資源簡介

培優提升五　運動圖像與追及相遇問題
選擇題1～10題，每小題8分，共80分。
基礎對點練
題組一　運動學圖像問題
1.如圖甲所示的賽龍舟是端午節的傳統活動，賽程總長度為s0，a、b兩條龍舟從同一起點開始沿長直河道運動到同一終點線的過程中，位移s隨時間t變化的圖像如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
b龍舟贏得了比賽
0～t1時間內，a、b兩龍舟的平均速度相等
t1時刻，a龍舟的速度等于b龍舟的速度
t1～t2時間內，b龍舟的位移大于a龍舟的位移
2.如圖是物體做直線運動的v－t圖像，由圖像可知，該物體(　　)
0～2 s內和0～4 s內的位移不相等
0～2 s內和0～4 s內的平均速度大小不相等
第1 s內和第4 s內的位移大小不相等
第3 s內和第4 s內的加速度不相同
3.(多選)賽龍舟是端午節的傳統活動。下列v－t和s－t圖像描述了五條相同的龍舟從同一起點線同時出發、沿長直河道劃向同一終點線的運動全過程，其中能反映龍舟甲與其他龍舟在途中出現船頭并齊的有(　　)
A B C D
4.甲、乙兩物體從同一點開始沿同一直線運動，甲的s－t圖像和乙的v－t圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
0～2 s內甲做勻加速運動
第2.5 s和第3.5 s時甲物體速度方向不同
第2.5 s和第3.5 s時乙物體加速度方向不同
0～6 s內甲、乙的位移都為0
題組二　追及相遇問題
5.若運動員將足球以12 m/s的速度踢出，足球沿草地做加速度大小為2 m/s2的勻減速直線運動，踢出的同時運動員以恒定速度8 m/s去追足球，則運動員追上足球所需時間為(　　)
2 s 4 s 6 s 8 s
6.以兩個質點同時同地點向同一方向做直線運動，它們的v－t圖像如圖所示，則(　　)
乙比甲運動得快
乙追上甲時距出發點40 m
4 s內，甲的平均速度大于乙的平均速度
在2 s末乙追上甲
7.甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻同時經過公路旁的同一個路標。在描述兩車運動的v－t 圖中(如圖)，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20 s的運動情況。關于兩車之間的位置關系，下列說法正確的是(　　)
在0～10 s內兩車逐漸靠近
在10～20 s內兩車逐漸遠離
在5～15 s內兩車的位移相等
在t＝10 s時兩車在公路上相遇
8.(多選)在青少年機器人大賽中，某小隊以線上一點為原點，沿賽道向前建立直線坐標系，他們為機器人甲、乙編寫的程序是，讓他們的位移s(m)隨時間t(s)變化的規律分別為s甲＝3t＋t2，s乙＝9t，則(　　)
從原點出發后的較短時間內，乙在前，甲在后
甲、乙相遇前，最大距離為9 m
兩機器人在s＝54 m處相遇
8 s時，兩機器人相遇
綜合提升練
9.從同一地點同時開始沿同一方向做直線運動的兩個物體Ⅰ、Ⅱ的速度—時間圖像如圖所示。在0～t0時間內，下列說法正確的是(　　)
Ⅰ、Ⅱ兩個物體的加速度都在不斷減小
Ⅰ物體的加速度不斷增大，Ⅱ物體的加速度不斷減小
Ⅰ物體的位移不斷增大，Ⅱ物體的位移不斷減小
Ⅰ、Ⅱ兩個物體的平均速度大小都是
10.(多選)(2024·福建廈門高一期中)甲、乙兩物體同時從同一位置出發做直線運動，v－t圖像如圖所示，則(　　)
10～20 s內，乙的加速度為2 m/s2
0～20 s內，甲、乙的平均速度之比為8∶3
t＝10 s時，乙的速度方向發生改變
t＝20 s時，甲、乙相遇
11.(10分)如圖甲所示，在一次爆破演習中，爆破隊員點火后立即以最大加速度a向外奔跑8 m達最大速度v，然后以速度v向外做勻速運動，其速度－時間圖像如圖乙所示，若導火索的火焰順著導火索燃燒的速度是0.8 cm/s，為了使點火隊員在導火索火焰燒到爆炸物以前能夠跑到離點火處120 m遠的安全地方處，問：
(1)(5分)隊員奔跑時的最大加速度a多大；
(2)(5分)導火索至少需要多長才行。
培優加強練
12.(10分)如圖甲所示，A車原來臨時停在一水平路面上，B車在后面勻速向A車靠近，A車司機發現后啟動A車，以A車司機發現B車為計時起點(t＝0)，A、B兩車的v－t圖像如圖乙所示。已知B車在第1 s內與A車的距離縮短s1＝12 m。
(1)(5分)求B車運動的速度vB和A車的加速度a的大小；
