資源簡介

第3節　單擺
選擇題1～10題，每小題8分，共80分。
基礎對點練
題組一　單擺的振動
1．關于單擺擺球在運動過程中的受力，下列結論中正確的是(　　)
擺球受重力、擺線的拉力、回復力、向心力的作用
擺球的回復力最大時，向心力為零；回復力為零時，向心力最大
擺球的回復力最大時，擺線中的拉力大小比擺球的重力大
擺球的向心力最大時，擺球的加速度方向沿擺球的運動方向
2．(多選)關于單擺做簡諧運動的過程，下列說法中正確的是(　　)
在平衡位置擺球的速度和位移均達到最大值
在最大位移處速度最小
在平衡位置擺球速度最大
擺球由最大位移處向平衡位置運動時，速度變大
3．(多選)對單擺振動過程，正確的描述是(　　)
擺球機械能守恒，因它所受合外力為零
擺球經過最低點時，動能最大
擺球向最高點擺動過程中，動能轉化為重力勢能，并且因克服重力做功機械能減少
擺球在最高點時，動能為零，重力勢能最大
題組二　單擺的周期
4.一個質量為m的小球在半徑為R的光滑圓弧槽上來回運動，如圖，圓弧槽的長度l R。為了使小球振動的頻率變為原來的，可以采用的辦法是(　　)
將R減小為原來的
將R增大為原來的4倍
將圓弧長l增大為原來的4倍
將m減小為原來的
5．一個物體在某行星表面受到的萬有引力是它在地球表面受到的萬有引力的，將在地球上走時準確的擺鐘(設擺鐘的周期與單擺簡諧運動的周期相同)搬到此行星上，現要使擺鐘在該行星與地球上的周期相同，下列可行的辦法是(　　)
將擺球的質量m增加為4m
將擺球的質量m減少為
將擺長l減短為
將擺長l增長為4l
6.如圖所示，在兩根等長的細線下懸掛一個小球(體積可忽略)組成了所謂的雙線擺，若細線長均為l，兩線與天花板的夾角均為α，當小球垂直紙面做簡諧運動時，周期為(　　)
2π 2π
2π 2π
題組三　單擺的振動圖像
7．(2024·貴州黔東南高二統考期末)一單擺的擺動角度小于5°，其振動圖像如圖所示，g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
t1、t2時刻擺球加速度方向相反
t＝0.8 s時擺球的速度最大
單擺的振動周期為0.8 s
單擺的擺長約為1.64 cm
8．(2024·江西撫州市高二期末)如圖甲所示，挖掘機的頂部垂下一個大鐵球并讓它小幅度地擺動，即可用來拆卸混凝土建筑，可視為單擺模型，它對應的振動圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是(　　)
單擺振動的周期是4 s
t＝2 s時，擺球的速度最大
擺球的質量增大，周期變小
該單擺的擺長約為8 m
綜合提升練
9．(2024·安徽池州市高二統考期末)已知火星的質量為地球質量的0.1倍，火星的半徑為地球半徑的0.5倍，在地球上秒擺的周期為2 s，則該秒擺在火星上的周期為(　　)
3 s s
2 s 2 s
10．某同學設計了一個用拉力傳感器研究單擺在豎直平面內的振動實驗。一根輕繩一端連接固定的拉力傳感器，另一端連接小鋼球，如圖甲所示。拉起小鋼球至某一位置由靜止釋放，使小鋼球在豎直平面內擺動，記錄小鋼球擺動過程中拉力傳感器示數大小F隨時間t變化曲線，如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
充當單擺回復力的是輕繩的拉力
充當單擺回復力的是小鋼球的重力
單擺的振動周期為0.8π s
小鋼球擺動到最低點時，輕繩的拉力大小為0.498 N
11．(10分)圖甲是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置，以向右為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖像，根據圖像回答：
(1)(3分)單擺振動的頻率是多大？
(2)(3分)開始時刻擺球在何位置？
(3)(4分)若當地的重力加速度為10 m/s2，則這個單擺的擺長是多少(取π2＝10)？
培優加強練
12.(10分)某實驗小組設計實驗研究碰撞及單擺特性，裝置如圖，在水平桌面邊緣用長細繩懸掛著質量為m0的小球。質量為m1的滑塊以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子邊緣與小球發生正碰，碰后小球向外擺動起來(擺動的角度小于5°)，物塊水平拋出桌面，當物塊落地時小球恰好第一次擺回到桌子邊緣。已知物塊落點與桌子邊緣的水平距離為x，桌子高度為h，重力加速度為g，物塊和小球均可視作質點，求：
(1)(5分)物塊從拋出到落地的時間t及懸掛小球的細繩長度l；
(2)(5分)碰撞后小球速度v2。
第3節　單　擺
