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解答題06 10類導(dǎo)數(shù)答題模板
（含參導(dǎo)函數(shù)可（不可）分解、二階導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)證明不等式、恒（能）成立）、零點(diǎn)交點(diǎn)方程的根、雙變量、隱零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移、雜糅）
模板01 含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)單調(diào)性的答題模板
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識,單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個問題.這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用更是高考中的難點(diǎn)
導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
導(dǎo)函數(shù)可分解型一般直接求根探討
（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
思路詳解：（1）定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
思路詳解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br/>當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
2．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
思路詳解：(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
3．（2021·新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
思路詳解：(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
綜上可得，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無減區(qū)間；
時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求在處的切線方程.
(2)討論的單調(diào)性.
（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，
所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>求導(dǎo)得，
①當(dāng)時，由，得，由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，由，得，由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
④當(dāng)時，由，得，由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；
當(dāng)時，函數(shù)的遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.
2．（2024·廣東佛山·一模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
（1）因?yàn)椋?br/>所以，，則，
所以函數(shù)在處的切線方程為；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>且，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
3．（2024·湖南·三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，即，
①當(dāng)時，，恒成立，在R上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，由，得，由，得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
模板02 含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)不可分解型函數(shù)單調(diào)性的答題模板
高考或?？贾谐Ｓ鲆姸A導(dǎo)函數(shù)不可分解型，常需要二次討論，是重點(diǎn)知識，需強(qiáng)化訓(xùn)練掌握
導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
導(dǎo)函數(shù)不可分解型一般用判別式和求根公式進(jìn)行探討
（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
思路詳解：(1)由函數(shù)的解析式可得：，
導(dǎo)函數(shù)的判別式，
當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，的解為：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在，上
單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
1．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
思路詳解：（1）由，，
①當(dāng)時，，可得，此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，，關(guān)于x的一元方程的兩根為，
此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；
2．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎瘮?shù).
(1)討論的單調(diào)性；
思路詳解：（1），
①當(dāng)時，的定義域?yàn)椋?br/>令，即得，所以，
因?yàn)椋獾茫海?br/>令，解得：，
②當(dāng)時，的定義域?yàn)椋?br/>令，即得，所以，
因?yàn)?，解得：?br/>令，解得：，
綜上：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
；
當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
3．（2024·山東青島·二模）已知函數(shù).
(1)證明曲線在處的切線過原點(diǎn)；
(2)討論的單調(diào)性；
思路詳解：（1）由題設(shè)得，所以，
又因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，斜率，
所以切線方程為，即恒過原點(diǎn)．
（2）由（1）得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，則，
當(dāng)且時，即時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
由，則，或，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；
由，則，則，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則為開口向下的二次函數(shù)，
對稱軸，，，
由，則，則，所以在上單調(diào)遞增，
由，則，則，所以在上單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
1．函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，則，
因?yàn)?，設(shè)，，
則令得，，，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，
單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
2．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
（1）的定義域?yàn)椋?br/>令，
又，
，當(dāng)，即時，，此時在上單調(diào)遞增
，當(dāng)，即時，
令，解得
其中，當(dāng)時，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，
故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.
綜上：在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
3．已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
（1）， ，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，則．
若，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
若，即時，方程的根為，
當(dāng)時，或，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
模板03 二階導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的答題模板
在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而不能進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時解題受阻。需要利用“二次求導(dǎo)”才能找到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題， 若遇這類問題，必須“再構(gòu)造，再求導(dǎo)”，因此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用尤為重要。
二階導(dǎo)的定義
定義 1 : 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), 則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn) 的二階導(dǎo)數(shù), 記作, 同時稱在點(diǎn)為二階可導(dǎo).
定義 2: 若在區(qū)間上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo), 則得到一個定義在上的二階可導(dǎo)函數(shù), 記作
函數(shù)極值的第二判定定理
若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 且
（1）若, 則在點(diǎn)處取極大值;
（2）若, 則 在點(diǎn)處取極小值
解決這類題的常規(guī)解題步驟為:
求函數(shù)的定義域;
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù);
構(gòu)造求 , 求 ;
列出 的變化關(guān)系表;
根據(jù)列表解答問題。
（2024·江西九江·三模）已知函數(shù)，且.
(1)討論的單調(diào)性；
思路詳解：（1）解法一：
令，則
在上單調(diào)遞增.
又當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
解法二：
①當(dāng)時，由得，由得
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
②當(dāng)時，同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
1．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
思路詳解：（1）當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>．
令，有，
令可得，可知函數(shù)的增區(qū)間為，
令，可得，所以函數(shù)減區(qū)間為，
可得，有，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，
故函數(shù)的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間．
2．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
思路詳解：（1）解法一：因?yàn)椋?br/>所以
易知，設(shè)，
則當(dāng)時，，，所以，
則在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，所以，
則在單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時，即，即，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
解法二：
當(dāng)時，
則
當(dāng)時，令，則
所以在單調(diào)遞增，，
又關(guān)于單調(diào)遞增且，
所以關(guān)于單調(diào)遞增，關(guān)于單調(diào)遞增，
所以單調(diào)遞增，則，
所以在單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，
，
令，易知在單調(diào)遞增，，
所以，所以在單調(diào)遞減.
綜上，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
1．已知函數(shù)滿足．
(1)討論的單調(diào)性；
（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，?br/>令，則，當(dāng)，得，
當(dāng)，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．
2．已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞減；
（1）由題意知，當(dāng)時，，
則，設(shè)，
得，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
3．已知函數(shù).
(1)若，討論的單調(diào)性；
（1）若，，所以，，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
模板04 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的答題模板
不等式是數(shù)學(xué)中的一個重要概念，而導(dǎo)數(shù)作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在不等式證明中發(fā)揮著非常關(guān)鍵的作用。通過構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等知識，我們可以更加便捷、快速地證明不等式，此類題型難度中等，是高考中的?？伎键c(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)
證明不等式通常需要借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)單調(diào)性、最值來綜合求解
用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用步驟：
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．
思路詳解：（1）定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），且時，，
令，下證即可.
，再令，則，
顯然在上遞增，則，
即在上遞增，
故，即在上單調(diào)遞增，
故，問題得證
1．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)求證：當(dāng)時，；
思路詳解：（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時.
2．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
思路詳解：（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋?br/>要證，即證，即證．
（?。┊?dāng)時，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當(dāng)時，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時，，單減，故；
當(dāng)時，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．
（?。┊?dāng)時，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時，，即．
3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的最小值；
(2)求的極值；
(3)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.
思路詳解：（1）當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為.
（2）的定義域?yàn)?
若時，則，故在單調(diào)遞減，無極值；
若時，令得.當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故有極小值，無極大值.
（3）解法1：令，
，
令，則，
因?yàn)?，所以?br/>因此在單調(diào)遞增，，即，
故在單調(diào)遞減，，即當(dāng)時，.
解法2：因?yàn)?，所以?br/>要證當(dāng)時，，即證，
令，
令，則，因?yàn)椋?br/>所以，因此在單調(diào)遞增，，
即，故在單調(diào)遞減，，故原不等式成立.
解法3：令，
，由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，
即，故在單調(diào)遞減，，
即當(dāng)時，.
解法4：令，則，故在單調(diào)遞減.
由（1）可知：當(dāng)時，，所以，
即：，故，
而，所以.
解法5：令，因?yàn)椋?br/>所以在單調(diào)遞減.由（1）可知：當(dāng)時，，
所以，即：，
故，而，所以.
1．（2024·浙江寧波·一模）已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性；
(2)若，求證：；
【詳解】（1）,
當(dāng)時，定義域?yàn)?，?dāng)時，定義域?yàn)?，均關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，
故為偶函數(shù)，
（2）當(dāng)時，為偶函數(shù)，
要證，只需要證，
當(dāng)時，，
只需證明時，，即證，
只需證，即證，
令在單調(diào)遞增，故，所以，得證.
2．（2024·廣東·二模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，即可得直線斜率，進(jìn)而可求解直線方程，
（2）對分和，求導(dǎo)，即可根據(jù)單調(diào)性求解，或者將不等式變形為，構(gòu)造，，分別利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，求得最值求解.
