資源簡介

解答題02 7類數(shù)列答題模板
（構造數(shù)列、裂項相消、錯位相減、奇偶并項、周期類周期、
數(shù)列與不等式（含放縮）、數(shù)列雜糅）
模板01 構造證明數(shù)列的答題模板
構造數(shù)列來證明數(shù)列和求數(shù)列的通項公式是高考、模考中常見題型，需強化訓練、重點掌握
【模板01】題中有有，可用求通項公式
【模板02】已知用累加法求通項公式
【模板03】已知用累乘法求通項公式
【模板04】已知用求通項公式
【模板05】已知用求通項公式
【模板06】已知用求通項公式
【模板07】已知用求通項公式
【模板08】已知用求通項公式
【模板09】已知用求通項公式
【模板10】已知用求通項公式
（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
1．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
2．（2024·四川巴中·模擬預測）已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n．
3．（2024·湖北·模擬預測）數(shù)列中，，，且，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．
1．（2024·湖北·一模）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；(2)證明：.
2．（2024·四川成都·模擬預測）記數(shù)列的前n項和為，已知．
(1)若，證明：是等比數(shù)列；
(2)若是和的等差中項，設，求數(shù)列的前n項和為．
3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
模板02 裂項相消求和的答題模板
裂項相消求和是把數(shù)列拆分，然后抵消后即可求和，此類題型較簡單，也是高考中的常考考點，需強加練習、重點掌握
常見的裂項技巧：
指數(shù)型 對數(shù)型
（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
1．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知數(shù)列的前項和滿足，且．
(1)求數(shù)列的前項和；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)記，為前項和，求．
2．（2024·福建龍巖·三模）若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，點在函數(shù)的圖象上，記數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設，記數(shù)列的前項和為，證明:.
1．已知數(shù)列的首項為1，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設，求的前n項和.
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在等差數(shù)列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和為，證明.
模板03 錯位相減求和的答題模板
錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，是高考中的高頻考點，需強加練習
常規(guī)方法：“乘公比錯位相減”
萬能公式：
形如的數(shù)列求和為，
其中，，
（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
1．（2023·全國·高考真題）設為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
2．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
1．（2024·湖北·一模）在公差不為0的等差數(shù)列中，，且是與的等比中項.
(1)求的通項公式；
(2)若，，求數(shù)列的前項和.
2．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和公式為，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的通項公式.
3．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，且其前項和.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求；
(2)如果，求數(shù)列的前項和.
模板04 奇偶并項求和的答題模板
有關數(shù)列奇偶項的問題是高考中經常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學生來說難度較大，需強化練習
奇偶并項的難點在于搞清首項、項數(shù)、公差（比），運用分類討論的思想來求解
（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
1．（2024·湖南湘西·模擬預測）記為等比數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設求數(shù)列的前20項和．
2．（2024·陜西咸陽·三模）數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
3．（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列和的各項均為正，且，是公比3的等比數(shù)列．數(shù)列的前n項和滿足．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前n項和．
1．（2024·湖南·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且.等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項和數(shù)列的通項；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
2．（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列的前項和為，，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
3．（2024·河北衡水·模擬預測）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.
模板05 周期與類周期求和的答題模板
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，需強化學習
周期數(shù)列的求和一般可以從并項求和或分組求和兩種思路出發(fā),并項求和步驟是先每個周期進行求和,將求和問題轉化為多個周期和的問題,然后再進行整體求和;分組求和就是先將相等的項組合在一起求和然后整體求和.
類比周期函數(shù) , 當數(shù)列遞推公式經過運算滿足 形式時，我們都可以稱數(shù)列 為"類周期數(shù)列”，類周期數(shù)列求和的一般策略是將其轉化為一個新數(shù)列的求和問題，其方法是將連續(xù)的一個周期內的項進行并項求和構造易于求和的新數(shù)列，或先按周期 將分成 組，先求出，再整體求和，數(shù)列求和是高考中的難點也是熱點，類周期數(shù)列在復習備考中值得我們重視和研究.
（2024·福建福州·模擬預測）已知數(shù)列中，，．
(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前2024項和．
1．已知數(shù)列滿足，.
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的前30項和.
2．已知數(shù)列滿足（為實數(shù)），，求．
3．已知數(shù)列的前項和為，，，，其中為常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得為等差數(shù)列？并說明理由；
（3）若為等差數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和．
1．已知數(shù)列滿足，，．
(1)求，，，并寫出一個符合題意的的通項公式（不需要證明）；
(2)設，記為數(shù)列的前項和，求．
2．已知正項數(shù)列滿足，且，.
(1)已知，求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前2023項和.
3．在無窮數(shù)列中，，且，記的前n項和為.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）證明：中必有一項為1或3.
模板06 數(shù)列與不等式、含（放縮）的答題模板
數(shù)列不等式及其證明是高中數(shù)學教學中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學知識的綜合運用，還要求學生具備嚴謹?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上.
