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題型04 4類比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧
（兩類經(jīng)典的超越不等式、泰勒不等式、
不等式放縮合集、帕德近似）
技法01 兩類經(jīng)典的超越不等式的應(yīng)用及解題技巧
關(guān)于函數(shù)值大小比較的試題在高考中以小題形式考查，本題型可以用方法技巧作答，用兩類超越不等式是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.
，，，
已知 , 則 的大小關(guān)系為 ( )
A. B. C. D.
1．（2024·青海西寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
1．（2024··安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽蕪湖·三模）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
技法02 泰勒不等式的應(yīng)用及解題技巧
本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展開(kāi)是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.
常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·湖南益陽(yáng)·三模）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
技法03 不等式放縮的應(yīng)用及解題技巧
本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用不等式來(lái)放縮是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.
，，
，，
，
，
放縮程度綜合
，
（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則大小關(guān)系（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州遵義·三模）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東威?！ざ＃┰O(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
技法04 帕德近似的應(yīng)用及解題技巧
站在競(jìng)賽的角度，用帕德近似能快速求解
帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕德發(fā)明的用多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．
給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：
，
且滿足：，，，…，．
注：，，，
已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則它們的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·湖北武漢·二模）設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·四川·三模）已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖北武漢·二模）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·安徽·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A． B．
C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)題型04 4類比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧
（兩類經(jīng)典的超越不等式、泰勒不等式、
不等式放縮合集、帕德近似）
技法01 兩類經(jīng)典的超越不等式的應(yīng)用及解題技巧
關(guān)于函數(shù)值大小比較的試題在高考中以小題形式考查，本題型可以用方法技巧作答，用兩類超越不等式是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.
，，，
已知 , 則 的大小關(guān)系為 ( )
A. B. C. D.
思路點(diǎn)撥：利用結(jié)論求解即可
思路詳解：，，【答案】
1．（2024·青海西寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：，，，故選：A.
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：
【詳解】令，則，所以單調(diào)遞增，
又，所以，即，
所以，所以，即，所以，
設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，
，即，故，，即，所以，
所以，
故選：A.
1．（2024··安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最小值，得到，得出；再構(gòu)造函數(shù)，求得在上遞增，結(jié)合，得到，即可求解.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，
令時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以函數(shù)在處取最小值，所以，（且），
可得，所以；
再構(gòu)造函數(shù)，可得，
因?yàn)?，可得，，所以，在上遞增，
所以，可得，即，所以，
綜上可得：.
故選：A.
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷可得，再令，求導(dǎo)判斷出單調(diào)性可得，即可求得結(jié)果.
【詳解】由可構(gòu)造函數(shù)，
則，令，解得，
因此可得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
可知在處取得極小值，也是最小值，所以，
即，故，即
當(dāng)時(shí)，有，所以，可得；
令，
則，
故在上單調(diào)遞增，
可得，即，
取，則，所以，可得；
綜上可得，.
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較指數(shù)以及對(duì)數(shù)大小問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常通過(guò)觀察式子的特征合理構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性即比較得出結(jié)論.
3．（2024·安徽蕪湖·三模）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，則，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即可比較，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即可比較，即可得解.
【詳解】令，則，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，
而，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
即，所以，
,
令，
則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
即，所以，
綜上所述，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造和兩個(gè)函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵.
技法02 泰勒不等式的應(yīng)用及解題技巧
本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展開(kāi)是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.
常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
思路點(diǎn)撥：利用泰勒展開(kāi)式求解即可
思路詳解：泰勒公式法：
因?yàn)?，所以，所?br/>因?yàn)?br/>所以
綜上所述：
故選：C
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：泰勒展開(kāi)
設(shè)，則，，
，計(jì)算得，故選A.
2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：由泰勒公式, 可知
將 , 分別相應(yīng)代入估算, 得.
由此可知 .
1．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用切線放縮公式：比較，再由三角函數(shù)的單調(diào)性，比較.
【詳解】由，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，知，∵，∴，.
故選：B.
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性得出，再根據(jù)，取對(duì)數(shù)判斷得出，最后比較可得選項(xiàng)；
【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以；
因?yàn)?，所以，即?br/>又，所以．
故選：C．
3．（2024·湖南益陽(yáng)·三模）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先通過(guò)構(gòu)造函數(shù)得到當(dāng)時(shí)，，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)一步得到，，可比較大小.
【詳解】根據(jù)題意，，
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
從而，即，，
所以，，
從而當(dāng)時(shí)，.
故選：D
技法03 不等式放縮的應(yīng)用及解題技巧
本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用不等式來(lái)放縮是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.
，，
，，
，
，
放縮程度綜合
，
（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
思路點(diǎn)撥：利用不等式放縮求解即可
思路詳解：因?yàn)椋?br/>所以，即
因?yàn)椋?br/>所以，即
綜上所述：，故選：C
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：【法一】：不等式放縮一
因?yàn)楫?dāng)，
取得：，故
，其中，且
當(dāng)時(shí)，，及
此時(shí)，
故，故
所以，所以，故選A
【法二】不等式放縮二
因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．
故選：A．
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則大小關(guān)系（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通過(guò)證明確定的大小關(guān)系；通過(guò)證明確定的大小關(guān)系.
【詳解】令，
，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，，
，所以.
令，
，令，，
，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，，，
所以存在唯一，使得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為中一個(gè)，而，
，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即，，
所以，即.
所以.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)首先把要比較的值變形為含有一個(gè)共同的數(shù)值，將這個(gè)數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，將視為，將視為函數(shù)與的函數(shù)值，從而只需比較與這兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系即可.