1.B　[單擺在運動過程中，擺球受重力和擺線的拉力，故A錯誤；重力垂直于擺線的分力提供回復力，當回復力最大時，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，此時擺線的拉力等于重力沿擺線的分力，則擺線的拉力小于重力；在平衡位置處，回復力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿擺線指向懸點，故C、D錯誤，B正確。]
2.BCD　[在平衡位置處，擺球的勢能最小，動能最大，速度最大，而位移最小，A錯誤，C正確；在最大位移處，擺球的勢能最大，動能最小，速度最小，B正確；擺球由最大位移處向平衡位置運動時，勢能變小，動能變大，速度變大，D正確。]
3.BD　[擺球速度的大小和方向始終在改變，所以所受合外力始終不為零，A錯誤；在最低點重力勢能最小，動能最大，B正確；擺球向最高點擺動過程中，只有重力做功，機械能守恒，C錯誤；在最高點重力勢能最大，動能為零，D正確。]
4.B　[將R減小為原來的，周期變為原來的，頻率則變為原來的2倍，選項A錯誤；將R增大為原來的4倍，周期變為原來的2倍，頻率則為原來的，選項B正確；將圓弧長l增大為原來的4倍，不會改變小球運動的周期和頻率，選項C錯誤；小球的周期和頻率與質量沒有關系，所以改變小球的質量，不會改變其運動的周期和頻率，選項D錯誤。]
5.C　[根據在星球表面萬有引力等于重力可知，物體在某行星表面受到的萬有引力是它在地球表面受到的萬有引力的，則該星球的重力加速度g′＝g；根據單擺的周期公式T＝2π可知，要使該單擺在此行星上的周期與在地球上的周期相同，必須將擺長縮短為，單擺的周期與擺球的質量無關，故A、B、D錯誤，C正確。]
6.D　[這是一個變形的單擺，可以用單擺的周期公式T＝2π計算，但注意此處的l與題中的細線長不同，公式中的l是指質點到懸點(等效懸點)的距離，此題中單擺的等效擺長為lsin α，代入周期公式，可得T＝2π，故D正確。]
7.B　[ t1、t2時刻擺球的位移都為正，加速度方向相同，故A錯誤；根據圖像的斜率可知t＝0.8 s時擺球的速度最大，故B正確；由圖可知，單擺的振動周期為1.6 s，故C錯誤；根據T＝2π得l＝0.64 m，故D錯誤。]
8.B　[由圖乙可以看出單擺振動的周期為8 s，故A錯誤；由題知，t＝2 s時，擺球處于平衡位置，即單擺的最低點，故擺球的速度最大，故B正確；單擺周期與擺球的質量無關，故C錯誤；由T＝2π得l≈16 m，故D錯誤。]
9.B　[設地球質量為M、半徑為R，則火星質量為0.1M、半徑為0.5R，根據GM＝gR2知0.1GM＝g火R2，解得g火＝0.4g，單擺的周期公式T＝2π，解得T火＝2π＝ s，故B正確。]
10.C　[充當單擺回復力的是小剛球重力沿軌跡切線的分力，A、B錯誤；鋼球運動至最低點時，輕繩拉力最大值為0.504 N，一次全振動有兩次經過最低點，則周期為0.8π s，C正確，D錯誤。]
11.(1)1.25 Hz　(2)B位置　(3)0.16 m
解析　(1)由題圖可知，單擺振動的周期T＝0.8 s，故其振動的頻率為f＝＝ Hz＝1.25 Hz。
(2)由題圖可知，開始時刻擺球位移為負向最大，故開始時刻擺球位于B位置。
(3)由單擺的周期公式T＝2π可得
l＝g＝×10 m＝0.16 m。
12.(1)　　(2)
解析　(1)由于物塊做平拋運動，所以h＝gt2，所以t＝
對小球，有T＝2π，T＝2t，聯立可得l＝。
(2)物塊與小球碰撞過程動量守恒，則
m1v0＝m1v1＋m0v2，x＝v1t
所以v2＝。第3節　單擺
學習目標　1.知道什么是單擺，了解單擺運動的特點。2.通過實驗，探究單擺周期與擺長的關系。3.知道單擺的周期與擺長、重力加速度的關系。
知識點一　單擺的振動
如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放。
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？
(3)什么力提供回復力？
(4)小球經過O點平衡位置時回復力為零，合外力也為零嗎？
(5)試證明小球在擺角小于5度時，小球的運動是簡諧運動。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.單擺模型
把一根不能伸長的細線上端固定，下端拴一個小球，線的________和球的________可忽略不計，這種裝置稱為單擺。
2.理想化模型
(1)細線的質量與小球相比________________________。
(2)小球的直徑與線的長度相比________________________________。
3.單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的________。
