資源簡介

題型01 5類不等式解題技巧
（權方和不等式、柯西不等式、基本不等式鏈、
普通型糖水不等式與對數型糖水不等式）
技法01 權方和不等式的應用及解題技巧
在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式或基本不等式鏈來求最值，實際解題中往往會遇到題干復雜的題目，此時對于學生來說思路繁瑣，計算量大，耗時較長且不易求解，而權方和不等式的優勢極其明顯，可以做到快速求解甚至秒解，常在小題中使用.
權方和不等式的初級應用: 若 則 當且僅當 時取等.
(注：熟練掌握權方和不等式的初級應用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)
廣義上更為一般的權方和不等式，設 ,
若 或 , 則 ;
若 , 則 ;
上述兩個不等式中的等號當且僅當 時取等
（2024·江西·一模）已知正數x，y滿足，若不等式恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
1．求的最大值為
2．已知a，b，c為正實數，且滿足，則的最小值為 .
1．（2024·云南大理·模擬預測）已知，且，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．設，，若，則的最小值為 .
3．已知正實數，滿足，則的最小值為 .
4．已知正數，，滿足，則的最小值為
5．已知，求的最小值為
技法02 柯西不等式的應用及解題技巧
若不等式題目以選擇填空推出時，通過柯西不等式，觀察系數的關系，配湊出題設的問題，柯西不等式往往起到秒殺作用.
1.二維形式的柯西不等式
當且僅當 時，等號成立.)
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1) , 當且僅當 時，等號成立.)
(2) , 當且僅當 時，等號成立.)
(3) , 當且僅當 時，等號成立.)
3.擴展：
已知x，y，z滿足，則的最小值為 .
1．用柯西不等式求函數的最大值為
A． B．3 C．4 D．5
2．已知、、，. 則的最小值是 .
1．函數的最小值為 ．
2．由柯西不等式，當時，求的最大值為（ ）
A．10 B．4 C．2 D．
3．設.則函數的最小值是 .
4．設非負實數、、滿足．則的最小值為 ．
技法03 基本不等式鏈的應用及解題技巧
本題型通常考查基本不等式及其基本不等式鏈的應用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數式的大小比較及其相關最值求解，常以小題形式考查.
基本不等式鏈: , 當且僅當 時, 等號成立.
其中 分別為 平方平均數, 算術平均數, 幾何平均數, 調和平均數.可利用上述不等式鏈在各平均數間進行放縮、轉化.
（2022·全國·新高考Ⅱ卷高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·貴州貴陽·一模）（多選）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·河北滄州·二模）（多選）已知實數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·重慶渝中·模擬預測）（多選）已知實數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
技法04 普通型糖水不等式的應用及解題技巧
在應用不等式的性質進行代數式大小比較時，我們除了常規的不等式性質，特值，還可以學習糖水不等式及其倒數形式，常在小題中使用，能做到快速求解.
糖水不等式定理:
若 , 則一定有
通俗的理解: 就是 克的不飽和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,則糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒數形式:
設 , 則有:
（2020·全國·統考高考真題）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）
A．a1．（2024·全國模擬）（多選）已知實數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．試比較 的大小（填”<”或”>”或”=”）
3． (用“”或“”填空)
1．如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊含著著名的糖水不等式：．
(1)證明糖水不等式；
(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．
若等比數列前 項和為 , 比較 與 的大小
技法05 對數型糖水不等式的應用及解題技巧
在應用不等式的性質進行代數式大小比較時，我們除了常規的不等式性質，特值，還可以學習對數型糖水不等式及其倒數形式，常在小題中使用，能做到快速求解.
(1) 設 , 且 , 則有
(2) 設 , 則有
(3) 上式的倒數形式：設 , 則有
（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
1．比較大小: 與 的大小．
1．（2024·四川樂山·三模）若，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶·模擬預測）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·河南鄭州·一模）已知，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設，，，，則，當且僅當時，等號成立．根據權方和不等式，函數的最小值為 ．
4．已知，且滿足，則的最小值為 .
