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第四章 三角形及四邊形
4.4 平行四邊形與特殊的平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 多邊形的相關概念 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，（特殊）平行四邊形的部分，考查4道題，分值為20分左右，通常以選填題（3題）、解答題（1題）的形式考查。內容上既有（特殊）平行四邊形的相關知識點的單獨考查，也有和其他幾何內容綜合考查，對于本考點內容，要注重基礎，反復練習，靈活運用。
考點2 平行四邊形的判定及性質 ☆☆☆
考點3 矩形的判定及性質 ☆☆☆
考點4 菱形的判定及性質 ☆☆☆
考點5 正方形的判定及性質 ☆☆☆
多邊形與（特殊）平行四邊形是歷年浙江中考考查重點，年年都會考查，在選擇、填空題中考查多邊形的內角和、平行四邊形性質和判定、與三角形中位線有關計算、利用特殊四邊形性質和判定求角度、長度問題的可能性比較大。解答題中考查特殊四邊形的性質和判定，一般和三角形全等（相似）、解直角三角形、二次函數、動態問題綜合應用的可能性比較大。
2
4
■考點一　多邊形的相關概念 4
■考點二　平行四邊形的判定及性質 7
■考點三　矩形的判定及性質 12
■考點四　菱形的判定及性質 16
■考點五　正方形的判定及性質 20
28
43
■考點一　多邊形的相關概念
1）多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做 多邊形 。
2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的 對角線 。
3）多邊形對角線條數：從n邊形的一個頂點可以引 （n－3） 條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了 (n－2) 個三角形，n邊形的對角線條數為 。
4）多邊形內角和定理：n邊形的內角和為 (n 2) 180°（n≥3） 。
5）多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于 360° ，與多邊形的形狀和邊數無關。
6）正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做 正多邊形 。
7）平面鑲嵌（密鋪）的條件：在同一頂點內的幾個角的和等于360° ；所有正多邊形中，單獨使用其中一種能夠進行密鋪(鑲嵌)的只有正三角形 、正方形 、正六邊形 。如果選用多種，則需要滿足：(1)邊長相等；(2)選用正多邊形若干個內角的和恰好等于360°。
■考點二　平行四邊形的判定與性質
1）平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做 平行四邊形 。
2）平行四邊形的表示：用符號“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
3）平行四邊形的性質：（1）兩組對邊平行且相等 ；（2）對角相等 、鄰角互補 ；（3）對角線互相平分 ；（4）平行四邊形是中心對稱圖形 ，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心 。
4）補充性質：
（1）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積和周長 。
（2）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABE為等腰 三角形，即AB=BE。
（3）如圖②，已知點E為AD上一點，根據平行線間的距離處處相等 ，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。
（4）如圖③，根據平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD。
5）平行四邊形的判定定理：
①定義：兩組對邊分別平行 的四邊形是平行四邊形；②一組對邊平行且相等 的四邊形是平行四邊形；
③兩組對邊分別相等 的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等 的四邊形是平行四邊形；
⑤對角線互相平分 的四邊形是平行四邊形。
6）三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線 。
7）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊 ，并且等于第三邊的一半 。
8）三角形中位線定理的作用：（1）證明位置關系：可以證明兩條直線平行 ；（2）證明數量關系：可以證明線段的倍分 關系。
■考點三　矩形的判定及性質
1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2）矩形的性質：（1）矩形兩組對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.矩形的對稱中心是矩形對角線的交點；矩形有兩條對稱軸，矩形的對稱軸是過矩形對邊中點的直線；矩形的對稱軸過矩形的對稱中心。
【推論】在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。
3）矩形的判定：（1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；
（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。
矩形的判定思路：要證明一個四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對角線相等或有一個角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個角是直角來直接證明。
4）矩形的折疊問題：（1）對折疊前后的圖形進行細致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對應邊、對應角分別相等，找出各相等的邊或角；（2）折痕可看作角平分線（對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）；（3) 折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點之間的連線被折痕垂直平分）；（4）選擇一個直角三角形(不找以折痕為邊長的直角三角形)，利用未知數表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識求解。
■考點四　菱形的判定及性質
1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2）菱形的性質：1）具有平行四邊形的所有性質；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角；4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。
3）菱形的判定：（1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形。
菱形的判定思路：判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分。
4）菱形的面積：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）；菱形的周長：周長C=4a。
■考點五　正方形的判定及性質
1）正方形的定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形。
2）正方形的性質：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質；
（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形對邊平行且相等；
（4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；
（5）正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形，正方形對角線與邊的夾角為45°；
（6）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。
3）正方形的判定：（1）平行四邊形+ 一組鄰邊相等+ 一個角為直角；（2）矩形+ 一組鄰邊相等；
（3）矩形+對角線互相垂直；（4）菱形+一個角是直角；（5）菱形+對角線相等.
正方形的判定思路：判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等。
4）正方形的面積：S正方形＝a2＝對角線乘積的一半；正方形的周長：C正方形=4a。
5）平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系：
■考點一　多邊形的相關概念
◇典例1：（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，在正五邊形內部作等邊三角形，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵等邊三角形，∴，
∵正五邊形，∴，∴，故選：C．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·二模）如圖，由六個正九邊形中間可以拼接出一個美麗的“梅花形圖案”，則圖中的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，圖中6個都是正九邊形正九邊形的每個外角為
正九邊形的每個內角為即
．故選：C．
2．（2024·河北石家莊·一模）淇淇用圖1的六個全等紙片拼接出圖2，圖2的外輪廓是正六邊形．如果用若干個紙片按照圖3所示的方法拼接，外輪廓是正n邊形圖案，那么n的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【詳解】解：正六邊形每一個內角為，，，
圖3中正多邊形的每一個內角為，．故選C
3．（2024·浙江杭州·一模）問題情境：在探索多邊形的內角與外角關系的活動中，同學們經歷了觀察、猜想、實驗、計算、推理、驗證等過程，提出了問題，請解答．
（1）若四邊形的一個內角的度數是α．①求和它相鄰的外角的度數（用含α的代數式表示）；②求其它三個內角的和（用含α的代數式表示）．
（2）若一個n邊形，除了一個內角，其余內角的和為，求n的值．
深入探究：（3）探索n邊形的一個外角與和它不相鄰的個內角的和之間滿足的等量關系，說明理由．
【答案】（1）①，②（2）；（3），理由見解析
【詳解】解：（1）①四邊形的一個內角的度數是，則與它相鄰的外角的度數；
②由于四邊形的內角和是其中一個內角為，則其它三個內角的和為；
（2）由題意得，，
的正整數，，，即這個多邊形為八邊形；
（3）設邊形的一個外角為，它不相鄰的個內角的和為，
則有，即．
◇典例2：（2024·江蘇·?？寄M預測）一個正多邊形的內角和是，則此多邊形的邊數是 ，對角線共有 條．
【答案】 10 35
【詳解】解：設此多邊形的邊數是n，，解得：，
∴對角線條數為：，故答案為：10，35．
◆變式訓練
1.（2024·浙江·模擬預測）用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點在一起，剛好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數為x、y、z，則的值為 ．
【答案】/
【詳解】解：根據題意，這三種邊長相等的正多邊形的內角和為，
則，
∴，∴，故答案為：．
2.（2024·浙江麗水·統考一模）已知一個多邊形內角和為，則這個多邊形可連對角線的條數是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【詳解】設這個多邊形為n邊形，由題意得，，∴，∴這個多邊形為八邊形，
∴這個多邊形可連對角線的條數是，故選C．
■考點二　平行四邊形的判定及性質
◇典例3：（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，在中，，已知點D是邊的中點，點E是平面內一點，連接，若分別是的中點，連接，則的長度為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接，∵點D是邊的中點，∴，
∵， ∴，∴，∴，
∵分別是的中點，∴是的中位線，∴，故選∶A．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·二模）如圖，在一次數學實踐活動中，為了測量校園內被花壇隔開的，兩點的距離，同學們在外選擇一點，測得，兩邊中點的距離為，則，兩點的距離是（ ）m
A．12 B．14 C．16 D．24
【答案】C
【詳解】解：，，是的中位線，，
．．故選：C．
2．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，在中，，D，E分別為，的中點，平分，交于點F，若，則的長為（　?。?br/>A． B．1 C． D．2
【答案】B
【詳解】解：在中，，由勾股定理得：，
∵F平分，∴，∵D，E分別為，的中點，
∴，，∴，
∴，∴，∴，故選：B．
