資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
4.1 球面幾何之外接球、內切球與棱切球問題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
外接球 2022年乙卷第12題，5分 2022年II卷第7題，5分 2022年I卷第8題，5分 2021年甲卷第11題，5分 2020年III卷第16題，5分 預測2025年高考，多以小題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為：（1）以選擇題或填空題形式出現，考查學生的綜合推理能力．（2）熱點是錐體內切球與棱切球問題．
內切球 2023新高考Ⅰ卷·12題，5分 2020年III卷第16題，5分
棱切球 2023年 I卷第1題，5分
縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關的外接與內切問題是高考命題的熱點之一．高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答．從近幾年全國高考命題來看，這部分內容以選擇題、填空題為主，大題很少見，此部分是重點也是一個難點，屬于中等難度．
1．（2023新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體 B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體
【答案】ABD
【詳解】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，
所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，
所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，
所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；
對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，
如圖，過的中點作，設，
可知，則，
即，解得，且，即，
故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，
若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，
根據對稱性可知圓柱的高為，
所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.
2．（2023年全國乙卷（文））已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
【答案】2
【解析】如圖，將三棱錐轉化為正三棱柱，
設的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，
設三棱錐的外接球球心為，連接，則，
因為，即，解得.故答案為：2.
3．（2023年全國甲卷（文））在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設球的半徑為. 當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，
正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；
分別取側棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，連接，則，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達到最小，即的最小值為. 綜上，.故答案為：
4．（2023年全國甲卷（理））在正方體中，E，F分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個公共點．
【答案】12
【解析】不妨設正方體棱長為2，中點為，取，中點，側面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，
同理，根據正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，
所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點總數為12. 故答案為：12
5．（2022新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，

設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，
故或，即或，解得符合題意，
所以球的表面積為．故選：A．
6．（2022 乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為，底面的四個頂點均在球的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】對于圓內接四邊形，如圖所示，，
當且僅當，為圓的直徑，且時，等號成立，此時四邊形為正方形，
當該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，
則，該四棱錐的高，
該四棱錐的體積，
當且僅當，即時，等號成立，
該四棱錐的體積最大時，其高，故選：．
7．（2022 新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】當球心在臺體外時，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，
設球的半徑為，則軸截面中由幾何知識可得，解得，
該球的表面積為．當球心在臺體內時，如圖，此時，無解．
綜上，該球的表面積為．故選：．
8．（2022 新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點都在同一球面上，連接與交于點，連接，則球心在直線上，連接，設正四棱錐的底面邊長為，高為，
在中，，即，
球的體積為，球的半徑，在中，，即，
，，，又，，
該正四棱錐體積，，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
（4），又，，且，，
即該正四棱錐體積的取值范圍是，，故選：．
9．（2021 天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如圖，設球的半徑為，由題意，，可得，則球的直徑為4，
兩個圓錐的高之比為，，，由直角三角形中的射影定理可得：，即．
這兩個圓錐的體積之和為．故選：．
10．（2021 甲卷）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因為，，所以底面為等腰直角三角形，
所以所在的截面圓的圓心為斜邊的中點，所以平面，
在中，，則，在中，，
故三棱錐的體積為．故選：．
11．（2023 甲卷）在正方體中，，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 　　．
【答案】，．
【解析】設球的半徑為，當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，
若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，
正方體的外接球直徑為體對角線長，即，，故，
分別取側枝，，，的中點，，，，
則四邊形是邊長為4的正方形，且為正方形的對角線交點，
連接，則，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑最小，
即的最小值為，綜上，球的半徑的取值范圍是，．故答案為：，．
12．（2020 新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為 　　．
【答案】
【解析】因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，
則其高，不妨設該內切球與母線切于點，
令，由，則，即，解得，
，故答案為：．
高頻考點一 正方體、長方體外接球
核心知識：
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
圖1 圖2
典例1：（2024·重慶渝北·高三校考階段練習）在長方體中，，，，則長方體外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】由題意，根據長方體外接球的性質，
可得，
，該長方體的外接球的表面積.故答案為：.
