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解答題01 7類解三角形答題模板
（正余弦求邊角、周長邊長三角函數值面積最值、內切圓外接圓、
中線角平分線高線、證明綜合）
模板01 運用正余弦定理的求三角形中的邊與角的答題模板
運用正余弦定理求三角形中的邊與角是高考中的常考題型，在解答題中一方面考查學生的解題能力，另一方面考查學生的規范作答能力，所以解答題需具備更高的考試素養.
利用正弦定理、余弦定理、面積公式、完全平方等公式進行計算即可，公式如下，作答模板詳見解析
正弦定理
（其中為外接圓的半徑）
余弦定理
邊的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面積公式
，
（2024·新高考Ⅰ卷·高考真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
1．（2023·新高考Ⅱ卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
2．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
1．（2024·全國·模擬預測）已知的內角，，的對邊分別為，，，．
(1)若，求角；
(2)若的面積為，求．
2．（2022·新高考Ⅰ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
3．（2021·新高考Ⅰ卷·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
模板02 求周長的值或范圍、求“邊長類”范圍的答題模板
在解三角形中，求解邊長及周長最值是常見的基本題型，其中邊長類最值包括“和”、“差”、“積”、“商”類最值，需進行邊角互化巧妙轉化變量，進而結合三角函數的值域或基本不等式來求解.
基本不等式
，當且僅當時取等號，其中叫做正數，的算術平均數，
叫做正數，的幾何平均數，通常表達為：（積定和最小），應用條件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推論 重要不等式
（和定積最大） 當且僅當時取等號 當且僅當時取等號
輔助角公式及三角函數值域
形如，，其中，
對于，類函數，叫做振幅，決定函數的值域，值域為，有時也會結合其他函數的性質和單調性來求解最值及范圍
（2024·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
1．（2024·四川內江·一模）在中，，，分別為內角所對的邊，且滿足．
(1)求；
(2)若，求周長的最大值．
2．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
1．（2022·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
2．（2024·廣東韶關·一模）已知分別為三個內角的對邊，且.
(1)求；
(2)若，求周長的最大值.
3．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．
(1)求角的大小；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．
4．（2024·湖南郴州·模擬預測）若銳角中，、、所對的邊分別為、、，且的面積為
(1)求；
(2)求的取值范圍.
5．（24-25高三上·浙江·開學考試）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
模板03 求“三角函數值類”范圍的答題模板
在解三角形中求“三角函數值類”的范圍，通常是轉化為邊或角，用三角函數值域或基本不等式求范圍.
公式同上，需清晰轉化方向，到底轉化為邊方便，還是轉化為角簡單.
（2024·廣東廣州·模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知且.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
1．在中，內角所對的邊分別為，滿足
(1)求證：；
(2)若為銳角三角形，求的最大值．
2．（2024·云南·二模）中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，B是與的等差中項.
(1)若，判斷的形狀;
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍
1．（2024·山西長治·模擬預測）在銳角中，a，b，c分別為內角A、B，C的對邊，且.
(1)求A的大小；
(2)求的取值范圍.
2．（2024·山東菏澤·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.已知
(1)若，判斷的形狀；
(2)若，求的最大值.
3．（2024·湖北黃岡·一模）在中，角所對的邊分別為.
(1)證明：；
(2)若成等比數列.
（i）設，求q的取值范圍；
（ii）求的取值范圍.
模板04 求面積的值或范圍的答題模板
在高考中經常考查求三角形的面積及三角形的最值，是高頻考題，通常需結合基本不等式來求解最值.
三角形的面積公式
，
（2023·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
1．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
2．（2022·新Ⅰ卷·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
3．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)若，，求b；
(2)若，求的面積S的最大值.
1．（2024·廣東·模擬預測）在中，內角的對邊分別為.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面積.
2．（2024·浙江·一模）在中，角對應的三邊分別是，，，且.
(1)求角的值；
(2)若，，求的面積.
3．（2024·江蘇·模擬預測）在中，點在邊上，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求的面積的最小值.
模板05 求內切圓及外接圓的答題模板
解三角形中求內切圓和外接圓的半徑及其應用在近年模擬題中也經常遇見，需對本類型題熟練運用.
（其中為外接圓的半徑）
（2024·安徽·模擬預測）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求C；
(2)若且，求的外接圓半徑．
1．在中，內角所對的邊分別為，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求外接圓半徑的最小值.
2．（2024·廣東·模擬預測）記中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)記的外接圓半徑為，內切圓半徑為r，若，求的取值范圍．
1．（2024·吉林·二模）已知 的三個內角的對邊分別為的外接圓半徑為 ，且 .