(2)(5分)若A、B兩車不會相撞，則A車司機發現B車時(t＝0)兩車的距離s0應滿足什么條件？
培優提升五　運動圖像與追及相遇問題
1.B　[賽程總長度為s0，根據位移—時間圖線可知，a龍舟用時較短，則a龍舟贏得了比賽，故A錯誤；0～t1時間內，兩龍舟的位移相同，由＝可知，a、b兩龍舟的平均速度相等，故B正確；位移—時間圖像的斜率表示速度，在t1時刻a龍舟的圖像斜率更大，則a龍舟的速度大于b龍舟的速度，故C錯誤；在t1～t2時間內，兩龍舟的起點相同，a先到達位置s0，則a龍舟的位移大于b龍舟的位移，故D錯誤。]
2.B　[0～2 s內物體的位移s2＝＝1.5 m，則平均速度 2＝＝0.75 m/s。0～4 s內物體的位移s4＝1.5 m＝s2，則平均速度4＝＝0.375 m/s，A錯誤，B正確；第1 s內和第4 s內位移大小均為0.5 m，C錯誤；第3 s內和第4 s內加速度均為－1 m/s2，D錯誤。]
3.BD　[從v－t圖像上看，由于所有龍舟出發點相同，故只要存在甲龍舟與其他龍舟從出發到某時刻圖線與t軸所圍圖形面積相等，就存在船頭并齊的情況，故A錯誤，B正確；從s－t圖像上看，圖像的交點即代表兩龍舟船頭并齊，故D正確，C錯誤。]
4.D　[0～2 s內甲做勻速直線運動，故A錯誤；第2.5 s和第3.5 s時甲物體速度方向相同，故B錯誤；第2.5 s和第3.5 s時乙物體加速度方向相同，故C錯誤；由題圖可知，甲從原點出發，又回到原點，位移為0；題圖乙的圖線與t軸所圍的面積表示位移，t軸上下面積相等，說明總位移為0，故0～6 s內甲、乙的位移都為0，故D正確。]
5.B　[設足球的初速度為v0，運動員的速度為v，經時間t追上，則有v0t－at2＝vt，代入數據解得t＝4 s，此時足球的速度為v1＝v0－at＝4 m/s，還未停止運動，符合勻減速運動規律，故運動員追上足球所需時間為4 s，B正確。]
6.B　[甲做勻速直線運動，乙做勻加速直線運動，前2 s乙的速度小于甲，而2 s后乙的速度大于甲，即2 s后乙比甲運動得快，A錯誤；2 s末兩者的速度相等，但兩者圖線與坐標軸圍成的面積不相等，即此時兩者沒相遇，4 s時兩個質點的位移相等，乙追上甲，此時兩質點的位移均為10 m/s×4 s＝40 m，B正確，D錯誤；4 s內兩者的位移相等，所用時間相等，所以兩者的平均速度相等，C錯誤。]
7.C　[在0～10 s內，乙車的速度一直比甲車大，兩車應逐漸遠離，則A錯誤；在10～20 s內，甲車的速度一直比乙車大，兩車逐漸靠近，則B錯誤；在5～
15 s內，兩圖像與坐標軸的面積相等，則兩車的位移相等，則C正確；在t＝10 s時兩車速度相等，相距最遠，則D錯誤。]
8.ABC　[根據位移公式s＝v0t＋at2與s甲＝3t＋t2比較系數可得甲的初速度為v1＝3 m/s，a＝2 m/s2，乙做速度為v2＝9 m/s的勻速直線運動，根據位移關系式可知從原點出發后的較短時間內，乙在前，甲在后，故A正確；當速度相等時相距最遠，則有v1＋at＝v2，代入數據可得t＝3 s，則這段時間內甲運動的位移為s1＝3×3 m＋32 m＝18 m，乙的位移為s2＝27 m，距離為Δs＝s2－s1＝9 m，故B正確；相遇時位移相等，則有3t＋t2＝9t，解得t＝6 s，則乙運動的位移為s＝9×6 m＝54 m，故C正確，D錯誤。]
9.A　[v－t圖像的切線斜率表示物體的加速度，由題圖可知，兩物體的加速度都在不斷減小，A項正確，B項錯誤；兩物體在0～t0時間內的速度均為正值，故兩物體沿正方向運動的位移都在不斷增大，C項錯誤；＝只適用于勻變速直線運動，D項錯誤。]
10.AB　[v－t圖像斜率的絕對值表示加速度的大小，斜率的正負表示加速度的方向，所以10～20 s內，乙的加速度為a2＝＝2 m/s2，故A正確；甲是勻速直線運動，所以0～20 s內甲的平均速度為1＝20 m/s，乙的平均速度為0～20 s內總位移與總時間的比值，則乙的位移s2＝×10 m/s×10 s＋×20 m/s×10 s＝150 m，2＝＝7.5 m/s，所以＝，故B正確；t＝10 s時，乙的速度減小為零，10 s前后速度都是正方向，所以10 s時方向并未發生改變，故C錯誤；t＝20 s時，甲的位移為s1＝20 m/s×20 s＝400 m，乙的位移為s2＝150 m，由于二者從同一位置同時出發，所以t＝20 s時甲、乙未相遇，故D錯誤。]
11.(1)4 m/s2　(2)12.8 cm