放縮的基本思路是將通項適當放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉化.放縮的策略是通過多角度觀察通項的結構，深入剖析其特征，思前想后，找準突破口，怡當放縮，難度中等偏上、需強加練習.
（1），其中：可稱為“進可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號的方向進行選擇。
注：對于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個常數(shù)，即可放縮為符合裂項相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構造放縮程度更小的，如：
（2），從而有：
注：對于還可放縮為：
（3）分子分母同加常數(shù)：
此結論容易記混，通常在解題時，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時不妨先構造出形式再驗證不等關系。
（4）
可推廣為：
（2024·河北邢臺·二模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：．
1．已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前n項和為，證明：．
2．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，證明：．
1．（2024·天津·模擬預測）數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，．
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)的前n項和，求證：．
2．設為數(shù)列的前項和，已知為等比數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，設，記為數(shù)列的前項和，證明：．
3．已知正項數(shù)列滿足
證明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
模板07 數(shù)列中雜糅問題的答題模板
在新高考中常涉及到數(shù)列與三角、數(shù)列與導數(shù)、數(shù)列與概率統(tǒng)計的雜糅問題，是新高考的命題熱點，需重點學習掌握
數(shù)列雜糅問題處理的關鍵是依托知識載體，運用基本的分塊知識解決即可
某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．
(1)求消費者甲第2次獲勝的概率；
(2)證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．
1．設正項數(shù)列的前項和為，已知.
(1)求的通項公式；
(2)記，是數(shù)列的前項和，求.
2．已知函數(shù)，其中.
（1）討論的單調性；
（2）當時，證明:；
（3）試比較與 ，并證明你的結論．
1．（2024·全國·模擬預測）某商場為促銷設計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回地從裝有大小相同的4個紅球和2個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵40元的獎券，抽到黑球則獎勵20元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵20元的獎券．記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額的數(shù)學期望為．
(1)求及的分布列；
(2)寫出與的遞推關系式，并證明為等比數(shù)列；
(3)若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值．（參考數(shù)據：）
2．已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍；
(3)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項和．證明：．
1．已知數(shù)列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
2．（2024·四川·模擬預測）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求證：．
3．（2024·湖南長沙·模擬預測）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，．
(1)求；
(2)求證：．
4．（2024·四川內江·一模）已知數(shù)列、滿足，，，，其中、、．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
5．（2024·四川雅安·一模）已知數(shù)列滿足，（，且）．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和；
(3)令，數(shù)列的前n項和為，證明：．
6．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
7．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
8．（2024·浙江·一模）已知數(shù)列的首項是1，其前項和是，且，.
(1)求，的值及數(shù)列的通項公式；
(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式，有解，求實數(shù)取到最大值時的值.
9．（2024·福建廈門·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前n項和，，，.
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列的前n項和，若，求n的最小值.
10．（2024·河南信陽·模擬預測）在數(shù)列中，，．
(1)記，證明：為等比數(shù)列；
(2)記為的前項和，若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．
11．（2024·天津·二模）設是等差數(shù)列，其前項和，是等比數(shù)列，且，，.
(1)求與的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
12．（2024·廣東佛山·二模）已知數(shù)列滿足，，且．
(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)設，且數(shù)列的前項和為，證明：當時，．
13．（2024·山東泰安·模擬預測）在足球比賽中，有時需通過點球決定勝負．
(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲 乙 丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住．記第次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．
① 試證明：為等比數(shù)列；
② 設第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．
14．（2024·廣東廣州·模擬預測）甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.
(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；
(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項公式；
(3)設，求證：.
15．（2024·天津武清·模擬預測）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)，求數(shù)列的前項和.
(3)表示不超過的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項和，集合共有4個元素，求范圍;
21世紀教育網(www.21cnjy.com)解答題02 7類數(shù)列答題模板
（構造數(shù)列、裂項相消、錯位相減、奇偶并項、周期類周期、
數(shù)列與不等式（含放縮）、數(shù)列雜糅）
模板01 構造證明數(shù)列的答題模板
構造數(shù)列來證明數(shù)列和求數(shù)列的通項公式是高考、模考中常見題型，需強化訓練、重點掌握
【模板01】題中有有，可用求通項公式
【模板02】已知用累加法求通項公式
【模板03】已知用累乘法求通項公式
【模板04】已知用求通項公式
【模板05】已知用求通項公式
【模板06】已知用求通項公式
【模板07】已知用求通項公式
【模板08】已知用求通項公式
【模板09】已知用求通項公式
【模板10】已知用求通項公式
（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
思路詳解：（1）因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當或時，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當或時，．
1．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
思路詳解：（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當時，．
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法四]：數(shù)學歸納法
由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．
下面用數(shù)學歸納法證明．
當時顯然成立．
假設當時成立，即．
那么當時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
（2）
由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
2．（2024·四川巴中·模擬預測）已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n．
思路詳解：（1）由得，
則，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，
所以
，
數(shù)列是單調遞增數(shù)列，
當時，，
當時，，
所以滿足條件的最大整數(shù)為.
