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2024年北師大版九年級下冊數學導學案 編寫：初三數學教研組 2025.01.13
第三章 圓
§3.4 圓內接正多邊形 圓的弧長及扇形的面積
【學習目標】
1. 了解圓內接正多邊形的有關概念，掌握圓內接正多邊形的半徑和邊長、邊心距、中心角的關系；
2. 了解扇形的定義，掌握圓的弧長和扇形面積的計算公式，并解決有關的實際應用問題。
【學習過程】
一、圓內接正多邊形
1. 頂點都在同一個圓上的正多邊形叫做__________________，這個圓叫做這個正多邊形的_________。
2. 一個正多邊形外接圓的圓心叫做正多邊形的_________，正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的_________，正多邊形每條邊所對的_________叫做正多邊形的中心角，正多邊形的_________到到正多邊形的一條邊的距離叫做正多邊形的_________。
3. 圓內接正多邊形的計算公式
（1）正多邊形的每個內角：_______________________________________________；
（2）正多邊形的每個中心角：_____________________________________________；
（3）正多邊形的邊心距、邊長、半徑之間的關系：___________________________；
（4）正多邊形的周長：_______________；正多邊形的面積：__________________。
4. 任何一個圓內接四邊形的對角_________。
例1 如圖，如圖，正六邊形內接于半徑為4的，求這個正六邊形的中心角、邊長、邊心距、周長、面積及它的內切圓半徑。
例2 如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，若，，求的度數。
[識記理解1]
1. 如圖，正五邊形內接于，點為弧的中點，直線與相切于點，求的度數。
2. 如圖，圓內接四邊形中，，連接，，，，，求的度數。
二、圓的弧長和扇形的面積
1. 圓的弧長的計算公式：_____________________________________________。
2. 扇形面積的計算公式：_____________________________________________。
例3 如圖，是正三角形，曲線叫做“正三角形的漸開線”，其中弧，弧，弧的圓心依次按，，循環，它們依次相連接，如果，求曲線的長。
例4 如圖，矩形中，以為圓心，的長為半徑畫圓，交于點，再以為圓心，的長為半徑畫圓，恰好經過點。已知，，求圖中陰影部分的面積。
[識記理解2]
1. 如圖，在Rt中，，平分，交于點，點在上，經過，兩點，交于點，交于點。
（1）求證：是的切線；
（2）若半徑是2 cm，是弧的中點，求陰影部分的面積（結果保留和根號）
2. 如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條和的夾角為，長為25 cm，貼紙部分的寬為15 cm，若紙扇兩面貼紙，求貼紙的面積。
【知能提升】
一、選擇題
1. 魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”，用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，如圖所示的圓的內接正十二邊形，若該圓的半徑為1，則這個圓的內接正十二邊形的面積為（ ）
A. 3. B. C. D. 6
第1題圖 第2題圖
2. 如圖，是正五邊形的外接圓，這個正五邊形的邊長為，半徑為，邊心距為，則下列關系式錯誤的是（ ）
A. B. C. D. .
3. 如圖，點，，，在上，，，，若的半徑為2，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A. B. . C. D.
第3題圖 第4題圖
4. 如圖，半徑為1的與正六邊形相切于點、，則弧的長為（ ）
A. . B. C. D.
5. 如圖，點為上一個動點，連接，，若，則陰影部分面積的最小值為（ ）
A. B. C. . D.
第5題圖 第6題圖
6. 如圖，正方形的邊長為10，以正方形的頂點，，，為圓心畫四個全等的圓。若圓的半徑為，且，陰影部分的面積為，則能反映與之間函數關系的大致圖象是（ ）
A. B. C. D. .
7. 如圖，正方形內接于，，則的長是（ ）
A. . B. C. D.
第7題圖 第8題圖
8. 如圖，水平地面上有一面積為30 cm2的扇形，半徑cm，且與地面垂直，在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至與地面垂直為止，則點移動的距離為（ ）
A. 20 cm B. 24 cm C. 10 cm. D. 30 cm
二、填空題
9. 如圖，正五邊形內接于，連接，，則__________。
第9題圖 第10題圖
10. 如圖，是正五邊形的內切圓，點，，分別是邊，，與的切點，則的度數為__________。
11. 如圖，已知的內接正方形，點是的中點，與邊交于點，那么__________。
第11題圖 第12題圖
12. 如圖，四邊形內接于，交的延長線于點，平分，連接，若，，則的長為__________。
13. 如圖，正方形中，分別以、為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的面積為__________。
第13題圖 第14題圖
14. 中國傳統折扇出現于宋代，流行于明清，因其開合自如，攜帶方便，集詩書畫藝于一身，有“懷袖雅物”之稱，圖1是一把扇形折扇，圖2是其平面示意圖，我們稱封閉部分為扇環，其中，，則扇環的面積是__________，周長是__________。
15. 如果一個扇形的圓心角為，弧長為，那么該扇形的半徑為__________。
16. 圓心角為的扇形的半徑為9 cm，則這個扇形的面積是__________。
三、解答題
17. 如圖，的外接圓的圓心在等腰的底邊上，點為弧上的一點，平分，，。
（1）求證：是的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積。
18. 如圖，在中，，以為直徑的與底邊交于點，過點作，垂足為點。
（1）求證：為的切線；
（2）若，，求的長。（結果保留）
19. 如圖，的直徑，的平分線交于，過點作交的延長線于點，連接，。
（1）求由，，圍成的陰影部分的面積；
（2）求證：是的切線。
20. 如圖，在Rt中，，平分，交于點，點在上，經過，兩點，交于點，交于點 。
（1）求證：是的切線；
（2）若半徑是2 cm，是弧的中點，求陰影部分的面積。（結果保留和根號）
21. 如圖，在等腰中，，以為直徑的與相交于點，與的延長線相交于點，過點作交的延長于點，垂足為點。
（1）判定直線與的位置關系，并說明理由；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積。
圓內接正多邊形 圓的弧長及扇形的面積 第1頁（共7頁）

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