(2)回復力的特點：在擺角很小時(通常θ<5°)，單擺所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成________，方向總指向平衡位置，即F＝－x。
(3)運動規律
單擺在擺角很小的情況下，單擺的振動可近似視為________________。
思考 判斷下列5幅圖中的擺動模型能否看成單擺？若不能，請說明原因。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (多選)(魯科版教材P49節練習1改編)關于單擺做簡諧運動，下列說法正確的是(　　)
A.單擺做簡諧運動的回復力是重力和擺線對擺球拉力的合力
B.單擺做簡諧運動的回復力是重力沿圓弧切線方向的分力
C.在最大位移處，重力勢能最大，擺球動能為零
D.在平衡位置時，擺線彈力最大，回復力為零
(1)單擺振動的平衡位置：回復力為零，而合力不為零，此時合力提供擺球做圓周運動所需的向心力。
(2)單擺振動的最大位移處，向心力為零，而合力不為零，此時合力提供擺球振動的回復力。　　
訓練1 (2024·山東濰坊市核心素養測評)秋千由踏板和繩構成，人在秋千上小幅度擺動時可以簡化為單擺。等效“擺球”的質量為m，擺繩長為l，忽略空氣阻力。已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A.經過最低點時人與踏板均處于平衡狀態
B.“擺球”偏離最低點位移為x時，回復力F＝－x
C.偏離最低點運動的過程中，人受到踏板的摩擦力逐漸增大
D.經過最低點時，人順勢輕輕跳下，踏板的振幅將增大
知識點二　單擺的周期
1.探究影響單擺振動周期的因素
如圖，在鐵架臺的橫梁上固定兩個單擺，按照以下幾種情況，把它們拉起一定角度后同時釋放，觀察兩擺的振動周期。
研究單擺的振動周期
(1)兩擺的擺球質量、擺長相同，振幅不同(都在小偏角下)。
(2)兩擺的擺長、振幅相同，擺球質量不同。
(3)兩擺的振幅、擺球質量相同，擺長不同。
比較三種情況下兩擺的周期，可以得出什么結論？
2.實驗結論
(1)單擺振動的周期與擺球質量________。
(2)振幅較小時周期與振幅____________。
(3)擺長越長，周期________；擺長越短，周期________。
3.周期公式
(1)提出：周期公式是荷蘭物理學家______首先提出的。
(2)公式：T＝________，即單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的算術平方根成________，與重力加速度g的算術平方根成________。
4.對l、g的理解
(1)公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離。
①普通單擺，擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsin α，其周期T＝2π。(b)圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)①公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
②等效重力加速度：一般情況下，公式中g的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質量的比值。
思考 惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運動時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運行的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動。請思考：
(1)擺針走時偏快應如何校準？
(2)將一個走時準確的擺鐘從福建移到北京，擺鐘應如何校準？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 單擺的運動具有周期性，關于單擺的周期，下列說法正確的是(　　)
A.單擺的質量越大，回復力越大，周期越短
B.單擺的周期與單擺所處的地理位置有關，與擺長無關
C.不同單擺放在同一地方，擺長越長的單擺的周期越長
D.若用單擺制成的座鐘在張家口走時準確，則搬到深圳后不做任何調整走時仍準確
例3 (魯科版教材P49節練習3改編)如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，C為弧形槽最低點，R ，甲球從弧形槽的球心處自由下落，乙球從A點由靜止釋放，兩球第1次到達C點的時間之比為(　　)