5．已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為 .
6．（多選）已知，，，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若實數，則的最小值為（ ）
A．14 B． C．29 D．
8．已知實數x，y滿足，且，的最小值為 .
9．設,則的最大值為 ．
10．已知，，，且，則的最大值為
A．3 B． C．18 D．9
21世紀教育網(www.21cnjy.com)題型01 5類不等式解題技巧
（權方和不等式、柯西不等式、基本不等式鏈、
普通型糖水不等式與對數型糖水不等式）
技法01 權方和不等式的應用及解題技巧
在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式或基本不等式鏈來求最值，實際解題中往往會遇到題干復雜的題目，此時對于學生來說思路繁瑣，計算量大，耗時較長且不易求解，而權方和不等式的優勢極其明顯，可以做到快速求解甚至秒解，常在小題中使用.
權方和不等式的初級應用: 若 則 當且僅當 時取等.
(注：熟練掌握權方和不等式的初級應用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)
廣義上更為一般的權方和不等式，設 ,
若 或 , 則 ;
若 , 則 ;
上述兩個不等式中的等號當且僅當 時取等
（2024·江西·一模）已知正數x，y滿足，若不等式恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
思路點撥：利用權方和不等式求解即可
思路詳解：，所以實數a的取值范圍是.
1．求的最大值為
思路詳解：
當且僅當，即或時取等號，故答案為：.
2．已知a，b，c為正實數，且滿足，則的最小值為 .
思路詳解：由權方和不等式，可知
==，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為2.故答案為：2.
1．（2024·云南大理·模擬預測）已知，且，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根據已知等式，應用常值代換法應用基本不等式求和的最小值即可.
【詳解】
（當且僅當，時取等號）.
故選:C.
2．設，，若，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】由已知可得，從而有，展開后利用基本不等式，即可求解.
【詳解】由題意，因為，，滿足，
所以，，且，
則
，
當且僅當且，即時取得最小值.
故答案為：3.
【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題的應用，其中解答中根據題意配湊基本不等式的使用條件，合理利用基本不等式求得最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.
3．已知正實數，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由，結合基本不等式求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，
因為為正實數，所以，
所以，當且僅當時等號成立，即時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立，
所以的最小值為，
故答案為：.
4．已知正數，，滿足，則的最小值為
【答案】
【分析】根據權方和不等式可得解.
【詳解】因為正數，滿足，
所以，
當且僅當即時取等號.
故答案為：.
5．已知，求的最小值為
【答案】
【分析】應用權方和不等式即可求解.
【詳解】
當且僅當時取等號
故答案為：60
技法02 柯西不等式的應用及解題技巧
若不等式題目以選擇填空推出時，通過柯西不等式，觀察系數的關系，配湊出題設的問題，柯西不等式往往起到秒殺作用.
1.二維形式的柯西不等式
當且僅當 時，等號成立.)
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1) , 當且僅當 時，等號成立.)
(2) , 當且僅當 時，等號成立.)
(3) , 當且僅當 時，等號成立.)
3.擴展：
已知x，y，z滿足，則的最小值為 .
思路點撥：利用柯西不等式求解即可
思路詳解： 因為,
即,
所以最小值為，當且僅當時取等號.故答案為：.
1．用柯西不等式求函數的最大值為
A． B．3 C．4 D．5
思路詳解：函數
當且僅當==時，即時等號成立，故該的最大值為4.
2．已知、、，. 則的最小值是 .
思路詳解：由，即，
當，，，或，，時取等號,所以最小值是4.
1．函數的最小值為 ．
【答案】
【詳解】注意到，．
則．
2．由柯西不等式，當時，求的最大值為（ ）
A．10 B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】利用柯西不等式可得，即求.
【詳解】解：由柯西不等式，得，
當且僅當，即時，等號成立.
因為，所以，
則，故的最大值為.
故選：D
3．設.則函數的最小值是 .