解析　(1)從圖像可知人在0～2 s內做勻加速運動，其加速度a＝＝4 m/s2。
(2)由圖像知，隊員加速奔跑時用時t＝2 s，位移為
s1＝t＝8 m
做勻速運動的距離
Δs＝120 m－8 m＝112 m
所需的時間為t1，t1＝＝＝14 s
由此可得隊員跑到安全距離所用的總時間為
t2＝t＋t1＝2 s＋14 s＝16 s
導火索的長度至少為
s＝v′t2＝0.8 cm/s×16 s＝12.8 cm。
12.(1)12 m/s　3 m/s2　(2)s0>36 m
解析　(1)在t1＝1 s時A車剛啟動，兩車間縮短的距離
s1＝vBt1
解得B車的速度vB＝12 m/s
A車的加速度a＝＝3 m/s2。
(2)兩車的速度相等時，兩車的距離達到最小，對應于v－t圖像的t2＝5 s時刻，此時兩車已發生的相對位移為梯形的面積，則
s＝vB(t1＋t2)＝36 m
若A、B兩車不會相撞，則兩車的距離s0應滿足s0>36 m。培優提升五　運動圖像與追及相遇問題
學習目標　1.知道一般直線運動和勻變速直線運動的s－t圖像和v－t圖像中坐標、斜率、截距、交點的含義，能根據圖像分析加速度、位移等量及物體的運動。
2.掌握追及相遇問題的分析思想和方法。
提升1　運動圖像問題
1.v－t圖像與s－t圖像的比較
　　種類 內容　　 v－t圖像 s－t圖像
圖線斜率 表示加速度 表示速度
圖線與時間軸所圍面積 表示位移 無意義
兩圖線交點坐標　 表示速度相同，不表示相遇，往往是距離最大或最小的臨界點 表示相遇
相同點 表示物體做的都是直線運動
2.注意事項
(1)無論是s－t圖像還是v－t圖像都只能描述直線運動。
(2)s－t圖像和v－t圖像都不表示物體運動的軌跡。
(3)s－t圖像和v－t圖像的形狀由s與t、v與t的函數關系決定。
(4)根據斜率判斷物體的運動狀況，根據s－t圖像斜率判斷速度變化情況，根據v－t圖像斜率判斷加速度變化情況。
題型1　v－t圖像與s－t圖像的比較
例1 (多選)物體甲的s－t圖像和物體乙的v－t圖像分別如圖所示，則這兩物體的運動情況是(　　)
A.甲在整個t＝6 s時間內運動方向一直不變，它通過的總位移大小為4 m
B.甲在整個t＝6 s時間內有來回運動，它通過的總位移為零
C.乙在整個t＝6 s時間內有來回運動，它通過的總位移為零
D.乙在整個t＝6 s時間內運動方向一直不變，平均速率為1 m/s
v－t圖像和s－t圖像的應用技巧
(1)確認是v－t圖像還是s－t圖像。
(2)理解并熟記五個對應關系
①斜率與加速度或速度對應。
②縱截距與初速度或初始位置對應。
③橫截距對應速度或位移為零的時刻。
④交點對應速度或位置相同。
⑤拐點對應運動狀態發生改變。　　
題型2　v－t圖像的理解及應用
例2 某款無人機進行調試時，某段過程中運動的v－t圖像如圖所示。取豎直向上為正方向，對無人機在該過程中的運動，下列判斷正確的是(　　)
A.0～5 s內勻速上升
B.10 s末上升到最高點
C.第12 s內的加速度大小為6 m/s2
D.前10 s內的平均速度與前12 s內的平均速度相同
用v－t圖像巧得三個運動量
訓練 (2024·福建廈門高一期中)廈門地鐵1號線被稱為“最美海景地鐵”，列車跨海飛馳，乘客在車廂內可觀賞窗外美麗的海景。設列車從高崎站至集美學村站做直線運動，運動的v－t圖像如圖所示，總位移為s，總時間為t0，最大速度為vm，加速過程與減速過程的加速度大小相等，則下列說法正確的是(　　)
A.加速運動時間大于減速運動時間
B.從高崎站至集美學村站的平均速度為
C.勻速運動時間為－t0
D.加速運動時間為－t0
提升2　追及相遇問題
1.追及相遇問題
兩物體在同一直線上一前一后運動，它們之間的距離發生變化時，可能出現最大距離、最小距離或者距離為零的情況，這類問題稱為追及相遇問題，討論追及相遇問題的實質是兩物體能否在同一時刻到達同一位置。
2.追及相遇問題的分析方法
追及相遇問題中的一個條件、兩個關系和三點技巧
3.解答追及相遇問題常用的三種方法
物理 分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，畫出物體運動的示意圖
函數 判斷法 設相遇時間為t，根據條件列方程，得到位移s與時間t的函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況
