資源簡介

專題提升二　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
(分值:100分)
選擇題1~8題,每小題8分,共64分。
對點題組練
題組一　帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法
1.如圖所示,在x>0,y>0的空間中有恒定的勻強磁場,磁感應強度的方向垂直于xOy平面向里,大小為B。現有一質量為m、電荷量為q的帶電粒子(不計重力),在x軸上到原點的距離為x0的P點,以平行于y軸的初速度射入此磁場,僅在磁場力作用下沿垂直于y軸的方向射出此磁場,由這些條件可知
(　　)
帶電粒子一定帶正電
不能確定粒子速度的大小
不能確定粒子射出此磁場的位置
不能確定粒子在此磁場中運動所經歷的時間
2.如圖所示,在平面坐標系xOy的第一象限內,存在垂直紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一帶正電的粒子,沿x軸正方向以速度v0從y軸上的點P1(0,a)射入磁場,從x軸上的點P2(2a,0)射出磁場,不計粒子受到的重力,則粒子的比荷為 (　　)
3.如圖所示,平行線PQ、MN之間有方向垂直紙面向里的無限長勻強磁場,電子從P點沿平行于PQ且垂直于磁場方向射入磁場,當電子速率為v1時與MN成60°角斜向右下方射出磁場;當電子速率為v2時與MN成30°角斜向右下方射出磁場(出射點都沒畫出),v1∶v2等于 (　　)
1∶(2-) (2-)∶1
2∶1 ∶1
題組二　帶電粒子在典型邊界磁場中的運動
4.如圖所示,在x軸上方存在著垂直于紙面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一個不計重力的帶電粒子從坐標原點O處以速度v進入磁場,粒子進入磁場時的速度方向垂直于磁場方向且與x軸正方向成120°角,若粒子穿過y軸正半軸后在磁場中到x軸的最大距離為a,則該粒子的比荷和所帶電荷的正負是 (　　)
　正電荷 　正電荷
　負電荷 　負電荷
5.如圖所示,空間有一圓柱形勻強磁場區域,該區域的橫截面的半徑為R,磁場方向垂直于橫截面。一質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子以速率v0沿橫截面的某直徑射入磁場,離開磁場時速度方向偏離入射方向60°。不計粒子重力,該磁場的磁感應強度大小為 (　　)
6.如圖所示為測量磁感應強度的裝置,粒子源O能夠穩定地發射出速度為v、比荷為k的帶正電粒子。將裝置放置在被測磁場中,粒子從O點垂直ON和磁場方向進入磁場,經磁場偏轉后,垂直打在底片MN上的A點,測出OA距離,從而確定被測磁場的磁感應強度B。已知OM=MN=L,不計重力,則此裝置能測量的磁感應強度范圍是 (　　)
7.(多選)如圖所示,直角三角形ABC中存在一勻強磁場,比荷相同的兩個帶電粒子沿AB方向射入磁場,分別從AC邊上的P、Q兩點射出,不計粒子重力,則 (　　)
從P射出的粒子速度大
從Q射出的粒子速度大
從P射出的粒子在磁場中運動的時間長
兩粒子在磁場中運動的時間一樣長
綜合提升練
8.(2024·福建福州延安中學月考)如圖所示,圓形區域內存在著垂直于紙面向外的勻強磁場,比荷相同的兩個粒子沿直徑AB方向從A點射入磁場中,分別從圓弧上的P、Q兩點射出,下列說法正確的是 (　　)
兩粒子分別從A到P、Q經歷時間之比為3∶1
粒子在磁場中做勻速圓周運動周期之比為2∶1
粒子在磁場中速率之比為1∶3
粒子在磁場中運動軌道半徑之比為3∶1
9.(12分)如圖所示,一個質量為m、電荷量為q、不計重力的帶電粒子從x軸上的P點以速度v沿與x軸成60°角的方向射入第一象限內的勻強磁場中,并恰好垂直于y軸射出第一象限。已知OP=a。
(1)(4分)判斷粒子帶電的正負并作圖求出粒子運動軌跡半徑;
(2)(4分)求磁感應強度的大小;
(3)(4分)求帶電粒子穿過第一象限所用的時間。
10.(10分)在xOy直角坐標系第一象限中有垂直紙面向外,大小為B的勻強磁場,第四象限有垂直紙面向外,大小未知的勻強磁場。電荷量為+q(q>0),質量為m的帶電粒子從P點開始以垂直于y軸的速度沿x軸正方向射入第一象限,經過第一象限后垂直x軸從Q點(圖中未標出)進入第四象限,經過第四象限后從M點離開磁場,此時速度方向與y軸負方向的夾角θ=60°。已知P點到O點的距離為a,不計帶電粒子的重力。求:
(1)(5分)帶電粒子在P點時的入射速度大小;
(2)(5分)帶電粒子在第四象限中從Q點運動到M點的時間。
培優加強練
11.(14分)一個重力不計的帶電粒子,以大小為v的速度從坐標(0,L)的a點,平行于x軸射入磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向外的圓形勻強磁場區域,并從x軸上b點射出磁場,射出速度方向與x軸正方向的夾角為60°,如圖所示,求:
(1)(4分)帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑;
(2)(5分)帶電粒子的比荷及粒子從a點運動到b點的時間;
(3)(5分)其他條件不變,要使該粒子恰從O點射出磁場,求粒子的入射速度大小。
專題提升二　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
1.A　[由題意知，粒子向左偏轉，由左手定則可知，粒子帶正電，由幾何關系知軌跡半徑r＝x0，故粒子射出磁場時的位置在y軸上距原點x0處，由qvB＝m可得速度v＝，運動時間t＝＝，故選項A正確。]
2.B　[粒子運動軌跡對應的圓心在y軸上，
如圖所示，設軌跡的半徑為r，由幾何關系有
(r－a)2＋(2a)2＝r2
解得r＝
由牛頓第二定律可得qv0B＝m
解得＝，故B正確。]
3.B　[設電子射出磁場時速度方向與MN之間的夾角為θ，做勻速圓周運動的半徑為r，兩平行線之間的距離為d，由幾何關系可知cos θ＝，解得r＝，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，可得v＝∝r，聯立可得v1∶v2＝r1∶r2＝(1－cos 30°)∶(1－cos 60°)＝(2－)∶1，故B正確。]
4.C　[由左手定則可知粒子帶負電，作出粒子的運動軌跡示意圖如圖所示。根據幾何關系有r＋rsin 30°＝a，再結合半徑表達式r＝，可得＝，C正確。]
5.A　[粒子的運動軌跡如圖所示，
粒子做圓周運動的軌道半徑
r＝＝R
根據洛倫茲力提供向心力得
qv0B＝m，解得B＝，故A正確。]
6.D　[帶電粒子進入磁場后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，由題意知＝，聯立解得B＝。如圖所示，當粒子打到M點時，軌跡圓半徑r＝，此時測得磁感應強度B＝，當粒子打到N點時，軌跡圓半徑r＝L，同理可知，此時測得磁感應強度B＝，則此裝置能測量的磁感應強度范圍是，D正確。]
7.BD　[作出兩帶電粒子各自的運動軌跡，如圖所示，根據圓周運動特點知，兩粒子分別從P、Q點射出時，速度方向與AC邊的夾角相等，故可判定兩粒子從P、Q點射出時，半徑rP8.D　[作出帶電粒子運動軌跡如圖所示
根據幾何關系可知，到達Q點的粒子在磁場中轉過的角度為120°，到達P點的粒子在磁場中轉過的角度為60°，而粒子在磁場中做圓周運動的周期T＝，比荷相同且在同一磁場中做圓周運動，因此周期相同，則可得tP＝T＝，tQ＝＝，可得tP∶tQ＝1∶2，故A、B錯誤；設圓形磁場的半徑為R，根據幾何關系可得＝tan 30°，＝tan 30°，解得rP∶rQ＝3∶1，而根據v＝可得vP∶vQ＝3∶1，故C錯誤，D正確。]
9.(1)粒子帶負電　見解析圖　a　(2)　(3)
解析　(1)由左手定則可知粒子帶負電，
軌跡如圖所示
由幾何關系有rsin 60°＝a
解得r＝a。
(2)由洛倫茲力提供向心力有
qvB＝m
解得B＝。
(3)粒子的周期為T＝，帶電粒子穿過第一象限所用的時間為t＝T＝T＝。
10.(1)　(2)
解析　帶點粒子的運動軌跡如圖所示。
(1)粒子在第一象限內，根據幾何關系知r＝a，根據洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，解得v＝。
(2)在第四象限，根據幾何關系知
r′sin 30°＋a＝r′
解得r′＝2a
周期T＝＝＝
根據幾何知識知，粒子在第四象限內轉過的圓心角為60°，則粒子運動時間
t＝T
解得t＝。
11.(1)2L　(2)　　(3)v
解析　(1)粒子的運動軌跡如圖所示，由幾何知識有rcos 60°＋L＝r
解得r＝2L。
(2)由洛倫茲力提供向心力得
qvB＝
所以＝＝
粒子運動的周期T＝＝
則粒子從a點運動到b點的時間
t＝T＝。
(3)該粒子恰從O點射出磁場，
則r′＝
由qv′B＝可得v′＝v。專題提升二　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
學習目標　1.熟練掌握帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的規律。2.掌握分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的基本方法。3.會分析帶電粒子在典型邊界磁場中的運動問題。
提升1　帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法
1.圓心的確定
(1)基本思路：與速度方向垂直的直線和弦的中垂線一定過圓心。
(2)兩種常見情形