【答案】
【詳解】由已知條件及柯西不等式有
①
則.
式①中等號成立的條件為,即,,.
代入已知等式有,解得.
因此,當,,時, .
4．設非負實數、、滿足．則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】首先，．
則．
當且僅當時，．
技法03 基本不等式鏈的應用及解題技巧
本題型通常考查基本不等式及其基本不等式鏈的應用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數式的大小比較及其相關最值求解，常以小題形式考查.
基本不等式鏈: , 當且僅當 時, 等號成立.
其中 分別為 平方平均數, 算術平均數, 幾何平均數, 調和平均數.可利用上述不等式鏈在各平均數間進行放縮、轉化.
（2022·全國·新高考Ⅱ卷高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
思路點撥：基本不等式鏈求解即可
思路詳解：由基本不等式鏈: ,
可得（R），
對于C，由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確
因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
【答案】：BC．
1．（2024·貴州貴陽·一模）（多選）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
思路詳解：A.，當時，等號成立，故A正確；
B.，當時，等號成立，故B正確；
C.，故C正確；
D.，當時等號成立，故D正確 .
1．（2024·河北滄州·二模）（多選）已知實數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由不等式的性質可判斷；由代入消元結合函數的最值可判斷C；由已知結合基本不等式及相關結論可判斷D.
【詳解】因為，
所以的符號不確定，
由不等式的性質知成立，
但不一定成立，故A正確，B錯誤；
因，故C正確；
因為，所以，所以，故D錯誤.
故選：AC.
2．（2024·重慶渝中·模擬預測）（多選）已知實數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由已知條件，結合基本不等式計算即可判斷AB；根據，結合基本不等式計算即可判斷C；根據，基本不等式計算即可判斷D.
【詳解】A：由，得，
即，得，
解得，當且僅當時等號成立，故A錯誤；
B：由選項A的分析知，故B正確；
C：由，得，即，
所以，
得，當且僅當時等號成立，故C正確；
D：由，得，即，
所以，得，
當且僅當時等號成立，故D錯誤.
故選：BC
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.
技法04 普通型糖水不等式的應用及解題技巧
在應用不等式的性質進行代數式大小比較時，我們除了常規的不等式性質，特值，還可以學習糖水不等式及其倒數形式，常在小題中使用，能做到快速求解.
糖水不等式定理:
若 , 則一定有
通俗的理解: 就是 克的不飽和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,則糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒數形式:
設 , 則有:
（2020·全國·統考高考真題）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）
A．a思路點撥：利用糖水不等式求解即可
思路詳解：【法一】
,
又 ，用排除法, 選 A 。
【法二】 ，
若,
但 ,
綜上所述，.
1．（2024·全國模擬）（多選）已知實數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
思路詳解：【法一】由糖水不等式的倒數形式， , 則有:
【法二】，故B正確；
【答案】BCD
2．試比較 的大小（填”<”或”>”或”=”）
思路詳解：依題意.
3． (用“”或“”填空)
思路詳解：因為，所以可得：
1．如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊含著著名的糖水不等式：．
(1)證明糖水不等式；
(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由作差法證明；
（2）由糖水不等式變形證明．
【詳解】（1），
因為，所以，
所以，即．
（2）因為是三角形的三邊，所以，
由（1）知，
同理，
所以，
又，
所以
所以原不等式成立．
若等比數列前 項和為 , 比較 與 的大小
【答案】
【解析】
;
故 。
技法05 對數型糖水不等式的應用及解題技巧
在應用不等式的性質進行代數式大小比較時，我們除了常規的不等式性質，特值，還可以學習對數型糖水不等式及其倒數形式，常在小題中使用，能做到快速求解.
(1) 設 , 且 , 則有
(2) 設 , 則有
(3) 上式的倒數形式：設 , 則有
（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
思路點撥：利用對數型糖水不等式求解即可
思路詳解：因為 , 所以 . 在上述推論中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 選 A.