圖像 分析法 將兩個物體運動的速度—時間關系圖線或位移—時間關系圖線畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題
角度1　速度小者追速度大者
例3 一輛汽車在十字路口等紅燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始行駛。恰在這時一輛自行車以6 m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：
(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠，此時距離是多少？
(2)什么時候汽車追上自行車，此時汽車的速度是多少？
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角度2　速度大者追速度小者
例4 汽車以20 m/s的速度在平直公路上行駛時，制動后40 s停下來。現汽車在同一平直公路上以20 m/s的速度行駛時發現前方200 m處有一貨車以6 m/s的速度同向勻速行駛，司機立即制動，求：
(1)汽車制動時的加速度大小；
(2)是否發生撞車事故？若發生撞車事故，在何時發生？若沒有撞車，兩車最近距離為多少？
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隨堂對點自測
1.(運動圖像問題)(多選)做直線運動的某物體的v－t 圖像如圖所示。由圖像可知(　　)
A.前10 s物體的加速度為0.5 m/s2，后5 s物體的加速度為－1 m/s2
B.15 s末物體回到出發點
C.前15 s內物體的位移為37.5 m
D.前10 s內物體的平均速度為2.5 m/s
2.(追及相遇問題)大霧天氣會影響駕駛員安全駕駛，因此開車在路上時如遇大霧應該保持車距、控制車速。某大霧天，一輛小汽車在水平直線公路上以72 km/h的速度勻速行駛，突然發現前方一貨車正以36 km/h的速度勻速行駛。小汽車駕駛員經過1 s反應時間后開始剎車(假設在反應時間內汽車的車速不變)，剎車的加速度大小為2 m/s2，小汽車恰好沒撞上貨車，那么小汽車駕駛員剛發現貨車時距貨車的距離為(　　)
A.30 m B.35 m C.40 m D.45 m
3.(追及相遇問題)(多選)A、B兩物體在同一直線上運動的v－t圖像如圖所示，已知在第4 s末兩物體相遇，則下列說法正確的是(　　)
A.兩物體從同一地點出發
B.出發時A在B前方4 m處
C.兩物體運動過程中，A的加速度小于B的加速度
D.第4 s末兩物體相遇之后，兩物體可能再次相遇
培優提升五　運動圖像與追及相遇問題
提升1
例1 AC　[根據s－t圖像的斜率表示速度可知，甲在整個t＝6 s時間內一直沿正方向運動，運動方向一直不變，做勻速直線運動，通過的總位移大小為s甲＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正確，B錯誤；根據v－t圖像與時間軸所圍的面積表示位移可知，乙在0～3 s內沿負方向做勻減速直線運動，位移為s1＝×(－2 m/s)×3 s＝－3 m；3 s 后沿正方向做勻加速直線運動，位移為s2＝×2 m/s×3 s＝3 m；則總位移為s乙＝s1＋s2＝0，故C正確，D錯誤。]
例2 C　[0～5 s內， v－t圖線是向上的傾斜直線，加速度不變，無人機勻加速上升，A錯誤；圖線在t軸上方，表示物體沿正方向運動，在t軸下方，表示物體沿負方向運動，由圖可知0～11 s內無人機上升，11～12 s內無人機下降，則11 s末上升到最高點，B錯誤；由于v－t圖線的斜率表示加速度，可知第12 s內的加速度為a＝＝－6 m/s2，加速度大小為6 m/s2，C正確；根據v－t圖線與時間軸所圍的面積表示位移，可知10～12 s內位移為0，則前10 s內的位移與前12 s內的位移相同，但所用時間不等，前10 s內的平均速度較大，D錯誤。]
訓練 C　[加速過程與減速過程的加速度大小相等，速度變化量大小相等，則加速運動的時間等于減速運動的時間，故A錯誤；從高崎站至集美學村站的平均速度＝>，故B錯誤；設勻速運動時間為t，v－t圖像的面積代表位移，總位移s＝(t＋t0)vm，解得t＝－t0，故C正確，D錯誤。]
提升2
例3 (1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
解析　方法一　用運動學公式求解。