(1)求;
(2)求的內切圓半徑 的取值范圍
2．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；
(2)求內切圓半徑r的取值范圍．
3．如圖，平面四邊形中，，，．的內角的對邊分別為，且滿足．
(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；
(2)求內切圓半徑的取值范圍．
模板06 求中線、角平分線、高線的答題模板
解三角形中中線、高線、角平分線及其應用在近年模擬題中也經常遇見，需對本類型題熟練運用.
角平分線定理
（1）在中，為的角平分線，則有
（2）
（3）（庫斯頓定理）
（4）
張角定理
中線長定理
為的中線,則中線定理:
證明:
在和中,用余弦定理有:
（2023·全國·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
1．（2024·浙江臺州·一模）已知的內角所對的邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若的面積為，為的中點，求長度的最小值．
2．（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若BD是角B的平分線，，求線段BD的長．
1．（2024·江西新余·模擬預測）在中，，為的角平分線，在線段上.
(1)求證：；
(2)求的長.
2．（2024·河北·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的最大值.
3．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角A的大小；
(2)若D是邊BC上一點，且AD是角A的角平分線，求的最小值．
模板07 三角形中問題證明的答題模板
解三角形中的證明問題一直是熱點命題方向，在近年高考、模擬題中也經常遇見，需對本類型題熟練運用.
結合三角函數、三角恒等變換、正余弦定理等變形即可得到問題證明
（2022·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
1．（2021·全國·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
2．（2024·內蒙古·三模）在中，內角的對邊分別為，且.
(1)求的值；
(2)若，證明：為直角三角形.
1．（2024·福建泉州·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知且均為整數．
(1)證明：；
(2)設的中點為，求的余弦值．
2．（2024·廣東汕頭·二模）中，內角、、的對邊分別為、、.
(1)若，，求的值；
(2)求證：.
1．（2024·廣東河源·模擬預測）已知的內角，，所對的邊分別是，，，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面積．
2．在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求AB邊上的高．
3．（2024·吉林長春·一模）在中，內角A，B，C的對邊分別是的面積記為，已知.
(1)求；
(2)若BC邊上的中線長為1，AD為角的平分線，求CD的長.
4．（2024·福建福州·模擬預測）已知的內角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為中點，求的長.
5．（2024·四川·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求邊上的高．
6．（2024·山東臨沂·二模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若點D在線段AB上，且，求的最大值.
7．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內，四邊形滿足，點在的兩側，，，為正三角形，設.

(1)當時，求；
(2)當變化時，求四邊形面積的最大值.
8．（2024·廣西·模擬預測）的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，的角平分線交于點，求線段長度的最大值．
9．（2024·廣東江門·模擬預測）已知的內角，，的對邊分別為，，且滿足．
(1)證明：；
(2)若為鈍角，求的取值范圍．
10．（2024·陜西商洛·模擬預測）在銳角中.內角，，所對的邊分別是，，，已知.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
11．（2024·江西·模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b是a，c的等比中項．
(1)求B的最大值：
(2)若C為鈍角，求的取值范圍．
12．在中，內角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)若，，求的面積；
(2)求的最小值，并求出此時的大小．
13．（2024·湖南長沙·三模）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知，
(1)求角A.
(2)若，所在平面內有一點D滿足，且BC平分，求面積的取值范圍.
14．（2024·福建泉州·模擬預測）已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，，.
(1)寫出命題p：“已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，，.若，則是直角三角形”的逆命題q，并判斷逆命題q的真假；
(2)若外的點D滿足，，求面積的最大值.
15．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)若，，求邊上的角平分線長；
(2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)解答題01 7類解三角形答題模板
（正余弦求邊角、周長邊長三角函數值面積最值、內切圓外接圓、
中線角平分線高線、證明綜合）
模板01 運用正余弦定理的求三角形中的邊與角的答題模板
運用正余弦定理求三角形中的邊與角是高考中的常考題型，在解答題中一方面考查學生的解題能力，另一方面考查學生的規范作答能力，所以解答題需具備更高的考試素養.
利用正弦定理、余弦定理、面積公式、完全平方等公式進行計算即可，公式如下，作答模板詳見解析
正弦定理
（其中為外接圓的半徑）
余弦定理
邊的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面積公式
，
（2024·新高考Ⅰ卷·高考真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
思路點撥：
（1）由余弦定理、平方關系依次求出，最后結合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結合三角形面積公式即可列方程求解.