變式訓練
1．（2024·重慶·二模）已知四面體的體積為3，從頂點出發的三條棱兩兩垂直，若，則該四面體外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設四面體體積是，外接球半徑是，表面積是，
棱兩兩垂直，，，，
易知，當且僅當時取等，故有，
則，故選：A
2．（2024·天津和平·二模）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，在中，由余弦定理，得，
即，則，故，
又而平面，將三棱錐置于一個長方體中，可知三棱錐的外接球半徑，則外接球表面積，故選:D．
3．（2024·四川·高三統考學業考試）若球的表面積為，則頂點均在該球球面上的正方體體積為（ ）
A．256 B．64 C．27 D．8
【答案】B
【解析】因為球的表面積為，所以，解得，
設正方體的棱長為，因為正方體外接球的直徑為正方體的體對角線，
所以，即，所以.故選：B
高頻考點2 函數的圖象
核心知識：
（1）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖1所示．
（2）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖2所示
圖1 圖2
典例1：（2024·陜西咸陽·一模）已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設外接球半徑為，則，解得,
將正四面體恢復成正方體，知正四面體的棱為正方體的面對角線，
則正四面體的外接球即為正方體的外接球，則正方體的體對角線等于外接球的直徑，
故，解得，正方體棱長為 ，
故該正四面體的體積為，故選：A．
變式訓練：
1.（2024·河南·開封高中校考模擬預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設四面體的外接球的半徑為,則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，
則故，
故四面體ABCD外接球的體積為，故選：C
2.（2024·四川涼山·二模）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，此四面體可以看成一個長方體的一部分，長方體的長、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，
所以此四面體的外接球的直徑為長方體的體對角線，即,解得.
所以四面體外接球表面積是.故答案為：B.
3．（2024·四川宜賓·校考模擬預測）已知正四面體的外接球的體積為，則該正四面體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設外接球半徑為，則，解得，
將正四面體放入正方體中，設正方體邊長為，如圖所示：
則，，正四面體的棱長為.故選：C.
高頻考點3 直棱柱（圓柱）外接球
核心知識：
1）如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可是任意三角形）。
圖1 圖2 圖3 圖4
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
2）如圖，平面，求外接球半徑．
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
典例1：（2023·廣東·統考一模）如圖，在直三棱柱的側面展開圖中，，是線段的三等分點，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由展開圖可知，直三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，
其外接圓的半徑滿足，所以．由得．
由球的性質可知，球心到底面的距離為，
結合球和直三棱柱的對稱性可知，，故選D．
變式訓練：
1．（2024·湖南·高三校聯考階段練習）在直三棱柱中，為等邊三角形，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設直三棱柱的高為，外接球的半徑為，外接圓的半徑為，則，所以，又，令，則，易知的最小值為，此時，所以該三棱柱外接球表面積的最小值為.故選：A.
2．（2024·山東濰坊·統考模擬預測）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【解析】設為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，
則，所以，則，
外接圓的半徑為，
所以棱柱外接球的半徑為，
令，則，則，
在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，
則該三棱柱外接球表面積最小值為.故選：C.
3.（2024·江西萍鄉·高三統考期末）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面BCD，，知三棱錐A-BCD可補形為以AD，DC，BD為三條棱的長方體，如圖所示，三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的對角線是外接球的直徑，設外接球的半徑為R，
則，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選：C．
4．（2024·河南開封·統考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題意三棱錐可以補成分別以為長、寬、高的長方體，其中為長方體的對角線，則三棱錐的外接球球心即為的中點，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．設，則，，，
所以當時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，
所以．故選：A
高頻考點4 正棱錐（圓錐）與側棱相等模型
核心知識：
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
典例1：（2024·河北保定·高三校考階段練習）已知正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為2，且頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 ．
【答案】
【解析】如圖設底面的中心為，連接，則球心在直線上，
由幾何關系可知，，先將三角形轉化成平面三角形，如圖：
因為，由勾股定理可得，設球心為，
則在的延長線上，且，則，
由勾股定理可得，即，
解得，所以球體的表面積．故答案為：．
變式訓練：
1．（2024·重慶·高三校考期末）已知球O為三棱錐S﹣ABC的外接球， ，則球O的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取SC中點M，連接AM、MB，
因為△SAC是等邊三角形，且SB＝BC，∴AM⊥SC，MB⊥SC，∴SC⊥平面AMB，
∴球心O在平面AMB上，作⊥平面SAC，可得為等邊三角形SAC的中心，
所以＝，取AB中點N，連接ON，∴ON⊥AB，
∴四點共圓，AO為這四點共圓的直徑，也是三棱錐S ABC外接球的半徑，連接，
在△ABM中：，，
∴∠MAB＝90°，∴在直角三角形中，
由勾股定理，得＝，
∴三棱錐S ABC外接球的半徑長為AO==，．故選：A．
2.已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，，即，則，
可知的外接圓圓心為斜邊的中點，
又因為，可知點在底面的投影為的外接圓圓心，
可得，則三棱錐外接球的球心，設外接球的半徑為，
可得，解得，所以外接球的表面積為，
的面積為；的面積為；
的面積為；所以三棱錐的側面積為，
所以三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側面積之比為.故選：A.