(1)汽車開動后速度由0逐漸增大，而自行車的速度不變。當汽車的速度小于自行車的速度時，兩車的距離將越來越大，而一旦汽車的速度加速到超過自行車的速度時，兩車的距離就將縮小。因此兩者速度相等時兩車相距最遠(以上分析緊緊抓住了“速度關系”及“位移關系”)，有
v汽＝at＝v自
所以t＝＝＝2 s
Δs＝v自t－at2＝6 m/s×2 s－×3 m/s2×(2 s)2＝6 m。
(2)汽車追上自行車時，兩車位移相等，
則v自t′＝
代入數據解得t′＝4 s
故v′＝at′＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。
方法二　用數學中求極值的方法來求解。
(1)設汽車在追上自行車之前經時間t兩車相距最遠。
因為Δs＝s1－s2＝v自t－at2
所以Δs＝6t－t2
由二次函數求極值條件知
t＝＝2 s時，Δs最大
所以Δs＝6t－t2＝6 m。
(2)同方法一中的(2)。
方法三　用圖像求解。
(1)自行車和汽車的v－t圖像如圖所示，因為圖線與橫坐標軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖像可以看出：相遇之前，t時刻兩車速度相等時，自行車的位移(矩形面積)與汽車的位移(三角形面積)之差(陰影部分)達到最大。
所以t＝＝＝2 s
Δs＝v自t－at2
＝6 m/s×2 s－×3 m/s2×(2 s)2＝6 m。
(2)由圖可看出：在t時刻以后，當自行車與汽車的v－t圖像圍成的三角形面積與標有陰影的三角形面積相等時，兩車的位移相等(即相遇)。所以由圖得相遇時，t′＝2t＝4 s，v′＝2v自＝12 m/s。
例4 (1)0.5 m/s2　(2)不會相撞　4 m
解析　(1)汽車制動時的加速度大小
a＝＝0.5 m/s2。
(2)當汽車減速到與貨車共速時，所需的時間
t0＝＝28 s
此時間內汽車運動的位移
s1＝＝364 m
此時間內貨車運動的位移為
s2＝vBt0＝168 m
Δs＝s1－s2＝196 m<200 m，所以兩車不會相撞。
此時兩車相距最近，最近距離
s＝s0－Δs＝200 m－196 m＝4 m。
隨堂對點自測
1.ACD　[在v－t圖像中，圖線斜率表示加速度，故前10 s物體的加速度為a1＝＝＝0.5 m/s2，后5 s物體的加速度為a2＝＝－1 m/s2，故A正確；v－t圖線與時間軸所圍“面積”表示位移，故物體在前15 s內的位移為s＝×5 m/s×15 s＝37.5 m，B錯誤，C正確；前10 s內物體的平均速度＝＝＝2.5 m/s，故D正確。]
2.B　[兩車共速時有v0－at＝v貨，解得t＝5 s，小汽車駕駛員剛發現貨車時距貨車的距離為Δs＝v0Δt＋v0t－at2－v貨(t＋Δt)，解得Δs＝35 m，故B正確。]
3.BC　[由v－t圖像與t軸所圍的“面積”表示位移大小可知，兩物體在0～4 s內的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出發點不同，A錯誤；sA＝×4 m/s×
4 s＝8 m，sB＝×6 m/s×4 s＝12 m，已知在第4 s末相遇，則出發時A在B前方4 m處，B正確；由于A圖線的斜率小于B圖線的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正確；相遇后A的速度始終小于B的速度，所以兩物體不會再次相遇，D錯誤。](共51張PPT)
培優提升五　運動圖像與追及相遇問題
第2章　勻變速直線運動
1.知道一般直線運動和勻變速直線運動的s－t圖像和v－t圖像中坐標、斜率、截距、交點的含義，能根據圖像分析加速度、位移等量及物體的運動。
2.掌握追及相遇問題的分析思想和方法。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　追及相遇問題
提升1　運動圖像問題
提升1　運動圖像問題
1.v－t圖像與s－t圖像的比較
　　種類 內容　　 v－t圖像 s－t圖像
圖線斜率 表示加速度 表示速度
圖線與時間軸所圍面積 表示位移 無意義
兩圖線交點坐標　 表示速度相同，不表示相遇，往往是距離最大或最小的臨界點 表示相遇
相同點 表示物體做的都是直線運動
2.注意事項
(1)無論是s－t圖像還是v－t圖像都只能描述直線運動。
(2)s－t圖像和v－t圖像都不表示物體運動的軌跡。
(3)s－t圖像和v－t圖像的形狀由s與t、v與t的函數關系決定。