思路詳解：（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
因為，所以，
從而，
又因為，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
1．（2023·新高考Ⅱ卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
思路詳解：（1）方法1：在中，因為為中點，，，

則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，
所以.
方法2：在中，因為為中點，，，
則，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，則，
，過作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因為為中點，則，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
2．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
思路詳解：（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
1．（2024·全國·模擬預測）已知的內角，，的對邊分別為，，，．
(1)若，求角；
(2)若的面積為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知結合正弦定理可得，利用余弦定理結合已知可得，可求；
（2）利用三角形的面積公式可求，計算可求.
【詳解】（1）由及正弦定理得，故，
由余弦定理得，
又，所以．
因為，所以．
（2）因為的面積為，
所以，
又，所以，
又，所以，得．
2．（2022·新高考Ⅰ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
3．（2021·新高考Ⅰ卷·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.
（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因為，所以，即．
又因為，所以．
（2）[方法一]【最優解】：兩次應用余弦定理
因為，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因為，所以，解得或，
當時，（舍去）．
當時，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構造輔助線利用相似的性質
如圖，作，交于點E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因為，
所以，
整理得．
又因為，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因為，所以．
以向量為基底，有．
所以，
即，
又因為，所以．③
由余弦定理得，
所以④
聯立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．
設，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點評】(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
模板02 求周長的值或范圍、求“邊長類”范圍的答題模板
在解三角形中，求解邊長及周長最值是常見的基本題型，其中邊長類最值包括“和”、“差”、“積”、“商”類最值，需進行邊角互化巧妙轉化變量，進而結合三角函數的值域或基本不等式來求解.
基本不等式
，當且僅當時取等號，其中叫做正數，的算術平均數，
叫做正數，的幾何平均數，通常表達為：（積定和最小），應用條件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推論 重要不等式
（和定積最大） 當且僅當時取等號 當且僅當時取等號
輔助角公式及三角函數值域
形如，，其中，
對于，類函數，叫做振幅，決定函數的值域，值域為，有時也會結合其他函數的性質和單調性來求解最值及范圍
（2024·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
思路點撥：利用公式計算即可
思路詳解：（1）方法一：常規方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規方法（同角三角函數的基本關系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點求解
設，則，
顯然時，，注意到，
，在開區間上取到最大值，于是必定是極值點，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數量積公式（柯西不等式）
設，由題意，，
根據向量的數量積公式， ，
則，此時，即同向共線，
根據向量共線條件，，
又，故
方法五：利用萬能公式求解
設，根據萬能公式，，
整理可得，，
解得，根據二倍角公式，，
又，故
（2）由題設條件和正弦定理
，
又，則，進而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長為
1．（2024·四川內江·一模）在中，，，分別為內角所對的邊，且滿足．
(1)求；
(2)若，求周長的最大值．
思路詳解：（1）因為，
由正弦定理可得，
且，即，
又因為，則，
可得，即，所以.
（2）由余弦定理可得：，
即，可得，
又因為，可得，即，
當且僅當時，等號成立，
所以周長的最大值為.
2．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
思路詳解：1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
1．（2022·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因為，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因為，
由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
2．（2024·廣東韶關·一模）已知分別為三個內角的對邊，且.
(1)求；
(2)若，求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值為6
【分析】（1）根據正弦定理，結合兩角和的正弦公式，可得，再根據三角形的內角和公式和誘導公式，可得，進而得角.
（2）法一：利用余弦定理，結合基本不等式可求三角形周長的取值范圍.
法二：利用正弦定理，表示出，再利用三角函數的恒等變換，可得三角形的周長為，再根據角的取值范圍，可求周長的最大值.
法三：數形結合，把問題轉化成圓的弦長中，直徑最大，再根據直角三角形的邊角關系求圓的直徑.
【詳解】（1）由b及正弦定理得
所以
因為
化簡得
因為，所以，所以
所以.
（2）法一：由余弦定理
有
因為
所以
即，所以，當且僅當時等號成立.
所以的周長.
即周長的最大值為6.
法二：由正弦定理，即
的周長
因為，所以
所以
因為，所以當時取得最大值為6
法三：（幾何法）：如圖1所示，延長到點，使得
使得，
要使的周長最大，則需滿足長度最大
將問題轉化為已知一邊，一對角，求另一邊的長度的最大值
由圖2可得.當為該圓直徑時，最大.
即
所以.

3．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．
(1)求角的大小；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，結合余弦定理將角轉化為邊，可將式子變形為，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理將邊轉化為角，再結合三角恒等變換可得，根據銳角三角形可得的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質即可求解.