3．（2024·河南·模擬預測）已知正四棱錐的底面邊長為，高為，且，該四棱錐的外接球的表面積為，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】連接相交于點，連接，則⊥平面，
球心在上，連接，則，，
因為正四棱錐的底面邊長為，所以，
在直角三角形上，由勾股定理得，
即，，解得，由，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以在取得極小值，也是最小值，此時，
又當和時，，所以，則.故答案為：
高頻考點5 側棱為外接球直徑模型
核心知識：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．
典例1：（2024 防城港模擬預測）體積為的三棱錐的所有頂點都在球的球面上，已知是邊長為1的正三角形，為球的直徑，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解析】解：根據題意作出圖形：設球心為，球的半徑．過三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面．
，，高，
是邊長為1的正三角形，，
，．則球的表面積為故選：．
變式訓練：
1．（2024·江蘇·高三校考期末）在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA為此三棱錐外接球O的直徑，PA＝4，則點P到底面ABC的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設點P到底面ABC的距離為，點到底面ABC的距離為，則.
連接、，則三棱錐是棱長為2的正四面體，
取的中點，連接，作，則平面，即，在正中，，
在中，，
即，即點P到底面ABC的距離為.故選：D.
2．（2024 云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為　　
A． B． C． D．
【解析】解：因為是邊長為2的正三角形，所以外接圓的半徑，
所以點到平面的距離，為球的直徑，點到平面的距離為，
此棱錐的體積為，故選：．
高頻考點6 共斜邊拼接模型
核心知識：如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
典例1：（2024·四川德陽·統考模擬預測）已知矩形ABCD的面積為8，當矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于（ ）
A． B． C． D．不確定的實數
【答案】B
【解析】設矩形的邊長分別為、，則，所以矩形周長，
，，當且僅當時取等號，
矩形周長最小時，，，，
因為外接球的半徑，外接球表面積．故選：B．
變式訓練：
1．（2024·安徽·高三期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，，則，所以，
又因為，，，則，所以，
由，，，則，所以，
又由，，，則，所以，
可得為三棱錐的外接球的直徑，又由，
所以此三棱錐的外接球半徑為，所以球的表面積為．故選：C．
2．（2024·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：設SC的中點為O，AB的中點為D，連接OA、OB、OD，
因為，所以，
則，所以O為其外接球的球心，設球的半徑為R，
因為，，所以，
所以，因為，所以平面AOB，
所以，解得，
所以其外接球的體積為，故選：D
高頻考點7 垂面模型
核心知識：如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為垂直，連接，則．
（4）在四棱錐中，于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
典例1：（2024·重慶沙坪壩·高三校考階段練習）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，為直角三角形，故在三棱維的外接球的一個切面圓上，為該圓直徑；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面內，
又，故為等腰三角形，球心O在BD邊中線所在直線上 ，點到線段的距離為，設外接球的半徑為，則，解得，則外接球的表面積為.故選：C.
變式訓練：
1．（2024·廣東·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，易得，由題可知四邊形為等腰梯形，過點作，在中，，，由三角函數知，所以，取中點，過點作交于點，連接，，又因為平面平面，所以平面，易求，所以為中點，且外接球球心在平面的垂線上，又因為中，，，所以；同理可得，所以在平面內，，即就是外接球球心，所以半徑，所以四棱錐外接球體積為.故選：A.
2．（2024·四川綿陽·高三校考階段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設正方形的邊長為，在等邊三角形中，過點作于E，
由于平面平面，∴平面．由于是等邊三角形，則，
∴，解得．
設四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，
O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，
則，，，
∴外接球表面積．故選：C．
高頻考點8 二面角模型
核心知識：如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
典例1：（2024·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意，作出圖形，如圖所示，因為是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點，設為，設的外心為，中點為，，因為，所以必在連線上，則，即，因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，所以，，又因為二面角的大小為，，
所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B
變式訓練：
1．（2024·安徽·校聯考模擬預測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，
過這兩點分別作平面、平面的垂線，交于點O，則O就是外接球的球心；
取中點E，連接，
因為，，所以，因為和是正三角形，
所以，由得，所以
由，即球半徑為，所以球體積為．故選：C.