(4)根據斜率判斷物體的運動狀況，根據s－t圖像斜率判斷速度變化情況，根據v－t圖像斜率判斷加速度變化情況。
AC
題型1　v－t圖像與s－t圖像的比較
例1 (多選)物體甲的s－t圖像和物體乙的v－t圖像分別如圖所示，則這兩物體的運動情況是(　　)
A.甲在整個t＝6 s時間內運動方向一直不變，它通過的總位移大小為4 m
B.甲在整個t＝6 s時間內有來回運動，它通過的總位移為零
C.乙在整個t＝6 s時間內有來回運動，它通過的總位移為零
D.乙在整個t＝6 s時間內運動方向一直不變，平均速率為1 m/s
v－t圖像和s－t圖像的應用技巧
(1)確認是v－t圖像還是s－t圖像。
(2)理解并熟記五個對應關系
①斜率與加速度或速度對應。
②縱截距與初速度或初始位置對應。
③橫截距對應速度或位移為零的時刻。
④交點對應速度或位置相同。
⑤拐點對應運動狀態發生改變。　　
題型2　v－t圖像的理解及應用
例2 某款無人機進行調試時，某段過程中運動的v－t圖像如圖所示。取豎直向上為正方向，對無人機在該過程中的運動，下列判斷正確的是(　　)
A.0～5 s內勻速上升
B.10 s末上升到最高點
C.第12 s內的加速度大小為6 m/s2
D.前10 s內的平均速度與前12 s內的平均速度相同
C
用v－t圖像巧得三個運動量
訓練 (2024·福建廈門高一期中)廈門地鐵1號線被稱為“最美海景地鐵”，列車跨海飛馳，乘客在車廂內可觀賞窗外美麗的海景。設列車從高崎站至集美學村站做直線運動，運動的v－t圖像如圖所示，總位移為s，總時間為t0，最大速度為vm，加速過程與減速過程的加速度大小相等，則下列說法正確的是(　　)
C
提升2　追及相遇問題
1.追及相遇問題
兩物體在同一直線上一前一后運動，它們之間的距離發生變化時，可能出現最大距離、最小距離或者距離為零的情況，這類問題稱為追及相遇問題，討論追及相遇問題的實質是兩物體能否在同一時刻到達同一位置。
2.追及相遇問題的分析方法
追及相遇問題中的一個條件、兩個關系和三點技巧
3.解答追及相遇問題常用的三種方法
物理 分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，畫出物體運動的示意圖
函數 判斷法 設相遇時間為t，根據條件列方程，得到位移s與時間t的函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況
圖像 分析法 將兩個物體運動的速度—時間關系圖線或位移—時間關系圖線畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題
角度1　速度小者追速度大者
例3 一輛汽車在十字路口等紅燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始行駛。恰在這時一輛自行車以6 m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：
(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠，此時距離是多少？
(2)什么時候汽車追上自行車，此時汽車的速度是多少？
解析　方法一　用運動學公式求解。
(1)汽車開動后速度由0逐漸增大，而自行車的速度不變。當汽車的速度小于自行車的速度時，兩車的距離將越來越大，而一旦汽車的速度加速到超過自行車的速度時，兩車的距離就將縮小。因此兩者速度相等時兩車相距最遠(以上分析緊緊抓住了“速度關系”及“位移關系”)，有v汽＝at＝v自，
(2)汽車追上自行車時，兩車位移相等，
代入數據解得t′＝4 s
故v′＝at′＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。
方法二　用數學中求極值的方法來求解。
(1)設汽車在追上自行車之前經時間t兩車相距最遠。
方法三　用圖像求解。
(1)自行車和汽車的v－t圖像如圖所示，因為圖線與橫坐標軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖像可以看出：相遇之前，t時刻兩車速度相等時，自行車的位移(矩形面積)與汽車的位移(三角形面積)之差(陰影部分)達到最大。
(2)由圖可看出：在t時刻以后，當自行車與汽車的v－t圖像圍成的三角形面積與標有陰影的三角形面積相等時，兩車的位移相等(即相遇)。所以由圖得相遇時，t′＝2t＝4 s，v′＝2v自＝12 m/s。