【詳解】（1），
，則，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）解法1：定義域?yàn)?
①當(dāng)時，，，則，即；
②當(dāng)時，.
設(shè)，，
由于均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，，，即，
所以在上單調(diào)遞增，，則，
綜上所述，.
解法2：定義域?yàn)?
要證，只需證，只需證，
令，，，
當(dāng)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
，
，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
，
綜上所述，，也就是，即
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小或者證明的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
3．（2024·四川南充·一模）已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；
(2)討論方程的解的個數(shù)；
(3)求證：.
【答案】(1)取得極小值，無極大值
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得極值；
（2）結(jié)合函數(shù)的圖象求解即可；
（3）轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）由，，
則，
由于恒成立，因此令，即，
令，即或，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，無極大值.
（2）由（1）知，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，畫出函數(shù)的大致圖象：
由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與有2個交點(diǎn)，方程有2個解；
當(dāng)或時，函數(shù)與有1個交點(diǎn)，方程有1個解；
當(dāng)時，函數(shù)與有0個交點(diǎn)，方程有0個解.
（3）證明：由，，
即，即，
設(shè)，，
所以，
令，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則
所以令，即；令，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
模板05 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立（能成立）問題的答題模板
利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立（能成立）問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)
恒成立問題常見類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）的值域?yàn)?br/>①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?br/>① ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
② ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
恒成立問題的解決策略
①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；④換元分離，簡化運(yùn)算；
在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點(diǎn)．
能成立（有解）問題常見類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）若的值域?yàn)?br/>①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?br/>① ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
，則只需要
② ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
，則只需要
能成立（有解）問題的解決策略
①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；④換元分離，簡化運(yùn)算；
在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點(diǎn)．
1（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．
思路詳解：（1）當(dāng)時，，
故，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
故在上為增函數(shù)，而，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在處取極小值且極小值為，無極大值.
（2），
設(shè)，
則，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故，即，
所以在上為增函數(shù)，故.
當(dāng)時，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，故在上，
即在上即為減函數(shù)，
故在上，不合題意，舍.
當(dāng)，此時在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合題意，舍；
綜上，.
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
思路詳解：（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
思路詳解：（1）當(dāng)時，，
要證明，即證；
令，則，令，解得，
當(dāng)時，，即可得在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即可得在上單調(diào)遞增，
即在處取得極小值，也是最小值，
故；
令，則，令，解得；
即可得當(dāng)時，，即可得在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即可得在上單調(diào)遞增，
即在處取得極小值，也是最小值，
故；
因此,
故；
（2）易知恒成立的一個必要條件是；
即，故；
令，則恒成立，即為上的增函數(shù)，
因此可得，可得；
下面證明充分性：
當(dāng)時，，
令，則，
易知為單調(diào)遞增函數(shù)，令，解得；
可知當(dāng)時，，即可得在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即可得在上單調(diào)遞增，
即在處取得極小值，也是最小值，
故當(dāng)時，，
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍.
2（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍．
思路詳解：（1），令，得．
當(dāng)時，由，得，由，得，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，且極小值為，無極大值；
當(dāng)時，由，得，由，得，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，且極大值為，無極小值．
綜上，當(dāng)時，的極小值為，無極大值；
當(dāng)時，的極大值為，無極小值．
（2）時，等價(jià)于，則在區(qū)間內(nèi)有解．
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，有，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即，
所以在區(qū)間內(nèi)恒成立，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即，即，
故的取值范圍是．
1．（2024·四川樂山·三模）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若存在，使得，求的取值范圍.
思路詳解：（1）當(dāng)時，，，
則，
令，解得或（舍），
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由題可知，令
當(dāng)時，由可知，即，所以在為增函數(shù).
對任意都有，符合題意.
由解得或.
，下面討論與1的大小:
②當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.
存在，使得.
③當(dāng)時，，對任意都有，即
在上為減函數(shù)，恒成立，不符合題意.
綜上所述，時，存在，使得.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
思路詳解：（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>而，
當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得，
由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上有解，
所以在區(qū)間上有解，此時，
即在區(qū)間上有解，
令，則．
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．
當(dāng)時；當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
1．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類求出單調(diào)區(qū)間.
（2）將不等式恒成立作等價(jià)變形，在時分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，再對討論即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得；由，得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.
（2）不等式，
當(dāng)時，不等式恒成立，即；
依題意，當(dāng)時，恒成立，令，
求導(dǎo)得，令，
求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
則當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，于是，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求的值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)的方法分別判定單調(diào)性即可.
（2）由（1）中函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，以及，可判斷當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到，再令，對其求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出其最值，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，由，得，由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，由，知當(dāng)時，，不符合題意；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
由恒成立，得恒成立，令，
求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故恒成立，
因此，所以.
3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，．
(1)討論：當(dāng)時，的極值點(diǎn)的個數(shù)；
(2)當(dāng)時，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)．
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論當(dāng)和導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值點(diǎn)的個數(shù)；
（2）對求導(dǎo)，確定其最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化成不等式成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1），，
①當(dāng)時，為增函數(shù)，
因?yàn)闀r，；時，，
所以有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以有一個極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．
②當(dāng)時，令，則，
令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
所以，即，所以的極值點(diǎn)的個數(shù)為0．
綜上所述，當(dāng)時，的極值點(diǎn)個數(shù)為1，
當(dāng)時，的極值點(diǎn)個數(shù)為0．
（2），
由，得，由，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)楫?dāng)時，，使得，
所以只需成立，即不等式成立．
令，則，
則，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，所以，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出，從而轉(zhuǎn)化為求出不等式成立．
4．（2024·貴州安順·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）變形得到，在（1）的基礎(chǔ)上得到，從而，再令，，得到，令，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出最小值為，從而得到不等式，求出的取值范圍.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，則，
當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，解得，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由題意得，對任意的，存在，使得，即，
由（1）知，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
故在處取得極小值，也是最小值，
故，即證，
令，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，
令，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，且，
綜上，都在上取得最值，從而，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.
模板06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、交點(diǎn)、方程的根的答題模板
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、交點(diǎn)、方程的根是高考中的?？伎键c(diǎn)，常用函數(shù)的構(gòu)造變換和單調(diào)性結(jié)合求解，需強(qiáng)加練習(xí)
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法
(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)的方法
借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)或者通過零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍.
(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)
對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.
(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)
①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.
②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法
(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）的方法
借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）或者通過零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.
(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)（方程的根）
對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.
(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）
①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)（方程的根）尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.
②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
1（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．
思路詳解：（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當(dāng)時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．
思路詳解：（1）的定義域?yàn)?br/>當(dāng)時,,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（2）
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng),
令則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點(diǎn)
又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，
又，
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn),求的取值范圍為
【點(diǎn)睛】
2．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點(diǎn)
①；
②．
思路詳解：(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當(dāng)時，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
2（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．
思路詳解：（1）當(dāng)時，,
令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)知，所以，即．
構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．
因?yàn)椋詢蛇吶?shù)得，即，問題等價(jià)為與有且僅有兩個交點(diǎn)．
①當(dāng)時，與只有一個交點(diǎn)，不符合題意．
②當(dāng)時，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．
當(dāng)與為同一直線時有得
直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點(diǎn)．
記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所以當(dāng)且時有．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．
因?yàn)?，由得?br/>當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，不滿足題意；
當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因?yàn)椋?，所以，即，即，兩邊取對?shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．
故實(shí)數(shù)a的范圍為．]
1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
思路詳解：（1）的定義域?yàn)?，而?br/>若，則，此時無最小值，故.
的定義域?yàn)?，?
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?br/>故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個不同的零點(diǎn)，即的解的個數(shù)為2.
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個不同的零點(diǎn)即的解的個數(shù)為2.
當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個解，
當(dāng)時，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)，
則.