A. B.
C. D.
知識點三　單擺的振動圖像
1.單擺在擺角小于5°時做簡諧運動，其振動圖像是正弦或余弦曲線。
2.由單擺的振動圖像可知單擺周期。
3.單擺在擺動過程中，其位移、速度、加速度及Ek、Ep相對于平衡位置具有對稱性。
4.單擺擺動具有周期性特點。
思考 如圖所示，使漏斗在一個固定的豎直平面內擺動，沿垂直于該平面的OO′方向勻速拉動薄板，觀察從擺動的漏斗中漏出的細沙在板上形成的曲線，并思考以下問題。
(1)不拉動木板時，讓沙擺擺動起來，細沙的分布特點是直線還是曲線？兩邊的沙子多還是中間的沙子多？說明了什么？
(2)勻速拉動木板時，落在薄板上細沙的位置和各時刻擺球(漏斗)的位置有什么關系？
(3)細沙在薄板上形成什么形狀的曲線？有什么意義？
(4)為什么要勻速拉動木板？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 (多選)(2024·甘肅臨夏州高二期末)如圖甲所示是個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，M、N是擺球所能到達的最遠位置。設擺球向右方向為正方向，如圖乙所示是這個單擺的振動圖像。已知當地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列說法中正確的是(　　)
A.單擺的振幅是0.14 m，振動的頻率是0.5 Hz
B.振動的表達式為x＝0.14sin πt(m)
C.t＝1.5 s時擺球在M點
D.單擺的擺長為1 m
訓練 (多選)(2024·廣東廣州市高二統考期末)如圖甲，小明做擺角較小的單擺實驗，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的左右最遠位置，小明通過實驗測出當地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根據實驗情況繪制了單擺的振動圖像如圖乙，設圖中單擺向右振動為正方向，則下列選項正確的是(　　)
A.此單擺的振動頻率是2 Hz
B.單擺的擺長約為1 m
C.僅改變擺球質量，單擺周期不變
D.t＝0時刻，擺球位于B點
隨堂對點自測
1.(單擺的振動)振動的單擺小球通過平衡位置時，關于小球受到的回復力、合外力及加速度的說法中正確的是(　　)
A.回復力為零，合外力也為零
B.回復力不為零，方向沿軌跡的切線
C.合外力不為零，方向沿軌跡的切線
D.合外力不為零，加速度不為零，方向指向懸點
2.(單擺的周期)(2024·廣東茂名市期末)有一擺鐘如圖甲所示，其鐘擺的結構示意圖如圖乙所示，圓盤固定在擺桿上，螺母可以沿擺桿上下移動，從而改變等效擺長。已知北京的重力加速度約為9.801 m/s2，海口的重力加速度約為9.786 m/s2，若將在北京走時準確的擺鐘移至海口，則下列說法正確的是(　　)
A.在海口的擺鐘擺動比北京快，若要調準可將螺母適當向上移動
B.在海口的擺鐘擺動比北京快，若要調準可將螺母適當向下移動
C.在海口的擺鐘擺動比北京慢，若要調準可將螺母適當向上移動
D.在海口的擺鐘擺動比北京慢，若要調準可將螺母適當向下移動
3.(單擺的振動圖像)甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示，根據振動圖像可以判定(　　)
A.甲、乙兩單擺振動的周期之比是3∶2
B.甲、乙兩單擺振動的頻率之比是2∶3
C.若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4
D.若甲、乙兩單擺擺長相同，在不同地點擺動，則甲、乙兩單擺所在地的重力加速度之比為9∶4
第3節　單　擺
知識點一
導學　提示　(1)小球受細線的拉力和重力的作用。
(2)細線的拉力和重力沿徑向的分力的合力提供向心力。
(3)重力沿切線方向的分力提供小球振動的回復力。
(4)小球經過平衡位置時，做圓周運動，其合外力不為零。
(5)單擺擺球的重力沿著切線方向的分力提供回復力，如圖所示
則該力的大小為F＝mgsin θ，由于θ<5°，則有sin θ≈θ≈，解得F＝x，回復力方向總是指向平衡位置，則有F回＝－x＝－kx，可知，單擺在擺角小于5度時，回復力大小與相對平衡位置的位移大小成正比，方向相反，即小球的運動是簡諧運動。
知識梳理
1.質量　大小
2.(1)可以忽略　(2)可以忽略
3.(1)分力　(2)正比　(3)簡諧運動
[思考] 提示　均不能看成單擺。圖(a)(d)擺動過程中擺長會發生變化，圖(b)空氣阻力不能忽略，圖(c)球的直徑與繩的長度相比不能忽略，圖(e)繩的質量與小球相比不能忽略。
例1 BCD　[單擺做簡諧運動的回復力由重力沿擺球運動軌跡切線方向的分力提供，故A錯誤，B正確；在最大位移處，重力勢能最大，擺球速度為零，所以動能為零，故C正確；在平衡位置時，小球處于超重狀態，擺線彈力最大，回復力為零，故D正確。]