2．（2024·廣東·統考模擬預測）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，為直角三角形，又，所以，
因為為正三角形，所以，連接，為的中點，E為中點，
則，所以為二面角的平面角 所以．
因為為直角三角形，E為中點，所以點為的外接圓的圓心，
設G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設兩垂線交于O．則O即為三棱錐的外接球球心．設與交于點H，
，所以,，
∴．所以，故選：C.
高頻考點9 圓臺和正棱臺模型
核心知識：
典例1：（2024·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設球的半徑為，則，所以，，取圓臺的軸截面，如下圖所示：
設圓臺的上、下底面圓心分別為、，則、分別為、的中點，
連接、、、、、，則，由垂徑定理可知，，，
所以，，，
因為，，，所以，，
所以，，所以，，
所以，，則，因此，圓臺的側面積為，選：D.
變式訓練：
1．（2024·陜西咸陽·校考模擬預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（ ）

A．64 B． C． D．
【答案】B
【解析】設外接球球心為，等邊三角形的外心為，等邊三角形的外心為，
三點共線，則是正三棱臺的高，設臺體的高為，設外接球的半徑為，
過作，垂足為，根據正棱臺的性質可知，
所以平面，平面，所以，
設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.
設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.
在直角三角形中，，所以.
當球心O在線段上，則，解得，
當球心O在的延長線上時，則，無解，
所以正三棱臺的外接球表面積為.故選：B
2．（2024·重慶·高三專題練習）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
圓臺上、下底面的面積之比為1：4，則半徑比為1：2，設圓臺上、下底面半徑為，因母線與軸的夾角為60°，可得圓臺高為1，則；
設圓臺外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，易得圓臺兩底面在球心同側，則，且，解得，則該圓臺外接球的表面積為.故選：C.
高頻考點10 多面體外接球
核心知識：首先，確定球心是關鍵，可通過作垂線找交點、建立空間直角坐標系計算或利用特殊多面體的性質來確定。其次，理解并應用外接球的性質，即外接球球心到多面體各頂點的距離相等，這有助于建立數學模型。最后，結合多面體的幾何元素，運用空間向量、幾何性質或公式法等方法求解外接球的半徑。
典例1：（2024·廣西賀州·一模）半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將二十四等邊體補全為正方體，則該二十四等邊體的過A，B，C三點的截面為正六邊形，
設原正方體棱長為，則正六邊形邊長為，其面積為，解得，
因此原正方體的棱長為，由對稱性知，二十四等邊體的外接球球心是原正方體的體對角線的交點，
球半徑為該點到點的距離，所以外接球的表面積為.故選：D
變式訓練：
1.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
【答案】
【解析】因為棱長為的正四面體的高為，
所以截角四面體上下底面距離為，
序曲其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，則垂直于平面與平面，則,
所以，解得，
所以該截角四面體的外接球的表面積為,故答案為：
2.正多面體是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角.在古希臘時期人們就已經發現正多面體僅有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.如圖是一個正八面體，其每一個面都是正三角形，六個頂點都在球的球面上，則球與正八面體的體積之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設正八面體的棱長為2，正八面體的外接球的球心是正方形的中心，
球的半徑，點到平面的距離為，
因此球的體積，正八面體的體積，
所以球與正八面體的體積之比是.故選：A
高頻考點11 錐體內切球
核心知識：等體積法，即
典例1：作高為8的正四面體的內切球，在這個球內作內接正四面體，然后再作新四面體的內切球，如此下去，則前個內切球的半徑和為 ．
【答案】
【解析】對于邊長為的正四面體，設正四面體的外接圓半徑為，內切圓半徑為，高為，
令為正三角形的中心，為正四面體的中心，則，且平面，
可知，因為，，且，
即，解得，可知，
設第個內切球的半徑為，第個外接球的半徑為，則，，可得，
可知是以首項，公比的等比數列，所以前個內切球的半徑和為.
故答案為：.
變式訓練：
1.如今中國被譽為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋．高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設過程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構機等國之重器更是世界領先水平．如圖是某重器上一零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球相切，同時與正四面體的三個面相切．設，則該模型中5個球的表面積之和為
【答案】
【解析】如圖所示，設為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長為3，高為，的中點為，連接，，，，，，
由 則，
正四面體的高.