【詳解】（1）在中，
，
因為，
所以，
化簡得，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由正弦定理知
，
由為銳角三角形可知，而，
所以得，
所以，
所以，即 ，
則的取值范圍為.
4．（2024·湖南郴州·模擬預測）若銳角中，、、所對的邊分別為、、，且的面積為
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理結合三角形面積公式可得答案；
（2）由題可得，后由正弦定理可得，后由正切函數單調性可得答案.
【詳解】（1）由余弦定理，，又三角形面積為，
則，又由題，則；
（2）由（1），，又為銳角三角形，
則.
由正弦定理： .
因在上單調遞增，則時，.
則，即.
5．（24-25高三上·浙江·開學考試）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊化角，結合三角恒等變換即可求解；
（2）由正弦定理邊化角，由三角恒等變換結合三角函數性質即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以由正弦定理知，
而，
故，
從而.由于是三角形內角，故，
從而，故，
亦即，顯然，故.
（2）因為，，
又，所以，解得，所以，
從而
.
不妨設，則，
即的取值范圍是，
所以的取值范圍是，
而，
所以的取值范圍是，
所以的取值范圍是.
模板03 求“三角函數值類”范圍的答題模板
在解三角形中求“三角函數值類”的范圍，通常是轉化為邊或角，用三角函數值域或基本不等式求范圍.
公式同上，需清晰轉化方向，到底轉化為邊方便，還是轉化為角簡單.
（2024·廣東廣州·模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知且.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
思路點撥：轉化為三角函數在值域來求解
思路詳解：（1）因為 ，
由正弦定理得，，由余弦定理得，
所以，又，所以.
又，，所以或，
所以或，
又，所以，所以，得證.
（2）由（1）知，所以，
又，所以
，
因為，所以，所以，
因為函數在單調遞增，
所以，
所以的取值范圍為.
1．在中，內角所對的邊分別為，滿足
(1)求證：；
(2)若為銳角三角形，求的最大值．
思路詳解：（1）由題，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
（2）為銳角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）問，，
令，
則，
所以
因為,
當時，所求的最大值為.
2．（2024·云南·二模）中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，B是與的等差中項.
(1)若，判斷的形狀;
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍
思路詳解：（1）是與的等差中項，.
.
.
由余弦定理得：，即，
化簡得.，即.
.，
是以為斜邊的直角三角形.
（2）是銳角三角形，
，解得，
.
由得，，
，即.
的取值范圍為.
1．（2024·山西長治·模擬預測）在銳角中，a，b，c分別為內角A、B，C的對邊，且.
(1)求A的大小；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理將角化邊后，借助余弦定理計算即可得；
（2）由為銳角三角形可得角的范圍，再借助三角恒等變換化簡后計算即可得.
【詳解】（1）由題及正弦定理得：，即，
則，∵，∴；
（2）由為銳角三角形知，，故，
則，
有，即，
故的取值范圍為.
2．（2024·山東菏澤·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.已知
(1)若，判斷的形狀；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)直角三角形
(2)
【分析】（1）利用平面向量數量積的定義和余弦定理化簡已知，可得解；
（2）根據（1）可得，利用正弦定理邊化角，再借助三角函數恒等變形可得，最后利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）根據題意，，
即，
所以，
化簡得，
當時，得，即為直角三角形；
（2）當時，根據（1），有，
根據正弦定理，有，
即，
根據和差化積公式，得，
即，化簡得，
所以，
設則
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
即當時，取最大值為.
3．（2024·湖北黃岡·一模）在中，角所對的邊分別為.
(1)證明：；
(2)若成等比數列.
（i）設，求q的取值范圍；
（ii）求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)(i)；(ii)
【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函數的平方關系證明即可；
（2）（i）利用三角形三邊關系建立不等式組解不等式即可；（ii）利用第一問及第二問第一小問的結論，結合正余弦定理、對勾函數的單調性計算即可.
【詳解】（1）易知，所以，
則對于，即左側等式成立，
又，兩側同時除以，
所以，即右側等式成立，證畢；
（2）（i）由題意，設公比為，知，
根據三角形三邊關系知：，
解之得
（ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知：
，
由對勾函數的性質知： 在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則，
即的取值范圍為.
模板04 求面積的值或范圍的答題模板
在高考中經常考查求三角形的面積及三角形的最值，是高頻考題，通常需結合基本不等式來求解最值.