答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
角度2　速度大者追速度小者
例4 汽車以20 m/s的速度在平直公路上行駛時，制動后40 s停下來。現汽車在同一平直公路上以20 m/s的速度行駛時發現前方200 m處有一貨車以6 m/s的速度同向勻速行駛，司機立即制動，求：
(1)汽車制動時的加速度大小；
(2)是否發生撞車事故？若發生撞車事故，在何時發生？若沒有撞車，兩車最近距離為多少？
解析　(1)汽車制動時的加速度大小
(2)當汽車減速到與貨車共速時，所需的時間
此時間內貨車運動的位移為
s2＝vBt0＝168 m
Δs＝s1－s2＝196 m<200 m，所以兩車不會相撞。
此時兩車相距最近，最近距離
s＝s0－Δs＝200 m－196 m＝4 m。
答案　(1)0.5 m/s2　(2)不會相撞　4 m
隨堂對點自測
2
ACD
1.(運動圖像問題)(多選)做直線運動的某物體的v－t 圖像如圖所示。由圖像可知(　　 )
A.前10 s物體的加速度為0.5 m/s2，后5 s物體的加速度為
－1 m/s2
B.15 s末物體回到出發點
C.前15 s內物體的位移為37.5 m
D.前10 s內物體的平均速度為2.5 m/s
B
2.(追及相遇問題)大霧天氣會影響駕駛員安全駕駛，因此開車在路上時如遇大霧應該保持車距、控制車速。某大霧天，一輛小汽車在水平直線公路上以72 km/h的速度勻速行駛，突然發現前方一貨車正以36 km/h的速度勻速行駛。小汽車駕駛員經過1 s反應時間后開始剎車(假設在反應時間內汽車的車速不變)，剎車的加速度大小為2 m/s2，小汽車恰好沒撞上貨車，那么小汽車駕駛員剛發現貨車時距貨車的距離為(　　)
A.30 m B.35 m C.40 m D.45 m
BC
3.(追及相遇問題)(多選)A、B兩物體在同一直線上運動的v－t圖像如圖所示，已知在第4 s末兩物體相遇，則下列說法正確的是(　　)
A.兩物體從同一地點出發
B.出發時A在B前方4 m處
C.兩物體運動過程中，A的加速度小于B的加速度
D.第4 s末兩物體相遇之后，兩物體可能再次相遇
課后鞏固訓練
3
B
題組一　運動學圖像問題
1.如圖甲所示的賽龍舟是端午節的傳統活動，賽程總長度為s0，a、b兩條龍舟從同一起點開始沿長直河道運動到同一終點線的過程中，位移s隨時間t變化的圖像如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
基礎對點練
A.b龍舟贏得了比賽
B.0～t1時間內，a、b兩龍舟的平均速度相等
C.t1時刻，a龍舟的速度等于b龍舟的速度
D.t1～t2時間內，b龍舟的位移大于a龍舟的位移
B
2.如圖是物體做直線運動的v－t圖像，由圖像可知，該物體(　　)
A.0～2 s內和0～4 s內的位移不相等
B.0～2 s內和0～4 s內的平均速度大小不相等
C.第1 s內和第4 s內的位移大小不相等
D.第3 s內和第4 s內的加速度不相同
BD
3.(多選)賽龍舟是端午節的傳統活動。下列v－t和s－t圖像描述了五條相同的龍舟從同一起點線同時出發、沿長直河道劃向同一終點線的運動全過程，其中能反映龍舟甲與其他龍舟在途中出現船頭并齊的有(　　)
解析　從v－t圖像上看，由于所有龍舟出發點相同，故只要存在甲龍舟與其他龍舟從出發到某時刻圖線與t軸所圍圖形面積相等，就存在船頭并齊的情況，故A錯誤，B正確；從s－t圖像上看，圖像的交點即代表兩龍舟船頭并齊，故D正確，C錯誤。
D
4.甲、乙兩物體從同一點開始沿同一直線運動，甲的s－t圖像和乙的v－t圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A.0～2 s內甲做勻加速運動
B.第2.5 s和第3.5 s時甲物體速度方向不同
C.第2.5 s和第3.5 s時乙物體加速度方向不同
D.0～6 s內甲、乙的位移都為0
解析　0～2 s內甲做勻速直線運動，故A錯誤；第2.5 s和第3.5 s時甲物體速度方向相同，故B錯誤；第2.5 s和第3.5 s時乙物體加速度方向相同，故C錯誤；由題圖可知，甲從原點出發，又回到原點，位移為0；題圖乙的圖線與t軸所圍的面積表示位移，t軸上下面積相等，說明總位移為0，故0～6 s內甲、乙的位移都為0，故D正確。
B
題組二　追及相遇問題