設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故上有且只有一個零點(diǎn)，且：
當(dāng)時，即即，
當(dāng)時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)，
故，
此時有兩個不同的根，
此時有兩個不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
①時，此時，顯然與兩條曲線和
共有0個交點(diǎn)，不符合題意；
②時，此時，
故與兩條曲線和共有2個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；
③時，首先，證明與曲線有2個交點(diǎn)，
即證明有2個零點(diǎn)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?，?br/>令，則，
所以在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為
其次，證明與曲線和有2個交點(diǎn)，
即證明有2個零點(diǎn)，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，?br/>令，則，
所以在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為
再次，證明存在b，使得
因?yàn)?，所以?br/>若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點(diǎn)，
因?yàn)?，?br/>所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，
此時取
則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，
最后證明，即從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
因?yàn)?br/>所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，
同理，因?yàn)椋?br/>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，
又因?yàn)?，所以?br/>即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
2．（2022·新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：
（?。┤簦瑒t；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
思路詳解：（1），
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
（2）（?。┮?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，
故，
故方程有3個不同的根，
該方程可整理為，
設(shè)，
則
，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因?yàn)橛?個不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：且，
此時，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
（ⅱ）當(dāng)時，同（?。┲杏懻摽傻茫?br/>故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)橛?個不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：，
因?yàn)?，故?br/>又，
設(shè)，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個不同的根，
設(shè)，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設(shè)，則，所以，
，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；
（2）討論或兩種情況，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)，最后根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
所以，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
（2）令可得或，對兩個方程分別討論，
①設(shè)，則，
所以在單調(diào)遞增，且，
所以存在唯一的零點(diǎn)，使，即，
②令，即，
設(shè)，可得，
則在上單調(diào)遞增，又且時，，
當(dāng)時，存在唯一的零點(diǎn)，使，即，
若時，得，則，可得，故，
所以且時，有兩個不同的零點(diǎn)；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
2．（2024·四川·一模）設(shè)
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間．
(2)討論的零點(diǎn)數(shù)量．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可以研究函數(shù)的零點(diǎn).
【詳解】（1）當(dāng)時，.
注意到，從而的正負(fù)只和有關(guān)，從而可作出下表：
+ 0 — 0 +
從而的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）當(dāng)時注意到恒成立，從而沒有零點(diǎn).
當(dāng)時，注意到所求可以化為的解的數(shù)量.
設(shè)，，則，從而可以作下圖：
0
+ + + 0 — —
0 0
0 1
— — 0 + + +
0 0
當(dāng)時，，注意到，
注意到，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
則，
從而單調(diào)遞增，零點(diǎn)若有則至多有一個，
注意到設(shè)時有，，從而，
設(shè)時有，從而，
從而在上必然有一個零點(diǎn).從而總是有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，我們考慮，注意到，從而可作出下表：
1
0 — 0 + + +
1
從而其在之間有一個零點(diǎn)，設(shè)其為，從而考慮，
其在上的正負(fù)性和一樣，從而先單調(diào)減少后單調(diào)遞增，
其極小值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，在處取到.
注意到，從而此處，
從而當(dāng)時，的最小值比0大，此時沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時，的最小值恰好就是0，從而只有一個零點(diǎn)；
當(dāng)時，在處小于0，
在時，
從而在上有一個零點(diǎn).
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即，
當(dāng)時，，
從而在時，
從而在上有一個零點(diǎn)，
從而此時共有兩個零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時，沒有零點(diǎn)；
當(dāng)或者時，有一個零點(diǎn)；
當(dāng)時，有兩個零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題，常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，方程的根的問題，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求解.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)若有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用切點(diǎn)求出的斜率和函數(shù)值列兩個等式求解即可.
（2）把方程中的參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的大致圖象數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以．
又，所以．
，
，所以．
綜上．
（2）由（1）得，易知，
所以有兩個不同的實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為：
關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根．
設(shè)，
，
令得，或．
所以當(dāng)變化時，的變化情況為
0
0 0
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 單調(diào)遞減 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以的極大值為，極小值為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)且時，，
，當(dāng)且時，，
當(dāng)時，．
根據(jù)以上信息畫出的大致圖象，如圖所示．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
4．（2023·江蘇南通·一模）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．
(1)求實(shí)數(shù)a；
(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（），證明：．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分別求的最值點(diǎn)，列式求解即可；
（2）構(gòu)建，利用同構(gòu)思想分析的大小關(guān)系，進(jìn)而可得直線與曲線和的交點(diǎn)，再結(jié)合的單調(diào)性分析即可證出.
【詳解】（1）由題意可得：，顯然，
當(dāng)時，令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得在處取到最大值；
當(dāng)時，令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得在處取到最小值，不合題意；
綜上所述：，在處取到最大值.
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br/>令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得在處取到最大值；
由題意可得：，解得.
（2）由（1）可得：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到最大值，
且當(dāng)x趨近于時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于，
可得直線與曲線至多有兩個交點(diǎn)；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取到最大值，
且當(dāng)x趨近于時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于，
可得直線與曲線至多有兩個交點(diǎn)；
若直線與兩條曲線和共有四個不同的交點(diǎn)，則，

此時直線與曲線、均有兩個交點(diǎn)，
構(gòu)建，
構(gòu)建，且，則，
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到最大值，
構(gòu)建，則，
因?yàn)?，令，解得；令，解得?br/>則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得：當(dāng)時，，則，
所以；
當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，
則，可得，
所以；
當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞減，
則，可得，
所以；
綜上所述：當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
結(jié)合題意可得：直線與曲線的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，與的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，
當(dāng)，可得，即，
可得，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
則，可得
所以；
當(dāng)，可得，即，
可得，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
則，可得，
所以；
綜上所述：，即.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：指對同構(gòu)的常見形式：
積型：，
①，構(gòu)建；
②，構(gòu)建；
③，構(gòu)建.
商型：，
①，構(gòu)建；
②，構(gòu)建；
③，構(gòu)建.
和型：，
①，構(gòu)建；
②，構(gòu)建.
模板07 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題的答題模板
利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題是高考中的難點(diǎn)，雙變量問題運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，解決起來需要很強(qiáng)的技巧性，解題總的思想方法是化雙變量為單變量，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決．需強(qiáng)加練習(xí)
破解雙參數(shù)不等式的方法:
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式:
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值;
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果
（2024·廣東佛山·二模）已知.
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個極值點(diǎn)，，證明：.
思路詳解：（1）當(dāng)時，，
，
則當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），令，即，
令，，則、是方程的兩個正根，
則，即，
有，，即，
則
，
要證，即證，
令，
則，
令，則，
則在上單調(diào)遞減，
又，，
故存在，使，即，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
又，則，故，
即，即.
1．已知.
(1)若，求在處的切線方程；
(2)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：當(dāng)時，.
思路詳解：（1）當(dāng)時，，
故在處的切線斜率為，而，
所以在處的切線方程為，即.
（2）由題意得，則，
令，即，
令，即，
時，單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，
即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
設(shè)，則，
因?yàn)?，則，故，
所以在上單調(diào)遞增，而，
則，即，而，
故，即.
2．（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求的最小值.
思路詳解：（1）因?yàn)椋?br/>所以,
令，則，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時，，則，即，
此時在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，由，得，且，
當(dāng)或時，，即；
當(dāng)時，，即，
所以在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中.
（2）由（1）可知，為的兩個極值點(diǎn)，且，
所以，且是方程的兩不等正根，
此時，，，
所以，，且有，，
則
令，則，令，
則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
所以，
所以的最小值為.
1．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，轉(zhuǎn)化為最大值小于等于1，即可求解；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1），當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以，
解得，即的取值范圍為．
（2）證明：不妨設(shè)，則，要證，
即證，則證，則證，
所以只需證，即．
令，則，．
當(dāng)時，，則，
所以在上單調(diào)遞減，則．所以．
由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明.
2．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若；求證：；
(3)設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意得恒成立，參變分類求最值即可；
（2）求導(dǎo)，確定其單調(diào)性得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性得到，即可求證；
（3）化簡，將轉(zhuǎn)化成，再構(gòu)造函數(shù)，通過討論其單調(diào)性即可求證.
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，即的取值范圍是.
（2）證明：若，，所以，
令，解得，所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
令，，所以，
令，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，又等號不同時成立，
所以.
（3）證明：由題意可知，
因?yàn)橛袃蓚€極值點(diǎn)，，
所以，是方程的兩個不同的根，
則且
所以
，
所以要證，即證，
即證，即證，即證.