◇典例4：（2024·浙江·一模）如圖，在中，點D，E，F分別在邊，，上，連接，，，與交于點G．已知四邊形是平行四邊形，且．
(1)若，求線段，的長．
(2)若四邊形的面積為48，求的面積．
【答案】(1)， (2)125
【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，∴，，，
，，，，，
，，，，，；
（2）解：，，，
，，
四邊形的面積為48，，∵，
∴，∴，即，解得．
◆變式訓練
1．（2025·浙江溫州·模擬預測）如圖，在中，是邊上一點，，若，則的度數為 ．
【答案】/度
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴
∴∴
∵∴，∵∴，
∵∴∴，
∴故答案為：．
2．（2024·浙江·模擬預測）在中，，過點A作于M．若，則的值為 ．
【答案】或4
【詳解】解：①在線段上，∵四邊形是平行四邊形，∴，設，
，，∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，
②在線段延長線上，設，，，，
∵，，∴，，
∵四邊形是平行四邊形，∴，；故答案為：或．
◇典例5：（2024·浙江杭州·三模）如圖，在平行四邊形中，點E，F在對角線上，且，順次連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
在與中，，∴，∴，
∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
◆變式訓練
1．（2023·浙江寧波·三模）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，為的中點．連結，，，，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)求的值．
【答案】(1)見解析 (2)
【詳解】（1）證明：延長，交于點Q，∵∴
在中，點M為中點∴
∵在中，，∴∴∴
∵∴，∵∴四邊形是平行四邊形
（2）延長，交于點Q，由（1）得
∵M是中點，點Q是的中點，∴
又∵∴，∴
∵中，∴∴
2．（2025·浙江·一模）如圖，在平行四邊形中，平分交于點．
(1)用直尺和圓規作的平分線交于點．
(2)在（1）的條件下，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)作圖見解析(2)見解析
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，，
平分平分，，
，，，，四邊形是平行四邊形．
■考點三　矩形的判定及性質
◇典例6：（2025·浙江·一模）如圖，在正方形中，連接，點是線段上一點（），連接，過點作交于點，連接，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，過點作于點，交于點，
∵四邊形是正方形，∴，，，，
∴，，∴四邊形是矩形，，
∴，在中，，，
∴，∴，在中，，
∴，在中，由勾股定理，得，
∵，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，∴，故選：．
◆變式訓練
1．（2025·浙江寧波·一模）在矩形中， ， ， 點F在線段上， 且， 則點 P到矩形對角線所在直線的距離是 ．
【答案】或
【詳解】解： 如圖1，過點作于點，
四邊形是矩形，，，，，
∵， ，，由勾股定理得，，
，，，，
，，；如圖2，過點作于點，
，，，，
，，；
綜上，點到矩形對角線所在直線的距離是或．故答案為：或．
2．（24-25九年級上·廣東清遠·期末）如圖，矩形中，點E在邊上，將矩形沿直線折疊，點A恰好落在邊的點F處．若，，則的長是 ．
【答案】
【詳解】解：由折疊的性質可知，，
∵四邊形為矩形，∴，，，
∴根據勾股定理得：，設，則，
根據勾股定理得：，∴，解得：．故答案為：．
3．（2024·浙江寧波·二模）如圖，已知在矩形 中， ，點是的中點，點為邊 上的動點，將矩形 繞點 逆時針旋轉，得到矩形，在矩形 繞點 逆時針旋轉的過程中，記 的對應點是點，則線段長度的最大值與最小值的差為 ．
【答案】10
【詳解】解：∵矩形中，，∴，
先固定點，我們發現隨著矩形繞點逆時針旋轉的過程中，
點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓上，∴，
∵是中點，∴，∴當有最大值和最小值時，對應得會有最大值和最小值，
再把看成一個動點，當點與點重合時，，此時最小，
∴，當點與點重合時，，此時最大，
∴，∴，
即線段長度的最大值與最小值的差為10．故答案為：10．
◇典例7：（2024·浙江·模擬預測）已知：如圖，在中，對角線相交于點O，．(1)求證：是矩形．(2)若，求對角線的長．
【答案】(1)證明見解析(2)8
【詳解】（1）證明：在中，，，
又∵，∴，∴，∴，∴是矩形；
（2）解：∵，∴，
∵，∴為等邊三角形，∴，∴．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）下列命題中，屬于真命題的是（ ）
對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；對角線相等的四邊形是矩形；四個角相等的四邊形是正方形；四個角相等的四邊形是矩形．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，原命題是真命題，符合題意；
對角線相等的平行四邊形是是矩形，原命題是假命題，不符合題意；
四個角相等的菱形是正方形，原命題是假命題，不符合題意；
四個角相等的四邊形是矩形，原命題是真命題，符合題意；∴是真命題，故選：．
2．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，是平行四邊形的對角線的交點，，，分別是，，的中點．連結，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的值．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：，分別是， 的中點，，
四邊形為平行四邊形，是中點，，
，四邊形是平行四邊形，
又，是中點，，平行四邊形是矩形；
（2）解：延長交于，
，分別是， 的中點，，，，
，，，，，
，，，，．
■考點四　菱形的判定及性質
◇典例8：（2024·浙江·一模）如圖，在菱形中，過頂點作，，垂足分別為，，連接，若，的面積為，則菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，
，，，
四邊形是菱形，，，，
在和中，，，，
，即，設，，，
，，，
，，，
，，，，
，故選：D．
◆變式訓練
1．（2025·浙江·一模）如圖，在菱形中，，，點為中點，將菱形沿折疊，使點與點重合，連結、，則 ．
【答案】
【詳解】解：過作交的延長線于，
四邊形是菱形，，，，
，，點為中點，，
，，設，則，，
由折疊得：，，，
解得：，，故答案為：．
2．（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，四邊形為菱形，過點D分別作的垂線，垂足為．(1)求證；(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析 (2)
【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，
，，．
（2）解：， ，
四邊形是菱形，，， ，
，，．
◇典例9：（2024·四川德陽·二模）如圖，矩形的對角線，相交于點O，．
(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析 (2)3
【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是平行四邊形，
又∵矩形中，，∴平行四邊形是菱形；
（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）已知四邊形為平行四邊形，（　?。?br/>A．若，則該四邊形為矩形 B．若，則該四邊形為菱形
C．若，則該四邊形為菱形 D．若，則該四邊形為矩形
【答案】D
【詳解】解：A、∵四邊形為平行四邊形，，
∴平行四邊形為菱形，故選項A不符合題意；
B、∵四邊形為平行四邊形，，∴平行四邊形為矩形，故選項B不符合題意；
C、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∵，∴，∴平行四邊形是矩形，故選項C不符合題意；
D、∵四邊形為平行四邊形，，
∴平行四邊形為矩形，故選項D符合題意；故選：D．
2．（2024·浙江杭州·二模）如圖，平行四邊形中，與相交于點O，點P為中點，交于點E，連接，．
(1)求證：平行四邊形為菱形；(2)若，，①求的值．②求的長．
【答案】(1)見解析(2)①，②
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，
在和中，（），，
，，，四邊形是菱形；
（2）解：①∵平行四邊形對角線的交點為O，，，，
，，∵P為的中點，，設，
則，，，解得：，，，；
②設，則，，在中，，
在中，，
，解得：，，．
3．（2024·浙江杭州·二模）如圖，在中，，點D是中點，分別過點A，D作，的平行線交于點E，且交于點O，連結、．
(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形．∴．
∵點D是中點∴∴．∴四邊形是平行四邊形．
在中，為邊上的中線，∴．∴平行四邊形是菱形；
（2）解：中，為邊上的中線，，，∴．
由（1）得四邊形是平行四邊形．∴,∴．
■考點五　正方形的判定及性質
◇典例10：（2025·浙江·一模）如圖，在正方形中，點是上一動點（不與重合），對角線相交于點，過點分別作的垂線，分別交于點，交于點．下列結論：①；②；③；④；⑤點O在M、N兩點的連線上．其中正確的是（　?。?br/>A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【詳解】解：∵四邊形是正方形∴．
∵，∴，
∵在和中，，∴，故①正確；
∴，同理，．∵正方形中，
又∵，∴，且中
∴四邊形是矩形．∴，∴，
又∵，∴，故②正確；
∵四邊形是矩形，∴，在直角中，，
∴，故③正確．
∵是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故④錯誤；
連接，∵垂直平分線段垂直平分線段，
∴，∴，∴點是的外接圓的圓心，
∵，∴為直徑，∴在上，∴點O在M、N兩點的連線上，故⑤正確；
綜上所述： ①②③⑤正確．故答案：B．
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·浙江杭州·期中）如圖，已知正方形為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于，現在有如下5個結論：①定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積．在以上結論中，正確的有（　?。?br/>A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【詳解】解：四邊形是正方形，，
為的中點，，由翻折可知：，，，，，，，，
，，
是直角三角形，故①②正確；如圖1中，當與重合時，
設．則，，
，，
又，，，，，，故③正確，如圖2中，當點與點重合時，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯誤；
綜上所述，正確的有：①②③，故選：C．
2．（2025·浙江寧波·一模）如圖， 已知正方形的邊長為3， P是中點， 點F在上且滿足，延長分別交于點M，交的延長線于點E，則 的長為 ．
【答案】
【詳解】解：如圖，連接，過作于，交于，
∵正方形，∴四邊形，四邊形為矩形，，
，，
∴，，∵P是中點，∴，∴，
∵，∴，∴四點在同一個圓上，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，，設，則，∴，
解得：，（舍去），∴，，
∵，∴，解得：，經檢驗符合題意；
∵，，同理：，∴，
∴，∴；故答案為：
3．（2024·浙江·一模）如圖1，已知矩形中，，點是邊的中點，點是線段上的一個動點，將沿直線翻折，點落在點．(1)在點的運動過程中，請判斷線段與的位置關系，并說明理由；(2)連接，求周長的最小值；(3)如圖2，若，連接，延長交對角線于點，當時，求的長．
【答案】(1)，理由見解析(2)(3)
【詳解】（1）解：，理由如下：連接，如圖所示：
點是的中點，，由折疊可得，
，即點的軌跡為半圓，，，
，，由折疊可得，
則，，；
（2）解：由（1）可知，點的軌跡為半圓，連接，，如圖所示：
在，，由折疊可得，，，
，，
在中，，
最小值為，
周長的最小值，
，當時，周長的最小值；
（3）解：若，則矩形為正方形，連接，如圖所示：由為直徑，可得，
將和分別沿、翻折到和處，延長、相交于點，如圖所示：
由對稱性知，，，則，四邊形為正方形，
在中，，，由勾股定理可得，
，由折疊可知，
設，則，，，
在中，，則由勾股定理可得，解得，．
◇典例11：（2023·湖北十堰·統考中考真題）如圖，的對角線交于點，分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接．(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)請說明當的對角線滿足什么條件時，四邊形是正方形？