5.若運動員將足球以12 m/s的速度踢出，足球沿草地做加速度大小為2 m/s2的勻減速直線運動，踢出的同時運動員以恒定速度8 m/s去追足球，則運動員追上足球所需時間為(　　)
A.2 s B.4 s C.6 s D.8 s
B
6.以兩個質點同時同地點向同一方向做直線運動，它們的v－t圖像如圖所示，則(　　)
A.乙比甲運動得快
B.乙追上甲時距出發點40 m
C.4 s內，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在2 s末乙追上甲
解析　甲做勻速直線運動，乙做勻加速直線運動，前2 s乙的速度小于甲，而2 s后乙的速度大于甲，即2 s后乙比甲運動得快，A錯誤；2 s末兩者的速度相等，但兩者圖線與坐標軸圍成的面積不相等，即此時兩者沒相遇，4 s時兩個質點的位移相等，乙追上甲，此時兩質點的位移均為10 m/s×4 s＝40 m，B正確，D錯誤；4 s內兩者的位移相等，所用時間相等，所以兩者的平均速度相等，C錯誤。
C
7.甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻同時經過公路旁的同一個路標。在描述兩車運動的v－t 圖中(如圖)，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20 s的運動情況。關于兩車之間的位置關系，下列說法正確的是(　　)
A.在0～10 s內兩車逐漸靠近
B.在10～20 s內兩車逐漸遠離
C.在5～15 s內兩車的位移相等
D.在t＝10 s時兩車在公路上相遇
解析　在0～10 s內，乙車的速度一直比甲車大，兩車應逐漸遠離，則A錯誤；在10～20 s內，甲車的速度一直比乙車大，兩車逐漸靠近，則B錯誤；在5～15 s內，兩圖像與坐標軸的面積相等，則兩車的位移相等，則C正確；在t＝10 s時兩車速度相等，相距最遠，則D錯誤。
ABC
8.(多選)在青少年機器人大賽中，某小隊以線上一點為原點，沿賽道向前建立直線坐標系，他們為機器人甲、乙編寫的程序是，讓他們的位移s(m)隨時間t(s)變化的規律分別為s甲＝3t＋t2，s乙＝9t，則(　 　)
A.從原點出發后的較短時間內，乙在前，甲在后
B.甲、乙相遇前，最大距離為9 m
C.兩機器人在s＝54 m處相遇
D.8 s時，兩機器人相遇
A
9.從同一地點同時開始沿同一方向做直線運動的兩個物體Ⅰ、Ⅱ的速度—時間圖像如圖所示。在0～t0時間內，下列說法正確的是(　　)
綜合提升練
AB
10.(多選)(2024·福建廈門高一期中)甲、乙兩物體同時從同一位置出發做直線運動，v－t圖像如圖所示，則(　　)
A.10～20 s內，乙的加速度為2 m/s2
B.0～20 s內，甲、乙的平均速度之比為8∶3
C.t＝10 s時，乙的速度方向發生改變
D.t＝20 s時，甲、乙相遇
11.如圖甲所示，在一次爆破演習中，爆破隊員點火后立即以最大加速度a向外奔跑8 m達最大速度v，然后以速度v向外做勻速運動，其速度－時間圖像如圖乙所示，若導火索的火焰順著導火索燃燒的速度是0.8 cm/s，為了使點火隊員在導火索火焰燒到爆炸物以前能夠跑到離點火處120 m遠的安全地方處，問：
(1)隊員奔跑時的最大加速度a多大；
(2)導火索至少需要多長才行。
答案　(1)4 m/s2　(2)12.8 cm
做勻速運動的距離
Δs＝120 m－8 m＝112 m
由此可得隊員跑到安全距離所用的總時間為
t2＝t＋t1＝2 s＋14 s＝16 s
導火索的長度至少為
s＝v′t2＝0.8 cm/s×16 s＝12.8 cm。
培優加強練
12.如圖甲所示，A車原來臨時停在一水平路面上，B車在后面勻速向A車靠近，A車司機發現后啟動A車，以A車司機發現B車為計時起點(t＝0)，A、B兩車的v－t圖像如圖乙所示。已知B車在第1 s內與A車的距離縮短s1＝12 m。
(1)求B車運動的速度vB和A車的加速度a的大小；
(2)若A、B兩車不會相撞，則A車司機發現B車時(t＝0)兩車的距離s0應滿足什么
條件？
答案　(1)12 m/s　3 m/s2　(2)s0>36 m
解析　(1)在t1＝1 s時A車剛啟動，兩車間縮短的距離s1＝vBt1
解得B車的速度vB＝12 m/s
(2)兩車的速度相等時，兩車的距離達到最小，對應于v－t圖像的t2＝5 s時刻，此時兩車已發生的相對位移為梯形的面積，則

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