令，則證明，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，
所以原不等式成立.
【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
3．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，存在，使得，求M的最大值；
(2)已知m，n是的兩個零點(diǎn)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，且，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出最值，得到，求出答案；
（2）根據(jù)零點(diǎn)得到方程組，相減求出，求導(dǎo)得到，化簡換元后得到只需證，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出結(jié)論/
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則的定義域?yàn)椋遥?br/>當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為，最小值為，
由題意知，
故M的最大值為.
（2）證明：由題意知，，
所以，
所以.
因?yàn)椋?br/>所以
，
所以要證，只要證，
因?yàn)椋灾灰C，
令，則，即證，
令，則，
因?yàn)?，所以?br/>所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題，經(jīng)常使用的方法有：比值代換，構(gòu)造差函數(shù)，對數(shù)平均不等式，變更結(jié)論等，若不等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求解.
模板08 導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題的答題模板
零點(diǎn)問題是高考的熱點(diǎn)問題，隱零點(diǎn)的代換與估計(jì)問題是函數(shù)零點(diǎn)中常見的問題之一, 其源于含指對函數(shù)的方程無精確解, 這樣 我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍，高考中曾多次考查隱零點(diǎn)代換與估計(jì), 需綜合復(fù)習(xí)
在求解導(dǎo)數(shù)問題時，我們一般對函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過一種整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件最終解決問題，我們稱這類問題為“隱零點(diǎn)問題”．
1.解題步驟
第 1 步: 用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性, 列出零點(diǎn)方程 , 并結(jié)合 的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍;
第 2 步: 以零點(diǎn)為分界點(diǎn), 說明導(dǎo)函數(shù) 的正負(fù), 進(jìn)而得到 的最值表達(dá)式;
第 3 步: 將零點(diǎn)方程 適當(dāng)變形, 整體代入 最值式子進(jìn)行化簡:
（1）要么消除 最值式中的指對項(xiàng)
（2）要么消除其中的參數(shù)項(xiàng);
從而得到 最值式的估計(jì).
2. 隱零點(diǎn)的同構(gòu)
實(shí)際上, 很多隱零點(diǎn)問題產(chǎn)生的原因就是含有指對項(xiàng), 而這類問題由往往具有同構(gòu)特征, 所以下面我們看到的這兩個問題, 它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出, 否則, 我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡方向. 我們看下面兩例: 一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問題中的應(yīng)用的原理分析
所以在解決形如 , 這些常見的代換都是隱零點(diǎn)中常見的操作.
3. 解題感悟
1.隱零點(diǎn)指對于超越方程或者是一些帶參數(shù)的方程，無法直接求得確切的零點(diǎn)，但是零點(diǎn)確實(shí)存在的問題。特別是在求導(dǎo)的過程，求函數(shù)極值點(diǎn)，對原函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)函數(shù)等于零，就導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)一步探尋原函數(shù)極值點(diǎn)或最值時會經(jīng)常遇到“隱零點(diǎn)”問題。
2.隱零點(diǎn)常見題型，有證明零點(diǎn)個數(shù)，求解不等式，求最值的取值范圍，求參數(shù)的范圍。
3.解決辦法，往往是“虛設(shè)零點(diǎn)”，設(shè)而不求，結(jié)合零點(diǎn)存在定理來初步確定零點(diǎn)的所在區(qū)間。往往這樣的零點(diǎn)都與某個參數(shù)相關(guān)聯(lián)，相互依賴。在使用零點(diǎn)存在定理確定區(qū)間時往往存在困難，必要時使用放縮法取含參的特殊值來確定零點(diǎn)存在區(qū)間。
4.特別是針對導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”，求解取值范圍時，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)代入方程，把參數(shù)表示成含隱零點(diǎn)的函數(shù)，再來求原函數(shù)的極值或者最值問題，或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點(diǎn)作為自變量的新函數(shù)，求函數(shù)值域或者證明不等式恒成立問題。
（2020·新Ⅰ卷·統(tǒng)考高考真題第21題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
思路詳解：（1），，.
，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，,∴,∴成立.
當(dāng)時， ，，,
∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當(dāng)時， ∴不是恒成立.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)
由得，即，而，所以．
令，則，所以在R上單調(diào)遞增．
由，可知，所以，所以．
令，則．
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減．
所以，則，即．
所以a的取值范圍為．
［方法三］：換元同構(gòu)
由題意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．
令，所以．
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時，取得最大值為．所以．
［方法四］：
因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以，即?br/>令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以時，有，即．
下面證明當(dāng)時，恒成立．
令，只需證當(dāng)時，恒成立．
因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．
因此要證明時，恒成立，只需證明即可．
由，得．
上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．
當(dāng)時，因?yàn)椋@然不滿足恒成立．
所以a的取值范圍為．
1．（2024·山東威海·二模）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)證明：
思路詳解：（1）由題意得的定義域?yàn)椋?br/>則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)時，令，則，令，則，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)極大值為，無極小值；
（2）證明：設(shè)，
，令，
則，即在上單調(diào)遞增，
，
故，使得，即，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
故
即，即，則.
2．已知函數(shù) ，若, 求 的取值范圍.
思路詳解：解：記 ,
依題意, 恒成立,
求導(dǎo)得 ,
令 ,
則 在 上單調(diào)遞增,
又 ,
則 , 使得 , 即 成立,
則當(dāng) 單調(diào)遞減; 當(dāng) 單調(diào)遞增,
,
由 , 得 ,
于是得 ,
當(dāng) 時, 令 ,
有 在 上單調(diào)遞減,
而 在 上單調(diào)遞增,
即 有函數(shù) 在 上單調(diào)遞減,
于是得函數(shù)
在 上單調(diào)遞減, 則當(dāng) 時, , 不合題意;
當(dāng) 且 時, 由 (1) 中 知, , 有 ,
從而
,
由 吅 , 因此滿足 , 又
在 上單調(diào)遞增, 則有 , 而 , 所以實(shí)數(shù) 的取值范困是 .
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的最小值為0，
(1)求的值;
(2)若，證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且.
思路詳解：（1），
當(dāng)時，，所以在上遞減，則沒有最小值，
當(dāng)時，由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得最小值，得成立，
下面證為唯一解，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，
所以方程有且只有唯一解，
綜上，；
（2）證明:由（1）知，
令，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞減，上遞增，
因?yàn)椋?br/>所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零點(diǎn)，
所以當(dāng)或時，，即，
當(dāng)時，，即，
所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，
即是唯一的極大值點(diǎn)，
，
由，得，
所以，
因?yàn)?，所?
1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，求：
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時，總有，求整數(shù)的最小值.
【答案】(1)
(2)-3
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
【詳解】（1）當(dāng)時，
在點(diǎn)處的切線方程為即
（2）由題意，，即，即，
又，恒成立.
令，
令，則恒成立.
在上遞減，
，
使，即，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
因?yàn)?，且，，即整?shù)k的最小值為-3
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于零點(diǎn)不可求問題，可以設(shè)而不求，整體替換從而求出范圍。
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的最小值為，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，即可對進(jìn)行分類討論求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解，
（2）將原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，從而可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解.
【詳解】（1）由題知的定義域?yàn)?，?br/>①當(dāng)時，，則，故單調(diào)遞增．
②當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，，且，即．
令，則，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以．
由題可得在上恒成立．
令，
則，
令，則，可得在上單調(diào)遞減，
又，
故存在，使得，即，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
易知，
由于，故，
因此，故，即的取值范圍為．
3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)求的極值；
(2)證明：.
【答案】(1)極大值為，無極小值.
(2)證明見解析
【分析】（1）先求出的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求得極值；
（2）構(gòu)造，求出其單調(diào)性進(jìn)而求得最小值為，證明即可．
【詳解】（1），，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得極大值，無極小值.