【答案】(1)平行四邊形，見解析(2)且
【詳解】（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：
∵的對角線交于點，∴，
∵以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，
∴∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，
∴且時，四邊形是正方形．
◆變式訓練
1．（2025·浙江·模擬預測）下列命題中，真命題是（ ）
A．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形
C．對角線互相垂直四邊形是菱形 D．四邊相等的四邊形是正方形
【答案】B
【詳解】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；
B、對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題；
C、對角線互相垂直平分四邊形是菱形，原命題是假命題；
D、四條邊都相等的四邊形是菱形，原命題是假命題；故選：B．
2．（2024·陜西咸陽·統考三模）如圖，已知，過點D作交的延長線于點E，過點C作交的延長線于點F．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)請添加一個條件：______，使得四邊形是正方形，不用說明理由．
【答案】(1)見解析(2)（答案不唯一）
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，∴四邊形是平行四邊形，
∵，∴，∴四邊形是矩形；
（2），理由是：∵四邊形是矩形，，∴四邊形是正方形．
故答案為：（答案不唯一）
◇典例12：（2023·浙江紹興·統考中考真題）如圖，在矩形中，為對角線的中點，．動點在線段上，動點在線段上，點同時從點出發，分別向終點運動，且始終保持．點關于的對稱點為；點關于的對稱點為．在整個過程中，四邊形形狀的變化依次是（ ）
A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形
B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形
C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形
D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形
【答案】A
【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，
∴，，∵、，∴
∵對稱，∴，∴
∵對稱，∴，
∴，同理，∴∴
∴四邊形是平行四邊形，如圖所示，