Ⅰ.已知入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示，圖中P為入射點，M為出射點)。
Ⅱ.已知入射點和出射點的位置時，可以先通過入射點作入射方向的垂線，再連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖乙所示，圖中P為入射點，M為出射點)。
2.半徑的計算方法
(1)由物理方法求：半徑r＝。
(2)由幾何方法求：一般由數學公式(勾股定理、三角函數等)計算來確定。
3.運動時間的確定
(1)粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α(速度偏轉角與圓心角相等)時，其運動時間由下式表示：
t＝T(或t＝T)。
(2)用弧長與線速度的比t＝。
4.圓心角與偏向角、弦切角的關系
(1)帶電粒子射出磁場時的速度方向與射入磁場時的速度方向之間的夾角φ叫作偏向角，偏向角等于圓弧對應的圓心角α，即α＝φ，如圖所示。
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(2)圓弧所對應圓心角α等于弦與切線的夾角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如圖所示。
例1 如圖所示的狹長區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，區域的左、右兩邊界均沿豎直方向，磁場左、右兩邊界之間的距離為d，磁場磁感應強度的大小為B，某一質量為m、電荷量q的帶負電粒子從左邊界M點以水平向右的初速度進入磁場區域，該粒子從磁場的右邊界N點飛出，飛出時速度方向與初速度方向的夾角θ＝60°，重力不計。求：
INCLUDEPICTURE"AB47.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\課件\\同步\\2025（春）物理 選擇性必修 第二冊 魯科版\\學生word文檔\\AB47.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)該粒子的運動速率；
(2)該粒子在磁場中運動的時間。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　帶電粒子在典型邊界磁場中的運動
角度1　直線邊界磁場
從某一直線邊界射入的粒子，再從這一邊界射出時，射入和射出速度與直線邊界的夾角相等，如圖所示。
例2 (多選)(2024·湖北黃岡市高二統考期中)如圖所示，虛線 MN上方有垂直紙面向外足夠大的勻強磁場，紙面內有兩個相同的正點電荷A、B同時從 MN上的O點射入磁場，兩電荷的速度方向相互垂直(不計兩電荷間的相互作用)，大小分別為 v1和 v2，其中 v1與MN間的夾角為θ＝30°，則下列說法正確的是(　　)
A.兩電荷在磁場中運動的周期一定相等
B.兩電荷在磁場中運動的軌道半徑一定相等
C.A、B在磁場中運動的時間之比為 1∶4
D.A、B射出磁場時的速度方向一定相互垂直
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　平行邊界磁場
例3 真空區域有寬度為l、磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向如圖所示，MN、PQ是磁場的邊界。質量為m、電荷量為＋q(q>0)的粒子沿著與MN夾角為θ＝30°的方向垂直射入磁場中，粒子不能從PQ邊界射出磁場(不計粒子重力的影響)，求：
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(1)粒子射入磁場的速度大小范圍；
(2)粒子在磁場中運動的時間。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　三角形邊界磁場
如圖所示是正△ABC區域內某正粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖。粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
例4 如圖所示，邊長為L的正三角形ABC區域內有垂直于紙面向外的勻強磁場，D為AB邊的中點，一個質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子平行BC邊射入磁場，粒子的速度大小為v0，結果剛好垂直BC邊射出磁場，不計粒子的重力，求：
