資源簡介

題型02 7類平面向量解題技巧
（“爪子定理”、系數和（等和線、等值線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、投影法求范圍與最值、向量矩形大法的應用、范圍與最值綜合問題）
技法01 爪子定理的應用及解題技巧
“爪子定理”來源于平面向量三點共線定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解平面向量中兩個基底的系數問題，需同學們重點學習掌握.
“爪子定理”的圖示及性質：
已知在線段上，且，則
（全國·高考真題）設為所在平面內一點，且，則（ ）
A. B.
C. D.
1．（2024·云南昆明·一模）在中，點滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·統考高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
1.（全國·高考真題）在中，，．若點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·遼寧·模擬預測）在中，點、在邊上，，設，，則（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四邊形ABCD中，點E滿足，，則（ ）
A． B． C． D．1
4．如圖，在中，是的中點，與交于點，則（ ）

A． B． C． D．
技法02 系數和（等和線、等值線）的應用及解題技巧
近年來，在高考和模擬考試中，涉及“系數和（等和線、等值線）定理”的題目頻繁出現。學生們在解答這類問題時，常常需要通過建立坐標系或利用角度與數量積的方法來處理。然而，由于解題思路不夠清晰和解題過程的復雜性，得分率往往不高。相比之下，向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算。這種數形結合的思想不僅得到了有效體現，而且為解決相關問題提供了新的思路，大家可以學以致用。
如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據點的位置分幾種情況來考慮系數和的值
①若時，則射線與無交點，由知，存在實數，使得
而，所以，于是
②若時，
（i）如圖1，當在右側時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當在左側時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數和只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3 B．2 C． D．2
1．邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內部的動點，設向量，則的取值范圍是（ ）
1．如圖，點C在半徑為1，圓心角的扇形的弧上運動．已知，則當時， ；的最大值為 ．
2．如圖，已知正方形，點E，F分別為線段，上的動點，且，設（x，），則的最大值為 .
3．如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
技法03 極化恒等式的應用及解題技巧
通過應用向量的極化恒等式，我們可以迅速將共起點或共終點的兩個向量的數量積問題轉化為更易處理的形式。這一方法彰顯了向量的幾何特性，并使得迅速解決（秒殺）向量數量積問題成為現實。極化恒等式的巧妙之處在于它構建了向量數量積與幾何長度（數量）之間的聯系，巧妙地將向量學、幾何學和代數學結合起來。對于那些不共起點或不共終點的向量問題，我們可以通過平移轉化法將其等價轉換為共起點或共終點的向量數量積問題，進而利用極化恒等式來求解。因此，深入學習和掌握這一方法是十分必要的。
極化恒等式
恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數量積之間的聯系
如圖在平行四邊形 中,
則
在上述圖形中設平行四邊形 對角線交于 點, 則對于三角形來說:
（2023·全國·統考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
1．（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
，則
1．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知點在圓上運動，點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·遼寧·模擬預測）在矩形中，，為中點，為平面內一點，.則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·安徽蕪湖·三模）已知與直線交于兩點，且被截得兩段圓弧的長度之比為，若為上一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
技法04 奔馳定理與三角形四心問題的應用及解題技巧
平面向量問題在高中數學領域備受關注，盡管在高考中所占的比重并不大，通常以選擇題或填空題的形式出現，難度也大多保持在中等水平。然而，偶爾也會作為壓軸題目出現。在平面向量領域，有許多重要的應用，例如系數和（等和線）、極化恒等式等。此外，我們還將繼續探討另一個關鍵結論——奔馳定理。該定理巧妙地將三角形的四心與向量結合在一起，為高中生提供了一個課外拓展知識的機會，有助于加深對三角形的理解，并增強對數學的認識。
所謂的“奔馳定理”，因其圖形與奔馳汽車的標志相似而得名，它揭示了平面向量與三角形面積之間的一個優雅關系。掌握這一定理不僅能夠提高解題效率，而且對于強化數學學習具有顯著效果。
奔馳定理
如圖，已知P為內一點，則有.
由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內心：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心，也就是內切圓的圓心，三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.
已知點在內部，有以下四個推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內心，則；備注：若為的內心，則也對.