3．（2024·湖北·模擬預測）數(shù)列中，，，且，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．
思路詳解：（1）因為，所以，
所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其首項為，
于是，
則，，，
，，
所以，
所以；而符合該式，故.
（2）由（1）問知，，則，
又，則，兩式相乘得，即，
因此與同號，
因為，所以當時，，此時，
當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，；
當時，，此時，
當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，；
綜上，當時，；當時，.
1．（2024·湖北·一模）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據前項和為與的關系，利用相減法得數(shù)列遞推關系式，從而根據等比數(shù)列可得的通項公式；
（2）由（1）得，根據不等式，，即可證得結論.
【詳解】（1）當時，由，得，
則，整理得.
因為，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則.
（2）證明：由（1）可得，則.
當時，對于，
所以，
從而.
2．（2024·四川成都·模擬預測）記數(shù)列的前n項和為，已知．
(1)若，證明：是等比數(shù)列；
(2)若是和的等差中項，設，求數(shù)列的前n項和為．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用公式得到數(shù)列的遞推公式，構造法證明是等比數(shù)列；
（2）由已知求出，裂項相消求數(shù)列的前n項和為．
【詳解】（1）對①，當時，有②，
：，即，
經整理，可得，
，故是以為首項、為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，有，，
題設知，即，則，故．
而，
故.
3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）當時，求得，當時，得到，兩式相減化簡得到，結合疊加法，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）得到，求得，
解法1：根據題意，轉化為，結合，結合基本不等式，即可求解；
解法2：根據題意，轉化為，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：當時，，解得，
當時，，
兩式相減可得，，
則，
疊加可得，，則，
而時也符合題意，
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）解：由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，即則，又由，
當且僅當時取等號，故實數(shù)的取值范圍為．
解法2：由，
可得，
當，即時，，
則，故實數(shù)的取值范圍為．
模板02 裂項相消求和的答題模板
裂項相消求和是把數(shù)列拆分，然后抵消后即可求和，此類題型較簡單，也是高考中的常考考點，需強加練習、重點掌握
常見的裂項技巧：
指數(shù)型 對數(shù)型
（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
思路詳解：（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
1．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知數(shù)列的前項和滿足，且．
(1)求數(shù)列的前項和；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)記，為前項和，求．
思路詳解：（1）由已知，
數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且首項，
，即.
（2）由（1）知當時，，
又也滿足上式，．
（3）由（2）知，，
2．（2024·福建龍巖·三模）若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，點在函數(shù)的圖象上，記數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設，記數(shù)列的前項和為，證明:.
思路詳解：（1）由得，，
點在函數(shù)的圖象上，
（2）,顯然數(shù)列為等比數(shù)列，首項為1，公比為3，則，
.
1．已知數(shù)列的首項為1，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合題意，利用等比數(shù)列的概念即可求解等比數(shù)列通項；
（2）結合（1）的結論，利用裂項相消法即可求解.
【詳解】（1）因為數(shù)列的首項為1，且，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設，求的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）根據（1）問，求出數(shù)列的通項公式，從而求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消求和法求得
【詳解】（1）證明：令，又，則有
，
又，所以
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在等差數(shù)列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和為，證明.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項與公差，即可得解；
（2）利用裂項相消法求出，進而可得出結論.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，
由，即，解得，
所以，
所以數(shù)列的通項公式為；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化簡得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
模板03 錯位相減求和的答題模板
錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，是高考中的高頻考點，需強加練習
常規(guī)方法：“乘公比錯位相減”
萬能公式：
形如的數(shù)列求和為，
其中，，
（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
思路詳解：（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
1．（2023·全國·高考真題）設為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
思路詳解：（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
2．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
思路詳解：（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導函數(shù)法
設，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
1．（2024·湖北·一模）在公差不為0的等差數(shù)列中，，且是與的等比中項.
(1)求的通項公式；
(2)若，，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據等差數(shù)列通項公式把、、都用與表示，結合已知解出，即可得出的通項公式；
（2）先表示出，再表示出，用錯位相減法即可求解.
【詳解】（1）設的公差為，因為是與的等比中項，
所以，即，
整理得.
又，，所以，
則.
（2）由（1）可得，，
則①，
②，
①-②得
則.
2．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和公式為，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據的關系即可求解，
（2）根據，利用累加法，結合錯位相減即可化簡求解.
【詳解】（1）由可得時，，
故，
當時，也符合要求，
故，
（2）由可得，
故時，，則，
相減可得，
故，
化簡可得，故，
當時，也符合要求，
故
3．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，且其前項和.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求；
(2)如果，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析，
(2).
