資源簡介

題型03 函數的基本性質解題技巧
技法01 利用函數的奇偶性求參數值
縱觀歷年考題，函數的奇偶性一直是函數及其高考中的重要考點。掌握奇偶性的定義至關重要，若能熟練掌握奇偶性的相關運算，便能有效提升解題速度，實現快速求解。
奇偶性的運算
與指數函數相關的奇函數和偶函數
，（，且）為偶函數，
，（，且）為奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
為偶函數
與對數函數相關的奇函數和偶函數
，（且）為奇函數，
，（且）為奇函數
（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
1．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數是偶函數，則 .
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數為奇函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則 ．
3．（2024·湖北·模擬預測）若函數為偶函數，則 .
技法02 求“奇函數+常函數”的最大值+最小值
在模擬考試和高考中，我們經常會遇到“奇函數+常函數”類型的問題。如果能夠熟練掌握相關的本質結論以及奇偶函數的性質，那么求解最大值和最小值可秒解。
在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，則最大值，最小值有
即倍常數
已知分別是函數++1的最大值、最小值，則
1．已知，設函數的最大值是，最小值是，則（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函數是不為0的常數），當時，函數的最大值與最小值的和為（ ）
A． B．6 C．2 D．
1．若函數在區間上的最大值 最小值分別為 ，則的值為（ ）
A．2 B．0 C． D．3
2．函數在區間內的最大值為M，最小值為N，其中，則 ．
3．函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
技法03 求“奇函數+常函數”的f(a)+f(-a)的值
在模擬考試和高考中，我們經常會遇到“奇函數+常函數”的題目類型。如果能夠熟練掌握相關的本質結論以及奇偶函數的性質，那么對于表達式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。
在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，有
即倍常數
（全國·高考真題）已知函數，，則 ．
1．已知，且，則 .
1．若定義在R上的函數為奇函數，設，且，則的值為 ．
2．函數，且，則的值為 .
技法04 函數周期性的應用及解題技巧
縱觀歷年考題，函數的周期性是函數及高考的重要考點。掌握周期性的定義至關重要，若能熟練掌握周期性的運算規則，則可以顯著提高解題速度，實現快速求解。
①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴倍問題）
④若，則的周期為：（周期擴倍問題）
⑤，周期為，，周期為
⑥，周期為，周期為；，周期為；，周期為
⑦復合函數：的周期為，則的周期也為
⑧若的周期為，則、的周期均為
（2024·河南駐馬店·模擬）已知定義在上的奇函數滿足，則（ ）
A．0 B． C．253 D．506
1．（2024·山西臨汾·三模）已知函數的定義域為，且，，則 ．
2．（2024·四川德陽·一模）定義在R上的函數滿足，則下列結論正確的有（ ）
A． B．為奇函數
C．6是的一個周期 D．
1．（2024·四川·模擬預測）已知函數滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2024·廣東韶關·一模）若為函數的導函數，對任意的，恒有，且，則（ ）
A． B．
C．為偶函數 D．若，則
技法05 函數對稱性的應用及解題技巧
縱觀歷年來的考題，函數的對稱性一直是高考數學中函數部分的重要考察點。掌握對稱性的定義是解題的基礎，而熟悉對稱性的運算方法則能有效提升解題速度，實現快速而準確的解答。
軸對稱
①若，則的對稱軸為
②若，則的對稱軸為
點對稱
①若，則的對稱中心為
②若，則的對稱中心為
（全國·高考真題）已知函數，則
A．在（0，2）單調遞增 B．在（0，2）單調遞減
C．的圖像關于直線x=1對稱 D．的圖像關于點（1，0）對稱
1．（全國·高考真題）已知函數滿足，若函數與圖像的交點為則
A．0 B． C． D．
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知為奇函數，則（ ）
A． B．14 C． D．18
2．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數滿足且，則（ ）
A． B． C． D．
技法06 函數4大性質的綜合應用及解題技巧
近年高考題中，常常把函數的基本性質結合在一起綜合考查，常見的有對稱性和周期性結合，奇偶性和周期性結合，掌握相關技巧后，可以做到快速求解，常在小題中使用.