訓練1 B　[經過最低點時人與踏板有向心加速度，不是平衡狀態，故A錯誤；根據簡諧運動公式，當擺角θ很小時，擺球運動的圓弧可以看成直線，可知，“擺球”偏離最低點位移為x時，回復力F＝－x，故B正確；偏離最低點運動的過程中，人的速度減小，與豎直方向夾角變大，重力沿切線方向的分力提供回復力，摩擦力為零，故C錯誤；經過最低點時，人順勢輕輕跳下，踏板的能量未增大，則振幅不變，故D錯誤。]
知識點二
2.(1)無關　(2)無關　(3)越大　越小
3.(1)惠更斯　(2)2π　正比　反比
[思考] 提示　(1)擺針走時偏快應調節螺母使圓盤沿擺桿下移。
(2)調節螺母使圓盤沿擺桿下移。
例2 C　[根據單擺的周期公式T＝2π知，單擺的周期與質量、振幅(路程)都無關，與擺長及重力加速度有關，所以C正確，A、B錯誤；根據重力加速度的特點可知，張家口的重力加速度大于深圳的重力加速度，根據T＝2π可知，用單擺制成的座鐘在張家口走時準確，搬到深圳后周期增大，要走時仍然準確，必須縮短單擺的擺長，D錯誤。]
例3 C　[甲球做自由落體運動R＝gt，所以t1＝，乙球沿弧形槽做簡諧運動(由于AC R，可認為偏角θ<5°)，此運動與一個擺長為R的單擺運動模型相同，故此等效擺長為R，因此乙球第1次到達C處的時間為t2＝T＝×2π＝，所以＝，故C正確。]
知識點三
思考　提示　(1)若不拉動木板，讓沙擺擺動起來，則細沙的分布會形成直線。因為沙擺擺動時，經過最低點的速度最大，經過最高點的速度最小，因為沙子均勻流出，所以兩邊的沙子多于中間的沙子。
(2)勻速拉動木板時，落在薄板上細沙的位置和各時刻擺球(漏斗)的位置一一對應，如落在薄板上離OO′最遠時，擺球偏離平衡位置最大；當落在薄板的OO′線上時，表示擺球處于平衡位置。
(3)從圖像可以看出，細沙在薄板上形成的是正弦函數圖像。表示沙擺偏離平衡位置的距離滿足正弦函數關系y＝Asin ωt。
(4)因為每一時刻都有細沙從漏斗中漏出，所以落在薄板上的細沙就記錄下各個時刻沙擺的位置。勻速拉動薄板，則以OO′表示的時間軸是均勻的，這樣橫軸上相同的長度就代表相等的時間間隔；垂直于OO′的坐標x表示的就是擺球在不同的時刻相對于平衡位置的位移，薄板上細沙形成的曲線就是沙擺做簡諧運動時位移x隨時間t變化的圖像，即振動圖像。
例4 CD　[根據振動圖像可知，該單擺的振幅、頻率分別為A＝0.07 m，f＝＝ Hz＝0.5 Hz，故A錯誤；單擺的振動表達式x＝Asin ωt(m)，其中ω＝＝ rad/s＝π rad/s，代入可得x＝0.07sin πt(m)，故B錯誤；擺球向右方向為正方向，而t＝1.5 s為T，因此可知，t＝1.5 s時擺球在M點，故C正確；設該單擺的擺長為l，根據單擺的周期公式T＝2π，代入數據可得l＝＝ m＝1 m，故D正確。]
訓練 BCD　[由圖乙可知，單擺的周期為T＝2 s，則單擺的振動頻率為f＝＝0.5 Hz，故A錯誤；根據T＝2π得單擺的擺長為l＝＝1 m，僅改變擺球質量，單擺周期不變，故B、C正確；t＝0時刻，由圖乙可知，擺球位于負向最大位移處，圖中單擺向右振動為正方向，則擺球位于B點，故D正確。]
隨堂對點自測
1.D　[當單擺小球通過平衡位置時，回復力為零，合外力不為零，此時的合外力提供向心力，產生向心加速度，方向指向圓心，即指向懸點，選項A、B、C錯誤，D正確。]
2.C　[由單擺周期公式T＝2π可知，重力加速度越小，周期越大，所以將在北京走時準確的擺鐘移至海口時，周期變大，即在海口的擺鐘擺動比北京慢，若要調準，應該將等效擺長減小，即可將螺母適當向上移動，故C正確。]
3.D　[根據圖像可知，甲和乙的周期之比為T甲∶T乙＝2∶3，A錯誤；因為f＝，所以甲、乙的頻率之比為f甲∶f乙＝3∶2，B錯誤；根據單擺的周期公式T＝2π可知，同一地點，重力加速度相同，則甲、乙的擺長之比和周期的平方成正比，即為4∶9，C錯誤；擺長相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙兩單擺所在地的重力加速度之比為9∶4，D正確。](共58張PPT)
第3節　單擺
第2章　機械振動
1.知道什么是單擺，了解單擺運動的特點。
2.通過實驗，探究單擺周期與擺長的關系。
3.知道單擺的周期與擺長、重力加速度的關系。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　單擺的周期
知識點一　單擺的振動
知識點三　單擺的振動圖像
知識點一　單擺的振動
如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放。
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？