④若為的垂心，則，或
寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內心
C．外心重心垂心 D．外心重心內心
1．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
1．已知是三角形內部的一點，，則的面積與的面積之比是（ ）
A． B．
C．2 D．1
2．點為所在平面內的點，且有，，，則點分別為的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，內心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
3．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則.若是銳角內的一點，，，是的三個內角，且點滿足.則（ ）
A．為的外心
B．
C．
D．
技法05 向量投影法求范圍與最值的應用及解題技巧
向量數量積的幾何意義是:一個向量在另一個向量上的投影和這個向量模的積。如果能巧妙的找到投影長度,數量積就能快速算出，且不用知道兩個向量的所成角,所以用投影法能有效解決一類問題
（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長為4的弦，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
1．如圖，已知正六邊形ABCDEF邊長為1，點P是其內部一點，（包括邊界），則的取值范圍為
2．（2024·重慶·模擬預測）如圖，圓O內接邊長為1的正方形是弧（包括端點）上一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1．的外接圓的半徑等于，，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·陜西渭南·一模）已知圓的方程為，直線過點且與圓交于兩點，當弦長最短時，（ ）
A． B． C．4 D．8
3．在梯形中，，為的中點，則（ ）
A． B． C． D．
技法06 向量矩形法求范圍與最值的應用及解題技巧
向量矩形法是數學中使用向量來解決范圍和最值問題的方法，特別適用于尋找向量的長度范圍和最值，常在小題中使用.
如圖，在矩形中，若對角線和交于點，為平面內任意一點，有以下
兩個重要的向量關系：①；②.
證明：①連接，根據極化恒等式，
可得；
②根據極化恒等式，可得.
在矩形中，，，為矩形所在平面上一點，滿足，，則__________.
1．已知點為矩形所在平面上一點，若，，，則 .
2．已知O為矩形內一點，滿足，，，則 ．
1．在四邊形中，，，則的最小值為 .
2．已知圓，圓,定點,動點，分別在圓和圓上，滿足,則線段的取值范圍 .
3．在平面直角坐標系中，已知兩圓和，又點A坐標為、是上的動點，為上的動點，則四邊形能構成矩形的個數為
A．0個 B．2個 C．4個 D．無數個
技法07 范圍與最值綜合問題的應用及解題技巧
在平面向量的探討中，范圍與最值問題構成了高考命題的熱點與難點，它們的復雜性凸顯了高考在知識融合點出題的策略。這類題目通常以選擇題或填空題的形式出現，解題時需要靈活運用多種方法，難度較大。基礎題型涉及根據已知信息推導出某個變量的范圍或最大最小值，例如涉及向量的模長、數量積、夾角大小以及系數范圍等。在備考過程中，重視基礎解題技巧的培養和對典型題型解法的掌握是至關重要的。本講內容的難度較高，要求學生進行綜合性的學習。
（浙江·高考真題）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
A．1 B．2 C． D．
1．（四川·高考真題）在平面內，定點A，B，C，D滿足==,===–2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知平面向量滿足，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量滿足，，則的最小值是 .
3．（2024·湖北黃岡·一模）已知向量，且，則與夾角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
1．如圖，在中，點在的延長線上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
2．平行四邊形中，點在邊上，，記，則（ ）
A． B．
C． D．
3．已知△ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．在扇形中，，為弧上的一動點，若，則的取值范圍是 ．
5．（多選）在平行四邊形中，，，點是的三邊上的任意一點，設，則下列結論正確的是（ ）
A．，
B．當點為中點時，
C．的最大值為
D．滿足的點有且只有一個
6．（2024·湖北·一模）如圖，在中，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
7．已知是半徑為2的圓上的三個動點，弦所對的圓心角為，則的最大值為（ ）
A．6 B．3 C． D．
8．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設O是銳角△ABC內的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個內角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若O為△ABC的內心，，則
D．若O為△ABC的垂心，，則
9．如圖，在中，，，，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D．設，，，則的最大值是 ；的最小值是 .

10．已知，，，，，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
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（“爪子定理”、系數和（等和線、等值線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、投影法求范圍與最值、向量矩形大法的應用、范圍與最值綜合問題）
技法01 爪子定理的應用及解題技巧
“爪子定理”來源于平面向量三點共線定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解平面向量中兩個基底的系數問題，需同學們重點學習掌握.