因為，所以，所以；
設小球的半徑為，小球也可看作一個小的正四面體的內切球，且小正四面體的高，同理；故該模型中5個球的表面積之和為.故答案：.
2．已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取三棱錐過內切球球心的截面，如圖所示：
依題意得，底面的外接圓半徑為，解得；
點到平面的距離為，所以，
所以，設球的半徑為，
所以，則，得，
設球的半徑為，則，又，得，
所以球的表面積為．故選：A．
高頻考點12 棱切球
核心知識：找切點，找球心，構造直角三角形
（1）若正方體的棱長為，則棱切球的半徑．
（2）若正四面體棱長為，則內切球半徑，外接球半徑，棱切球半徑．
（3）對于棱長為的正棱柱，棱切球半徑為．
典例1：（2024·貴州貴陽·校聯考模擬預測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，將正四面體放到正方體中，正方體的內切球即與正四面體的六條棱均相切，，正方體的棱長為，則正四面體棱長為，高，，故選:A．
變式訓練：
1．（2024·江西宜春·高三校考階段練習）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是 ．
【答案】
【解析】過正方體的對角面作截面如圖，故球的半徑，其表面積．故答案為：.
2．（2024·重慶·高三校聯考階段練習）已知三棱錐的棱長均為，則與其各條棱都相切的球的體積為 .
【答案】
【解析】將三棱錐補全為正方體，如下圖所示：
則正方體的內切球即為與三棱錐各條棱均相切的球，
設正方體棱長為，則，解得：，
所求的球的半徑，球的體積.故答案為：
1.阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，截面三角形邊長為，
則原正方體棱長的一半為1，即多面體所在正方體的棱長為2，
可得正方體體對角線長，外接球半徑為，所以外接球表面積為.故選：D.
2.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】將“阿基米德多面體”補全為正方體，如下圖所示：
不妨取兩棱中點為，由題知，易知，可得，
所以正方體的棱長為2，該多面體的外接球即為正方體的棱切球，
所以棱切球的直徑為該正方體的面對角線，長度為，
因此該多面體的外接球的半徑為，所以其表面積為.故選：A
3．（2024·廣東·高三專題練習）如圖，半徑為4的球中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的表面積之差為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖.設圓柱底面半徑為，球的半徑與圓柱底面夾角為，則
，圓柱的高，圓柱的側面積為，
當且僅當時，，圓柱的側面積最大，為，
球的表面積與圓柱的表面積之差為.故選：D．
4.（2024·江蘇·模擬預測）已知某圓臺的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，若該圓臺的外接球球心為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圓臺的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，
如圖所示，因為，所以，
所以，解得，所以.故選：B.
5．（2024·全國·高三專題練習）已知圓錐的頂點和底面圓周均在球的球面上.若該圓錐的底面半徑為，高為6，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，故球心在圓錐的內部且在高上，設球心到圓錐底面的距離為，
則有，解得，則圓半徑，表面積.故選：C
6.（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
由題意在菱形中，互相垂直且平分，點為垂足，
，
由勾股定理得，所以，設點為外接圓的圓心，
則外接圓的半徑為，，
設點為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，
，如圖所示：
設三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點，而均垂直平分，
所以點在面，面內的射影分別在直線上，即，
由題意，且二面角為直二面角，即面面，，
所以，即，可知四邊形為矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.
7．某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，底面正六邊形邊長，則其體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設該正六棱錐的高，側棱長為，設該正六棱錐外接球的半徑為，如圖，
因為正六棱錐外接球的表面積為，所以有，
因為外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，所以，
設，在正六邊形中，因為正六邊形邊長為，所以，
在中，由余弦定理可知，在直角三角形中，，
所以有，由勾股定理可知，
因為，所以，因此有4，而，所以，
該正六棱錐的體積，
，當時，單調遞增，
所以，，
因此該正六棱錐的體積的取值范圍是，故選：C
8．（2024·天津北辰·統考三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內部套雕出一個可以任意轉動的球，在球內部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內層正四面體的棱長最長為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】由題意，球是正方體的內切球，且該球為正四面體的外接球時，四面體的棱長最大，
則該球半徑，如圖：
可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，
設正四面體的棱長為，則，，
在中，則，即，解得，即．故選：A
9．（2024·陜西西安·校聯考模擬預測）已知正四面體的各棱長均為，各頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，是正四面體的高，是外接球球心，設外接球半徑為，
∵正四面體棱長為，∴，，，，
由得，解得，∴．故選：D．
10．（2024·陜西咸陽·統考一模）在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為（ ）．
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由題意將直三棱柱補成長方體，則直三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，利用直三棱柱的外接球表面積為，可求出外接球的半徑，從而可求得直三棱柱的高因為，所以將直三棱柱補成長方體，則直三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，設球的半徑為，則，解得，
設直三棱柱的高為，則，即，
解得，所以直三棱柱的高為，故選：D
11．（2024·陜西咸陽·統考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】四邊形為邊長為的正方形，四邊形的外接圓半徑，
又平面，，四棱錐的外接球半徑，
四棱錐的外接球表面積.故選：D.