【分析】（1）借助與的關系，結合等差數(shù)列定義計算即可得解；
（2）借助錯位相減法計算即可得.
【詳解】（1）當時，或，
因為，所以，
，
兩式相減得，
因為，所以，
故是首項為1，公差為的等差數(shù)列，
；
（2）由（1）知，
，
，
則，
，
所以.
模板04 奇偶并項求和的答題模板
有關數(shù)列奇偶項的問題是高考中經常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學生來說難度較大，需強化練習
奇偶并項的難點在于搞清首項、項數(shù)、公差（比），運用分類討論的思想來求解
（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
思路詳解：（1）設等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數(shù)時，，
，
當時，，因此，
當為奇數(shù)時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數(shù)時，，
當時，，因此，
當為奇數(shù)時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數(shù)時，，
當時，，因此，
所以當時，.
1．（2024·湖南湘西·模擬預測）記為等比數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設求數(shù)列的前20項和．
思路詳解：（1）當時，，
∴，
∴等比數(shù)列的公比.
當時，由得，即，解得，
∴.
（2）由題意得，當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，，
∴，
，
∴
.
2．（2024·陜西咸陽·三模）數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
思路詳解：（1）數(shù)列中，，，顯然，則，
數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，
所以數(shù)列通項公式是.
（2）由（1）知，，
當時，，，
當時，，
所以.
3．（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列和的各項均為正，且，是公比3的等比數(shù)列．數(shù)列的前n項和滿足．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前n項和．
思路詳解：（1）由題設，當時或（舍），
由，知，
兩式相減得，
（舍）或，即，
∴數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，．
又．
（2）
則
當n為偶數(shù)時，；
當n為奇數(shù)時，．
所以.
1．（2024·湖南·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且.等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項和數(shù)列的通項；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，
(2)（或）
【分析】（1）根據題意分別求出數(shù)列的首項和公差，以及數(shù)列的首項和公比，進而可得出答案；
（2）利用并項求和法求解即可.
【詳解】（1）由題意，設等差數(shù)列的首項為，公差為，又，
所以解得，
故，
因為數(shù)列為各項為正的遞增數(shù)列，設公比為，且，
因為，所以，得，
又，所以，即，又，
解得，從而，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以數(shù)列的前項和為
（或）.
2．（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列的前項和為，，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用構造法和等差數(shù)列的定義與通項公式可得，結合即可求解；
（2）由（1）知，利用分組求和法計算即可求解.
【詳解】（1）根據題意，，所以，
由于，則是以首項為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，所以，
當時，.
驗證時滿足通項公式，故數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知.
設的前項和為，則當為偶數(shù)時，
.
當為奇數(shù)時，，
設的前項和為，則.
因為，所以
3．（2024·河北衡水·模擬預測）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由是與的等差中項,可得，化簡得，可得，作差可得，則可得的通項公式；
（2）由（1）得，，分組求，可得，可得，即可得證.
【詳解】（1）由題意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是與的等差中項，得當時，
，解得，
所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故.
（2）由（1）得，則
，
所以
，
所以，
所以.
模板05 周期與類周期求和的答題模板
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，需強化學習
周期數(shù)列的求和一般可以從并項求和或分組求和兩種思路出發(fā),并項求和步驟是先每個周期進行求和,將求和問題轉化為多個周期和的問題,然后再進行整體求和;分組求和就是先將相等的項組合在一起求和然后整體求和.
類比周期函數(shù) , 當數(shù)列遞推公式經過運算滿足 形式時，我們都可以稱數(shù)列 為"類周期數(shù)列”，類周期數(shù)列求和的一般策略是將其轉化為一個新數(shù)列的求和問題，其方法是將連續(xù)的一個周期內的項進行并項求和構造易于求和的新數(shù)列，或先按周期 將分成 組，先求出，再整體求和，數(shù)列求和是高考中的難點也是熱點，類周期數(shù)列在復習備考中值得我們重視和研究.
（2024·福建福州·模擬預測）已知數(shù)列中，，．
(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前2024項和．
思路詳解：（1）依題意，
，
則化為，
而，則，因此，
所以數(shù)列為常數(shù)列.
（2）由（1）知，，由，即是以6為周期的周期數(shù)列，令，
所以數(shù)列的前2024項和
.
1．已知數(shù)列滿足，.
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的前30項和.
思路詳解：（1）因為，則，，
，
所以.
（2）由（1）知，
，
，
.