周期性對稱性綜合問題
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對稱性綜合問題
①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：
②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：
（2021·全國·高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全國·高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北·模擬預測）已知函數的定義域為，且為奇函數，，則一定正確的是（ ）
A．的周期為2 B．圖象關于直線對稱
C．為偶函數 D．為奇函數
2．（2024·廣東河源·模擬預測）已知定義在上的函數滿足為奇函數，且的圖象關于直線對稱，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2024·安徽·模擬預測）已知函數的定義域均為，若為偶函數，為奇函數，且，則（ ）
A． B． C．為奇函數 D．為奇函數
4．（2024·河南·二模）（多選）定義在上的函數滿足，則（ ）
A．是周期函數
B．
C．的圖象關于直線對稱
D．
1．已知函數，若，則（ ）
A． B．2 C．5 D．7
2．已知函數在區間上的最大值為，最小值為，則 ．
3．已知關于函數在上的最大值為，最小值，且，則實數的值是 .
4．（2024·全國·模擬預測）（多選）已知函數的定義域為，滿足且對任意的，有，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·新疆·一模）已知定義在上的函數，滿足，且，，則 .
6．（2024·河南濮陽·模擬預測）（多選）已知是定義在上的不恒為零的函數，對于任意都滿足，且為偶函數，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為奇函數
C．是周期函數 D．
7．（2024·廣東茂名·一模）（多選）已知函數的定義域為，，且函數為偶函數，則下面說法一定成立的是（ ）
A．是奇函數 B．
C．的圖象關于對稱 D．
8．（2024·河南·一模）（多選）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且，則（ ）
A．的圖象關于點中心對稱 B．
C． D．
9．（2024·遼寧·模擬預測）（多選）已知和分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且，則下列說法中正確的是（ ）
A．4為的一個周期 B．8為的一個周期
C． D．
10．（2024·新疆·三模）（多選）已知，都是定義在上的函數，對任意實數x，y滿足，且，則下列結論正確的是
A． B．
C．為奇函數 D．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)題型03 函數的基本性質解題技巧
技法01 利用函數的奇偶性求參數值
縱觀歷年考題，函數的奇偶性一直是函數及其高考中的重要考點。掌握奇偶性的定義至關重要，若能熟練掌握奇偶性的相關運算，便能有效提升解題速度，實現快速求解。
奇偶性的運算
與指數函數相關的奇函數和偶函數
，（，且）為偶函數，
，（，且）為奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
為偶函數
與對數函數相關的奇函數和偶函數
，（且）為奇函數，
，（且）為奇函數
（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
思路點撥：利用函數奇偶性的運算及結論求解即可
思路詳解：
【法一】為奇函數，則為奇函數，則
【法二】尋找必要條件，特值，例，略
【法三】定義法，略
1．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數是偶函數，則 .
思路詳解：
【法一】為奇函數，則為偶函數，而為偶函數，則
【法二】尋找必要條件，特值，例，略
【法三】定義法，略
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數為奇函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
思路詳解：
【法一】為奇函數，則為奇函數，由結論可知，則
【法二】尋找必要條件，特值，例，略
【法三】定義法，略
1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據偶函數的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
2．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則 ．
【答案】2
【分析】利用偶函數的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數，
所以.
故答案為：2.
3．（2024·湖北·模擬預測）若函數為偶函數，則 .
【答案】
【分析】根據偶函數的定義得，代入化簡即得值.