(3)什么力提供回復力？
(4)小球經過O點平衡位置時回復力為零，合外力也為零嗎？
(5)試證明小球在擺角小于5度時，小球的運動是簡諧運動。
提示　(1)小球受細線的拉力和重力的作用。
(2)細線的拉力和重力沿徑向的分力的合力提供向心力。
(3)重力沿切線方向的分力提供小球振動的回復力。
(4)小球經過平衡位置時，做圓周運動，其合外力不為零。
1.單擺模型
把一根不能伸長的細線上端固定，下端拴一個小球，線的______和球的______可忽略不計，這種裝置稱為單擺。
2.理想化模型
(1)細線的質量與小球相比__________。
(2)小球的直徑與線的長度相比__________。
質量
大小
可以忽略
可以忽略
3.單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的______。
分力
正比
(3)運動規律
單擺在擺角很小的情況下，單擺的振動可近似視為__________。
簡諧運動
【思考】 判斷下列5幅圖中的擺動模型能否看成單擺？若不能，請說明原因。
提示　均不能看成單擺。圖(a)(d)擺動過程中擺長會發生變化，圖(b)空氣阻力不能忽略，圖(c)球的直徑與繩的長度相比不能忽略，圖(e)繩的質量與小球相比不能忽略。
BCD
例1 (多選)(魯科版教材P49節練習1改編)關于單擺做簡諧運動，下列說法正確的是( 　　)
A.單擺做簡諧運動的回復力是重力和擺線對擺球拉力的合力
B.單擺做簡諧運動的回復力是重力沿圓弧切線方向的分力
C.在最大位移處，重力勢能最大，擺球動能為零
D.在平衡位置時，擺線彈力最大，回復力為零
解析　單擺做簡諧運動的回復力由重力沿擺球運動軌跡切線方向的分力提供，故A錯誤，B正確；在最大位移處，重力勢能最大，擺球速度為零，所以動能為零，故C正確；在平衡位置時，小球處于超重狀態，擺線彈力最大，回復力為零，故D正確。
(1)單擺振動的平衡位置：回復力為零，而合力不為零，此時合力提供擺球做圓周運動所需的向心力。
(2)單擺振動的最大位移處，向心力為零，而合力不為零，此時合力提供擺球振動的回復力。　　
B
訓練1 (2024·山東濰坊市核心素養測評)秋千由踏板和繩構成，人在秋千上小幅度擺動時可以簡化為單擺。等效“擺球”的質量為m，擺繩長為l，忽略空氣阻力。已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
知識點二　單擺的周期
1.探究影響單擺振動周期的因素
如圖，在鐵架臺的橫梁上固定兩個單擺，按照以下幾種情況，把它們拉起一定角度后同時釋放，觀察兩擺的振動周期。
研究單擺的振動周期
(1)兩擺的擺球質量、擺長相同，振幅不同(都在小偏角下)。
(2)兩擺的擺長、振幅相同，擺球質量不同。
(3)兩擺的振幅、擺球質量相同，擺長不同。
比較三種情況下兩擺的周期，可以得出什么結論？
2.實驗結論
(1)單擺振動的周期與擺球質量______。
(2)振幅較小時周期與振幅______。
(3)擺長越長，周期______；擺長越短，周期______。
無關
無關
越大
越小
3.周期公式
(1)提出：周期公式是荷蘭物理學家________首先提出的。
惠更斯
正比
反比
(2)①公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
②等效重力加速度：一般情況下，公式中g的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質量的比值。
【思考】 惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運動時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運行的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動。請思考：
(1)擺針走時偏快應如何校準？
(2)將一個走時準確的擺鐘從福建移到北京，擺鐘應如何校準？
提示　(1)擺針走時偏快應調節螺母使圓盤沿擺桿下移。
(2)調節螺母使圓盤沿擺桿下移。
例2 單擺的運動具有周期性，關于單擺的周期，下列說法正確的是(　　)
A.單擺的質量越大，回復力越大，周期越短
B.單擺的周期與單擺所處的地理位置有關，與擺長無關
C.不同單擺放在同一地方，擺長越長的單擺的周期越長
D.若用單擺制成的座鐘在張家口走時準確，則搬到深圳后不做任何調整走時仍準確
C
C
知識點三　單擺的振動圖像
1.單擺在擺角小于5°時做簡諧運動，其振動圖像是正弦或余弦曲線。
2.由單擺的振動圖像可知單擺周期。
3.單擺在擺動過程中，其位移、速度、加速度及Ek、Ep相對于平衡位置具有對稱性。
4.單擺擺動具有周期性特點。