（2）解：令，
則，
令，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，使得，
即，
所以時，，，單調(diào)遞減，
時，，，單調(diào)遞增，
，
令，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
所以．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的易錯點(diǎn)為必須說明無極小值；難點(diǎn)是（2）中結(jié)合零點(diǎn)存在定理估計(jì)，進(jìn)而證得，這里的我們稱之為“隱零點(diǎn)”；如果的范圍不合適，可以借助二分法去縮小的范圍，直至證得．
模板09 導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題的答題模板
極值點(diǎn)偏移問題在高考中很常見，此類問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強(qiáng)，能力要求較高，需要綜合復(fù)習(xí)
運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法
（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；
（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；
（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.
（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點(diǎn)，則．
思路詳解：（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域?yàn)?，則
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個零點(diǎn)小于1,一個零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
又因?yàn)?故只需證
即證
即證
下面證明時，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解
又因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因?yàn)?，故，?br/>下證
因?yàn)?br/>不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
1．已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個不同的正實(shí)根，證明：.
思路詳解：（1）的定義域?yàn)椋?br/>由，得.
設(shè)，則.
由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而.
故，即的取值范圍是.
（2）證明：由，得，
即，即.
設(shè)，則等價(jià)于.
易證在上單調(diào)遞增，則，即.
設(shè)，則.
由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而，且，
當(dāng)x趨于時，趨于0.
方程有兩個不同的正實(shí)根，不妨設(shè)，
由圖可知，.
設(shè)
則在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋裕?
設(shè)，則，
即，則.
因?yàn)榉匠逃袃蓚€不同的正實(shí)根，
所以，作差得.
因?yàn)椋?，所以?br/>則，故.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個零點(diǎn)，，且，求證：．
思路詳解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）因?yàn)槭呛膬蓚€零點(diǎn)，由（1）知，
因?yàn)?，設(shè)，則，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．
又因?yàn)?，且?br/>所以，．
首先證明：．
由題意，得，設(shè)，則
兩式相除，得．
要證，只要證，即證．
只要證，即證．
設(shè)，．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增．
所以，即證得①．
其次證明：．設(shè)，．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．
所以，
即．
所以②．
由①②可證得．
3．設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.
思路詳解：（1）由題意得，則.
令，解得；令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
無最小值，最大值為.
（2），則，
又有兩個不同的極值點(diǎn)，
欲證，即證，
原式等價(jià)于證明①.
由，得，則②.
由①②可知原問題等價(jià)于求證，
即證.
令，則，上式等價(jià)于求證.
令，則，
恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即，
原不等式成立，即.
1．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先分離參數(shù)將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求其單調(diào)性、最值即可得的取值范圍；
（2）法一、根據(jù)第（1）問得到的取值范圍，令，通過比值換元將問題化為證，構(gòu)造函數(shù)求其導(dǎo)函數(shù)、單調(diào)性最值即可；法二、根據(jù)第（1）問得到的取值范圍，先判定結(jié)論成立，再利用函數(shù)的單調(diào)性將所證不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式來判定時是否成立，通過構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值即可.
【詳解】（1）由得，
則由有兩個零點(diǎn)知方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根．
令，則，
由得，由得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
而，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）法一、
由（1）知，令，則．
由得，
要證，只需證，
只需證，即證，
即證．
令，
則，
令，，則，
所以單調(diào)遞增，即，
故在上恒成立，
即在上單調(diào)遞減，故，得證．
法二、
由（1）知，
當(dāng)時，顯然．
當(dāng)時，則，
要證，只需證，
又且在上單調(diào)遞增，
故只需證，即證，
即證，即證，
令，
則，
令，
則，在上單調(diào)遞減，
所以，故，所以在上單調(diào)遞減，則，
又，所以當(dāng)時，，即．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及兩個不同變量，處理此類問題有兩個策略：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的等式，把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式求解；
二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值．
2．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．
【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?
由得：，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由得，由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，
即是方程的兩不等實(shí)根，
令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.
令，則，所以在上遞增，在上遞減，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，且.
所以0，即0.
令，要證，只需證，
解法1（對稱化構(gòu)造）：令，
則，
令，
則，
所以在上遞增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，
只需證，只需證，
令，
所以在上單調(diào)遞減，所以.
因?yàn)?，所以?br/>所以，即，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問題變成熟悉的極值點(diǎn)偏移問題，從而根據(jù)對稱化構(gòu)造及對數(shù)均值不等式等方法證出．
3．設(shè)，為函數(shù)（）的兩個零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和極值情況，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，得到，求出，結(jié)合題目條件，得到當(dāng)時，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，同理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，從而求出答案；
（2）設(shè)，由可得，令，故，，推出要證，即證，構(gòu)造，，求導(dǎo)，對分子再構(gòu)造函數(shù)，證明出，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故要使有兩個零點(diǎn)，則需，故，
由題目條件，可得，
當(dāng)時，因?yàn)椋郑?br/>故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
又，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
則在R上存在兩個零點(diǎn)，故滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）證明：由（1）可設(shè)，由可得，
令，則，所以，故，
所以，
要證，
即證，
即證，
因?yàn)?，即證，即，
令，，，
令，則，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，
所以，令得，
故，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
故，即，，，
則，證畢．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方
模板10 導(dǎo)數(shù)中雜糅問題的答題模板
導(dǎo)數(shù)通常與三角函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等知識點(diǎn)雜糅在一起綜合考查學(xué)生解題能力，需強(qiáng)化練習(xí)
運(yùn)用不同的分塊知識點(diǎn)求解即可
（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足：，
①求證：；
②求證：.
思路詳解：（1）的定義域?yàn)椋?br/>，
當(dāng)時，令，可得，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）①當(dāng)時，，
令，可得，
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，即，
又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，所以，
得，
所以，
所以，
相乘得，，即得證.
②因?yàn)?，且，可得，?br/>當(dāng)時，，
，所以，又，
所以，
所以當(dāng)時，，
所以，，
所以，
故.
1．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩 防護(hù)服 消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量 該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.
(1)求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，求的分布列及方差；
(3)在2024年“五一”勞動節(jié)前，甲 乙兩人計(jì)劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲 乙兩人在兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，記甲 乙兩人搶購成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值.
思路詳解：（1）該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為
；
，
故第60百分位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)其為，
則，
解得，故第60百分位數(shù)為125；
（2）一級口罩與二級口罩的個數(shù)比為，
現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個口罩，
則一級口罩有個，二級口罩有個，
再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，的可能取值為0,1,2，
，，，
故的分布列如下：
0 1 2
數(shù)學(xué)期望為，
方差為
（3）的可能取值為，
，
，
，
故，
令，設(shè)，則，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時，取最大值.
2．（2024·湖南益陽·一模）已知兩點(diǎn)，及一動點(diǎn)，直線，的斜率滿足，動點(diǎn)的軌跡記為.過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，交于點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)求的面積的最大值；
(3)求點(diǎn)的軌跡方程.
思路詳解：（1）設(shè)動點(diǎn)，因?yàn)橹本€，的斜率滿足，
，化簡整理得.
所以軌跡的方程為.
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為：，，，
由，得，顯然.
則，.
.
令，則，，所以.
設(shè)，則，
所以當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
即，時，的面積取最大值.

（3）由已知可設(shè)直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
消去，得，顯然，，（*）
由（2），得，，，，
所以（*）式可化為，，即.
顯然，否則重合，不合題設(shè)，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
1．（2024·河北·三模）現(xiàn)隨機(jī)對件產(chǎn)品進(jìn)行逐個檢測，每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，且每件產(chǎn)品不合格的概率均為．
(1)當(dāng)時，記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格的概率為，求的最大值點(diǎn)；
(2)若這件產(chǎn)品中恰好有件不合格，以（1）中確定的作為的值，則當(dāng)時，若以使得最大的值作為的估計(jì)值，求的估計(jì)值．
【答案】(1)
(2)449或450
【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性，從而得到最大值點(diǎn)；
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式得到，利用，再利用組合數(shù)公式求出的范圍即可.