“爪子定理”的圖示及性質：
已知在線段上，且，則
（全國·高考真題）設為所在平面內一點，且，則（ ）
A. B.
C. D.
思路點撥：利用爪子定理直接求解即可
思路詳解：解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：，答案：A
1．（2024·云南昆明·一模）在中，點滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
思路詳解：如下圖所示：
利用爪子定理直接求解即可，可得.選：C
2．（2022·全國·統考高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
思路點撥：利用爪子定理先表示，再間接求解
思路詳解：．選：B
1.（全國·高考真題）在中，，．若點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：，故選A．
2．（2024·遼寧·模擬預測）在中，點、在邊上，，設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由平面向量的線性運算，即可得到結果.
【詳解】
由，可得，
則，
又，，所以.
故選：A
3．在平行四邊形ABCD中，點E滿足，，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算結合平面向量基本定理運算求解.
【詳解】因為，則，
整理得，可得，
所以.
故選：A.
4．如圖，在中，是的中點，與交于點，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量之間的共線關系，結合共線定理的推論，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得答案.
【詳解】在中，設，由，可得，故．
又是的中點，，所以，所以．
由點三點共線，可得，解得，
故．
故選：A．
技法02 系數和（等和線、等值線）的應用及解題技巧
近年來，在高考和模擬考試中，涉及“系數和（等和線、等值線）定理”的題目頻繁出現。學生們在解答這類問題時，常常需要通過建立坐標系或利用角度與數量積的方法來處理。然而，由于解題思路不夠清晰和解題過程的復雜性，得分率往往不高。相比之下，向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算。這種數形結合的思想不僅得到了有效體現，而且為解決相關問題提供了新的思路，大家可以學以致用。
如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據點的位置分幾種情況來考慮系數和的值
①若時，則射線與無交點，由知，存在實數，使得
而，所以，于是
②若時，
（i）如圖1，當在右側時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當在左側時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數和只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3 B．2 C． D．2
思路點撥：利用系數和求解即可
思路詳解：
分析：如圖 ，
由系數和可知，當等和線與圓相切時， 最大，此時
故選 .
1．邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內部的動點，設向量，則的取值范圍是（ ）
思路詳解：分析:如圖，設，由等和線結論，.此為的最小值；
同理，設，由等和線結論，.此為的最大值.
綜上可知.
1．如圖，點C在半徑為1，圓心角的扇形的弧上運動．已知，則當時， ；的最大值為 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐標系，求得相關點坐標，求出或表示出向量坐標，根據列出方程組，對于第一空，可求得的值，即得答案；對于第二空，設，可求得的表達式，結合三角函數輔助角公式即可求得答案.
【詳解】以O為坐標原點，以為x軸，過點O作的垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，
則,，
當時, ，則,
由于，故，
即，解得，故；
設,則，
于是由，得，
即，即，
故，
由于，故當時，取最大值2，
即的最大值為2，
故答案為：
【點睛】方法點睛：結合題意特點，建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算解決平面向量基本定理中的求解參數問題.
2．如圖，已知正方形，點E，F分別為線段，上的動點，且，設（x，），則的最大值為 .
【答案】
【分析】設邊長為1，，建立直角坐標系，求得的坐標，根據題設用表示出，再利用函數的性質，即可求解．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，并設邊長為1，，
則，可得，
由，
可得，解得其中，
所以，
令，則，
當且僅當時，即時取等號，
所以的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐標運算，以及利用基本不等式求最值的應用，其中解答中將平面向量問題坐標化，通過數形結合求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力．
3．如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐標系，將由點坐標轉化后數形結合求解
【詳解】以點為坐標原點， 方向為x,y軸正方向建立直角坐標系，則，
，設，則，解得，
故，即，
數形結合可得當時，取最小值2，
當直線與圓相切時，，取得最大值 .