12．（2024·廣東揭陽·高三校聯考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：
設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，所以有，
所以所求的球體表面積為：．故選：A．
13．（2024·山東泰安·二模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】記球心為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，的中點為，證明為矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半徑，再由球的表面積公式可得.
【詳解】記球心為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，的中點為.
因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，由球的性質可知，平面，
所以，同理，所以四邊形為矩形，
因為，所以，，所以，
所以外接球的表面積為.故選：B
14．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計算作答.
【詳解】如圖所示：由題意在菱形中，互相垂直且平分，點為垂足，
，由勾股定理得，
所以，設點為外接圓的圓心，
則外接圓的半徑為，，
設點為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，，
如圖所示：設三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點，而均垂直平分，
所以點在面，面內的射影分別在直線上，即，
由題意，且二面角為直二面角，即面面，，
所以，即，可知四邊形為矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.
15．（2024·浙江溫州·統考一模）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內切球的體積為 .
【答案】
【解析】由題意，畫出圓臺的直觀圖，其中為圓臺的母線長，，分別為上、下底面的圓心，點為內切球的球心，點為球與圓臺側面相切的一個切點.
則由題意可得：，.
因此可得：內切球半徑，即得內切球的體積為.故答案為：
16．（2023·湖南郴州·統考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為 .
【答案】/
【解析】如圖所示：依題意得 ，
底面的外接圓半徑為，
點到平面的距離為 ，所以 ，
所以
設球的半徑為，所以則，得
設球的半徑為，則，又 得
所以球的表面積為 故答案為：.
17．（2024·四川成都·高三校考階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內切球表面積為 .
【答案】
【解析】如圖，作出該圓錐與其內切球的軸截面圖形，
設該內切球的球心為，內切球的半徑為，為切點，所以，，
由已知得，，
所以，在中，，即，解得，
所以，該圓錐的內切球表面積為故答案為：.
18．（2024·湖南長沙·校考模擬預測）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內切球表面積為 ．

【答案】/
【解析】中，，，，由余弦定理得，
則折成的三棱錐中，，
即此三棱錐的對棱相等，故此三棱錐的三組對棱是一個長方體的六個面的對角線，
設長方體從同一個頂點出發的三條棱長分別為，則，解得，
又因為三棱錐是長方體切掉四個角的余下部分，
故三棱維的體積為，
又三棱錐四個側面是全等的，
故三棱錐的表面積為，
設內切球半徑為，以內切球球心為頂點，把三棱錐分割為以球心為頂點，四個面為底面的的四個小三棱錐，四個小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，
故，故內切球表面積為.故答案為：
19．（2024·福建福州·高三校考期末）已知正三棱錐的頂點都在球O的球面上，其側棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為
【答案】
【解析】如圖，正三棱錐中，設點Q為的中心，則PQ⊥平面ABC，
∴，∴，PQ＝3．球心O在直線PQ上，連接AO，設球O的半徑為r，
則，，在中，，即，解得，
∴球O的表面積為．故答案為：.
20．（2024·四川巴中·統考一模）已知長方體的表面積為22，過一個頂點的三條棱長之和為6，則該長方體外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】令長方體的長、寬、高分別為，則，
由，則，
而長方體外接球半徑，故，其表面積.故答案為：
21．（2024·四川·三模）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，若正四棱臺的外接球的表面積為，則正四棱臺的體積 。
【答案】/
【詳解】設外接球的半徑為，則，，
設正方形和正方形的中心分別為，外接球的球心為，則在線段上，
如圖，在等腰梯形中，，
則，所以，即正四棱臺的高為，
所以正四棱臺的體積.故答案為：.
22．（2024·河北秦皇島·二模）已知正三棱臺的所有頂點都在表面積為的球O的球面上，且，則正三棱臺的體積為 .