2．已知數(shù)列滿足（為實數(shù)），，求．
思路詳解：可變形為．
結合，設（其中），
則，
∴，即．
∴，即，則數(shù)列的周期是6．
∵，
∴．
3．已知數(shù)列的前項和為，，，，其中為常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得為等差數(shù)列？并說明理由；
（3）若為等差數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和．
思路詳解：（1）證明：由題意，，，兩式相減得．因為，所以，所以，數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由題設，，，可得，由（1）知，．若為等差數(shù)列，則，解得，故．由此可得是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，；是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，．所以，．因此存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列．
（3）由題意可知，
當n為偶數(shù)時，
當n為奇數(shù)時，
所以
1．已知數(shù)列滿足，，．
(1)求，，，并寫出一個符合題意的的通項公式（不需要證明）；
(2)設，記為數(shù)列的前項和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出數(shù)列的周期為3，寫出通項公式；
（2）在第一問的基礎上，寫出的通項公式，并分組求和.
【詳解】（1），，
，
可看出數(shù)列為周期為3的數(shù)列，故，
理由如下：為周期為3的數(shù)列，當時，，
當時，，當時，；
（2）由第一問可知：
，
則，
故
.
2．已知正項數(shù)列滿足，且，.
(1)已知，求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前2023項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，從而得到，進而得到是以為首項，公比為的等比數(shù)列，再根據等比數(shù)列的通項公式即可求解；
（2）由可得，從而有，得到數(shù)列偶數(shù)項具有周期性，最后根據分組求和即可.
【詳解】（1），，
，，
即，，即，
是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
.
（2），
又，
，，
，即，
，即數(shù)列偶數(shù)項具有周期性，
，
所以·
3．在無窮數(shù)列中，，且，記的前n項和為.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）證明：中必有一項為1或3.
【答案】（1）37（2）5（3）證明見解析
【分析】（1）計算數(shù)列前9項，再計算和得到答案.
（2）討論為偶數(shù)，為偶數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，為奇數(shù)四種情況，計算得到答案.
（2）設中最小的奇數(shù)為，則，，討論為奇數(shù)，為偶數(shù)兩種情況，計算得到答案.
【詳解】（1），故，故.
（2）當為偶數(shù)，為偶數(shù)時，，無整數(shù)解；
當為偶數(shù)，為奇數(shù)時，，解得，驗證不成立；
當為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，解得，驗證成立；
當為奇數(shù)，為奇數(shù)時，，無整數(shù)解；
綜上所述：.
（3）設中最小的奇數(shù)為，則，，
若為奇數(shù)，則，解得；
若為偶數(shù)，則，，為奇數(shù)，解得；
又，∴中必有一項為1或3.
綜上所述：，故中必有一項為1或3.
【點睛】本題考查了數(shù)列求和，證明數(shù)列中的項，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.
模板06 數(shù)列與不等式、含（放縮）的答題模板
數(shù)列不等式及其證明是高中數(shù)學教學中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學知識的綜合運用，還要求學生具備嚴謹?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上.
放縮的基本思路是將通項適當放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉化.放縮的策略是通過多角度觀察通項的結構，深入剖析其特征，思前想后，找準突破口，怡當放縮，難度中等偏上、需強加練習.
（1），其中：可稱為“進可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號的方向進行選擇。
注：對于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個常數(shù)，即可放縮為符合裂項相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構造放縮程度更小的，如：
（2），從而有：
注：對于還可放縮為：
（3）分子分母同加常數(shù)：
此結論容易記混，通常在解題時，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時不妨先構造出形式再驗證不等關系。
（4）
可推廣為：
（2024·河北邢臺·二模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：．
思路詳解：（1）當時，.
當時，，，兩式相減得：
.
所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.
所以.
（2）由（1）知：
所以.
當時，，
當時，，故，
所以.
1．已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前n項和為，證明：．
思路詳解：（1），，
所以，即，
兩邊取常用對數(shù)得，
得，所以，
所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，
所以.
（2）證明：由（1）知，所以，
則

又因為，
所以
故.
2．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
思路詳解：（1）因為①．
令得，解得．
當時，②，
由①②得，
即
又，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故，所以．
（2）因為，
當時，，
當時，
．
綜上，．
3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，證明：．
思路詳解：（1）當時，；
當時，①，
②．
①②得，
因為不滿足上式，所以.
（2）由（1），
因為，所以，
當時，；
當時，
，
綜上，對任意的，.
1．（2024·天津·模擬預測）數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，．
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)的前n項和，求證：．
【答案】(1)，；
(2)證明見詳解.
【分析】（1）記數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，根據已知列方程組求解即可；
（2）根據錯位相減法求和，記，判斷其單調性即可得證.
【詳解】（1）記數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，，
由題知，，解得，所以.
由，解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可知，
則，
，
兩式相減得，
所以，
記，則，
所以單調遞減，所以，且，
所以，即.
2．設為數(shù)列的前項和，已知為等比數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，設，記為數(shù)列的前項和，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由，得，等比數(shù)列的首項為1公比為2，可得通項；
（2）由與的關系，求出的通項，通過放縮法證明不等式.