【詳解】（1）由題意知，
，
，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時最大，故；
（2）令，
由，
得，
即，
解得，
故的估計(jì)值為449或450．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且平面平面．分別是的中點(diǎn)．．
(1)求證：是直角三角形；
(2)求四棱錐體積的最大值；
(3)求平面與平面的夾角余弦值的范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)平面PAB平面PCD，由面面垂直的性質(zhì)定理以及線面平行的性質(zhì)定理即可得PE⊥PF，則△PEF是直角三角形；
（2）求出P到平面ABCD的最大距離即可得四棱錐P―ABCD體積最大值；
（3）利用空間向量法可求平面PEF與平面PBC夾角余弦值的表達(dá)式，再利用換元法以及導(dǎo)數(shù)的知識可得最值.
【詳解】（1）設(shè)平面平面PCD，
由于，平面ADC，平面ADC，
因此平面PDC，而平面APB，平面平面，
因此，而，因此．
而平面平面PCD，平面平面，平面，
因此平面PDC，而平面PDC，因此.
故△PEF是直角三角形．
（2）由于，，因此P是以EF為直徑半圓上的點(diǎn)．
而，，平面PEF，
因此平面PEF，而AB平面ABCD，
因此平面平面ABCD．
故P到平面ABCD的最大距離為，
四棱錐體積最大為．
（3）設(shè)EF中點(diǎn)為O，作過O垂直EF的直線m．
設(shè)平面PEF與平面PBC夾角為．
以O(shè)為原點(diǎn)，OE，m，過O垂直于平面ABCD的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，并設(shè)．
平面PEF的一個法向量為，
，，
設(shè)平面PBC的法向量為，因此，可取
，不妨設(shè)，
，，因此隨增大而增大
因此．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及最值問題時，若無法利用函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式解決，可以考慮使用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.
3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.
（i）證明：數(shù)列為遞增數(shù)列；
（ii）證明：若，則對任意正整數(shù)，都有.
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解，證明見詳解
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，同理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得證；
（2）（i）由條件，變形得，結(jié)合（1）可證，得證；（ii）用分析法將所證明問題轉(zhuǎn)化為，由條件可得，進(jìn)一步可得，裂項(xiàng)相消可得，結(jié)合，放縮可證.
【詳解】（1）令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
再令，則，，
令，則，由上面知，
即在上單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
即.
綜上，當(dāng)時，成立.
（2）（i）因?yàn)?，所以?br/>所以，由（1）知，當(dāng)時，，
所以，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列.
（ii）要證，即證，即，
由（1）知：當(dāng)時，，
所以，即有，
所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br/>所以，即，
所以，歸納易得數(shù)列為減函數(shù)，
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，
所以，
所以
，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
即成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問，（ii）解題的關(guān)鍵是結(jié)合條件得到數(shù)列為減函數(shù)，所以，累加得到，利用放縮裂項(xiàng)相消證得結(jié)果.
1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并證明.
【答案】(1)
(2)函數(shù)在有且僅有一個零點(diǎn)，證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到的單調(diào)性，即可求出在閉區(qū)間上的最小值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，討論，和時，的正負(fù)，即可得出證明.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，令，，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，且，
，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使
又當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br/>，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
（2）函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)，證明如下：
函數(shù)，，則，
若，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
，
結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個零點(diǎn)，
若，則，，則，
若，因?yàn)?，所以?br/>綜上，函數(shù)在有且僅有一個零點(diǎn).
2．（2024·江蘇·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，證明：;
(2)若在區(qū)間上有且只有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域即可證明；
（2）求導(dǎo)，令，再求導(dǎo)，利用放縮可知，得到在單調(diào)遞增，，分類討論和時的正負(fù)，從而確定是否有極值點(diǎn)以及極值點(diǎn)的個數(shù).
【詳解】（1）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，.
要證，只需證：當(dāng)時，.
令，則，
則在單調(diào)遞增，
所以，即，
所以.
（2）由，
令，
則.
所以在單調(diào)遞增，，
①時，，.
則在為增函數(shù)，在上無極值點(diǎn)，矛盾.
②當(dāng)時，.由（1）知，，
，則，則使.
當(dāng)時，，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，則在上單調(diào)遞增.
因此，在區(qū)間上恰有一個極值點(diǎn)，
所以的取值范圍為.
3．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)，無極小值.
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）依題意可得在上恒成立，當(dāng)時，求出，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，所以，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，即，無極小值.
（2）因?yàn)楫?dāng)時，恒成立，
即當(dāng)時，恒成立，
即在上恒成立，
當(dāng)時，解得，
設(shè)，，
則，
令，則，
當(dāng)時，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，則單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?，，?br/>當(dāng)，即時在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以恒成立，
當(dāng)時使得，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
所以，則，解得，
綜上可得，即的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.
(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；
(2)當(dāng)時，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)（）（），分，討論求解；
（2）方法一：隱零點(diǎn)法，由，，轉(zhuǎn)化為證明，令，（），由成立即可；方法二：（同構(gòu)）由，，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而變形為，再構(gòu)造函數(shù)（），證即可.
【詳解】（1）解：（）（），
令，則，
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，.
當(dāng)時，，則當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
而，.所以
綜上所述，當(dāng)時，，；
當(dāng)時，所以，.
（2）方法一：隱零點(diǎn)法
因?yàn)椋?，所以，欲證，只需證明，
設(shè)，（），，
令，易知在上單調(diào)遞增，
而，，
所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增；
所以
所以，因此.
方法二：（同構(gòu)）
因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，
只需證明，
因此構(gòu)造函數(shù)（），
，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增：
所以，所以，
所以，
因此.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是根據(jù)，利用放縮法消元為，從而只需證明，再構(gòu)造函數(shù)而得證.
5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分和兩種情況求解不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；
（2）代入函數(shù)的零點(diǎn)，并變形為，，并利用分析法，將所證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，再通過構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1），．
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，得，解得．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)，則，，
所以，
所以，，
記，要證，只需證，
只需證，只需證．
記，，則，
記，，
由（1）可知，取，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，所以成立．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2問的關(guān)鍵是將將函數(shù)零點(diǎn)的式子，結(jié)合分析法，進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)，的單調(diào)性，即可證明.
6．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)設(shè)（），若恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；
（2）根據(jù)題意分析可知：原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，令設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.
【詳解】（1）由題，，
由題意可得，解得，
所以，．
令，解得，令，解得，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有極小值，極小值為，無極大值．
（2）由題意可知：，且，
整理得，原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，
設(shè)，則，
設(shè)，則．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，即當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，
由恒成立，可得，
所以的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
7．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)，，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：.（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)答案見解析
(2)證明過程見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，分是否大于、小于或等于0討論即可得解；
（2）只需證明，從而構(gòu)造函數(shù) ，進(jìn)而只需證明即可.
【詳解】（1）由題意，所以，
當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)；
當(dāng)時，令得，
所以若時，，所以，所以在上為增函數(shù)，
若時，，且時，，時，，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
綜上：當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；
（2）等價(jià)于，
設(shè)，則
，
因?yàn)?，所以?br/>設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，
而，
所以存在，使，即，所以，即，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
所以
，
設(shè)，則，
則在上單調(diào)遞增，，
則，則不等式恒成立，
即不等式成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是在得到之后，還需繼續(xù)構(gòu)造函數(shù)說明恒成立，由此即可順利得證.
8．（2024·四川宜賓·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn).
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）證明：的所有零點(diǎn)之和大于3.
【答案】(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
(2)①，②證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解；
（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，對分類討論，即可解①，根據(jù)的單調(diào)性可得在和上各有一個零點(diǎn)，即可根據(jù)可得函數(shù)的三個零點(diǎn)為，利用基本不等式即可求解②.
【詳解】（1）時，，定義域?yàn)?，則，
令，解得，，解得，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
（2）①，
則，
記，則，
，
令，解得，，解得，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，
若，則在單調(diào)遞增，此時無極值點(diǎn)，不符合，
當(dāng)，則，
當(dāng)因此在有一個實(shí)數(shù)根，
現(xiàn)證明：
設(shè)，
則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故，所以
，
所以在上有一個實(shí)數(shù)根，故恰有兩個極值點(diǎn)，符合題意，
故
②由①知，且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
由于，
當(dāng)當(dāng)
所以在和上各有一個零點(diǎn)，
結(jié)合可知共有3個零點(diǎn)，
，
若，則，
故的三個零點(diǎn)可以表示為，
故，
由于，故等號取不到，因此
因此的零點(diǎn)之和大于3，得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
1. 導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
9．（2024·浙江溫州·一模）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求的最小值；
(2)若與在原點(diǎn)處的切線重合，且函數(shù)有且僅有三個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可求的最小值.