【答案】或
【詳解】設點，分別是，的外接圓的圓心，球O的半徑為R，
則，解得，且，，O三點共線，正三棱臺的高為，
在等邊中，，由正弦定理可得：，得.
在等邊中，，由正弦定理可，得.
在中，，即，得，
在中，，即，得，
如果三棱臺的上下底面在球心O的同側，如圖1所示，則正三棱臺的高為，
所以正三棱臺的體積.
如果三棱臺的上下底面在球心O的兩側，如圖2所示，則正三棱臺的高為，
此時正三棱臺的體積.
綜上，正三棱臺的體積為或.故答案為：或.

23.如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】/
【解析】取和的中點分別為，，過點作面于點，
連結，，,平面,故，
又，則又平面,
故平面，平面，故
則為二面角的補角， ，
因為，，則，且，
易知， 因為為等腰直角三角形，所以是的外心.
設三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，
作，易知為矩形，，設，，則在中，，
且中，，解得，所以外接球表面積為.故答案為：.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
4.1 球面幾何之外接球、內切球與棱切球問題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
外接球 2022年乙卷第12題，5分 2022年II卷第7題，5分 2022年I卷第8題，5分 2021年甲卷第11題，5分 2020年III卷第16題，5分 預測2025年高考，多以小題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為：（1）以選擇題或填空題形式出現，考查學生的綜合推理能力．（2）熱點是錐體內切球與棱切球問題．
內切球 2023新高考Ⅰ卷·12題，5分 2020年III卷第16題，5分
棱切球 2023年 I卷第1題，5分
縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關的外接與內切問題是高考命題的熱點之一．高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答．從近幾年全國高考命題來看，這部分內容以選擇題、填空題為主，大題很少見，此部分是重點也是一個難點，屬于中等難度．
1．（2023新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體 B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體
2．（2023年全國乙卷（文））已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
3．（2023年全國甲卷（文））在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 ．
4．（2023年全國甲卷（理））在正方體中，E，F分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個公共點．
5．（2022新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022 乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為，底面的四個頂點均在球的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為　　
A． B． C． D．
7．（2022 新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為　　
A． B． C． D．
8．（2022 新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
9．（2021 天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為　　
A． B． C． D．
10．（2021 甲卷）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為　　
A． B． C． D．
11．（2023 甲卷）在正方體中，，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 　　．
12．（2020 新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為 　　．
高頻考點一 正方體、長方體外接球
核心知識：
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
圖1 圖2
典例1：（2024·重慶渝北·高三校考階段練習）在長方體中，，，，則長方體外接球的表面積為 ．
變式訓練
1．（2024·重慶·二模）已知四面體的體積為3，從頂點出發的三條棱兩兩垂直，若，則該四面體外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津和平·二模）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川·高三統考學業考試）若球的表面積為，則頂點均在該球球面上的正方體體積為（ ）
A．256 B．64 C．27 D．8
高頻考點2 函數的圖象
核心知識：
（1）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖1所示．
（2）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖2所示
圖1 圖2
典例1：（2024·陜西咸陽·一模）已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·河南·開封高中校考模擬預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·四川涼山·二模）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜賓·校考模擬預測）已知正四面體的外接球的體積為，則該正四面體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點3 直棱柱（圓柱）外接球
核心知識：
1）如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可是任意三角形）。
圖1 圖2 圖3 圖4
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
2）如圖，平面，求外接球半徑．
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
典例1：（2023·廣東·統考一模）如圖，在直三棱柱的側面展開圖中，，是線段的三等分點，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1．（2024·湖南·高三校聯考階段練習）在直三棱柱中，為等邊三角形，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東濰坊·統考模擬預測）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
3.（2024·江西萍鄉·高三統考期末）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南開封·統考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點4 正棱錐（圓錐）與側棱相等模型
核心知識：
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
典例1：（2024·河北保定·高三校考階段練習）已知正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為2，且頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 ．
變式訓練：
1．（2024·重慶·高三校考期末）已知球O為三棱錐S﹣ABC的外接球， ，則球O的表面積是（ ）
A． B． C． D．
2.已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側面積之比為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模擬預測）已知正四棱錐的底面邊長為，高為，且，該四棱錐的外接球的表面積為，則的取值范圍為 ．
高頻考點5 側棱為外接球直徑模型
核心知識：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．
典例1：（2024 防城港模擬預測）體積為的三棱錐的所有頂點都在球的球面上，已知是邊長為1的正三角形，為球的直徑，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
變式訓練：
1．（2024·江蘇·高三校考期末）在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA為此三棱錐外接球O的直徑，PA＝4，則點P到底面ABC的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為　　