三角形的面積公式
，
（2023·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
思路詳解：（1）因為，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
1．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
思路詳解：（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
2．（2022·新Ⅰ卷·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
思路詳解：（1）由于， ，則．因為，
由正弦定理知，則．
（2）因為，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面積．
3．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)若，，求b；
(2)若，求的面積S的最大值.
思路詳解：（1）∵，由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以，所以B為銳角，所以，
，所以，
故，
又，所以.
（2）因為，
由正弦定理得，即，
所以，
又，所以.
因為，所以，
即，當且僅當時等號成立，
所以，當且僅當時取等號，
所以S的最大值是.
1．（2024·廣東·模擬預測）在中，內角的對邊分別為.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由兩角和的余弦公式化簡結合二倍角的余弦公式即可求出的值，進而可求角；
（2）由余弦定理可得，再利用三角形面積公式即可求出.
【詳解】（1）因為，
即，解得或.
因為在中，，
所以.
（2）在中，由余弦定理，
得，
整理得，
由，解得，
所以的面積為.
2．（2024·浙江·一模）在中，角對應的三邊分別是，，，且.
(1)求角的值；
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換可求得，可得；
（2）根據可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得邊長即求出面積.
【詳解】（1）根據題意由正弦定理可得，
整理可得，
即，所以；
可得，又，所以，
又，因此.
（2）由三角形內角關系可得，
由可得，解得或；
當時，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意；
因此，；
又，可得，同理；
由正弦定理可得，可得，
同理
因此的面積為.
3．（2024·江蘇·模擬預測）在中，點在邊上，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求的面積的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）因為，所以，由正弦定理可得，則可得，則得；
（2）由，化簡可得，則得，，因為，則可得，再由基本不等式可得，即，則得到的面積的最小值.
【詳解】（1）
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因為，所以，所以，
因為，所以，
所以，
所以，
又因為，，且，
所以.
（2）因為，
所以，
所以，
因為，所以，所以，
由（1）知，則，
因為，
所以，
又，
所以
因為，
所以，
所以，當且僅當時等號成立，
所以的面積的最小值為.
模板05 求內切圓及外接圓的答題模板
解三角形中求內切圓和外接圓的半徑及其應用在近年模擬題中也經常遇見，需對本類型題熟練運用.
（其中為外接圓的半徑）
（2024·安徽·模擬預測）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求C；
(2)若且，求的外接圓半徑．
思路詳解：（1）因為，即，
且，
即，則，
且，則，可得，
且，所以.
（2）因為且，則，可得，
由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以的外接圓半徑.
1．在中，內角所對的邊分別為，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求外接圓半徑的最小值.
思路詳解：（1）因為，所以，
整理得，所以，又，所以．
（2）因為，，
所以，故，即，
當且僅當時，等號成立，所以的最小值為4．
所以.
2．（2024·廣東·模擬預測）記中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)記的外接圓半徑為，內切圓半徑為r，若，求的取值范圍．
思路詳解：（1），
，則，
，
，解得，
；
（2）根據正弦定理得：，
設的內心為，易知，
由，則，
由余弦定理得：，
即，當且僅當時取等號，
，
，
，
．
1．（2024·吉林·二模）已知 的三個內角的對邊分別為的外接圓半徑為 ，且 .
(1)求;
(2)求的內切圓半徑 的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化為邊，再由余弦定理求解即可；
（2）根據等面積法可得出的表達式，利用正弦定理轉化為函數，再由三角函數求值域即可得出范圍.
【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，
所以，
由可知，，
所以，故.
（2）因為的內切圓半徑 ，
所以，
即，
又因為，所以，
所以，
由正弦定理
，
又，則，
所以，故，
所以.
2．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；
(2)求內切圓半徑r的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦邊角關系可得，應用余弦定理即可求，進而確定其大小；
（2）由正弦定理有，，根據余弦定理有，結合（1）及，應用三角恒等變換有，由三角形內角性質、正弦函數性質求范圍即可.
【詳解】（1）因為，由正弦邊角關系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，則.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面積法可得，
則
，
∵，∴，故，則，
所以，故.
3．如圖，平面四邊形中，，，．的內角的對邊分別為，且滿足．
(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；
(2)求內切圓半徑的取值范圍．
【答案】(1)有，
(2)
【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理結合條件得，所以，，所以四點共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．由正弦定理即可求出；
(2)由三角形面積公式得到，則，由正弦定理得，，化簡得，因為，所以，即可得到的取值范圍，從而得到半徑的取值范圍．
【詳解】（1）在中，，
所以，
由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以．
因為，所以，所以四點共圓，
則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．
又，所以．
（2）由（1）可知：，則，
，
則．
在中，由正弦定理，，
所以，，
則
，
又，所以，
所以，，即，
因為，所以．
模板06 求中線、角平分線、高線的答題模板
解三角形中中線、高線、角平分線及其應用在近年模擬題中也經常遇見，需對本類型題熟練運用.
