diǎn)分別為，，，連接，則的長(zhǎng)為（ ）
A. . B. C. 3 D.
9. 在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心到直線(xiàn)的距離為3，點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離是（ ）
A. 2 B. 5. C. 6 D. 8
10. 如圖，以平行四邊形一邊為直徑的圓與對(duì)邊相切于點(diǎn)。若，則平行四邊形的面積為（ ）
A. 4 B. 6 C. 8. D. 10
第10題圖 第11題圖
11. 如圖，點(diǎn)是外接圓的圓心，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接，。若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. . D.
12. 如圖，在中，，小唯進(jìn)行了如下作圖：①過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)；②作的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)。根據(jù)小唯的作圖，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在的外部 B. 點(diǎn)是的內(nèi)心
C. 點(diǎn)是的外心 D. 點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離均相等
第12題圖 第13題圖
13. 如圖，以正方形的邊為直徑作半，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)切半圓于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為12，則直角梯形的周長(zhǎng)為（ ）
A. 12 B. 13 C. 14. D. 15
二、填空題
14. 如圖，在中，，，以為直徑作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________。
第14題圖 第15題圖
15. 如圖，直徑分別為、的兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)，大半圓的弦與小半圓相切于點(diǎn)，且，，設(shè)、的長(zhǎng)分別為，，線(xiàn)段的長(zhǎng)為，則的值為_(kāi)_________。
16. 如圖，與的兩邊分別相切于點(diǎn)、，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），若，則__________。
第16題圖 第17題圖
17. 如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與相切于，則的半徑為_(kāi)_________。
18. 如圖，直線(xiàn)是的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)。若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________。
第18題圖 第19題圖
19. 如圖，的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)，，，若，則的度數(shù)為_(kāi)_________。
20. 如圖，內(nèi)切于正方形，為圓心，作，其兩邊分別交，于點(diǎn)，，若，則的面積為_(kāi)_________。
第20題圖 第21題圖
21. 如圖，是四邊形的內(nèi)切圓，連接，，，，記，，，的面積分別為，，，，則，，，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___________________。
三、解答題
22. 如圖，，是的切線(xiàn)，，為切點(diǎn)，是的直徑，，求的度數(shù)。
23. 如圖，為的直徑，半徑，的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，的弦與相交于點(diǎn)。
（1）求證：；
（2）若，且為的中點(diǎn)，求的半徑長(zhǎng)。
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的半徑為2。
（1）試判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系，并證明該結(jié)論；
（2）若直線(xiàn)與相離，求的取值范圍。
25. 如圖，是的直徑，是的弦，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，的半徑為5，求的長(zhǎng)；
（4）若，，求的直徑。
26. 如圖，是的直徑，過(guò)點(diǎn)作，是上的一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接。
（1）判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若，，，求的長(zhǎng)。
27. 如圖，已知內(nèi)接于，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線(xiàn)于點(diǎn)，且。
（1）求證：；
（2）求證：平分。
直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系 切線(xiàn)長(zhǎng)定理 第1頁(yè)（共7頁(yè)）

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