當三點重合時，，∴即∴四邊形是菱形，
如圖所示，當分別為的中點時，設，則，，
在中，，連接，，
∵，∴是等邊三角形，
∵為中點，∴，，∴，
根據對稱性可得，∴，
∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形是矩形，
當分別與重合時，都是等邊三角形，則四邊形是菱形
∴在整個過程中，四邊形形狀的變化依次是菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形，
故選：A．
◆變式訓練
1.（2024·山西·統考二模）在平行四邊形的復習課上，小明繪制了如下知識框架圖，箭頭處添加條件錯誤的是（ ）

A．①：對角線相等 B．②：對角互補 C．③：一組鄰邊相等 D．④：有一個角是直角
【答案】B
【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判斷．
【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故A正確，不符合題意；
B、對角互補的矩形不一定是正方形，錯誤，故B符合題意；
C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確，故C不符合題意；
D、有一個角是直角的菱形是正方形，正確，故D不符合題意．故選：B．
【點睛】本題考查矩形，菱形，正方形的判定，關鍵是熟練掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
1．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點M，N，如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：正六邊形每個內角為：，
而六邊形的內角和也為，
∴，∴，
∵，∴，故選：B．
2．（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到了一個內角和為的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設這個正多邊形的邊數為，則，
∴，∴這個正多邊形的每個外角為，故選：．
3．（2024·貴州·中考真題）如圖，的對角線與相交于點O，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵是平行四邊形，∴，故選B．
4．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在中，點是的中點，過點，下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，故①③正確，
，，
點是的中點，，又，，，
，，，故②不正確，
，，，
即，故④正確，綜上所述，正確結論的個數為3個，故選：C．
5．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點是的中點，連接并延長交于點，連接．求證：四邊形是平行四邊形．
證明：∵，∴．
∵，，，∴①______．
又∵，，∴（②______）．
∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過程正確，①，②應分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【詳解】證明：∵，∴．
∵，，，∴①．
又∵，，∴（②）．
∴．∴四邊形是平行四邊形．故選：D．
6．（2024·四川樂山·中考真題）下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；
B、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；
C、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；
D、∵，不能得出四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；故選：D．
7．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（　?。?br/>A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【詳解】根據矩形的性質，得，
∵，∴是等邊三角形，
∵，∴，解得．故選C．
8．（2024·上海·中考真題）四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】A
【詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，
過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，
，
如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，故選：A．
9．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形，E，F，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，，∵E，F，G，H分別為各邊中點，
∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，
∴，同理，∴四邊形是平行四邊形，
∵，∴，∴，同理，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，同理，
∴平行四邊形是矩形，∵，，，
∴，∴，又，，∴，
∴矩形是正方形，在中，，∴，∴，
∴正方形的面積為5，故選：C．
10．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在正方形中，點E，F分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數式表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵正方形中，點E，F分別為對角線的三等分點，
∴，，，∴，
∵，，∴，∴，
∵點E，F分別為對角線的三等分點，∴，
∵正方形，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，故選：B．
11．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，點D，E分別是的中點，連接．若，則的長為 ．
【答案】24
【詳解】解：∵D，E分別是，的中點，
∴是的中點，∴，故答案為：．
12．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，，點在的延長線上，，若平分，則 ．
【答案】5
【詳解】解：在中，，，，，
平分，，，
，，故答案為：5．
13．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構成的四邊形的周長為 ．
【答案】
【詳解】解：過點作于，于，則，
∵兩張紙條的對邊平行，∴，，∴四邊形是平行四邊形，
又∵兩張紙條的寬度相等，∴，∵，∴，
∴四邊形是菱形，在中，，，
∴，∴四邊形的周長為，故答案為：．
14．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是邊，的中點，連接，．若，則的長為

【答案】4
【詳解】解：∵D，E分別是邊，的中點，
∴是的中位線，∴∴
∵∴∴故答案為：4
15．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．
（1）線段的長為 ；（2）若為的中點，則線段的長為 ．
【答案】 2 /
【詳解】（1）四邊形是正方形，，
在中，，，，
；
（2）延長到點，使，連接 由點向作垂線，垂足為
∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，
在中， ，
，
在中，，
為的中位線，；故答案為：2；.
16．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關于過點O的直線l對稱，點B的對應點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為 .
【答案】/
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴設，∴，
如圖所示，連接，，直線l交于點F，交于點G，
∵線段與關于過點O的直線l對稱，點B的對應點在線段上，
∴，，
∴∴點，D，O三點共線∴，
∴∴∵∴
由對稱可得，∴∴
又∵∴∴∵∴
又∵，∴∴
∴．故答案為：．
17．（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為 ．
【答案】
【詳解】解：根據正方形的性質，得，，∴，
∵，∴,，
，∴，∴，∴，
∴的面積為；故答案為：．
18．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知菱形中對角線相交于點O，添加條件 可使菱形成為正方形．
【答案】或
【詳解】解：根據對角線相等的菱形是正方形，可添加：；
根據有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：；
故添加的條件為：或．
19．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長.

【答案】(1)見詳解(2)
【詳解】（1）證明：∵是的中點，，∴，
∵，∴四邊形為平行四邊形；
（2）解：∵，∴，
在中，，，∴，
∵是的中點，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，
∴在中，由勾股定理得．
20．（2024·江西·中考真題）追本溯源：
題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）．
（1）如圖1，在中，平分，交于點D，過點D作的平行線，交于點E，請判斷的形狀，并說明理由．
方法應用：（2）如圖2，在中，平分，交邊于點E，過點A作交的延長線于點F，交于點G．
①圖中一定是等腰三角形的有（ ） A．3個　B．4個　C．5個　D．6個
②已知，，求的長．
【答案】（1）是等腰三角形；理由見解析；（2）①B；②．
【詳解】解：（1）是等腰三角形；理由如下：∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）①∵中，∴，，同（1），∴，
∵，∴，∵，，∴，，
∵，∴，，，∴，，，
即、、、是等腰三角形；共有四個，故選：B．
②∵中，，，∴，，由①得，
∴．
21．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖1，E、F、G、H分別是平行四邊形各邊的中點，連接交于點M，連接AG、CH交于點N，將四邊形稱為平行四邊形的“中頂點四邊形”．
(1)求證：中頂點四邊形為平行四邊形；(2)①如圖2，連接交于點O，可得M、N兩點都在上，當平行四邊形滿足________時，中頂點四邊形是菱形；
②如圖3，已知矩形為某平行四邊形的中頂點四邊形，請用無刻度的直尺和圓規作出該平行四邊形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】(1)見解析(2)①；②見解析．
【詳解】（1）證明：∵， ∴，
∵點E、F、G、H分別是各邊的中點，∴，
∴四邊形為平行四邊形，同理可得：四邊形為平行四邊形，
∴，∴四邊形是平行四邊形；
（2）①當平行四邊形滿足時，中頂點四邊形是菱形，
由（1）得四邊形是平行四邊形，∵，∴，
∴中頂點四邊形是菱形，故答案為：；
②如圖所示，即為所求，連接，作直線，交于點O，然后作（或作BM=MN=ND），然后連接即可，
∴點M和N分別為的重心，符合題意；
證明：矩形，∴，
∵，∴，∴四邊形為平行四邊形；
分別延長交四邊于點E、F、G、H如圖所示：
∵矩形，∴，，由作圖得，
∴，∴，∴點F為的中點，
同理得：點E為的中點，點G為的中點，點H為的中點．
22．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．
(1)尺規作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)連接．求證：四邊形是菱形．
【答案】(1)見解析；(2)見解析．
【詳解】（1）解：如圖1所示，直線為所求；
（2）證明：如圖2，設與的交點為O，
由（1）可知，直線是線段的垂直平分線．
∴，，，，
又∵四邊形是矩形，∴，∴，
∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．
23．（2024·四川遂寧·中考真題）康康在學習了矩形定義及判定定理1后，繼續探究其它判定定理．
(1)實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O；
②以點為圓心，適當長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；
③順次連結所得的四點得到四邊形．
于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．
(2)猜想與證明:通過和同伴交流，他們一致認為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．
已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