故選：B
技法03 極化恒等式的應用及解題技巧
通過應用向量的極化恒等式，我們可以迅速將共起點或共終點的兩個向量的數量積問題轉化為更易處理的形式。這一方法彰顯了向量的幾何特性，并使得迅速解決（秒殺）向量數量積問題成為現實。極化恒等式的巧妙之處在于它構建了向量數量積與幾何長度（數量）之間的聯系，巧妙地將向量學、幾何學和代數學結合起來。對于那些不共起點或不共終點的向量問題，我們可以通過平移轉化法將其等價轉換為共起點或共終點的向量數量積問題，進而利用極化恒等式來求解。因此，深入學習和掌握這一方法是十分必要的。
極化恒等式
恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數量積之間的聯系
如圖在平行四邊形 中,
則
在上述圖形中設平行四邊形 對角線交于 點, 則對于三角形來說:
（2023·全國·統考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
思路點撥：利用極化恒等式求解即可
思路詳解：設CD中點為O點，由極化恒等式可得：，故選：B.
1．（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：記AB的中點為M，連接CM，則
由極化恒等式可得：
即
故選：D
1．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知點在圓上運動，點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，計算可得結論.
【詳解】由圓，可得圓心，半徑，
又，所以，
所以，
因為，所以.
故選：A.
2．（2024·遼寧·模擬預測）在矩形中，，為中點，為平面內一點，.則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建系，設，根據向量的坐標運算結合輔助角公式可得，再結合正弦函數的有界性分析求解.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，

則，
因為，可設，
則，
可得，
其中，
因為，所以.
故選：A.
3．（2024·安徽蕪湖·三模）已知與直線交于兩點，且被截得兩段圓弧的長度之比為，若為上一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，得到，所以，設為邊的中點，根據向量的運算法則，求得，結合圓的性質，即可求解.
【詳解】由，可得圓心，半徑，
因為直線交圓于兩點，且圓被截得兩段弧的長度比為，
所以，可得，
設為邊的中點，可得，
則
，
當且僅當與方向相同時，等號成立，
因為，所以.
所以的最大值為.
故選：B.
技法04 奔馳定理與三角形四心問題的應用及解題技巧
平面向量問題在高中數學領域備受關注，盡管在高考中所占的比重并不大，通常以選擇題或填空題的形式出現，難度也大多保持在中等水平。然而，偶爾也會作為壓軸題目出現。在平面向量領域，有許多重要的應用，例如系數和（等和線）、極化恒等式等。此外，我們還將繼續探討另一個關鍵結論——奔馳定理。該定理巧妙地將三角形的四心與向量結合在一起，為高中生提供了一個課外拓展知識的機會，有助于加深對三角形的理解，并增強對數學的認識。
所謂的“奔馳定理”，因其圖形與奔馳汽車的標志相似而得名，它揭示了平面向量與三角形面積之間的一個優雅關系。掌握這一定理不僅能夠提高解題效率，而且對于強化數學學習具有顯著效果。
奔馳定理
如圖，已知P為內一點，則有.
由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內心：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心，也就是內切圓的圓心，三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.
已知點在內部，有以下四個推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內心，則；備注：若為的內心，則也對.
④若為的垂心，則，或
寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內心
C．外心重心垂心 D．外心重心內心
思路詳解：因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.

1．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
思路詳解：【詳解】，
令，
則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，
即在的平分線上，
，共線，
故點P的軌跡一定通過△ABC的內心，
故選：B
2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
思路詳解：
【詳解】A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得三點共線，三點共線，
所以M為的重心，A正確；
B選項，若M為的內心，可設內切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
C選項，若M為的垂心，，
則，
如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設，，，則，，，
因為，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，則，
故，
，則，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正確；
D選項，若，，M為的外心，
則，
設的外接圓半徑為，故，
，
故，，，
所以，D錯誤.
故選：ABC
【點睛】結論點睛：點為所在平面內的點，且，則點為的重心，
點為所在平面內的點，且，則點為的垂心，
點為所在平面內的點，且，則點為的外心，
點為所在平面內的點，且，則點為的內心，
1．已知是三角形內部的一點，，則的面積與的面積之比是（ ）
A． B．
C．2 D．1
【答案】B
【分析】取、分別是、中點，根據向量的加法運算以及向量共線可得，再由三角形的相似比即可求解.
【詳解】如下圖所示，、分別是、中點，
由
得即，所以，
由，，
設，，
則，，
由三角形相似比可得，解得，
因為，所以，即，
所以，
所以，即的面積與的面積之比是
故選：B.
2．點為所在平面內的點，且有，，，則點分別為的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，內心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】A
【分析】由題中向量的關系，根據數量積轉化為位置上的關系，進而可判斷.