【詳解】（1）為數(shù)列的前項和，，
則有，所以，等比數(shù)列的公比為2，
又，所以；
（2）證明：由（1）知，，當時，，
所以，所以，
則，
因此．
3．已知正項數(shù)列滿足
證明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【答案】(1)證明見解析.
(2)證明見解析.
【詳解】分析：（Ⅰ）直接利用遞推關系式和正項數(shù)列及關系式的分解因式求出結果．
（Ⅱ）利用放縮法和遞推關系式和關系式的恒等變換進行求解．
詳解：
（Ⅰ）由題，
與同號，
即
從而
（Ⅱ）易知即
，
因為所以
得
所以可得
求得
所以即
點睛：本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用
模板07 數(shù)列中雜糅問題的答題模板
在新高考中常涉及到數(shù)列與三角、數(shù)列與導數(shù)、數(shù)列與概率統(tǒng)計的雜糅問題，是新高考的命題熱點，需重點學習掌握
數(shù)列雜糅問題處理的關鍵是依托知識載體，運用基本的分塊知識解決即可
某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．
(1)求消費者甲第2次獲勝的概率；
(2)證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．
思路詳解：（1）
（2）
,
,
,
為等比數(shù)列, 且公比為；.
,
因為單調遞增，
當n為奇數(shù)時， ，所以得獲獎至少要玩9輪.
當n為偶數(shù)時，，得獎至少要玩10輪，
所以平均至少要玩9輪才可能獲獎.
1．設正項數(shù)列的前項和為，已知.
(1)求的通項公式；
(2)記，是數(shù)列的前項和，求.
思路詳解：（1）解：當時，，所以，又，故；
當時，，而，兩式相減得，
整理得，因為，所以，
故是以為公差的等差數(shù)列，從而.
（2）解：，
設
，其中，
所以.
2．已知函數(shù)，其中.
（1）討論的單調性；
（2）當時，證明:；
（3）試比較與 ，并證明你的結論．
思路詳解：（1）函數(shù)的定義域為：，
①當時，，所以在上單調遞增
②當時，令，解得 ．
當時，，所以， 所以在上單調遞減；
當時，，所以，所以在上單調遞增．
綜上，當時，函數(shù)在上單調遞增；
當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）當 時，，要證明，
即證，即證：.
設，則 ，令得，.
當時，，當時，.
所以為極大值點，且在處取得最大值．
所以，即．故.
（3）證明：（當且僅當時等號成立），即,
則有+
,
故：+
1．（2024·全國·模擬預測）某商場為促銷設計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回地從裝有大小相同的4個紅球和2個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵40元的獎券，抽到黑球則獎勵20元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵20元的獎券．記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額的數(shù)學期望為．
(1)求及的分布列；
(2)寫出與的遞推關系式，并證明為等比數(shù)列；
(3)若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值．（參考數(shù)據：）
【答案】(1)，分布列見解析
(2)，證明見解析
(3)
【分析】（1）根據題意，直接求出和的可能取值，計算出概率，由期望公式求出；列出的分布列即可；
（2）根據條件，得到，化簡可得，再由等比數(shù)列的定義證明即可；
（3）代入（2）結論求出即可.
【詳解】（1）依題意知，抽到一個紅球的概率為，抽到一個黑球的概率為，
顯然的值為20，40，則，，所以，
又的值為20，40，80，則，，，
所以的分布列為
20 40 80
P
（2）依題意，當時，甲第次抽到紅球所得的獎券數(shù)額為，對應概率為，
抽到黑球所得的獎券數(shù)額為20元，對應概率為，
因此當時，，
則，即，
又，
故數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列．
（3）由（2）得，即，
所以顧客甲抽獎6次，所得獎券數(shù)額的期望為．
2．已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍；
(3)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項和．證明：．
【答案】(1)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．
(2)．
(3)證明見解析
【分析】（1）求導，即可根據導函數(shù)的正負即可求解，
（2）根據題意可得，即可由導數(shù)結合分類討論求解最值，進一步將問題轉化為，構造函數(shù)，求導即可求解最值求解，
（3）根據（2）的求解可得不等式和，即可根據，得，由累加法以及裂項求和即可求證.
【詳解】（1）當時，，
故當單調遞減；
當單調遞增．
綜上，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．
（2）由題意，．
①當時，在單調遞減，
由，不合題意；
②當時，在單調遞減，單調遞增．
由恒成立，得．
即．
令，
恒成立，
所以在單調遞減，且．
故當，符合題意，
當，不合題意．
綜上，的取值范圍為．
（3）由，
得，且．
由（2）可知，令，有可得，
令可得即．
由得即．
兩邊取對數(shù)得，由上述不等式得
于是，
所以．
當時，，不等式成立；
當時，
．即當時，不等式成立．
綜上，得證．
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；
2．利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關系；
3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；
4．構造“形似”函數(shù)，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數(shù).
1．已知數(shù)列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據條件可得數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，即可求出結果；
（2）由（1）可得，再利用裂項相消法即可求出結果.