INCLUDEPICTURE"B59.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\課件\\同步\\2025（春）物理 選擇性必修 第二冊 魯科版\\學生word文檔\\B59.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)勻強磁場的磁感應強度大小；
(2)若要使粒子在磁場中的運動軌跡剛好與BC相切，粒子的速度大小為多少？粒子在磁場中運動的時間為多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度4　圓形邊界磁場
1.粒子沿徑向對準磁場圓心射入
粒子一定沿徑向射出，如圖甲所示。磁場圓半徑為R，粒子軌跡圓半徑為r，帶電粒子從P點對準磁場圓圓心O射入，由幾何知識很容易證明粒子從Q點射出的速度方向的反向延長線必過磁場圓圓心O點。
2.粒子不沿徑向射入
如圖乙所示，處理這類問題時一定要分清磁場圓和軌跡圓，并要注意區分軌跡圓的圓心和勻強磁場圓的邊界的圓心。粒子進出磁場時速度與對應點所在磁場圓的半徑的夾角相等。
例5 如圖所示，在圓形區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，ab是圓的直徑。一帶電粒子從a點射入磁場，速度大小為v1、方向與ab成30°角時，恰好從b點飛出磁場，且粒子在磁場中運動的時間為t；若同一帶電粒子從a點沿ab方向射入磁場，也經時間t飛出磁場，則其速度大小為(　　)
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A.v1 B.v1
C.v1 D.v1
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“三步法”分析有界磁場問題
　　　　
隨堂對點自測
1.(矩形邊界磁場)(2024·貴州貴陽期末)空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖中的正方形為其邊界。一細束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不計重力。下列說法正確的是(　　)
INCLUDEPICTURE"W106.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\課件\\同步\\2025（春）物理 選擇性必修 第二冊 魯科版\\學生word文檔\\W106.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.入射速度不同的粒子在磁場中的運動時間一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡不一定相同
C.在磁場中運動時間相同的粒子，其運動軌跡一定相同
D.在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大
2.(相交邊界磁場)如圖所示，在第Ⅳ象限內有垂直坐標平面向外的勻強磁場，一對比荷之比為2∶1的正、負帶電粒子在坐標平面內以相同的速率沿與x軸成30°角的方向從坐標原點射入磁場。不計粒子受到的重力及粒子間的作用力。正、負帶電粒子在磁場中運動的時間之比為(　　)
INCLUDEPICTURE"P26B.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\課件\\同步\\2025（春）物理 選擇性必修 第二冊 魯科版\\學生word文檔\\P26B.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶3 D.1∶1
專題提升二　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
提升1
例1 (1)　(2)
解析　(1)作出粒子運動的軌跡如圖所示，O為軌跡的圓心。
設粒子的軌道半徑為r，根據幾何關系可知
r＝＝d
由洛倫茲力提供向心力可得qvB＝m
解得該粒子的運動速率為v＝。
(2)該粒子在磁場中運動的時間為t＝T＝T
又T＝＝
聯立解得t＝。
提升2
例2 ACD　[根據粒子在磁場中做圓周運動的規律有T＝，由于兩正點電荷相同，可知兩電荷在磁場中運動的周期一定相等，故A正確；電荷在磁場中由洛倫茲力提供向心力，則有qv1B＝meq \f(v,r1)，qv2B＝meq \f(v,r2)，解得r1＝，r2＝，由于兩電荷速度大小關系不確定，則兩電荷半徑大小關系也不確定，故B錯誤；根據幾何關系可知，電荷A對應軌跡的圓心角為60°，電荷B對應軌跡的圓心角為240°，由于兩電荷周期相等，則A、B在磁場中運動的時間之比等于軌跡對應圓心角之比，則有＝＝，故C正確；根據單邊有界磁場的對稱性可知，A、B射出磁場時的速度方向一定相互垂直，故D正確。]
例3 (1)v≤　(2)