【詳解】因為為偶函數，所以，即，
即，即，所以，
故答案為：
技法02 求“奇函數+常函數”的最大值+最小值
在模擬考試和高考中，我們經常會遇到“奇函數+常函數”類型的問題。如果能夠熟練掌握相關的本質結論以及奇偶函數的性質，那么求解最大值和最小值可秒解。
在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，則最大值，最小值有
即倍常數
已知分別是函數++1的最大值、最小值，則
思路點撥：利用結論求解即可
思路詳解：倍常數=2
【法二】
1．已知，設函數的最大值是，最小值是，則（ ）
A． B．
C． D．
思路詳解：
所以
為奇函數，為奇函數
由結論可知
【法二】
2．已知函數是不為0的常數），當時，函數的最大值與最小值的和為（ ）
A． B．6 C．2 D．
思路詳解：，由結論可知最大值與最小值的和為6
【法二】最大值+最小值
1．若函數在區間上的最大值 最小值分別為 ，則的值為（ ）
A．2 B．0 C． D．3
【答案】C
【解析】化簡函數，得到，構造新函數，得出函數為奇函數，求得最大值與最小值之和為0，進而根據和的值域相同，即可求解.
【詳解】由函數，
可得，
令，則，
所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，
設在上的最大值為，最小值為，則，
因為和的值域相同，
即的最大值與的最大值相同，最小值也相同，
所以，所以.
故選：C.
【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性的應用，函數的圖象變換，以及函數的最值的求解，其中解答中合理構造新函數，利用函數的奇偶性求得最大值和最小值的關系是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
2．函數在區間內的最大值為M，最小值為N，其中，則 ．
【答案】6
【分析】把分離常數變形，再判斷為奇函數，最后利用奇函數的對稱性求出結果.
【詳解】由題意可知，，
設，的定義域為，
所以，
所以為奇函數，所以，
所以
故答案為：
3．函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
【答案】1
【分析】將函數解析式邊形為，設，則，記，由奇函數的定義得出為奇函數，得出在的最值，結合，即可求出．
【詳解】，
設，則，
記，
因為，
所以是在上的奇函數，最大值為，最小值為，
所以，
又因為，
所以，
故答案為：1．
技法03 求“奇函數+常函數”的f(a)+f(-a)的值
在模擬考試和高考中，我們經常會遇到“奇函數+常函數”的題目類型。如果能夠熟練掌握相關的本質結論以及奇偶函數的性質，那么對于表達式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。
在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，有
即倍常數
（全國·高考真題）已知函數，，則 ．
思路點撥：利用結論求解即可
思路詳解：在定義域內為奇函數
所以倍常數=2，解得
1．已知，且，則 .
思路詳解：
1．若定義在R上的函數為奇函數，設，且，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據為奇函數得到的對稱中心為，再結合得到的對稱中心為，然后利用對稱性求即可.
【詳解】由可得，因為為奇函數，所以的對稱中心為，則的對稱中心為，又，則.
故答案為：-5.
2．函數，且，則的值為 .
【答案】0
【分析】構造，得到為奇函數，從而根據得到，由求出.
【詳解】令，
定義域為或且，關于原點對稱，
則，
故為奇函數，
又，故，
解得.
故答案為：0
技法04 函數周期性的應用及解題技巧
縱觀歷年考題，函數的周期性是函數及高考的重要考點。掌握周期性的定義至關重要，若能熟練掌握周期性的運算規則，則可以顯著提高解題速度，實現快速求解。
①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴倍問題）
④若，則的周期為：（周期擴倍問題）
⑤，周期為，，周期為
⑥，周期為，周期為；，周期為；，周期為
⑦復合函數：的周期為，則的周期也為
⑧若的周期為，則、的周期均為
（2024·河南駐馬店·模擬）已知定義在上的奇函數滿足，則（ ）
A．0 B． C．253 D．506
思路點撥：利用結論求解即可
思路詳解：【詳解】因為函數為上的奇函數，所以，
又，則，
所以，
所以函數是周期為8的周期函數，
又，則，
所以，
所以.
故選：A.