【思考】 如圖所示，使漏斗在一個固定的豎直平面內擺動，沿垂直于該平面的OO′方向勻速拉動薄板，觀察從擺動的漏斗中漏出的細沙在板上形成的曲線，并思考以下問題。
(1)不拉動木板時，讓沙擺擺動起來，細沙的分布特點是直線還是曲線？兩邊的沙子多還是中間的沙子多？說明了什么？
(2)勻速拉動木板時，落在薄板上細沙的位置和各時刻擺球(漏斗)的位置有什么關系？
(3)細沙在薄板上形成什么形狀的曲線？有什么意義？
(4)為什么要勻速拉動木板？
提示　(1)若不拉動木板，讓沙擺擺動起來，則細沙的分布會形成直線。因為沙擺擺動時，經過最低點的速度最大，經過最高點的速度最小，因為沙子均勻流出，所以兩邊的沙子多于中間的沙子。
(2)勻速拉動木板時，落在薄板上細沙的位置和各時刻擺球(漏斗)的位置一一對應，如落在薄板上離OO′最遠時，擺球偏離平衡位置最大；當落在薄板的OO′線上時，表示擺球處于平衡位置。
(3)從圖像可以看出，細沙在薄板上形成的是正弦函數圖像。表示沙擺偏離平衡位置的距離滿足正弦函數關系y＝Asin ωt。
(4)因為每一時刻都有細沙從漏斗中漏出，所以落在薄板上的細沙就記錄下各個時刻沙擺的位置。勻速拉動薄板，則以OO′表示的時間軸是均勻的，這樣橫軸上相同的長度就代表相等的時間間隔；垂直于OO′的坐標x表示的就是擺球在不同的時刻相對于平衡位置的位移，薄板上細沙形成的曲線就是沙擺做簡諧運動時位移x隨時間t變化的圖像，即振動圖像。
例4 (多選)(2024·甘肅臨夏州高二期末)如圖甲所示是個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，M、N是擺球所能到達的最遠位置。設擺球向右方向為正方向，如圖乙所示是這個單擺的振動圖像。已知當地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列說法中正確的是(　　)
A.單擺的振幅是0.14 m，振動的頻率是0.5 Hz
B.振動的表達式為x＝0.14sin πt(m)
C.t＝1.5 s時擺球在M點
D.單擺的擺長為1 m
CD
訓練 (多選)(2024·廣東廣州市高二統考期末)如圖甲，小明做擺角較小的單擺實驗，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的左右最遠位置，小明通過實驗測出當地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根據實驗情況繪制了單擺的振動圖像如圖乙，設圖中單擺向右振動為正方向，則下列選項正確的是(　 　)
A.此單擺的振動頻率是2 Hz
B.單擺的擺長約為1 m
C.僅改變擺球質量，單擺周期不變
D.t＝0時刻，擺球位于B點
BCD
隨堂對點自測
2
D
1.(單擺的振動)振動的單擺小球通過平衡位置時，關于小球受到的回復力、合外力及加速度的說法中正確的是(　　)
A.回復力為零，合外力也為零
B.回復力不為零，方向沿軌跡的切線
C.合外力不為零，方向沿軌跡的切線
D.合外力不為零，加速度不為零，方向指向懸點
解析　當單擺小球通過平衡位置時，回復力為零，合外力不為零，此時的合外力提供向心力，產生向心加速度，方向指向圓心，即指向懸點，選項A、B、C錯誤，D正確。
C
2.(單擺的周期)(2024·廣東茂名市期末)有一擺鐘如圖甲所示，其鐘擺的結構示意圖如圖乙所示，圓盤固定在擺桿上，螺母可以沿擺桿上下移動，從而改變等效擺長。已知北京的重力加速度約為9.801 m/s2，海口的重力加速度約為9.786 m/s2，若將在北京走時準確的擺鐘移至海口，則下列說法正確的是(　　)
A.在海口的擺鐘擺動比北京快，若要調準可將螺母適當向上移動
B.在海口的擺鐘擺動比北京快，若要調準可將螺母適當向下移動
C.在海口的擺鐘擺動比北京慢，若要調準可將螺母適當向上移動
D.在海口的擺鐘擺動比北京慢，若要調準可將螺母適當向下移動
D
3.(單擺的振動圖像)甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示，根據振動圖像可以判定(　　)
A.甲、乙兩單擺振動的周期之比是3∶2
B.甲、乙兩單擺振動的頻率之比是2∶3
C.若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩
單擺擺長之比是9∶4
D.若甲、乙兩單擺擺長相同，在不同地點擺動，則甲、乙兩單擺所在地的重力加速度之比為9∶4
課后鞏固訓練
3
B
題組一　單擺的振動
1.關于單擺擺球在運動過程中的受力，下列結論中正確的是(　　)
A.擺球受重力、擺線的拉力、回復力、向心力的作用
B.擺球的回復力最大時，向心力為零；回復力為零時，向心力最大
C.擺球的回復力最大時，擺線中的拉力大小比擺球的重力大
D.擺球的向心力最大時，擺球的加速度方向沿擺球的運動方向