1．比較大小: 與 的大小．
思路詳解：【法一】 。
【法二】
【法三】對數型糖水不等式直接可得
1．（2024·四川樂山·三模）若，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用放縮法可得，利用作商比較法可得，進而可得，可得結論.
【詳解】，
所以則，
又，
所以，所以.
故選：D.
2．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取兩個中間值和，由，，即可比較三者大小.
【詳解】，，，
因此．
故選：C．
3．（2024·重慶·模擬預測）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用對數函數的性質得到最大，再利用作差法，結合基本不等式得到，從而得解.
【詳解】由對數函數的性質知，
，
，
所以，，；
當時，，
所以
，
取，則，
所以
，即，
綜上，.
故選：C.
【點睛】結論點睛：對數比大小常用結論：.
1．（2024·河南鄭州·一模）已知，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對，，進行變形，構造，，求導后得到其單調性，從而判斷出，，的大小.
【詳解】，，，
令，，
，
因為，所以，
令，，在上恒成立，在上單調遞增，
故，所以在上恒成立，
故在上單調遞減，
所以，即，
故選：D.
2．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】做差，利用換底公式，基本不等式，對數的性質進行大小比較.
【詳解】
所以.
故選：C.
3．權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設，，，，則，當且僅當時，等號成立．根據權方和不等式，函數的最小值為 ．
【答案】8
【分析】先將給定函數式表示成已知不等式左邊的形式，再利用該不等式求解即可.
【詳解】因為，，，，則，當且僅當時，等號成立，
又，即，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為8.
故答案為：8.
4．已知，且滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由權方不等式，結合已知等式進行求解即可.
【詳解】由權方和不等式，可知，
，當且僅當時取等號，
即當時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
5．已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為 .
【答案】
【詳解】解法一：設，
可解得，
從而
，
當且僅當時取等號.
故答案為：．
解法二：考慮直接使用柯西不等式的特殊形式，即權方和不等式：，
，
所以，當且僅當時取等號.
故答案為：．
6．（多選）已知，，，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式可直接得到A正確；由，，根據基本不等式知BC正誤；將化為，結合，根據二次函數最值可確定D正確.
【詳解】對于A，，，，（當且僅當時取等號），A正確；
對于B，（當且僅當，即時取等號），B錯誤；
對于C，（當且僅當時取等號），C正確；
對于D，，
，，則當，即，時，，
，D正確.
故選：ACD.
7．若實數，則的最小值為（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【詳解】根據柯西不等式：，即，
當且僅當，，時等號成立.
故選：B.
【點睛】本題考查了柯西不等式，意在考查學生對于柯西不等式的應用能力.
8．已知實數x，y滿足，且，的最小值為 .
【答案】/1.6
【分析】巧妙運用權方和不等式求解和式的最小值問題，關鍵是找到所求式的兩個分母與題設和式的內在聯系.
【詳解】要求最小值，先來證明權方和不等式，即：有當且僅當時取等號.
證明：利用柯西不等式：，當且僅當時取等號，
要證只須證，
因則=
當且僅當時，即時取等號.
不妨令,整理得，
則解得則 ，
當且僅當時等式成立，由解得：，即當時，的最小值為.
故答案為：
9．設,則的最大值為 ．
【答案】
【詳解】由兩邊同時加上
得兩邊同時開方即得：（且當且僅當時取“=”），
從而有（當且僅當,即時，“=”成立）
故填：.
考點：基本不等式.
【名師點睛】本題考查應用基本不等式求最值，先將基本不等式轉化為（a>0,b>0且當且僅當a=b時取“=”）再利用此不等式來求解.本題屬于中檔題，注意等號成立的條件.
10．已知，，，且，則的最大值為
A．3 B． C．18 D．9
【答案】B
【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值.
【詳解】由柯西不等式得：
，所以，當且僅當時，等號成立，故選B.
【點睛】本小題主要考查利用柯西不等式求最大值，屬于基礎題.
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