1．（2024·山西臨汾·三模）已知函數的定義域為，且，，則 ．
思路詳解：令，則，
因為，所以，
令，則，得，
令，則，即，
所以，
所以
所以，所以，即，
是以6為周期的周期函數，
所以
2．（2024·四川德陽·一模）定義在R上的函數滿足，則下列結論正確的有（ ）
A． B．為奇函數
C．6是的一個周期 D．
思路詳解：【詳解】該函數滿足且，
對于A，令，可得，解得，故A正確；
對于B，令，，所以，所以為偶函數，故B錯誤；
對于C，令，，
可得，令，可得，
將兩式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一個周期，故C正確；
對于D，令，，，所以，
所以，
因為，，
因為，令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
由于6是的一個周期，
所以，
所以，故D正確；
故選：ACD
1．（2024·四川·模擬預測）已知函數滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依據題意先賦值代入等量關系式求出，再賦值得，進而依據此計算規則逐步求出，即求出是周期為6的周期函數，再依據此計算規則結合和求出，進而結合周期即可求解.
【詳解】取代入，
得即，由題解得，
令代入得，
故，
所以是周期為6的周期函數，
又，，所以，
所以，
故選：D.
【點睛】思路點睛：依次賦值和代入分別得到和，再依據所得條件推出即函數周期為6和，進而根據周期性和即可求解.
2．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．
【詳解】[方法一]：賦值加性質
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以
一個周期內的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優解】構造特殊函數
由，聯想到余弦函數和差化積公式
，可設，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優解.
3．（2024·廣東韶關·一模）若為函數的導函數，對任意的，恒有，且，則（ ）
A． B．
C．為偶函數 D．若，則
【答案】ABD
【分析】對于A，令求解即可；對于B，令得即可判斷；對于C，令得，判斷出為偶函數即可做出判斷；對于D，通過賦值法，分別求出，發現具有周期性，再利用周期性求解即可.
【詳解】原式移項得，
即
對于A，令，則由可得，
故（舍去）或，故A正確：
對于B，令，則，故.
由于，令，則，所以，即有，故B正確：
對于C，令，則，即，
因為，所以，所以為偶函數，
對左右兩邊同時求導得，所以為奇函數，故C錯誤；
對于D，由A選項，若，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
由此可得的值有周期性，且周期為6，
且，
故，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】結論點睛：若，的定義域均為，且，則：
（1）若為奇函數，則為偶函數；若為偶函數，則為奇函數，反之未必成立.
（2）若為周期函數，則也是周期函數，且周期相同，反之未必成立.
技法05 函數對稱性的應用及解題技巧
縱觀歷年來的考題，函數的對稱性一直是高考數學中函數部分的重要考察點。掌握對稱性的定義是解題的基礎，而熟悉對稱性的運算方法則能有效提升解題速度，實現快速而準確的解答。
軸對稱
①若，則的對稱軸為
②若，則的對稱軸為
點對稱
①若，則的對稱中心為
②若，則的對稱中心為
（全國·高考真題）已知函數，則
A．在（0，2）單調遞增 B．在（0，2）單調遞減
C．的圖像關于直線x=1對稱 D．的圖像關于點（1，0）對稱
思路點撥：利用對稱性結論求解即可
思路詳解：，所以的圖象關于直線對稱
1．（全國·高考真題）已知函數滿足，若函數與圖像的交點為則
A．0 B． C． D．
思路詳解：
【詳解】[方法一]：直接法.
由得關于對稱，
而也關于對稱，
∴對于每一組對稱點，
∴，故選B．
[方法二]：特值法.
由得
不妨設因為，與函數的交點為
∴當時，，故選B．
[方法三]：構造法.
設，則，故為奇函數.
設，則，故為奇函數.
∴對于每一組對稱點.
將，代入，即得
∴，故選B．
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知為奇函數，則（ ）
A． B．14 C． D．18
【答案】D
【分析】先根據條件得到的對稱中心，再根據對稱性求和即可.
【詳解】因為為奇函數，所以，
即，故的對稱中心為，即，
所以，
又，即，
所以.