解析　(1)粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場，即軌跡與PQ相切，如圖所示
設軌跡半徑為r，則l＝r＋rcos θ
解得軌跡半徑
r＝＝
由洛倫茲力提供向心力有
qvB＝m
解得v＝
故粒子不能從PQ邊界射出磁場時的速度大小范圍為
v≤。
(2)粒子的速度大小不同，軌跡不同，但圓心角相同，即在磁場中的運動時間相同，由幾何知識可看出，軌跡所對圓心角為300°，則運動時間t＝T＝T，周期公式T＝，所以t＝。
例4 (1)　(2)　
解析　(1)根據題意知，
粒子在磁場中的運動軌跡如圖中的軌跡①所示。
根據幾何關系可知，粒子做圓周運動的半徑
r1＝cos 30°＝L
根據牛頓第二定律有
qv0B＝meq \f(v,r1)
解得B＝。
(2)設粒子的速度為v時，粒子的運動軌跡與BC相切，軌跡如圖中的軌跡②所示，由幾何關系可知，粒子做圓周運動的半徑
r2＝r1＝L
由牛頓第二定律有qvB＝m
求得v＝＝v0
由幾何關系可知，粒子在磁場中的運動軌跡所對應的圓心角為240°，此粒子在磁場中運動的時間
t＝T＝×＝。
例5 C　[兩種情況下帶電粒子的運動軌跡如圖所示，由題意知，同一粒子在磁場中偏轉時間同為t，則兩種情況下帶電粒子的偏轉角均為60°；設磁場圓的半徑為R，由幾何關系可知帶電粒子在兩種情況下做勻速圓周運動的半徑分別為r1＝2R，r2＝Rtan 60°＝R，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，則速度v＝，則＝＝，所以當粒子沿ab方向射入時，
v2＝v1，A、B、D錯誤，C正確。]
隨堂對點自測
1.D　[根據T＝可知兩種粒子的周期相同，入射速度不同的粒子，若它們入射速度方向相同，且都從左邊飛出，雖然軌跡不一樣，但圓心角卻相同，時間相同，故A、C錯誤；入射速度相同的粒子，半徑r＝相同，則運動軌跡一定相同，故B錯誤；由于它們的周期相同，根據t＝T可知，在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角也一定越大，故D正確。]
2.D　[運動軌跡如圖所示，由圖可知，
正電荷運動所對應的圓心角為120°，負電荷運動所對應的圓心角為60°，正、負帶電粒子圓心角之比為2∶1；由洛倫茲力提供向心力qvB＝，得r＝m，又T＝，解得T＝，故正、負帶電粒子周期之比為1∶2，粒子在磁場中運動的時間t＝T，故正、負帶電粒子在磁場中運動的時間之比為＝，故D正確。](共56張PPT)
專題提升二　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
第1章 安培力與洛倫茲力
1.熟練掌握帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的規律。2.掌握分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的基本方法。
3.會分析帶電粒子在典型邊界磁場中的運動問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
課后鞏固訓練
03
隨堂對點自測
02
提升
1
提升2　帶電粒子在典型邊界磁場中的運動
提升1　帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法
提升1　帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法
1.圓心的確定
(1)基本思路：與速度方向垂直的直線和弦的中垂線一定過圓心。
(2)兩種常見情形
Ⅰ.已知入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示，圖中P為入射點，M為出射點)。
Ⅱ.已知入射點和出射點的位置時，可以先通過入射點作入射方向的垂線，再連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖乙所示，圖中P為入射點，M為出射點)。
2.半徑的計算方法
3.運動時間的確定
4.圓心角與偏向角、弦切角的關系
例1 如圖所示的狹長區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，區域的左、右兩邊界均沿豎直方向，磁場左、右兩邊界之間的距離為d，磁場磁感應強度的大小為B，某一質量為m、電荷量q的帶負電粒子從左邊界M點以水平向右的初速度進入磁場區域，該粒子從磁場的右邊界N點飛出，飛出時速度方向與初速度方向的夾角θ＝60°，重力不計。求：
解析　(1)作出粒子運動的軌跡如圖所示，O為軌跡的圓心。
提升2　帶電粒子在典型邊界磁場中的運動
角度1　直線邊界磁場