【詳解】由，得，
即，
則，
得
所以，則，同理可得，，
即是三邊上高的交點，則為的垂心；
由，得，
設的中點為，則，即，，三點共線，
所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，
即是三邊中線的交點，故為的重心；
由，得，即，
又是的中點，所以在的垂直平分線上，
同理可得，在，的垂直平分線上，
即是三邊垂直平分線的交點，故是的外心，
故選：A
3．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則.若是銳角內的一點，，，是的三個內角，且點滿足.則（ ）
A．為的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由根據數量積的運算律可得,可得為的垂心；結合與三角形內角和等于可證明B選項；結合B選項結論證明即可證明C選項，利用奔馳定理證明可證明D選項．
【詳解】解：因為，
同理，，故為的垂心，故A錯誤；
，所以，
又，所以，
又，所以，故B正確；
故，同理，
延長交與點，則
，
同理可得，所以，故C正確；
，
同理可得，所以，
又，所以，故D正確．
故選：BCD．
技法05 向量投影法求范圍與最值的應用及解題技巧
向量數量積的幾何意義是:一個向量在另一個向量上的投影和這個向量模的積。如果能巧妙的找到投影長度,數量積就能快速算出，且不用知道兩個向量的所成角,所以用投影法能有效解決一類問題
（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長為4的弦，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
思路點撥：利用向量投影法求解即可
思路詳解：取中點，
1．如圖，已知正六邊形ABCDEF邊長為1，點P是其內部一點，（包括邊界），則的取值范圍為
思路詳解：由向量投影法可知，當P點在A點和C點時，分別取得最小值和最大值，
由正六邊形的性質得： ，則，，
所以的取值范圍為
2．（2024·重慶·模擬預測）如圖，圓O內接邊長為1的正方形是弧（包括端點）上一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：由向量投影法可知，當P點在B點或C點時，取得最小值1，當P點在弧中點時，取得最大值，由幾何關系知，最大值為
1．的外接圓的半徑等于，，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以為原點建立平面直角坐標系，設出點坐標，利用向量數量積的坐標運算求得，結合三角函數的取值范圍求得的取值范圍.
【詳解】依題意，的外接圓的半徑等于，，
以為原點，為軸建立如圖所示平面直角坐標系，，
圓心到，也即軸的距離為，
故圓心，半徑，所以圓的標準方程為.
設，與不重合.
所以，由于，所以.
故選：C
2．（2024·陜西渭南·一模）已知圓的方程為，直線過點且與圓交于兩點，當弦長最短時，（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】根據題意，由條件可知，當最短時，直線，然后再結合向量的數量積，從而得到結果.
【詳解】
當最短時，直線，
，
.
故選：B.
3．在梯形中，，為的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由平面向量的線性運算可得，再結合數量積的運算，即可得到結果.
【詳解】

由題意可得，，，則，
則
，
所以.
故選：A
技法06 向量矩形法求范圍與最值的應用及解題技巧
向量矩形法是數學中使用向量來解決范圍和最值問題的方法，特別適用于尋找向量的長度范圍和最值，常在小題中使用.
如圖，在矩形中，若對角線和交于點，為平面內任意一點，有以下
兩個重要的向量關系：①；②.
證明：①連接，根據極化恒等式，
可得；
②根據極化恒等式，可得.
在矩形中，，，為矩形所在平面上一點，滿足，，則__________.
思路點撥：利用向量矩形大法求解即可
思路詳解：連接，取的中點，連接和，
因為，
所以.
1．已知點為矩形所在平面上一點，若，，，則 .
思路詳解：利用向量矩形大法求解即可，答案為：
2．已知O為矩形內一點，滿足，，，則 ．
思路詳解：
1．在四邊形中，，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】構造正方形和圓弧，根據矩形大法可知，，數形結合得到最小值.
【詳解】如圖所示，構造正方形，邊長為，
以為圓心，為半徑在正方形內部作作圓，
顯然在圓弧上，根據矩形大法可知，，
故當，，三點共線時，取得最小值，
由于，，
故最小值為.
故答案為：
2．已知圓，圓,定點,動點，分別在圓和圓上，滿足,則線段的取值范圍 .