【答案】(1)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(2)證明見解析
【詳解】（1）解：由作圖可得：，，∴四邊形是平行四邊形，
該判定定理是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，
∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形．
23．（2024·河北·中考真題）情境 圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．
該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．
（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）
操作 嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．
如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉的剪拼過程，解答問題：
（1）直接寫出線段的長；
（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．
探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．
請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．
【答案】（1）；（2），；的長為或．
【詳解】解：如圖，過作于，結合題意可得：四邊形為矩形，∴，
由拼接可得：，由正方形的性質可得：，
∴，，為等腰直角三角形，∴為等腰直角三角形，
設，∴，∴，，
∵正方形的邊長為，∴對角線的長，∴，
∴，解得：，∴；
（2）∵為等腰直角三角形，；∴，∴，
∵，，∴；
如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，
此時，，符合要求，
或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，
此時，，∴，綜上：的長為或．
1．（2024·安徽·模擬預測）過等腰的頂點畫線段，使得線段與邊平行且相等，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則以為頂點的四邊形是正方形
B．若以為頂點的四邊形是正方形，則
C．若，則以為頂點的四邊形是菱形
D．若以為頂點的四邊形是菱形，則
【答案】C
【詳解】解：線段與平行且相等，以為頂點的四邊形是平行四邊形，
，只有為底角時，才可能有以為頂點的四邊形是正方形，
∴A選項為假命題；同理，B選項也為假命題；
若，一定有，∴以為頂點的四邊形一定是菱形，∴C為真命題；
若以為頂點的四邊形是菱形，則有四邊相等，但不能得到，∴D選項為假命題．
2．（2023·浙江麗水·一模）已知一個多邊形內角和為，則這個多邊形可連對角線的條數是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【詳解】解：設這個多邊形為n邊形，由題意得，，∴，
∴這個多邊形為八邊形，∴這個多邊形可連對角線的條數是，故選C．
3．（2023·浙江臺州·模擬預測）如圖為矩形，一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為a和b，則不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，每一個多邊形的內角和都是的倍數，都能被整除，∵不能被整除，∴不可能是．故選：C．
4．（2024·河北石家莊·一模）如圖，嘉琪從點A出發，沿正東方向前進5m后向左轉30°，再前進5m后又向左轉30°，這樣一直走下去．以下說法錯誤的是（ ）
A．第二次左轉后行走的方向是北偏東30° B．第六次左轉后行走的方向是正西方向
C．第八次左轉后行走的方向是南偏西60° D．嘉琪第一次回到點A時，一共走了60m
【答案】C
【詳解】解：根據題意走過的圖形是正多邊形，設邊數為，則，
第一次行走的方向與正東方向的夾角為30度，則第二次行走的方向與正東方向的夾角為60度，以此類推可知，第次行走的方向與正東方向的夾角為度，
第二次左轉后行走的方向是北偏東30°，故A選項正確，不符合題意；
第六次左轉后行走的方向是正西方向，故B選項正確，不符合題意；
第八次左轉后行走的方向是南偏西30°,故C選項不正確，符合題意；
嘉琪第一次回到點A時，一共走了60m，故D選項正確，不符合題意；故選C．
5．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，在中，過點作的平分線的垂線，垂足為，點為的中點，連接交于點．若，，則的長為（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【詳解】解：如圖，分別延長、交于，
過點作的平分線的垂線，垂足為，
，，而，（ASA），
，而，，
點為的中點，點為的中點，為的中位線，，
，，．故選：B．
6．（2025·浙江寧波·一模）在菱形中， 點E，F分別是， 的中點， 連接， ．若 ，， 則的長為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【詳解】解：延長，交于點M，
在菱形中，點E，F分別是，的中點，
，，，，
在和中，，，
在和中，，，，
過E點作于N點，
，，，，，，
在中，即，
，，故選：A．
7．（2024·浙江·模擬預測）如圖，點E，F分別為正方形的邊上的點，交于點G，連接，已知與的面積之差，若要求正方形面積，只需要知道下列哪條線段的長（ ）

A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【答案】A
【詳解】解：∵正方形，∴，
∴，
∵的面積等于，的面積等于，
∴與的面積之差等于，即：，
∵與的面積之差已知，
∴只需知道線段的長，即可求出的長，進而求出正方形的面積；故選A．
8．（2024·陜西·統考三模）如果過某多邊形的一個頂點的對角線有5條，則該多邊形是 邊形．
【答案】8
【詳解】解：∵過某多邊形的一個頂點的對角線有5條，∴n-3=5∴n=8 故答案為：8．
9．（2024·浙江溫州·三模）如圖①是某創意圖書館設計的一款壁燈圖案的設計圖，象征著欣欣向榮，代表一種生機盎然的自然和諧美．圖②是從圖①圖案中提取的圖形，已知正八邊形被分割成兩個正方形和四個菱形，則 °．

【答案】
【詳解】解：如圖，由正八邊形被分割成兩個正方形和四個菱形，得：

，得．故答案為：．
10．（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，平行四邊形沿對角線折疊，點B落在點E處，與交于點F，若，，則平行四邊形的面積為 ．
【答案】24
【詳解】解：由折疊可得：，
∵平行四邊形，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，，∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．答案：24．
11．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖．在中，對角線，交于點，且，平分交的延長線于點，點為的中點．若，，則的長為 ．
【答案】2
【詳解】解：如圖，設交于點H，
∵四邊形是平行四邊形，對角線交于點O，，
∴， ∴，
∵平分， ∴， ∴， ∴，
∵， ∴， ∴，
∵，， ∴， ∴，
∵點O是的中點，點E是的中點，是的中位線，
∴， 故答案為：2．
12．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知中，，與的角平分線分別交邊于點，，且，則邊的長為 ．
【答案】或
【詳解】解：平分，，
四邊形是平行四邊形，，，
，，，同理：，
分兩種情況：①如圖所示：，；
②如圖2所示：，，，；
綜上所述：的長為或．故答案為：或6
13．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖， 在等腰 中，，若點 D是邊上一點， E是的中點，C關于直線 對稱的點為，交于點 F．
（1）若，則 度（用含的代數式表示）；
（2）若，則 ．
【答案】
【詳解】解：（1）∵，，∴，
∵C關于直線 對稱的點為，∴，∴，
∴，在等腰 中，，
∴，∴；故答案為：；
（2）如圖，過點E作的中點G，連接，并延長交于點H，
∵E是的中點，∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，由（1）得：，
由折疊的性質得：，∵，
∴，∴，設，則，
∴，∴，∴，，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，∴，
∴，∴，設交于點N，過點N作于點M，
∴，，∴，，
∴，∴，∴，∴，∴，
∴，∴．故答案為：
14．（2024·浙江杭州·一模）如圖，在中，點D在邊上，，與邊交于點E，連接．記，的面積分別為，．（1）若是的中位線，則 ；
（2）若，，則線段的長為 ．

【答案】 ．
【詳解】解：（1）∵是的中位線，
∵，，∴，∴，即，
∵點E是的中點，∴，∴，故答案為：；
（2）過點A作于點G，交于點F，過點E作于點H，

∵，∴，∴，∵，∴，
∴，設，即，∴，
∴，即，∵，∴，
∴，∴，整理得，
解得，（舍去），∴，即，
∵，∴，故答案為：．
15．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，在矩形中，，是邊的中點，，分別是邊，上的點，且，垂足為點．若，，則的值為 ．
【答案】/
【詳解】解：過點作，垂足為，
點是邊的中點，，四邊形是矩形，，，
四邊形是矩形，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，
，，
，，，，
，，故答案為：．
16．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形中，，E為邊上的一個動點，連接，點B關于的對稱點為，連接．若的最大值與最小值之比為2，則的長為 ．
【答案】
【詳解】解；如圖所示，連接，
由軸對稱的性質可得，∴點在以A為圓心，半徑為3的圓上運動，
∴當三點共線時，最小，∴；
∵點E在線段上，∴當點E與點B重合時，最大，最大值即為的長，
∴，
∵的最大值與最小值之比為2，∴，∴，
∴，解得或，故答案為：．
17．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在矩形中，，，點E在線段上，．連結，二者相交于點F，連結，與相交于點G，則 ．
【答案】/1.5
【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，
∴在中，由勾股定理，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，故答案為：．
18．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與重合），折痕為，若，，則點到的距離為 ．