2．（2024·貴州遵義·三模）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出其單調(diào)性，即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，即可比較，即可得解.
【詳解】，，
令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，即，
綜上所述，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，，是解決本題的關(guān)鍵.
3．（2024·山東威?！ざ＃┰O(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，求導(dǎo)可證明，進(jìn)而可得，可判斷，令，求導(dǎo)可證，令，可判得.
【詳解】令，可得，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，所以，
令，求導(dǎo)可得，
當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，
即，所以，
令，可得，即，
所以.
故選：B.
技法04 帕德近似的應(yīng)用及解題技巧
站在競(jìng)賽的角度，用帕德近似能快速求解
帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕德發(fā)明的用多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．
給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：
，
且滿足：，，，…，．
注：，，，
已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
思路點(diǎn)撥：利用帕德近似求解即可
思路詳解：利用帕德逼近，得，
，，綜上，.故選：B
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
思路詳解：【詳解】，
，
.
綜上，．故選：A
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】應(yīng)用帕德逼近估算各值的近似值，比較大小關(guān)系.
【詳解】，，
，
綜上，．
故選：B
2．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】應(yīng)用帕德逼近公式估算各值，比較大小關(guān)系即可.
【詳解】利用帕德逼近可得，
綜上，．
故選：B.
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)值可比較大小.
【詳解】設(shè)，，
時(shí)，，為減函數(shù)，
時(shí)，，為增函數(shù)，所以，
，即.
設(shè)，，
時(shí)，，為增函數(shù)，
時(shí)，，為減函數(shù)，
所以，，即，所以.
設(shè)，，
為增函數(shù)，所以，所以，即.
故選：D
2．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作商法可得；構(gòu)建函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，可得，構(gòu)建，，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，可得.
【詳解】顯然，，
因?yàn)?，所以?br/>又因?yàn)?，?br/>令，．則，
可知在上單調(diào)遞增，
則，可得，
令，，則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，所以；
綜上所述：．
故選：A．
3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性，進(jìn)而比較大小即可.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，可得，
當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞減，
又，，
由，故，即.
故選：D.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則它們的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而得到，即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于，故，即，
設(shè)，可得，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可得，
即，即，
兩邊取為底的指數(shù)，可得，即，所以.
故選：A.
5．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷大小關(guān)系即可得，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，
則，即，
又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，
則，，可得；
令，則，，
構(gòu)建，
則，
可知在上遞減，則，即；
綜上所述：.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得.
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，和，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】令，，則，
令，則即單調(diào)遞增，所以，故為增函數(shù)，所以，可得，故.
令，則，故為增函數(shù)，所以0，即.所以，故，所以b
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
7．（2024·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征可通過(guò)和比較c和b的大小，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性可求解判斷a和c，進(jìn)而得解.
【詳解】設(shè)函數(shù)，又，
所以當(dāng)時(shí)，0，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，0恒成立，即，
所以當(dāng)時(shí)， ，即，
所以，
所以．即；
設(shè)，
而，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，
即，所以，
即，即．
綜上，，
故選：B．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：比較具有共性的復(fù)雜的數(shù)的大小，通常根據(jù)數(shù)據(jù)共性聯(lián)系構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)單調(diào)性得函數(shù)的正負(fù)情況，從而比較得出數(shù)的大小關(guān)系.
8．（2024·湖北武漢·二模）設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)、和，其中，利用導(dǎo)數(shù)得到它們的單調(diào)性即可比較出三者大小關(guān)系.
【詳解】由已知可得，
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
綜上，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
所以
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先對(duì)進(jìn)行合理變形得，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、和，利用它們的單調(diào)性即可比較三者大小關(guān)系.
9．（2024·四川·三模）已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到的范圍，最后得到大小關(guān)系即可.
【詳解】設(shè)
則在上單調(diào)遞增, 則有即
故，顯然，
而，則在上單調(diào)遞減，
即，故
令，顯然，故，而，
令，可得，故在上單調(diào)遞增，
若，則，綜上一定成立，故A正確.
故選：A
10．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明，代入可比較的大小，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷的大小，從而可求解.
【詳解】設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，即，
所以，即，
所以，即.
由，可得，即，即，
所以，即.
綜上所述，.
故選:B.
11．（2024·湖北武漢·二模）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題利用作差法構(gòu)造出兩個(gè)式子相減類型的函數(shù)，然后求導(dǎo)求得其在上的單調(diào)性，從而求得該函數(shù)是大于0還是小于0，從而可判斷a、b的大小關(guān)系；用同樣的方法進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)來(lái)比較a、c的大小關(guān)系，最終確定a、b、c的大小關(guān)系.
【詳解】令，易求，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
所以 ，所以，即，所以.
令，
則，
令，則，
因?yàn)?，則，
可得，則，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
即在內(nèi)恒成立，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
可得，即，所以，
綜上所述：
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，然后再代入比較相關(guān)大小關(guān)系.
12．（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先將化成統(tǒng)一形式，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性進(jìn)而比較大小即可.
【詳解】由題意得，，；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以，即，所以.
故選：A.
13．（2024·安徽·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得、之間大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得、之間大小關(guān)系，即可得解.
【詳解】由，
即，
令，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
則有，即，
令，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
則有，即，
故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造出函數(shù)、，以比較、與、之間大小關(guān)系.
14．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并比較大小即得.
【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
而，又，因此，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
15．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)以及，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可比較以及.
【詳解】由題得，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即，所以.
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.
綜上，.
故選:B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
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