【詳解】（1）由，可得，又，
故數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
2．（2024·四川·模擬預測）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構造新數(shù)列，是等差數(shù)列，通過的通項公式得到的通項公式.
（2）由，得到，進而，裂項相消法求和.
【詳解】（1）由知，若，則，若，則．
又，所以．
由，可得即（常數(shù)），
故是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
當時，，則．
所以
，
所以，
當時，也滿足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
3．（2024·湖南長沙·模擬預測）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，．
(1)求；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析．
【分析】（1）利用基本量代換，列方程組求出d、q，即可得到；
（2）利用裂項相消法求和即可證明．
【詳解】（1）設的公差為d，的公比為q，則d為正整數(shù)，
依題意有①．
由知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2），∴
∴
即證．
4．（2024·四川內江·一模）已知數(shù)列、滿足，，，，其中、、．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可得對任意的，，利用前項和與通項的關系可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由題意得出，可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式，利用裂項求和法可求得.
【詳解】（1）由題意可知，對任意的，，
當時，由，可得，
上述兩個等式作差可得，可得，
也滿足，故對任意的，.
（2）由題意可知，，所以，.
所以，，
所以，.
5．（2024·四川雅安·一模）已知數(shù)列滿足，（，且）．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和；
(3)令，數(shù)列的前n項和為，證明：．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，求出，再利用構造法，結合等比數(shù)列定義推理即得.
（2）由（1）求出，再利用分組求和法及錯位相減法求即得.
（3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性質，結合等比數(shù)列求和公式推理得證.
【詳解】（1）數(shù)列中，當時，，則，
而，又，解得，，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，即，，
則，
令，
則，
兩式相減得，
則，所以.
（3）由（2）知，，，顯然，
則；又，
于是，
所以.
【點睛】方法點睛：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．
6．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設出公差，借助等差數(shù)列性質與等比數(shù)列性質計算即可得；
（2）分奇數(shù)項及偶數(shù)項分組求和，結合等比數(shù)列的性質與裂項相消法計算即可得.
【詳解】（1）設的公差為，由題意知，即，
即有，因為，可得，，
所以；
（2）設數(shù)列的前項中的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，
則
，
，
所以．
7．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數(shù)列的通項公式可得，結合計算即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法可得，則，結合基本不等式計算即可求解.
【詳解】（1）由題意知：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，
所以，整理得：，
又當時，，
因為滿足上式，所以，
故數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，則，
又由，
當且僅當即時取等號，故實數(shù)的取值范圍為.
解法2：由，
可得，
當，即時，，
則，故實數(shù)的取值范圍為.
8．（2024·浙江·一模）已知數(shù)列的首項是1，其前項和是，且，.
(1)求，的值及數(shù)列的通項公式；
(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式，有解，求實數(shù)取到最大值時的值.
【答案】(1)，，
(2)4或5
【分析】（1）用累加法得到數(shù)列通項公式；
（2）求出數(shù)列前項和，列出不等式，構造函數(shù)利用導函數(shù)求最大值，并找到最大值點.
【詳解】（1）∵，∴
當時，，
即，
當時，也滿足，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知，
∴，∴
令，
，當時，，當時，
∵
∴的最大值為70，即當或時，取得最大值70，
∴取得最大值時，取4或5.
9．（2024·福建廈門·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前n項和，，，.
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列的前n項和，若，求n的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根據等差數(shù)列基本量的計算即可求解，
（2）根據等差求和公式以及等比求和公式，結合分組求解可求解，即可根據不等式求解.
【詳解】（1）設數(shù)列的公差為d，
依題意，， 即，解得，
所以的通項公式是.
（2）由（1）知，所以，
，
恒成立，
令，
由，由于，所以.
所以
又，，，
所以的最小值為5.
10．（2024·河南信陽·模擬預測）在數(shù)列中，，．
(1)記，證明：為等比數(shù)列；
(2)記為的前項和，若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據遞推公式結合等比數(shù)列定義分析證明；
（2）由（1）可得，進而可得，結合二次函數(shù)性質分析求解.
【詳解】（1）因為，即，
則，且，
所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）可知：，即，
所以
，
可知，
若是遞增數(shù)列，結合二次函數(shù)對稱性可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
11．（2024·天津·二模）設是等差數(shù)列，其前項和，是等比數(shù)列，且，，.
(1)求與的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
(3).