角平分線定理
（1）在中，為的角平分線，則有
（2）
（3）（庫斯頓定理）
（4）
張角定理
中線長定理
為的中線,則中線定理:
證明:
在和中,用余弦定理有:
（2023·全國·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
思路詳解：（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
1．（2024·浙江臺州·一模）已知的內角所對的邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若的面積為，為的中點，求長度的最小值．
思路詳解：（1）在中，由及正弦定理得，
則
，而，則，又，
所以.
（2）依題意，，由（1）知，得，
在中，由余弦定理得
，當時取到等號，
所以的最小值為.
2．（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若BD是角B的平分線，，求線段BD的長．
思路詳解：（1）已知，由正弦定理（為外接圓半徑），
可得.
因為，所以，那么.
根據兩角和的正弦公式，
則.
展開可得.
移項可得.
因為，所以，兩邊同時除以得，解得.
又因為，所以.
（2）因為BD是角的平分線，根據角平分線定理，
已知，，所以，設，則.
在中，根據余弦定理，
，，則.
即，解得，所以，.
在中，根據余弦定理，
因為，所以.
設，則.
即，整理得.
分解因式得，解得或.
當，在中，,舍去.
當，在中，,滿足.
故BD的長度為4.

1．（2024·江西新余·模擬預測）在中，，為的角平分線，在線段上.
(1)求證：；
(2)求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理得到，，兩式相比，即可證明結果；
（2）法一：在中，利用余弦定理得到，利用（1）中結果，有，，在中，利用余弦定理得，從而得到或，在中，利用余弦定理得，從而得到或，即可求解；法二：利用余弦定理得，，兩式相加，即可求解.
【詳解】（1）因為，為的角平分線，
在中，因為，得到①，
在中，因為，得到②，
又，由①②得到，
所以.
（2）法一：在中，，
得到，即，
由（1）知，所以，，
在中，，得到，
解得或，
在中，，得到
解得或，所以.
法二：在中，可算，
又，，
又，兩式相加可解得.
2．（2024·河北·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互換以及余弦定理進行化簡即可得解.
（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再結合基本不等式即可求解.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得：，則，
即，
由余弦定理可得：，
因為，所以.
（2）因為為的中點，所以，
則，
又由余弦定理得，，
即，所以.
由得，，
則，當且僅當取等號，
即，
所以，即中線長的最大值為.
3．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角A的大小；
(2)若D是邊BC上一點，且AD是角A的角平分線，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；
（2）利用余弦定理得到，由三角形面積公式和求出，表達出，利用兩次基本不等式求出最值.
【詳解】（1）由題意知中，，
故
即，
即，
所以，
而，故，
故，即，
又，故；
（2）由余弦定理：，
又，
所以，所以，
所以，
當且僅當時，取等號，則的最小值為.
模板07 三角形中問題證明的答題模板
解三角形中的證明問題一直是熱點命題方向，在近年高考、模擬題中也經常遇見，需對本類型題熟練運用.
結合三角函數、三角恒等變換、正余弦定理等變形即可得到問題證明
（2022·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
思路詳解：（1）證明：因為，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因為，
由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
1．（2021·全國·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
思路詳解：（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因為，所以，即．
又因為，所以．
（2）[方法一]【最優解】：兩次應用余弦定理
因為，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因為，所以，解得或，
當時，（舍去）．
當時，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構造輔助線利用相似的性質
如圖，作，交于點E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因為，
所以，
整理得．
又因為，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因為，所以．
以向量為基底，有．
所以，
即，
又因為，所以．③
由余弦定理得，
所以④
聯立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．
設，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
2．（2024·內蒙古·三模）在中，內角的對邊分別為，且.
(1)求的值；
(2)若，證明：為直角三角形.
思路詳解：（1）由，
可得，
所以，
所以，
則，即.
（2）證明：由（1）可得.
又，所以，
即，
故，
所以，
即，
因為，所以為銳角，
解得（負值舍去），即，
所以為直角三角形.
1．（2024·福建泉州·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知且均為整數．
(1)證明：；
(2)設的中點為，求的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）首先得出，即，進一步根據三角恒等變換以及，且均為整數，可得，由此即可得證；
（2）由題意先得出，，結合正弦定理有，再結合余弦定理以及等邊對等角即可得解.