A． B． C． D．
高頻考點6 共斜邊拼接模型
核心知識：如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
典例1：（2024·四川德陽·統考模擬預測）已知矩形ABCD的面積為8，當矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于（ ）
A． B． C． D．不確定的實數
變式訓練：
1．（2024·安徽·高三期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點7 垂面模型
核心知識：如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為垂直，連接，則．
（4）在四棱錐中，于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
典例1：（2024·重慶沙坪壩·高三校考階段練習）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1．（2024·廣東·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川綿陽·高三校考階段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點8 二面角模型
核心知識：如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
典例1：（2024·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1．（2024·安徽·校聯考模擬預測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東·統考模擬預測）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點9 圓臺和正棱臺模型
核心知識：
典例1：（2024·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側面積為（ ）

A． B． C． D．
變式訓練：
1．（2024·陜西咸陽·校考模擬預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（ ）

A．64 B． C． D．
2．（2024·重慶·高三專題練習）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點10 多面體外接球
核心知識：首先，確定球心是關鍵，可通過作垂線找交點、建立空間直角坐標系計算或利用特殊多面體的性質來確定。其次，理解并應用外接球的性質，即外接球球心到多面體各頂點的距離相等，這有助于建立數學模型。最后，結合多面體的幾何元素，運用空間向量、幾何性質或公式法等方法求解外接球的半徑。
典例1：（2024·廣西賀州·一模）半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
2.正多面體是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角.在古希臘時期人們就已經發現正多面體僅有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.如圖是一個正八面體，其每一個面都是正三角形，六個頂點都在球的球面上，則球與正八面體的體積之比是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點11 錐體內切球
核心知識：等體積法，即
典例1：作高為8的正四面體的內切球，在這個球內作內接正四面體，然后再作新四面體的內切球，如此下去，則前個內切球的半徑和為 ．
變式訓練：
1.如今中國被譽為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋．高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設過程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構機等國之重器更是世界領先水平．如圖是某重器上一零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球相切，同時與正四面體的三個面相切．設，則該模型中5個球的表面積之和為
2．已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點12 棱切球
核心知識：找切點，找球心，構造直角三角形
（1）若正方體的棱長為，則棱切球的半徑．
（2）若正四面體棱長為，則內切球半徑，外接球半徑，棱切球半徑．
（3）對于棱長為的正棱柱，棱切球半徑為．
典例1：（2024·貴州貴陽·校聯考模擬預測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B． C． D．
變式訓練：
1．（2024·江西宜春·高三校考階段練習）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是 ．
2．（2024·重慶·高三校聯考階段練習）已知三棱錐的棱長均為，則與其各條棱都相切的球的體積為 .
1.阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
2.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東·高三專題練習）如圖，半徑為4的球中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的表面積之差為（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·江蘇·模擬預測）已知某圓臺的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，若該圓臺的外接球球心為，且，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·高三專題練習）已知圓錐的頂點和底面圓周均在球的球面上.若該圓錐的底面半徑為，高為6，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6.（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，底面正六邊形邊長，則其體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津北辰·統考三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內部套雕出一個可以任意轉動的球，在球內部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內層正四面體的棱長最長為（ ）
A． B． C． D．6
9．（2024·陜西西安·校聯考模擬預測）已知正四面體的各棱長均為，各頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·陜西咸陽·統考一模）在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為（ ）．
A．4 B．3 C． D．
11．（2024·陜西咸陽·統考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·廣東揭陽·高三校聯考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·山東泰安·二模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·浙江溫州·統考一模）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內切球的體積為 .
16．（2023·湖南郴州·統考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為 .
17．（2024·四川成都·高三校考階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內切球表面積為 .
18．（2024·湖南長沙·校考模擬預測）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內切球表面積為 ．

19．（2024·福建福州·高三校考期末）已知正三棱錐的頂點都在球O的球面上，其側棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為
20．（2024·四川巴中·統考一模）已知長方體的表面積為22，過一個頂點的三條棱長之和為6，則該長方體外接球的表面積為 .
21．（2024·四川·三模）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，若正四棱臺的外接球的表面積為，則正四棱臺的體積 。
22．（2024·河北秦皇島·二模）已知正三棱臺的所有頂點都在表面積為的球O的球面上，且，則正三棱臺的體積為 .
23.如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