【答案】
【詳解】解：作于H ，由折疊的性質可知，，由題意得，，

四邊形是菱形，∴，，
∴為等邊三角形，∴，設，則，
在中，，，
∴在中，，即，
解得，，∴，故答案為：
19．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知菱形的面積是52，一條對角線長為13，則另一條對角線長為 ．
【答案】8
【詳解】解：菱形面積是52，一條對角線長為13，
另一條對角線長是：．故答案為：8．
20．（2025·浙江杭州·模擬預測）（1）如圖1，在矩形中，為邊上一點，連接，若，過作交于點，①求證：；②若時，則____．
（2）如圖2，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．（3）如圖3，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．
【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）的長為或或
【詳解】解：（1）①四邊形是矩形，則，°，
，，，
，；
②由①可得，．，
，，
（2）在菱形中，，，，
，，，
，，，
，，，；
（3）①當點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，
平行四邊形中，，，，
，，，，
， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°，
則，，，，
，，，
，，設，則，
，，
解得：或，即或，
②當點在邊上時，如圖所示，
連接，延長交的延長線于點，過點作，則，
四邊形是平行四邊形，設，則，，
，，，，
，，，
過點作于點，在中，，
∴，，，，，
，，
，，，
即 ，，即 ，
解得： ，（舍去），即 ；
③當點在邊上時，如圖所示，過點作于點，
在中，，
，
，，，點不可能在邊上，
④當點在上時，，不符合相交，舍去，綜上所述，的長為或或 ．
21．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，，點分別在的延長線上，連結，若．
(1)求證：．(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，．
，．，．
又，；
（2）解：如圖．在延長線上截?。B結．
由（1）可知，．
四邊形是平行四邊形，，，
是等邊三角形，， 是等邊三角形，
，，．
又，，．
，，．，．
22．（2024·浙江溫州·二模）如圖，在矩形中，，分別過點，作，交于點，，連結，．(1)求證：四邊形為平行四邊形．(2)分別取，的中點，，連結，．若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：∵矩形，∴,∴，
∵，，∴,，∴，∴，
∵，∴四邊形為平行四邊形．
（2）解：∵矩形，∴，，
∵，∴，∴,∴
∵，∴，∴,∵，∴
∴,∴,
∵的中點，∴；同理可得：，
∴四邊形的面積為
23．（2024·浙江寧波·一模）如圖，已知和均是等邊三角形，F點在上，延長交于點D，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)當點D在線段上什么位置時，四邊形是矩形？請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)當點D在中點時，四邊形是矩形，見解析
【詳解】（1）證明：∵和均是等邊三角形，
∴，
∴，∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：當點D在中點時，四邊形是矩形，理由如下；
∵，點D在中點，∴，
∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．
24．（2023·浙江溫州·二模）如圖，在中，是上一點，，過點D作于點F，過點C作交的延長線于點E．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：，，
，，，，四邊形是平行四邊形；
（2）解：，，四邊形是平行四邊形，，
，，，設，則，
，，解得．．
25．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在矩形中，，．點M，N分別是，邊上的動點，連接、．請你解答下列問題：
(1)如圖1，若M是邊上的中點且，求的值；
(2)如圖2，若M是邊上的三等分點且，連接，求的面積．
【答案】(1)(2)或5
【詳解】（1）解：在矩形中，，，，則
∵是邊上的中點，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，即，解得：，
則，∴；
（2）過點作交延長線于，過點作延長線于，延長交于，
則四邊形是矩形，，，，
∵，，則∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴，，則，∵，
∴，則∵是的三等分點，∴，或，，
當，時，，則，
∵，即：，∴，，
則；
當，，時，，則，
∵，即：，∴，，
則；
綜上，的面積為或5．
26．（2025·浙江杭州·一模）如圖，四邊形是菱形，是的中點，的垂線交于點，交的延長線于點．(1)求證： ；(2)連接，．
①求菱形的周長；②若，求的長．
【答案】(1)見解析(2)①16；②
【詳解】（1）證明：如圖，連接，四邊形是菱形，，，
，，點是的中點，∴，，
點是的中點，，；
（2）解：由（1）得，點是的中點，，
四邊形是菱形，，，，
，，，，，
菱形的周長為；
如圖，連接，記與交點為點，，，
，，，，
，，，，
，，，，，
∴，，，，
，為直角三角形，，，，
，．
27．（2024·浙江臺州·一模）如圖，已知，是正方形的對角線上的兩點，且．連接，，，．(1)請判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)若四邊形的周長為 且 求正方形的邊長．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
連接，交于點，四邊形是正方形，，，，
，，即，四邊形是平行四邊形，
，四邊形是菱形；
（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，菱形的周長，，
設，則，在中，，，
，（舍去），，，故正方形的邊長為．
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第四章 三角形及四邊形
4.4 平行四邊形與特殊的平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 多邊形的相關概念 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，（特殊）平行四邊形的部分，考查4道題，分值為20分左右，通常以選填題（3題）、解答題（1題）的形式考查。內容上既有（特殊）平行四邊形的相關知識點的單獨考查，也有和其他幾何內容綜合考查，對于本考點內容，要注重基礎，反復練習，靈活運用。
考點2 平行四邊形的判定及性質 ☆☆☆
考點3 矩形的判定及性質 ☆☆☆
考點4 菱形的判定及性質 ☆☆☆
考點5 正方形的判定及性質 ☆☆☆
多邊形與（特殊）平行四邊形是歷年浙江中考考查重點，年年都會考查，在選擇、填空題中考查多邊形的內角和、平行四邊形性質和判定、與三角形中位線有關計算、利用特殊四邊形性質和判定求角度、長度問題的可能性比較大。解答題中考查特殊四邊形的性質和判定，一般和三角形全等（相似）、解直角三角形、二次函數、動態問題綜合應用的可能性比較大。
2
4
■考點一　多邊形的相關概念 4
■考點二　平行四邊形的判定及性質 7
■考點三　矩形的判定及性質 12
■考點四　菱形的判定及性質 16
■考點五　正方形的判定及性質 20
28
43
■考點一　多邊形的相關概念
1）多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做 。
2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的 。
3）多邊形對角線條數：從n邊形的一個頂點可以引 條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了 個三角形，n邊形的對角線條數為 。
4）多邊形內角和定理：n邊形的內角和為 。
5）多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于 ，與多邊形的形狀和邊數無關。
6）正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做 。
7）平面鑲嵌（密鋪）的條件：在同一頂點內的幾個角的和等于 ；所有正多邊形中，單獨使用其中一種能夠進行密鋪(鑲嵌)的只有 、 、 。如果選用多種，則需要滿足：(1)邊長相等；(2)選用正多邊形若干個內角的和恰好等于360°。
■考點二　平行四邊形的判定與性質
1）平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做 。
2）平行四邊形的表示：用符號“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
3）平行四邊形的性質：（1）兩組對邊 ；（2）對角 、鄰角 ；（3）對角線 ；（4）平行四邊形是 ，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的 。
4）補充性質：
（1）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的 。
（2）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABE為 三角形，即AB=BE。
（3）如圖②，已知點E為AD上一點，根據平行線間的距離 ，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。
（4）如圖③，根據平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD。
5）平行四邊形的判定定理：
①定義： 的四邊形是平行四邊形；② 的四邊形是平行四邊形；
③ 的四邊形是平行四邊形；④ 的四邊形是平行四邊形；
⑤ 的四邊形是平行四邊形。
6）三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形 。
7）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于 ，并且等于 。
8）三角形中位線定理的作用：（1）證明位置關系：可以證明兩條直線 ；（2）證明數量關系：可以證明線段的 關系。
■考點三　矩形的判定及性質
1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2）矩形的性質：（1）矩形兩組對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.矩形的對稱中心是矩形對角線的交點；矩形有兩條對稱軸，矩形的對稱軸是過矩形對邊中點的直線；矩形的對稱軸過矩形的對稱中心。
【推論】在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。
3）矩形的判定：（1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；
（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。
矩形的判定思路：要證明一個四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對角線相等或有一個角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個角是直角來直接證明。