【分析】（1）結合等差數(shù)列的通項公式，求和公式以及等比數(shù)列的通項公式進行求解；
（2）可以采取分組求和的方式，即將奇數(shù)項與偶數(shù)項的和分開求解，再利用錯位相減法以及裂項相消法分別求和；
（3）對于求參數(shù)的范圍，一般可以采用分離參數(shù)的方法，對于求后面式子的最值，結合函數(shù)的單調性進行分析求解．
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，，又，，，
由，，又，，，
，，
即，．
（2）當為奇數(shù)時，，
記，則有
，
，
得：
，
，
，
當為偶數(shù)時，，
記，
，
．
（3）由與恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
設，
，
單調遞增，
又，
，
．
12．（2024·廣東佛山·二模）已知數(shù)列滿足，，且．
(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)設，且數(shù)列的前項和為，證明：當時，．
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）先把數(shù)列進行適當?shù)姆趴s，再用分組求和的方法求滿足的關系，并證明.
【詳解】（1）因為，，
所以，，.
易知，所以，
因為．
所以是等比數(shù)列，首項，公比，所以．
（2）由（1）可得，
先證明左邊：即證明，
當時，，
所以，
所以，
再證明右邊：，
因為，
所以，
即，下面證明，
即證，即證，
設，，則，設，，
因為，所以函數(shù)在上單調遞增，
則，即，，
所以，所以．
綜上，．
【點睛】方法點睛：數(shù)列不等式的證明方法主要有：
（1）作差比較法：不等式兩邊作差與0比較大小.
（2）放縮比較法：對表達式適當放縮，證出不等式.
13．（2024·山東泰安·模擬預測）在足球比賽中，有時需通過點球決定勝負．
(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲 乙 丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住．記第次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．
① 試證明：為等比數(shù)列；
② 設第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為；
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）解法一：由題意可得，然后根據二項分布的概率公式求解概率，從而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值為，且在一次撲球中，撲到點球的概率，然后分別求出各自對應的概率，從而可求出分布列和期望；
（2）①由題意可得第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，化簡變形后可證得結論；②分別表示出，化簡后與比較大小可得結論.
【詳解】（1）解法一：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為，
門將在前三次撲到點球的個數(shù)可能的取值為
易知，
所以
故的分布列為：
0 1 2 3
所以的數(shù)學期望．
解法二：的所有可能取值為
在一次撲球中，撲到點球的概率，
所以

所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的數(shù)學期望：
（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，
則
即，又，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查二項分布的分布列和期望，考查等比數(shù)列的證明，第（2）問解題的關鍵是根據題意用表示出，考查理解能力和計算能力，屬于較難題.
14．（2024·廣東廣州·模擬預測）甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.
(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；
(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項公式；
(3)設，求證：.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）分析事件“三次投擲骰子后球在甲手中”包括四類情況，由獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式即得；
（2）經分析，滿足遞推公式，變形后轉化成等比數(shù)列，即可求得通項；
（3）將（2）代入化簡得，利用裂項求和法得，再對分奇偶進行討論，利用函數(shù)單調性求出和的范圍即得.
【詳解】（1）依題意，球在甲手中時，保留在自己手中的概率為，傳給乙的概率為；
球在乙手中時，傳給甲的概率為，傳給丙的概率為；球在丙手中時，傳給甲和丙的概率都是.
則三次投擲骰子后球在甲手中包括四類的情況，
第一類情況：甲→甲→甲→甲，概率為；
第二類情況：甲→乙→甲→甲，概率為；
第三類情況：甲→乙→丙→甲，概率為；
第四類情況：甲→甲→乙→甲，概率為
由互斥事件的概率加法公式，三次投擲骰子后球在甲手中的概率為.
（2）由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，
故有，變形為.
又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以.
所以數(shù)列的通項公式.
（3）由（2）可得，
則
① 當是奇數(shù)時，因是單調增函數(shù)，故，則，
于是，，故；
② 當是偶數(shù)時，因是單調減函數(shù)，故，則，
于是，，故.
綜上，.
【點睛】方法點睛：本題主要考查隨機事件的概率與數(shù)列知識點的交叉融合，屬于難題.
解決概率與數(shù)列知識點交叉題的方法，一般是從概率問題中尋求相關概率間的遞推關系，利用轉化思想將其化歸為等差或等比數(shù)列求解；對于利用數(shù)列的通項公式證明不等式時，常用到裂項相消法和錯位相減法求和，以及就的奇偶分類討論和函數(shù)的單調性.
15．（2024·天津武清·模擬預測）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)，求數(shù)列的前項和.
(3)表示不超過的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項和，集合共有4個元素，求范圍;
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）設出公比和公差，得到方程組，求出公比和公差，求出通項公式；
（2）設，錯位相減法求得，設，裂項相消法求得，進而可得結果；
（3）求出，設，作差法得到其單調性，結合集合有4個元素，求出.
【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，
因為，
則，解得或（舍去），
所以；.
（2）因為，，
設，
，
兩式相減得
，
所以，
當n為奇數(shù)時，，
設
，
.
（3）由題意可知：，
其中，
所以，
集合，設，
則，
所以當時，，當時，．
計算可得，，，，，
因為集合有4個元素，．
【點睛】結論點睛：常見的裂項相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等；
根式型：等；
對數(shù)型：，且.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