從某一直線邊界射入的粒子，再從這一邊界射出時，射入和射出速度與直線邊界的夾角相等，如圖所示。
例2 (多選)(2024·湖北黃岡市高二統考期中)如圖所示，虛線 MN上方有垂直紙面向外足夠大的勻強磁場，紙面內有兩個相同的正點電荷A、B同時從 MN上的O點射入磁場，兩電荷的速度方向相互垂直(不計兩電荷間的相互作用)，大小分別為 v1和 v2，其中 v1與MN間的夾角為θ＝30°，則下列說法正確的是(　 　)
ACD
A.兩電荷在磁場中運動的周期一定相等
B.兩電荷在磁場中運動的軌道半徑一定相等
C.A、B在磁場中運動的時間之比為 1∶4
D.A、B射出磁場時的速度方向一定相互垂直
角度2　平行邊界磁場
例3 真空區域有寬度為l、磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向如圖所示，MN、PQ是磁場的邊界。質量為m、電荷量為＋q(q>0)的粒子沿著與MN夾角為θ＝30°的方向垂直射入磁場中，粒子不能從PQ邊界射出磁場(不計粒子重力的影響)，求：
(1)粒子射入磁場的速度大小范圍；
(2)粒子在磁場中運動的時間。
解析　(1)粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場，即軌跡與PQ相切，如圖所示
設軌跡半徑為r，則l＝r＋rcos θ
解得軌跡半徑
角度3　三角形邊界磁場
如圖所示是正△ABC區域內某正粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖。粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
例4 如圖所示，邊長為L的正三角形ABC區域內有垂直于紙面向外的勻強磁場，D為AB邊的中點，一個質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子平行BC邊射入磁場，粒子的速度大小為v0，結果剛好垂直BC邊射出磁場，不計粒子的重力，求：
(1)勻強磁場的磁感應強度大小；
(2)若要使粒子在磁場中的運動軌跡剛好與BC相切，粒子的速度大小為多少？粒子在磁場中運動的時間為多少？
解析　(1)根據題意知，
粒子在磁場中的運動軌跡如圖中的軌跡①所示。
根據幾何關系可知，粒子做圓周運動的半徑
角度4　圓形邊界磁場
1.粒子沿徑向對準磁場圓心射入
粒子一定沿徑向射出，如圖甲所示。磁場圓半徑為R，粒子軌跡圓半徑為r，帶電粒子從P點對準磁場圓圓心O射入，由幾何知識很容易證明粒子從Q點射出的速度方向的反向延長線必過磁場圓圓心O點。
2.粒子不沿徑向射入
如圖乙所示，處理這類問題時一定要分清磁場圓和軌跡圓，并要注意區分軌跡圓的圓心和勻強磁場圓的邊界的圓心。粒子進出磁場時速度與對應點所在磁場圓的半徑的夾角相等。
例5 如圖所示，在圓形區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，ab是圓的直徑。一帶電粒子從a點射入磁場，速度大小為v1、方向與ab成30°角時，恰好從b點飛出磁場，且粒子在磁場中運動的時間為t；若同一帶電粒子從a點沿ab方向射入磁場，也經時間t飛出磁場，則其速度大小為(　　)
C
“三步法”分析有界磁場問題
隨堂對點自測
2
D
1.(矩形邊界磁場)(2024·貴州貴陽期末)空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖中的正方形為其邊界。一細束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不計重力。下列說法正確的是(　　)
A.入射速度不同的粒子在磁場中的運動時間一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡不一定相同
C.在磁場中運動時間相同的粒子，其運動軌跡一定相同
D.在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大
D
2.(相交邊界磁場)如圖所示，在第Ⅳ象限內有垂直坐標平面向外的勻強磁場，一對比荷之比為2∶1的正、負帶電粒子在坐標平面內以相同的速率沿與x軸成30°角的方向從坐標原點射入磁場。不計粒子受到的重力及粒子間的作用力。正、負帶電粒子在磁場中運動的時間之比為(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.1∶1
課后鞏固訓練
3
題組一　帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法