故選：D
2．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數滿足且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，可得關于對稱，進一步求得，結合條件求得，可求得.
【詳解】由，可知關于對稱，又，則，
又，則，
，.
故選：A.
技法06 函數4大性質的綜合應用及解題技巧
近年高考題中，常常把函數的基本性質結合在一起綜合考查，常見的有對稱性和周期性結合，奇偶性和周期性結合，掌握相關技巧后，可以做到快速求解，常在小題中使用.
周期性對稱性綜合問題
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對稱性綜合問題
①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：
②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：
（2021·全國·高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
思路點撥：利用函數的性質綜合求解即可
思路詳解：因為函數為偶函數，則，可得，
因為函數為奇函數，則，所以，，
所以，，即，
故函數是以為周期的周期函數，
因為函數為奇函數，則，
故，其它三個選項未知.
故選：B.
1．（2021·全國·高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：【詳解】[方法一]：
因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數的周期．
所以．
故選：D．
2．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：因為的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以.
故選：D
3．（2022·全國·高考真題）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：
【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優解】特殊值，構造函數法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因為，均為偶函數，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
1．（2024·河北·模擬預測）已知函數的定義域為，且為奇函數，，則一定正確的是（ ）
A．的周期為2 B．圖象關于直線對稱
C．為偶函數 D．為奇函數
【答案】D
【分析】根據函數奇偶性、對稱性及周期性對選項逐一分析即可.
【詳解】為奇函數，得，
即，則為奇函數，故C錯誤；
且圖象關于點中心對稱，故B錯誤；
可知，函數周期為4，故A錯誤；
，又圖象關于點中心對稱，知，
所以，得關于點對稱，
則關于點對稱，所以為奇函數，故D正確.
故選：D.
2．（2024·廣東河源·模擬預測）已知定義在上的函數滿足為奇函數，且的圖象關于直線對稱，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據奇函數性質、對稱性求得、、，進而有，再確定的周期，利用周期性求函數值的和.
【詳解】由為奇函數，知的圖象關于點對稱，則，
由，得．
由的圖象關于直線對稱，則的圖象關于直線對稱，
所以，，
綜上，，
由上，，得，
所以，則4為的一個周期，
所以.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：根據函數的奇偶性、對稱性求函數值，并確定周期為關鍵.
3．（2024·安徽·模擬預測）已知函數的定義域均為，若為偶函數，為奇函數，且，則（ ）
A． B． C．為奇函數 D．為奇函數
【答案】C
【分析】方法一：利用抽象函數的奇偶性和相關條件推導出函數的周期性、對稱性等基本性質，逐一對選項進行分析判斷；方法二：依題意構造函數法.依題意，可設，則，一一對選項進行計算、驗證即得.
【詳解】方法一 :（函數性質判斷法）由為偶函數，得①．
由為奇函數，得．
又，則②．
則由①，（*），
由②，，
故得． 把取成，得③，
于是，，即函數的周期為2，故B錯誤；
又因為上的奇函數，則，的周期為2，則，故A錯誤；
由③得，，即，
故．因為奇函數，故為奇函數，故C正確；
由（*），，得，即為偶函數，
又，所以為偶函數，故D錯誤.
方法二：（構造函數法）依題意，可設，則為偶函數，
由為奇函數，且函數的定義域均為，
對于A，，排除A；
對于B，顯然的最小正周期是2，排除B；
對于C，是奇函數，故C正確；
對于D，，顯然是偶函數，排除D.
故選：C.
4．（2024·河南·二模）（多選）定義在上的函數滿足，則（ ）
A．是周期函數
B．
C．的圖象關于直線對稱
D．
【答案】ABC
【分析】對于A，由已知，可得，則的周期為4，即可判斷；對于B，令，可得，則，即可判斷；對于C，由已知，可得函數關于對稱，關于對稱，則的的圖象關于直線對稱，即可判斷；由已知，得，，代值可推得，即可判斷.