解析　單擺在運動過程中，擺球受重力和擺線的拉力，故A錯誤；重力垂直于擺線的分力提供回復力，當回復力最大時，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，此時擺線的拉力等于重力沿擺線的分力，則擺線的拉力小于重力；在平衡位置處，回復力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿擺線指向懸點，故C、D錯誤，B正確。
基礎對點練
BCD
2.(多選)關于單擺做簡諧運動的過程，下列說法中正確的是(　 　)
A.在平衡位置擺球的速度和位移均達到最大值
B.在最大位移處速度最小
C.在平衡位置擺球速度最大
D.擺球由最大位移處向平衡位置運動時，速度變大
解析　在平衡位置處，擺球的勢能最小，動能最大，速度最大，而位移最小，A錯誤，C正確；在最大位移處，擺球的勢能最大，動能最小，速度最小，B正確；擺球由最大位移處向平衡位置運動時，勢能變小，動能變大，速度變大，D正確。
BD
3.(多選)對單擺振動過程，正確的描述是(　　)
A.擺球機械能守恒，因它所受合外力為零
B.擺球經過最低點時，動能最大
C.擺球向最高點擺動過程中，動能轉化為重力勢能，并且因克服重力做功機械能減少
D.擺球在最高點時，動能為零，重力勢能最大
解析　擺球速度的大小和方向始終在改變，所以所受合外力始終不為零，A錯誤；在最低點重力勢能最小，動能最大，B正確；擺球向最高點擺動過程中，只有重力做功，機械能守恒，C錯誤；在最高點重力勢能最大，動能為零，D正確。
B
C
D
6.如圖所示，在兩根等長的細線下懸掛一個小球(體積可忽略)組成了所謂的雙線擺，若細線長均為l，兩線與天花板的夾角均為α，當小球垂直紙面做簡諧運動時，周期為(　　)
B
題組三　單擺的振動圖像
7.(2024·貴州黔東南高二統考期末)一單擺的擺動角度小于5°，其振動圖像如圖所示，g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A.t1、t2時刻擺球加速度方向相反
B.t＝0.8 s時擺球的速度最大
C.單擺的振動周期為0.8 s
D.單擺的擺長約為1.64 cm
B
8.(2024·江西撫州市高二期末)如圖甲所示，挖掘機的頂部垂下一個大鐵球并讓它小幅度地擺動，即可用來拆卸混凝土建筑，可視為單擺模型，它對應的振動圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是(　　)
A.單擺振動的周期是4 s
B.t＝2 s時，擺球的速度最大
C.擺球的質量增大，周期變小
D.該單擺的擺長約為8 m
B
9.(2024·安徽池州市高二統考期末)已知火星的質量為地球質量的0.1倍，火星的半徑為地球半徑的0.5倍，在地球上秒擺的周期為2 s，則該秒擺在火星上的周期為(　　)
綜合提升練
C
10.某同學設計了一個用拉力傳感器研究單擺在豎直平面內的振動實驗。一根輕繩一端連接固定的拉力傳感器，另一端連接小鋼球，如圖甲所示。拉起小鋼球至某一位置由靜止釋放，使小鋼球在豎直平面內擺動，記錄小鋼球擺動過程中拉力傳感器示數大小F隨時間t變化曲線，如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
A.充當單擺回復力的是輕繩的拉力
B.充當單擺回復力的是小鋼球的重力
C.單擺的振動周期為0.8π s
D.小鋼球擺動到最低點時，輕繩的拉
力大小為0.498 N
11.圖甲是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置，以向右為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖像，根據圖像回答：
(1)單擺振動的頻率是多大？
(2)開始時刻擺球在何位置？
(3)若當地的重力加速度為10 m/s2，則這個單擺的擺長是多少(取π2＝10)
答案　(1)1.25 Hz　(2)B位置　(3)0.16 m
培優加強練
12.某實驗小組設計實驗研究碰撞及單擺特性，裝置如圖，在水平桌面邊緣用長細繩懸掛著質量為m0的小球。質量為m1的滑塊以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子邊緣與小球發生正碰，碰后小球向外擺動起來(擺動的角度小于5°)，物塊水平拋出桌面，當物塊落地時小球恰好第一次擺回到桌子邊緣。已知物塊落點與桌子邊緣的水平距離為x，桌子高度為h，重力加速度為g，物塊和小球均可視作質點，
求：
(1)物塊從拋出到落地的時間t及懸掛小球的細繩長度l；
(2)碰撞后小球速度v2。

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