【詳解】（1）在中，均為整數，，
，且，
最小．當，矛盾，
，則，
且為整數，
，
．
又，
即．
由均為整數，且，
由，可得，
又因為，
可得，
故．
．
（2）
由（1）知，，
則．
由正弦定理，
可得，
又的中點為．
在中，由余弦定理，得，
，則，
．
2．（2024·廣東汕頭·二模）中，內角、、的對邊分別為、、.
(1)若，，求的值；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意由正弦定理的邊角互化，結合余弦定理代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，先由正弦定理的邊角互化進行化簡，再由余弦定理公式代入計算，即可證明.
【詳解】（1）因為，
所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以，
整理可得，所以.
（2）證明：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以.
1．（2024·廣東河源·模擬預測）已知的內角，，所對的邊分別是，，，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）利用余弦邊角關系可得，再由余弦定理可得，即可求角的大小；
（2）根據已知條件及（1）結論，應用余弦定理列方程求得或，再分別求出對應三角形面積即可.
【詳解】（1）在中，，
又，所以，
由余弦定理得， 又，
則.
（2）在中，，，
由余弦定理，得，即，解得或．
當，，時，可構成三角形，此時的面積為；
當，，時，可構成三角形，此時的面積為．
2．在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求AB邊上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可.
（2）由（1）求出，由同角三角函數的基本關系求出，最后由三角形的面積公式求解即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
由正余弦邊角關系得，①，
又，②
由①②得，，
∴，∴
（2）由（1）得，，
（或由余弦定理得）
∵為銳角，∴，
∴的面積，
∴，
設邊上的高為，
則的面積，
∴，即邊上的高為.
3．（2024·吉林長春·一模）在中，內角A，B，C的對邊分別是的面積記為，已知.
(1)求；
(2)若BC邊上的中線長為1，AD為角的平分線，求CD的長.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據三角形面積公式、正弦邊角關系化簡題設條件可得，即可求角的大小；
（2）是的中線，利用向量數量積的運算律及已知可得，應用等面積法求得，再應用余弦定理求CD的長.
【詳解】（1）由題設，
而，所以，，
所以.
（2）如下示意圖，是的中線，則，
所以，
由，則，
又，則，
即，則，
所以.
4．（2024·福建福州·模擬預測）已知的內角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為中點，求的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡即可得解；
（2）利用向量的中線公式平方即可得解.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理，得
因為，則，所以，
由于，則；
（2）因為為中點，故，
所以
.
所以的長為.
5．（2024·四川·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求邊上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統一成角的形式，然后利用三角函數恒等變換公式化簡變形可求得答案；
（2）利用余弦定理結合可求出，再利用可求出邊上的高．
【詳解】（1）因為，
所以由正弦定理可得．
又因為，則，所以．
整理得，即．
因為，所以，
所以，所以．
（2）由余弦定理，且，
則有，
又，故．
解得或（舍去），
所以邊上的高．
6．（2024·山東臨沂·二模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若點D在線段AB上，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，結合和差公式化簡，再利用正弦定理邊化角可解；
（2）根據平面向量線性運算可得，兩邊平方，然后利用重要不等式即可得解.
【詳解】（1）由得
，
∴，
即，
由正弦定理邊化角得，
因為，
所以，∴，
又∵，∴.
（2）∵D點在線段AB上，且，
，∴，
∴
，
當且僅當時，等號成立．
∴．
即的最大值為．
7．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內，四邊形滿足，點在的兩側，，，為正三角形，設.

(1)當時，求；
(2)當變化時，求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理可得的值；
（2）由余弦定理可得的表達式，進而求出正三角形的面積的表達式，進而求出四邊形的面積的表達式，由輔助角公式及的范圍，可得四邊形面積的范圍．
【詳解】（1）因為，，，
由余弦定理可得：.
（2）由余弦定理可得，
因為為正三角形，所以，
，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
故當時，四邊形面積的最大值為.
8．（2024·廣西·模擬預測）的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，的角平分線交于點，求線段長度的最大值．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）根據正余弦定理邊角互化即可求解，
（2）由余弦定理可得，即可利用等面積法得，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）由題設及正弦邊角關系可得：，則，
而，且，則．
（2）因為，所以由余弦定理得，即，
所以，即（當且僅當時，等號成立），
因為，所以，
解得，因為（當且僅當時，等號成立），
所以（當且僅當時，等號成立），所以長度的最大值為．

9．（2024·廣東江門·模擬預測）已知的內角，，的對邊分別為，，且滿足．
(1)證明：；
(2)若為鈍角，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊化角，得到，結合內角和公式，三角恒等變換公式可得，結合正弦函數性質，即可證得結論；
（2）由正弦定理邊化角，并結合整理得到，由結合為鈍角得到，進而得到，從而得到的取值范圍.