（2）先根據(jù)確定的關(guān)系，再把函數(shù)有且僅有三個極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有且僅有三個變號零點(diǎn).求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
令得：，
當(dāng)時，，時，，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
所以時，.
（2），，由得：，
所以，
問題即：有且僅有三個變號零點(diǎn)
當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，又，所以故此時在有且僅有一個變號零點(diǎn)0，不合題意；
當(dāng)時，所以在有唯一零點(diǎn).在遞增，遞減，故此時在至多有兩個變號零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時，，，，
所以在有兩個零點(diǎn)：，
且時，，時，，時，，
所以在遞減，遞增，遞減，
又，故，，
又時，，
因?yàn)榈脑鲩L速度大于的增長速度，
故，，于是，
又，，所以，
令，則，
因?yàn)榈脑鲩L速度大于的增長速度，
故，，于是，
所以在，各有一個零點(diǎn)，，故此時有三個零點(diǎn)：，0，，合題意：所以.
【點(diǎn)睛】方法定睛：對于函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：
(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；
(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；
(3)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．
10．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）設(shè)，.
(1)當(dāng)時，證明：；
(2)證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可知：為偶函數(shù)，所以僅需研究的部分，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值，分析證明；
（2）由（1）可得：，當(dāng)時，利用裂項(xiàng)相消法分析證明；
【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋?br/>所以，
所以為定義在上的偶函數(shù)，下取，
可知，令
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
即在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)的最小值為，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知：.
（2）由（1）可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，令，則，當(dāng)時，，即，
則有：，，，，
相加可得：，
因?yàn)?，則，所以，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
11．（2024·福建泉州·一模）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，若的值域?yàn)?，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）對求導(dǎo)，分和討論的單調(diào)性，即可得出答案.
（2）對分類討論，求出的單調(diào)性，求出的最小值，進(jìn)而求出單調(diào)性和最值，從而證得結(jié)論.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時，在單調(diào)遞減．
當(dāng)時，令，得，
當(dāng)，單調(diào)遞減：當(dāng)，單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2），定義域?yàn)椋?br/>，
由（1）得：當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
令，
因?yàn)楫?dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
當(dāng)時，，則在遞增，不合題意，舍去．
當(dāng)時，又因?yàn)楫?dāng)趨近正無窮，趨近正無窮，
所以在上存在唯一的，使得，即（※）
當(dāng)遞增；當(dāng)遞減；當(dāng)遞增．
又因?yàn)橼吔吔?，且的值域?yàn)椋?br/>所以
，代入（※），得：，即．
當(dāng)時，同理：當(dāng)遞增；當(dāng)遞減；當(dāng)遞增．
又因?yàn)橼吔?，趨近，且的值域?yàn)椋?br/>所以，滿足．
綜上，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)在于對分類討論，求出的單調(diào)性，求出的最小值，進(jìn)而求出單調(diào)性和最值，從而證得結(jié)論.
12．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)若是的兩個相異零點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)，求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的值域可證明該問題.
（2）求，分析函數(shù)單調(diào)性，求出極值；根據(jù)的兩個相異零點(diǎn)，可確定的取值范圍，并分別得到的取值范圍，推導(dǎo)出的取值范圍.
【詳解】（1）令，則．
令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，所以．
（2）易知函數(shù)的定義域是．
由，可得．
令得；令得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
①當(dāng)，即時，至多有1個零點(diǎn)，故不滿足題意．
②當(dāng)，即時，．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且．所以，
所以在上有且只有1個零點(diǎn)，不妨記為，且．
由（1）知，所以．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，
所以在上有且只有1個零點(diǎn)，記為，且．
所以，所以．
同理，若記
則有，
綜上所述，．
【解答題06 10類導(dǎo)數(shù)答題模板
（含參導(dǎo)函數(shù)可（不可）分解、二階導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)證明不等式、恒（能）成立）、零點(diǎn)交點(diǎn)方程的根、雙變量、隱零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移、雜糅）
模板01 含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)單調(diào)性的答題模板
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識,單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個問題.這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用更是高考中的難點(diǎn)
導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
導(dǎo)函數(shù)可分解型一般直接求根探討
（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
2．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
3．（2021·新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求在處的切線方程.
(2)討論的單調(diào)性.
2．（2024·廣東佛山·一模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
3．（2024·湖南·三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
模板02 含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)不可分解型函數(shù)單調(diào)性的答題模板
高考或?？贾谐Ｓ鲆姸A導(dǎo)函數(shù)不可分解型，常需要二次討論，是重點(diǎn)知識，需強(qiáng)化訓(xùn)練掌握
導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
導(dǎo)函數(shù)不可分解型一般用判別式和求根公式進(jìn)行探討
（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
1．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
2．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎瘮?shù).
(1)討論的單調(diào)性；
3．（2024·山東青島·二模）已知函數(shù).
(1)證明曲線在處的切線過原點(diǎn)；
(2)討論的單調(diào)性；
1．函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
2．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
3．已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
模板03 二階導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的答題模板
在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而不能進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時解題受阻。需要利用“二次求導(dǎo)”才能找到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題， 若遇這類問題，必須“再構(gòu)造，再求導(dǎo)”，因此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用尤為重要。
二階導(dǎo)的定義
定義 1 : 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), 則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn) 的二階導(dǎo)數(shù), 記作, 同時稱在點(diǎn)為二階可導(dǎo).
定義 2: 若在區(qū)間上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo), 則得到一個定義在上的二階可導(dǎo)函數(shù), 記作
函數(shù)極值的第二判定定理
若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 且
（1）若, 則在點(diǎn)處取極大值;
（2）若, 則 在點(diǎn)處取極小值
解決這類題的常規(guī)解題步驟為:
求函數(shù)的定義域;
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù);
構(gòu)造求 , 求 ;
列出 的變化關(guān)系表;
根據(jù)列表解答問題。
（2024·江西九江·三模）已知函數(shù)，且.
(1)討論的單調(diào)性；
1．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
2．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
1．已知函數(shù)滿足．
(1)討論的單調(diào)性；
2．已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞減；
3．已知函數(shù).
(1)若，討論的單調(diào)性；
模板04 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的答題模板
不等式是數(shù)學(xué)中的一個重要概念，而導(dǎo)數(shù)作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在不等式證明中發(fā)揮著非常關(guān)鍵的作用。通過構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等知識，我們可以更加便捷、快速地證明不等式，此類題型難度中等，是高考中的常考考點(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)
證明不等式通常需要借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)單調(diào)性、最值來綜合求解
用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用步驟：
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．
1．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)求證：當(dāng)時，；
2．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的最小值；
(2)求的極值；
(3)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.
1．（2024·浙江寧波·一模）已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性；
(2)若，求證：；
2．（2024·廣東·二模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：.
3．（2024·四川南充·一模）已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；
(2)討論方程的解的個數(shù)；
(3)求證：.
模板05 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立（能成立）問題的答題模板
利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立（能成立）問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)
恒成立問題常見類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）的值域?yàn)?br/>①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?br/>① ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
② ，則只需要
，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
恒成立問題的解決策略
①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；④換元分離，簡化運(yùn)算；
在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點(diǎn)．
能成立（有解）問題常見類型
假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，
（1）若的值域?yàn)?br/>①，則只需要
，則只需要
②，則只需要
，則只需要
（2）若的值域?yàn)?br/>① ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
，則只需要
② ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）
，則只需要
能成立（有解）問題的解決策略
①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；④換元分離，簡化運(yùn)算；
在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點(diǎn)．
1（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍．
1．（2024·四川樂山·三模）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若存在，使得，求的取值范圍.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
1．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求的值.