【詳解】由可得，
所以，所以的周期為4，故A正確；
由，令，
則，所以，
又，故B正確；
由，可知函數關于對稱，
又的周期為4，則，
所以，即函數關于對稱，
則的圖象關于直線對稱，故C正確；
由，且關于對稱，
則，所以，
又，且，
則，又，
所以，
，故D錯誤.
故選：ABC.
1．已知函數，若，則（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【分析】令，利用函數奇偶性計算作答.
【詳解】設，
則，即函數是奇函數，
，則，而
所以.
故選：C
2．已知函數在區間上的最大值為，最小值為，則 ．
【答案】6
【分析】設，分析可知為奇函數，根據奇函數的對稱性分析求解.
【詳解】設，
則的定義域為，且連續不斷，
由，可知為奇函數，
設在上的最大值為，
由奇函數的對稱性可知在上的最小值為，
則函數在區間上的最大值為，最小值為，
所以.
故答案為：6.
3．已知關于函數在上的最大值為，最小值，且，則實數的值是 .
【答案】
【分析】先利用常數分離法化得函數，再構造函數，判斷得為奇函數，從而利用奇函數的性質求解即可.
【詳解】因為，，
令，，則，
因為定義域關于原點對稱，，
所以是在上的奇函數，
故由奇函數的性質得，
所以，
所以，則.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：由于奇函數的圖像關于原點對稱，所以其最大值與最小值也關于原點對稱，這一性質是解決本題的關鍵所在.
4．（2024·全國·模擬預測）（多選）已知函數的定義域為，滿足且對任意的，有，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】B選項，賦值得到；C選項，令，結合得到，故C正確；A選項，中，賦值得到，題目條件中令得到；D選項，求出函數的周期為，并且，從而求出D正確.
【詳解】B選項，，
令得，因為，所以，故B正確：
C選項，令得，
即，所以，故C正確；
A選項，由C選項知，，故，
中，
令得，解得，故A錯誤；
D選項，中，令得
①，
中，將換成得
②，①②兩式相加得，
即，
則，所以．
故函數的周期為，
由得，
由得，
故，
所以，故D正確.
故選：BCD．
【點睛】知識點點睛：設函數，，，．
（1）若，則函數的周期為2a；
（2）若，則函數的周期為2a；
（3）若，則函數的周期為2a；
（4）若，則函數的周期為2a；
（5）若，則函數的周期為；
（6）若函數的圖象關于直線與對稱，則函數的周期為；
（7）若函數的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；
（8）若函數的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；
5．（2024·新疆·一模）已知定義在上的函數，滿足，且，，則 .
【答案】
【分析】根據所給條件推出為偶函數且周期為，再求出、、，最后根據周期性計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，
又，所以，
即，即，所以為偶函數，
所以，
所以，所以的周期為，
又，，
所以，，，則，
，
所以，又，
所以
.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是由題干所給條件推出的奇偶性與周期性.
6．（2024·河南濮陽·模擬預測）（多選）已知是定義在上的不恒為零的函數，對于任意都滿足，且為偶函數，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為奇函數
C．是周期函數 D．
【答案】ACD
【分析】令，可判定A正確；令，得到，可判定B錯誤；根據題意，推得，得到的周期為，令，求得，結合函數的周期性，求得，可判定D正確．
【詳解】對于A，由對于任意都滿足，
令，則，所以A正確；
對于B，令，可得，即，
所以函數關于點對稱，所以B錯誤；
對于C，又由為偶函數知關于直線對稱，即，
可得，則，所以，
所以函數的周期為，故C正確；
對于D，令，則，
可得，
所以，所以D正確．
故選：ACD．
【點睛】關鍵點點睛：判斷D選項的關鍵是得出函數的周期為，并利用函數性質求出，由此即可順利得解.