【詳解】（1）因為，由正弦定理，為的外接圓半徑，
得．
因為，即，
所以，
即，即，
所以或，
若，則，這與矛盾，舍去，
若，則，因為，所以只能取0，
此時，.
（2）由（1）得，
由正弦定理得，
又由，即，解得，所以，
則．
所以的取值范圍為.
10．（2024·陜西商洛·模擬預測）在銳角中.內角，，所對的邊分別是，，，已知.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理變形，利用兩角和差公式求得，然后利用正弦函數性質即可求得；
（2）利用三角恒等變換得，由條件求的范圍，結合正弦函數性質求解范圍即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，
因為為銳角三角形內角，所以，，
所以，所以，即；
（2），
由題意得，解得，所以，
所以，所以，
即的取值范圍為.
11．（2024·江西·模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b是a，c的等比中項．
(1)求B的最大值：
(2)若C為鈍角，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等比中項及余弦定理得，根據基本不等式及余弦函數性質可得結果；
（2）依題意設，，根據三角形三邊關系及條件求出，利用正弦定理及兩角和正弦公式。誘導公式化簡得，從而可得結果.
【詳解】（1）因為b是a，c的等比中項，所以．
由余弦定理可知，
則，當且僅當時，等號成立．
又，根據余弦函數的性質且，
故B的最大值為．
（2）由已知可設，，
則，所以，解得．
，
所以的取值范圍為．
12．在中，內角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)若，，求的面積；
(2)求的最小值，并求出此時的大小．
【答案】(1)
(2)的最小值是5，此時
【分析】（1）結合余弦定理與面積公式即可得；
（2）結合三角恒等變換與三角形內角和，將原式中多變量換成單變量，再結合基本不等式即可得.
【詳解】（1）由題意得，
因為，
所以，故，
又，所以．
因為、是的內角，所以為鈍角，
所以，所以，
所以是等腰三角形，則，
所以．
（2）由（1）可知，在中，，
即為鈍角，則，
因為，，
所以，
設，
則
，
由，
故，
當且僅當，即，
結合為鈍角，即當時等號成立，
所以的最小值是5，此時．
13．（2024·湖南長沙·三模）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知，
(1)求角A.
(2)若，所在平面內有一點D滿足，且BC平分，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由兩角和的正切公式結合題意化簡得，即可得解；
（2）設，由正弦定理把邊化成角，再用三角形面積公式得，結合導數求解即可.
【詳解】（1）由題，
即，即，
所以，即，所以，
又，所以.
（2）由題（1）知，又，設，
由中，，故，則，
由正弦定理有，，則，
故面積，
令，
則，
又，所以，知函數在上單調遞增，
又，，故面積的取值范圍為.
14．（2024·福建泉州·模擬預測）已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，，.
(1)寫出命題p：“已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，，.若，則是直角三角形”的逆命題q，并判斷逆命題q的真假；
(2)若外的點D滿足，，求面積的最大值.
【答案】(1)逆命題q見解析，假命題；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，結合逆命題的定義即可得解，解直角三角形判斷真假.
（2）結合銳角三角函數定義及正弦定理可求出DB，DC，然后結合三角形面積公式，和差角公式，二倍角公式及輔助角公式進行化簡，再由正弦函數的性質即可求．
【詳解】（1）逆命題q為：已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，，，
若是直角三角形，則.
命題q為假命題，理由如下：
由為直角三角形，且，得或，而，
當時，，當時，，
因此逆命題q是假命題.
（2）由于外的點D滿足，而，則四點共圓，
由，得，且，設，則，
在中，由正弦定理得外接圓直徑，，
在中，，
在中，，
則的面積
，
顯然，，因此當時，，
所以面積的最大值為.
15．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)若，，求邊上的角平分線長；
(2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據平方關系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面積法計算可得答案；
（2）延長交于，延長交于，設，分別求出、，再根據三角恒等變換化，結合正切函數的性質即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因為，所以；
又因為，，所以，
即，解得，設邊上的角平分線長為，
則
，即，
即，解得，即邊上的角平分線長為；
（2）延長交于，延長交于，設，
所以，在中，
在中，，，所以，
在中，
同理可得在中，所以
，
因為，所以，所以，
所以，即的取值范圍為.
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