3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，．
(1)討論：當(dāng)時，的極值點(diǎn)的個數(shù)；
(2)當(dāng)時，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
4．（2024·貴州安順·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
模板06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、交點(diǎn)、方程的根的答題模板
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、交點(diǎn)、方程的根是高考中的?？伎键c(diǎn)，常用函數(shù)的構(gòu)造變換和單調(diào)性結(jié)合求解，需強(qiáng)加練習(xí)
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法
(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)的方法
借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)或者通過零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍.
(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)
對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.
(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)
①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.
②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法
(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）的方法
借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）或者通過零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.
(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)（方程的根）
對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.
(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）
①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)（方程的根）尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.
②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
1（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．
1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．
2．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點(diǎn)
①；
②．
2（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．
1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
2．（2022·新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2．（2024·四川·一模）設(shè)
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間．
(2)討論的零點(diǎn)數(shù)量．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)若有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
4．（2023·江蘇南通·一模）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．
(1)求實(shí)數(shù)a；
(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（），證明：．
模板07 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題的答題模板
利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題是高考中的難點(diǎn)，雙變量問題運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，解決起來需要很強(qiáng)的技巧性，解題總的思想方法是化雙變量為單變量，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決．需強(qiáng)加練習(xí)
破解雙參數(shù)不等式的方法:
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式:
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值;
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果
（2024·廣東佛山·二模）已知.
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個極值點(diǎn)，，證明：.
1．已知.
(1)若，求在處的切線方程；
(2)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：當(dāng)時，.
2．（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求的最小值.
1．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．
2．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若；求證：；
(3)設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，求證：.
3．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，存在，使得，求M的最大值；
(2)已知m，n是的兩個零點(diǎn)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，且，證明：.
模板08 導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題的答題模板
零點(diǎn)問題是高考的熱點(diǎn)問題，隱零點(diǎn)的代換與估計(jì)問題是函數(shù)零點(diǎn)中常見的問題之一, 其源于含指對函數(shù)的方程無精確解, 這樣 我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍，高考中曾多次考查隱零點(diǎn)代換與估計(jì), 需綜合復(fù)習(xí)
在求解導(dǎo)數(shù)問題時，我們一般對函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過一種整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件最終解決問題，我們稱這類問題為“隱零點(diǎn)問題”．
1.解題步驟
第 1 步: 用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性, 列出零點(diǎn)方程 , 并結(jié)合 的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍;
第 2 步: 以零點(diǎn)為分界點(diǎn), 說明導(dǎo)函數(shù) 的正負(fù), 進(jìn)而得到 的最值表達(dá)式;
第 3 步: 將零點(diǎn)方程 適當(dāng)變形, 整體代入 最值式子進(jìn)行化簡:
（1）要么消除 最值式中的指對項(xiàng)
（2）要么消除其中的參數(shù)項(xiàng);
從而得到 最值式的估計(jì).
2. 隱零點(diǎn)的同構(gòu)
實(shí)際上, 很多隱零點(diǎn)問題產(chǎn)生的原因就是含有指對項(xiàng), 而這類問題由往往具有同構(gòu)特征, 所以下面我們看到的這兩個問題, 它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出, 否則, 我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡方向. 我們看下面兩例: 一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問題中的應(yīng)用的原理分析
所以在解決形如 , 這些常見的代換都是隱零點(diǎn)中常見的操作.
3. 解題感悟
1.隱零點(diǎn)指對于超越方程或者是一些帶參數(shù)的方程，無法直接求得確切的零點(diǎn)，但是零點(diǎn)確實(shí)存在的問題。特別是在求導(dǎo)的過程，求函數(shù)極值點(diǎn)，對原函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)函數(shù)等于零，就導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)一步探尋原函數(shù)極值點(diǎn)或最值時會經(jīng)常遇到“隱零點(diǎn)”問題。
2.隱零點(diǎn)常見題型，有證明零點(diǎn)個數(shù)，求解不等式，求最值的取值范圍，求參數(shù)的范圍。
3.解決辦法，往往是“虛設(shè)零點(diǎn)”，設(shè)而不求，結(jié)合零點(diǎn)存在定理來初步確定零點(diǎn)的所在區(qū)間。往往這樣的零點(diǎn)都與某個參數(shù)相關(guān)聯(lián)，相互依賴。在使用零點(diǎn)存在定理確定區(qū)間時往往存在困難，必要時使用放縮法取含參的特殊值來確定零點(diǎn)存在區(qū)間。
4.特別是針對導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”，求解取值范圍時，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)代入方程，把參數(shù)表示成含隱零點(diǎn)的函數(shù)，再來求原函數(shù)的極值或者最值問題，或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點(diǎn)作為自變量的新函數(shù)，求函數(shù)值域或者證明不等式恒成立問題。
（2020·新Ⅰ卷·統(tǒng)考高考真題第21題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
1．（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)．
(1)求的極值；
(2)證明：
2．已知函數(shù) ，若, 求 的取值范圍.
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的最小值為0，
(1)求的值;
(2)若，證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且.
1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，求：
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時，總有，求整數(shù)的最小值.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的最小值為，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)求的極值；
(2)證明：.
模板09 導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題的答題模板
極值點(diǎn)偏移問題在高考中很常見，此類問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強(qiáng)，能力要求較高，需要綜合復(fù)習(xí)
運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法
（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；
（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；
（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.
（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點(diǎn)，則．
1．已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個不同的正實(shí)根，證明：.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個零點(diǎn)，，且，求證：．
3．設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.
1．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)證明：．
2．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；
3．設(shè)，為函數(shù)（）的兩個零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)證明：．
模板10 導(dǎo)數(shù)中雜糅問題的答題模板
導(dǎo)數(shù)通常與三角函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等知識點(diǎn)雜糅在一起綜合考查學(xué)生解題能力，需強(qiáng)化練習(xí)
運(yùn)用不同的分塊知識點(diǎn)求解即可
（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足：，
①求證：；
②求證：.
1．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩 防護(hù)服 消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量 該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.
(1)求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，求的分布列及方差；
(3)在2024年“五一”勞動節(jié)前，甲 乙兩人計(jì)劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲 乙兩人在兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，記甲 乙兩人搶購成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值.
0 1 2
2．（2024·湖南益陽·一模）已知兩點(diǎn)，及一動點(diǎn)，直線，的斜率滿足，動點(diǎn)的軌跡記為.過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，交于點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)求的面積的最大值；
(3)求點(diǎn)的軌跡方程.
1．（2024·河北·三模）現(xiàn)隨機(jī)對件產(chǎn)品進(jìn)行逐個檢測，每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，且每件產(chǎn)品不合格的概率均為．
(1)當(dāng)時，記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格的概率為，求的最大值點(diǎn)；
(2)若這件產(chǎn)品中恰好有件不合格，以（1）中確定的作為的值，則當(dāng)時，若以使得最大的值作為的估計(jì)值，求的估計(jì)值．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且平面平面．分別是的中點(diǎn)．．
(1)求證：是直角三角形；
(2)求四棱錐體積的最大值；
(3)求平面與平面的夾角余弦值的范圍．
3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.
（i）證明：數(shù)列為遞增數(shù)列；
（ii）證明：若，則對任意正整數(shù)，都有.
1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并證明.
2．（2024·江蘇·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，證明：;
(2)若在區(qū)間上有且只有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.
4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.
(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；
(2)當(dāng)時，求證：.
5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，求證：．
6．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)設(shè)（），若恒成立，求的取值范圍．
7．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)，，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：.（參考數(shù)據(jù)：，）
8．（2024·四川宜賓·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn).
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）證明：的所有零點(diǎn)之和大于3.
9．（2024·浙江溫州·一模）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求的最小值；
(2)若與在原點(diǎn)處的切線重合，且函數(shù)有且僅有三個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
10．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）設(shè)，.
(1)當(dāng)時，證明：；
(2)證明：.
11．（2024·福建泉州·一模）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，若的值域?yàn)椋C明：．
12．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)若是的兩個相異零點(diǎn)，求證：．
13．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)函數(shù)．
①討論函數(shù)的單調(diào)性；
②函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
14．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，直線（為常數(shù)）與曲線相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范圍；
(3)若有兩個零點(diǎn)，求證：.
15．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
(2)若存在兩個極值點(diǎn)．
（?。┳C明：；
（ⅱ）證明：時，．
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