【答案】
【解析】因為，可得，根據向量和可得，即，由，分別在圓和圓上點設，，求得，由，可得，即可得到，設中點為，求得的取值范圍，即可求得答案.
【詳解】
，
，
，分別在圓和圓上點
設，，
則，
由，
可，
即，
整理可得：，
，
設中點為，則，
，
即，
點的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，
的取值范圍是，
的范圍為，
故：的范圍為
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了求同心圓上兩點間距離的范圍問題，解題關鍵是掌握向量加法原理和將兩點間距離問題轉化為中點軌跡問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.
3．在平面直角坐標系中，已知兩圓和，又點A坐標為、是上的動點，為上的動點，則四邊形能構成矩形的個數為
A．0個 B．2個 C．4個 D．無數個
【答案】D
【分析】根據題意畫出圖形，通過計算得出公共弦也是以為直徑的圓的直徑，結合圖形得出滿足條件的四邊形能構成矩形的個數為無數個．
【詳解】解：如圖所示，任取圓上一點Q，以為直徑畫圓，交圓與兩點，
設，則中點坐標，
有，
以為直徑的圓的方程為，
即，
用的方程減去以為直徑的圓的方程，可得公共弦所在的直線方程，
即，
將中點坐標代入上式得：
左邊=
右邊，
所以公共弦也是以為直徑的圓的直徑，
則，
根據對角線互相平分且相等的四邊形是矩形即可得出四邊形是矩形，
由的任意性知，四邊形能構成無數個矩形，
故選D．
【點睛】本題考查兩圓的位置關系應用問題，是難題
技法07 范圍與最值綜合問題的應用及解題技巧
在平面向量的探討中，范圍與最值問題構成了高考命題的熱點與難點，它們的復雜性凸顯了高考在知識融合點出題的策略。這類題目通常以選擇題或填空題的形式出現，解題時需要靈活運用多種方法，難度較大。基礎題型涉及根據已知信息推導出某個變量的范圍或最大最小值，例如涉及向量的模長、數量積、夾角大小以及系數范圍等。在備考過程中，重視基礎解題技巧的培養和對典型題型解法的掌握是至關重要的。本講內容的難度較高，要求學生進行綜合性的學習。
（浙江·高考真題）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
A．1 B．2 C． D．
思路詳解：由于垂直，不妨設，，，則，
，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．
1．（四川·高考真題）在平面內，定點A，B，C，D滿足==,===–2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是
A． B． C． D．
思路詳解：由已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則設由已知，得，又
，它表示圓上的點與點的距離的平方的，，故選B.
2．已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：【詳解】，
即，；
，
即，；
設向量與所成夾角為，
（當且僅當時取等號）；
又，.
故選：A.
1．已知平面向量滿足，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，求出，建立平面直角坐標系，設，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出的最大值.
【詳解】由可知,，故，
如圖建立坐標系，，，
設，由可得：
，
所以的終點在以為圓心,1為半徑的圓上，
所以，幾何意義為到距離的2倍，
由兒何意義可知，
故選：D.
2．已知平面向量滿足，，則的最小值是 .
【答案】
【分析】根據余弦定理求解長度，進而可判斷點的軌跡為以為直徑的圓，進而根據三點共線求解最值.
【詳解】
令，，，中點為，中點為，為中點，
由，得，
即，即，
所以，即有，
即、,
故，
由，
即，
即有，故點的軌跡為以為直徑的圓，
由，
，
故，
則，
故當、、三點共線，且點在點、之間時，最小，
此時，
故.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于利用平面向量的幾何意義得到各向量所表示的有向線段的關系，從而將問題化為點到圓上的點的距離的最小值問題，由此得解.
3．（2024·湖北黃岡·一模）已知向量，且，則與夾角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到的夾角為，設，，故，設，由得到，設，設夾角為，表達出，換元后得到，由對勾函數性質得到其值域，從而確定，得到夾角最大值.
【詳解】因為，所以，解得，故，
設，，則，
設，則，
則，即，
設，
設夾角為，則，
令，則，
則，令，則，
則，
其中在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得最小值，最小值為，
當或3時，取得最大值，最大值為1，
故，
由于在上單調遞減，故，
與夾角的最大值為.
故選：A
【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行求解；
②數化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數，不等式，方程的有關知識進行求解.