4）矩形的折疊問題：（1）對折疊前后的圖形進行細致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對應邊、對應角分別相等，找出各相等的邊或角；（2）折痕可看作角平分線（對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）；（3) 折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點之間的連線被折痕垂直平分）；（4）選擇一個直角三角形(不找以折痕為邊長的直角三角形)，利用未知數表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識求解。
■考點四　菱形的判定及性質
1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2）菱形的性質：1）具有平行四邊形的所有性質；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角；4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。
3）菱形的判定：（1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形。
菱形的判定思路：判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分。
4）菱形的面積：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）；菱形的周長：周長C=4a。
■考點五　正方形的判定及性質
1）正方形的定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形。
2）正方形的性質：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質；
（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形對邊平行且相等；
（4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；
（5）正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形，正方形對角線與邊的夾角為45°；
（6）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。
3）正方形的判定：（1）平行四邊形+ 一組鄰邊相等+ 一個角為直角；（2）矩形+ 一組鄰邊相等；
（3）矩形+對角線互相垂直；（4）菱形+一個角是直角；（5）菱形+對角線相等.
正方形的判定思路：判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等。
4）正方形的面積：S正方形＝a2＝對角線乘積的一半；正方形的周長：C正方形=4a。
5）平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系：
■考點一　多邊形的相關概念
◇典例1：（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，在正五邊形內部作等邊三角形，則的值為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·二模）如圖，由六個正九邊形中間可以拼接出一個美麗的“梅花形圖案”，則圖中的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北石家莊·一模）淇淇用圖1的六個全等紙片拼接出圖2，圖2的外輪廓是正六邊形．如果用若干個紙片按照圖3所示的方法拼接，外輪廓是正n邊形圖案，那么n的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·浙江杭州·一模）問題情境：在探索多邊形的內角與外角關系的活動中，同學們經歷了觀察、猜想、實驗、計算、推理、驗證等過程，提出了問題，請解答．
（1）若四邊形的一個內角的度數是α．①求和它相鄰的外角的度數（用含α的代數式表示）；②求其它三個內角的和（用含α的代數式表示）．
（2）若一個n邊形，除了一個內角，其余內角的和為，求n的值．
深入探究：（3）探索n邊形的一個外角與和它不相鄰的個內角的和之間滿足的等量關系，說明理由．
◇典例2：（2024·江蘇·?？寄M預測）一個正多邊形的內角和是，則此多邊形的邊數是 ，對角線共有 條．
◆變式訓練
1.（2024·浙江·模擬預測）用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點在一起，剛好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數為x、y、z，則的值為 ．
2.（2024·浙江麗水·統考一模）已知一個多邊形內角和為，則這個多邊形可連對角線的條數是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
■考點二　平行四邊形的判定及性質
◇典例3：（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，在中，，已知點D是邊的中點，點E是平面內一點，連接，若分別是的中點，連接，則的長度為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·二模）如圖，在一次數學實踐活動中，為了測量校園內被花壇隔開的，兩點的距離，同學們在外選擇一點，測得，兩邊中點的距離為，則，兩點的距離是（ ）m
A．12 B．14 C．16 D．24
2．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，在中，，D，E分別為，的中點，平分，交于點F，若，則的長為（　　）
A． B．1 C． D．2
◇典例4：（2024·浙江·一模）如圖，在中，點D，E，F分別在邊，，上，連接，，，與交于點G．已知四邊形是平行四邊形，且．
(1)若，求線段，的長．(2)若四邊形的面積為48，求的面積．
◆變式訓練
1．（2025·浙江溫州·模擬預測）如圖，在中，是邊上一點，，若，則的度數為 ．
2．（2024·浙江·模擬預測）在中，，過點A作于M．若，則的值為 ．
◇典例5：（2024·浙江杭州·三模）如圖，在平行四邊形中，點E，F在對角線上，且，順次連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，求的度數．
◆變式訓練
1．（2023·浙江寧波·三模）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，為的中點．連結，，，，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)求的值．
2．（2025·浙江·一模）如圖，在平行四邊形中，平分交于點．(1)用直尺和圓規作的平分線交于點．(2)在（1）的條件下，求證：四邊形是平行四邊形．
■考點三　矩形的判定及性質
◇典例6：（2025·浙江·一模）如圖，在正方形中，連接，點是線段上一點（），連接，過點作交于點，連接，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2025·浙江寧波·一模）在矩形中， ， ， 點F在線段上， 且， 則點 P到矩形對角線所在直線的距離是 ．
2．（24-25九年級上·廣東清遠·期末）如圖，矩形中，點E在邊上，將矩形沿直線折疊，點A恰好落在邊的點F處．若，，則的長是 ．
3．（2024·浙江寧波·二模）如圖，已知在矩形 中， ，點是的中點，點為邊 上的動點，將矩形 繞點 逆時針旋轉，得到矩形，在矩形 繞點 逆時針旋轉的過程中，記 的對應點是點，則線段長度的最大值與最小值的差為 ．
◇典例7：（2024·浙江·模擬預測）已知：如圖，在中，對角線相交于點O，．(1)求證：是矩形．(2)若，求對角線的長．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）下列命題中，屬于真命題的是（ ）
對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；對角線相等的四邊形是矩形；四個角相等的四邊形是正方形；四個角相等的四邊形是矩形．
A． B． C． D．
2．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，是平行四邊形的對角線的交點，，，分別是，，的中點．連結，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的值．
■考點四　菱形的判定及性質
◇典例8：（2024·浙江·一模）如圖，在菱形中，過頂點作，，垂足分別為，，連接，若，的面積為，則菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2025·浙江·一模）如圖，在菱形中，，，點為中點，將菱形沿折疊，使點與點重合，連結、，則 ．
2．（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，四邊形為菱形，過點D分別作的垂線，垂足為．(1)求證；(2)若，求的值．
◇典例9：（2024·四川德陽·二模）如圖，矩形的對角線，相交于點O，．
(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）已知四邊形為平行四邊形，（　?。?br/>A．若，則該四邊形為矩形 B．若，則該四邊形為菱形
C．若，則該四邊形為菱形 D．若，則該四邊形為矩形
2．（2024·浙江杭州·二模）如圖，平行四邊形中，與相交于點O，點P為中點，交于點E，連接，．(1)求證：平行四邊形為菱形；(2)若，，①求的值．②求的長．
3．（2024·浙江杭州·二模）如圖，在中，，點D是中點，分別過點A，D作，的平行線交于點E，且交于點O，連結、．
(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．
■考點五　正方形的判定及性質
◇典例10：（2025·浙江·一模）如圖，在正方形中，點是上一動點（不與重合），對角線相交于點，過點分別作的垂線，分別交于點，交于點．下列結論：①；②；③；④；⑤點O在M、N兩點的連線上．其中正確的是（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·浙江杭州·期中）如圖，已知正方形為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于，現在有如下5個結論：①定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積．在以上結論中，正確的有（　?。?br/>A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
2．（2025·浙江寧波·一模）如圖， 已知正方形的邊長為3， P是中點， 點F在上且滿足，延長分別交于點M，交的延長線于點E，則 的長為 ．
3．（2024·浙江·一模）如圖1，已知矩形中，，點是邊的中點，點是線段上的一個動點，將沿直線翻折，點落在點．(1)在點的運動過程中，請判斷線段與的位置關系，并說明理由；(2)連接，求周長的最小值；(3)如圖2，若，連接，延長交對角線于點，當時，求的長．
◇典例11：（2023·湖北十堰·統考中考真題）如圖，的對角線交于點，分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接．(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)請說明當的對角線滿足什么條件時，四邊形是正方形？