1.如圖所示，在x>0，y>0的空間中有恒定的勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于xOy平面向里，大小為B。現有一質量為m、電荷量為q的帶電粒子(不計重力)，在x軸上到原點的距離為x0的P點，以平行于y軸的初速度射入此磁場，僅在磁場力作用下沿垂直于y軸的方向射出此磁場，由這些條件可知(　　)
對點題組練
A.帶電粒子一定帶正電
B.不能確定粒子速度的大小
C.不能確定粒子射出此磁場的位置
D.不能確定粒子在此磁場中運動所經歷的時間
B
2.如圖所示，在平面坐標系xOy的第一象限內，存在垂直紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一帶正電的粒子，沿x軸正方向以速度v0從y軸上的點P1(0，a)射入磁場，從x軸上的點P2(2a，0)射出磁場，不計粒子受到的重力，則粒子的比荷為(　　)
解析　粒子運動軌跡對應的圓心在y軸上，
如圖所示，設軌跡的半徑為r，由幾何關系有(r－a)2＋(2a)2＝r2
B
3.如圖所示，平行線PQ、MN之間有方向垂直紙面向里的無限長勻強磁場，電子從P點沿平行于PQ且垂直于磁場方向射入磁場，當電子速率為v1時與MN成60°角斜向右下方射出磁場；當電子速率為v2時與MN成30°角斜向右下方射出磁場(出射點都沒畫出)，v1∶v2等于(　　)
C
題組二　帶電粒子在典型邊界磁場中的運動
4.如圖所示，在x軸上方存在著垂直于紙面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一個不計重力的帶電粒子從坐標原點O處以速度v進入磁場，粒子進入磁場時的速度方向垂直于磁場方向且與x軸正方向成120°角，若粒子穿過y軸正半軸后在磁場中到x軸的最大距離為a，則該粒子的比荷和所帶電荷的正負是(　　)
A
5.如圖所示，空間有一圓柱形勻強磁場區域，該區域的橫截面的半徑為R，磁場方向垂直于橫截面。一質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子以速率v0沿橫截面的某直徑射入磁場，離開磁場時速度方向偏離入射方向60°。不計粒子重力，該磁場的磁感應強度大小為(　　)
D
6.如圖所示為測量磁感應強度的裝置，粒子源O能夠穩定地發射出速度為v、比荷為k的帶正電粒子。將裝置放置在被測磁場中，粒子從O點垂直ON和磁場方向進入磁場，經磁場偏轉后，垂直打在底片MN上的A點，測出OA距離，從而確定被測磁場的磁感應強度B。已知OM＝MN＝L，不計重力，則此裝置能測量的磁感應強度范圍是(　　)
BD
7.(多選)如圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強磁場，比荷相同的兩個帶電粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點射出，不計粒子重力，則(　　)
A.從P射出的粒子速度大
B.從Q射出的粒子速度大
C.從P射出的粒子在磁場中運動的時間長
D.兩粒子在磁場中運動的時間一樣長
D
綜合提升練
8.(2024·福建福州延安中學月考)如圖所示，圓形區域內存在著垂直于紙面向外的勻強磁場，比荷相同的兩個粒子沿直徑AB方向從A點射入磁場中，分別從圓弧上的P、Q兩點射出，下列說法正確的是(　　)
A.兩粒子分別從A到P、Q經歷時間之比為3∶1
B.粒子在磁場中做勻速圓周運動周期之比為2∶1
C.粒子在磁場中速率之比為1∶3
D.粒子在磁場中運動軌道半徑之比為3∶1
9.如圖所示，一個質量為m、電荷量為q、不計重力的帶電粒子從x軸上的P點以速度v沿與x軸成60°角的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。已知OP＝a。
(1)判斷粒子帶電的正負并作圖求出粒子運動軌跡半徑；
(2)求磁感應強度的大小；
(3)求帶電粒子穿過第一象限所用的時間。
10.在xOy直角坐標系第一象限中有垂直紙面向外，大小為B的勻強磁場，第四象限有垂直紙面向外，大小未知的勻強磁場。電荷量為＋q(q>0)，質量為m的帶電粒子從P點開始以垂直于y軸的速度沿x軸正方向射入第一象限，經過第一象限后垂直x軸從Q點(圖中未標出)進入第四象限，經過第四象限后從M點離開磁場，此時速度方向與y軸負方向的夾角θ＝60°。已知P點到O點的距離為a，不計帶電粒子的重力。求：
(1)帶電粒子在P點時的入射速度大小；
(2)帶電粒子在第四象限中從Q點運動到M點的時間。
培優加強練
11.一個重力不計的帶電粒子，以大小為v的速度從坐標(0，L)的a點，平行于x軸射入磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向外的圓形勻強磁場區域，并從x軸上b點射出磁場，射出速度方向與x軸正方向的夾角為60°，如圖所示，求：

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