1．如圖，在中，點在的延長線上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用向量的線性運算把向量分解成形式即可得答案.
【詳解】∵，
∴，
故選：B．
2．平行四邊形中，點在邊上，，記，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定的幾何圖形，結合向量的線性運算求解作答.
【詳解】在中，，，
所以.
故選：D
3．已知△ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析取最小值的狀態，結合數量積的意義和二次函數可求答案.
【詳解】由題意，為鈍角時，取到最小值；如圖，為的中點，在上的投影向量為；
由可知當在上的投影長最長時，即 與圓 相切時，可取到最小值；
，
當時，，所以的最小值為.
故選：B.
4．在扇形中，，為弧上的一動點，若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】以O為原點，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標系.向量坐標化進行坐標運算，利用三角函數求出的取值范圍.
【詳解】以O為原點，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標系.

則.不妨設.
因為，所以，解得：，
所以.
因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞減.
所以當時最大；當時最小.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
5．（多選）在平行四邊形中，，，點是的三邊上的任意一點，設，則下列結論正確的是（ ）
A．，
B．當點為中點時，
C．的最大值為
D．滿足的點有且只有一個
【答案】ABC
【分析】建立坐標系，將四邊形的四個點的坐標求出來，利用坐標逐一判斷即可.
【詳解】解：如圖，建立直角坐標系，其中
設點，則，
由，
，故A正確，
對于，當點為中點時，，，B正確；
對于，(此時，即P與C重合時取最大值1)，C正確
對于，由令，
滿足條件的點不只有一個，如和，D錯誤．
故選：ABC.
6．（2024·湖北·一模）如圖，在中，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用余弦定理求出，再將向量用基底表示，借助向量運算性質計算即可.
【詳解】由，解得.
設，
則.
故選：C
7．已知是半徑為2的圓上的三個動點，弦所對的圓心角為，則的最大值為（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】將中向量進行分解，即：，
由是的中點，可將上式進行化簡整理為，所以只需求最大，即的長加圓的半徑即可，然后代入即可求得的最大值.
【詳解】因為弦所對的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，
取的中點，所以，，如圖所示：
因為,
因為是的中點，所以，
，
所以若最大，所以只需最大，
所以，
所以.
故選：A
8．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設O是銳角△ABC內的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個內角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若O為△ABC的內心，，則
D．若O為△ABC的垂心，，則
【答案】ACD
【分析】對A，由奔馳定理即可判斷；
對B，由面積公式求出，結合奔馳定理即可求；
對C，由奔馳定理，結合內心性質可得，即可得；
對D，由垂心性質及向量數量積的垂直表示可得，
結合奔馳定理結合三角形面積公式，可得，
如圖所示分別為垂足，可設，，即可由幾何關系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求
【詳解】對A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對；
對B，，由得，故，B錯；
對C，若O為△ABC的內心，，則，又（為內切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對；
對D，若O為△ABC的垂心，則，，
又，
同理，∴，
∵，則，
且
如圖，分別為垂足，
設，，則，
又，故，
由，解得，
由，故，D對故選：ACD
9．如圖，在中，，，，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D．設，，，則的最大值是 ；的最小值是 .

【答案】 90
【分析】由，可得當點在線段的延長線上時，共線同向，取得最大值；在線段上取一點，使得，證明，則，可得，當，，三點共線時取“”．
【詳解】解：設為中點，

因為
，當點D在線段AC的延長線上取“=”；
所以的最大值是90
在線段AC上取一點M，使得，又，，，而，
，則．
又因為
，當D，M，B三點共線時取“=”.
所以的最小值是

故答案為：90，
【點睛】本題考查平面向量數量積的運算與應用，考查數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，考查運算求解能力，屬于難題．
10．已知，，，，，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關系將問題轉換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.
【詳解】如圖所示：
不妨設，
滿足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，
，
所以該橢圓方程為，
而，即，即，
這表明了點在圓上面運動，其中點為圓心，為半徑，
又，等號成立當且僅當三點共線，
故只需求的最大值即可，
因為點在橢圓上面運動，所以不妨設，
所以，
所以當且三點共線時，
有最大值.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵是將向量問題轉換為圓錐曲線中的最值問題來做，通過數學結合的方法巧妙的將幾何問題融入代數方法，從而順利得解.
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