◆變式訓練
1．（2025·浙江·模擬預測）下列命題中，真命題是（ ）
A．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形
C．對角線互相垂直四邊形是菱形 D．四邊相等的四邊形是正方形
2．（2024·陜西咸陽·統考三模）如圖，已知，過點D作交的延長線于點E，過點C作交的延長線于點F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)請添加一個條件：______，使得四邊形是正方形，不用說明理由．

◇典例12：（2023·浙江紹興·統考中考真題）如圖，在矩形中，為對角線的中點，．動點在線段上，動點在線段上，點同時從點出發，分別向終點運動，且始終保持．點關于的對稱點為；點關于的對稱點為．在整個過程中，四邊形形狀的變化依次是（ ）
A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形
B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形
C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形
D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形
◆變式訓練
1.（2024·山西·統考二模）在平行四邊形的復習課上，小明繪制了如下知識框架圖，箭頭處添加條件錯誤的是（ ）

A．①：對角線相等 B．②：對角互補 C．③：一組鄰邊相等 D．④：有一個角是直角
1．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點M，N，如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到了一個內角和為的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·貴州·中考真題）如圖，的對角線與相交于點O，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在中，點是的中點，過點，下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點是的中點，連接并延長交于點，連接．求證：四邊形是平行四邊形．
證明：∵，∴．
∵，，，∴①______．
又∵，，∴（②______）．
∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過程正確，①，②應分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2024·四川樂山·中考真題）下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（　?。?br/>A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2024·上海·中考真題）四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
9．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形，E，F，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
10．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在正方形中，點E，F分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數式表示為（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，點D，E分別是的中點，連接．若，則的長為 ．
12．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，，點在的延長線上，，若平分，則 ．
13．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構成的四邊形的周長為 ．
14．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是邊，的中點，連接，．若，則的長為 。

15．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．（1）線段的長為 ；（2）若為的中點，則線段的長為 ．
16．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關于過點O的直線l對稱，點B的對應點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為 .
17．（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為 ．
18．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知菱形中對角線相交于點O，添加條件 可使菱形成為正方形．
19．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長.

20．（2024·江西·中考真題）追本溯源：題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）．
（1）如圖1，在中，平分，交于點D，過點D作的平行線，交于點E，請判斷的形狀，并說明理由．
方法應用：（2）如圖2，在中，平分，交邊于點E，過點A作交的延長線于點F，交于點G．
①圖中一定是等腰三角形的有（ ） A．3個　B．4個　C．5個　D．6個
②已知，，求的長．
21．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖1，E、F、G、H分別是平行四邊形各邊的中點，連接交于點M，連接AG、CH交于點N，將四邊形稱為平行四邊形的“中頂點四邊形”．
(1)求證：中頂點四邊形為平行四邊形；(2)①如圖2，連接交于點O，可得M、N兩點都在上，當平行四邊形滿足________時，中頂點四邊形是菱形；
②如圖3，已知矩形為某平行四邊形的中頂點四邊形，請用無刻度的直尺和圓規作出該平行四邊形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
22．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．
(1)尺規作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)連接．求證：四邊形是菱形．
23．（2024·四川遂寧·中考真題）康康在學習了矩形定義及判定定理1后，繼續探究其它判定定理．
(1)實踐與操作①任意作兩條相交的直線，交點記為O；
②以點為圓心，適當長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；
③順次連結所得的四點得到四邊形．
于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．
(2)猜想與證明:通過和同伴交流，他們一致認為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．
已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

23．（2024·河北·中考真題）情境 圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．
該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．
（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）
操作 嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．
如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉的剪拼過程，解答問題：
（1）直接寫出線段的長；
（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．
探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．
請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．
1．（2024·安徽·模擬預測）過等腰的頂點畫線段，使得線段與邊平行且相等，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則以為頂點的四邊形是正方形
B．若以為頂點的四邊形是正方形，則
C．若，則以為頂點的四邊形是菱形
D．若以為頂點的四邊形是菱形，則
2．（2023·浙江麗水·一模）已知一個多邊形內角和為，則這個多邊形可連對角線的條數是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
3．（2023·浙江臺州·模擬預測）如圖為矩形，一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為a和b，則不可能是( )
A． B． C． D．
4．（2024·河北石家莊·一模）如圖，嘉琪從點A出發，沿正東方向前進5m后向左轉30°，再前進5m后又向左轉30°，這樣一直走下去．以下說法錯誤的是（ ）
A．第二次左轉后行走的方向是北偏東30° B．第六次左轉后行走的方向是正西方向
C．第八次左轉后行走的方向是南偏西60° D．嘉琪第一次回到點A時，一共走了60m
5．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，在中，過點作的平分線的垂線，垂足為，點為的中點，連接交于點．若，，則的長為（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．（2025·浙江寧波·一模）在菱形中， 點E，F分別是， 的中點， 連接， ．若 ，， 則的長為（ ）
A． B． C． D．6
7．（2024·浙江·模擬預測）如圖，點E，F分別為正方形的邊上的點，交于點G，連接，已知與的面積之差，若要求正方形面積，只需要知道下列哪條線段的長（ ）

A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
8．（2024·陜西·統考三模）如果過某多邊形的一個頂點的對角線有5條，則該多邊形是 邊形．
9．（2024·浙江溫州·三模）如圖①是某創意圖書館設計的一款壁燈圖案的設計圖，象征著欣欣向榮，代表一種生機盎然的自然和諧美．圖②是從圖①圖案中提取的圖形，已知正八邊形被分割成兩個正方形和四個菱形，則 °．

10．（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，平行四邊形沿對角線折疊，點B落在點E處，與交于點F，若，，則平行四邊形的面積為 ．
11．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖．在中，對角線，交于點，且，平分交的延長線于點，點為的中點．若，，則的長為 ．
12．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知中，，與的角平分線分別交邊于點，，且，則邊的長為 ．
13．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖， 在等腰 中，，若點 D是邊上一點， E是的中點，C關于直線 對稱的點為，交于點 F．（1）若，則 度（用含的代數式表示）；（2）若，則 ．
14．（2024·浙江杭州·一模）如圖，在中，點D在邊上，，與邊交于點E，連接．記，的面積分別為，．（1）若是的中位線，則 ；
（2）若，，則線段的長為 ．

15．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，在矩形中，，是邊的中點，，分別是邊，上的點，且，垂足為點．若，，則的值為 ．
16．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形中，，E為邊上的一個動點，連接，點B關于的對稱點為，連接．若的最大值與最小值之比為2，則的長為 ．
17．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在矩形中，，，點E在線段上，．連結，二者相交于點F，連結，與相交于點G，則 ．
18．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與重合），折痕為，若，，則點到的距離為 ．

19．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知菱形的面積是52，一條對角線長為13，則另一條對角線長為 ．
20．（2025·浙江杭州·模擬預測）（1）如圖1，在矩形中，為邊上一點，連接，若，過作交于點，①求證：；②若時，則____．
（2）如圖2，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．（3）如圖3，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．
21．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，，點分別在的延長線上，連結，若．(1)求證：．(2)若，，求的長．
22．（2024·浙江溫州·二模）如圖，在矩形中，，分別過點，作，交于點，，連結，．(1)求證：四邊形為平行四邊形．(2)分別取，的中點，，連結，．若，求四邊形的面積．
23．（2024·浙江寧波·一模）如圖，已知和均是等邊三角形，F點在上，延長交于點D，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)當點D在線段上什么位置時，四邊形是矩形？請說明理由．
24．（2023·浙江溫州·二模）如圖，在中，是上一點，，過點D作于點F，過點C作交的延長線于點E．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，求的長．
25．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在矩形中，，．點M，N分別是，邊上的動點，連接、．請你解答下列問題：(1)如圖1，若M是邊上的中點且，求的值；(2)如圖2，若M是邊上的三等分點且，連接，求的面積．
26．（2025·浙江杭州·一模）如圖，四邊形是菱形，是的中點，的垂線交于點，交的延長線于點．(1)求證： ；(2)連接，．
①求菱形的周長；②若，求的長．
27．（2024·浙江臺州·一模）如圖，已知，是正方形的對角線上的兩點，且．連接，，，．(1)請判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)若四邊形的周長為 且 求正方形的邊長．
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