7．（2024·廣東茂名·一模）（多選）已知函數的定義域為，，且函數為偶函數，則下面說法一定成立的是（ ）
A．是奇函數 B．
C．的圖象關于對稱 D．
【答案】AC
【分析】選項C，由于函數為偶函數，得到，進而替換變量得到，判斷即可；選項A，由于，變量替換后得到，結合已知，即可判斷奇偶性；選項B，已知，得到，變量替換后得到，得到函數的周期性，進而求得結果；選項D，已知，得到，，同樣利用函數的周期性得到，即可求得結果.
【詳解】對于選項C，是偶函數，得：，
將替換為，得：，
所以函數關于直線對稱，選項C正確；
對于選項A，因為，將替換為，得：，
又因為，即，
，是奇函數，選項A正確；
對于選項B，，將替換為，
得：，所以4為函數的周期，
又因為是奇函數，且函數的定義域為，，
，選項B錯誤.
對于選項D，由已知，
分別代入，得：，，
，
同時4為的周期，，選項D錯誤.
故選：AC.
8．（2024·河南·一模）（多選）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且，則（ ）
A．的圖象關于點中心對稱 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先根據條件分析出的周期性和對稱性，再得到的周期性，根據函數性質即可得結果.
【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，
所以的圖象關于點成中心對稱，故A錯誤；
由②，②式兩邊對求導可得，
可知是偶函數，以替換①中的可得，
可得，所以是周期為4的周期函數，故B正確；
因為，可知也是周期為4的周期函數，
即，兩邊求導可得，所以，故C正確；
因為，令，則，即，
又因為是偶函數，所以，又因為是周期為4的周期函數，
則，由可得，
所以，D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點睛：解決這類題的關鍵是熟練掌握對稱與周期的關系，若關于兩點（縱坐標相同）或者兩條直線（平行于軸）對稱，則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍，若關于一點和一直線（平行于軸）對稱，則周期為這點和這條直線的距離的四倍.
9．（2024·遼寧·模擬預測）（多選）已知和分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且，則下列說法中正確的是（ ）
A．4為的一個周期 B．8為的一個周期
C． D．
【答案】BCD
【分析】由題意可得，用替換中的，得，于是可得，進而可得為周期函數，8為最小正周期，即可判斷A；用替換且的，即可判斷B；根據B及即可判斷C；由，可得，即可判斷D.
【詳解】因為和分別是定義在上的偶函數和奇函數，
所以，，且，
又因為，所以，
即，①
用替換中的，得，
即，②
由①＋②，得，
所以函數關于中心對稱，且，
由，可得，
，
所以，
所以為周期函數，8為周期，故A錯誤；
用替換且的，得，
又因為，
所以，所以，
所以為周期函數，8為周期，故B正確；
所以，故C正確；
又因為，即，
令，則有，
令，則有，
……
令，則有，
所以
所以，故D正確．
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查了判斷抽象函數的對稱性、周期性，考查函數的奇偶性，解題的關鍵是用替換中的，再結合函數的奇偶性分析，考查推理能力和計算能力，屬于較難題．
10．（2024·新疆·三模）（多選）已知，都是定義在上的函數，對任意實數x，y滿足，且，則下列結論正確的是
A． B．
C．為奇函數 D．
【答案】ABC
【分析】令即可判斷A；令即可判斷B；令可得，結合奇函數的定義即可判斷C；由選項C，令可得，求出的周期即可求解.
【詳解】.
A：令，得，則，故A正確；
B：令，得，即，
又且，所以，解得，故B正確；
C：令，得，即，
得，所以，得，
所以，則為奇函數，故C正確；
D：由選項C知，又，
得①，令替換成，得②，
①②相加，得，則，
得，即的周期為3，所以，
因為，
所以，故D錯誤.
故選：ABC
【點睛】思路點睛：對于含有，的抽象函數的一般解題思路是：觀察函數關系，發現可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數一般通過賦值法來確定、判斷某些關系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系.此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設條件以及選項來決定.
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