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專題提升六　簡諧運動的綜合應用
選擇題1～9題，11題，每小題9分，共90分。
基礎對點練
題組一　簡諧運動的周期性和對稱性
1．一質點做簡諧運動，它從最大位移處經0.3 s第一次到達某點M處，再經0.2 s第二次到達M點，則其振動頻率為(　　)
0.4 Hz 0.8 Hz
2.5 Hz 1.25 Hz
2．一質點做簡諧運動，先后以相同的速度依次通過A、B兩點，歷時1 s，質點通過B點后，再經過1 s，第二次通過B點，在這2 s內，質點的總路程是12 cm，則質點振動的周期和振幅分別可能為(　　)
2 s，6 cm 4 s，6 cm
4 s，9 cm 2 s，8 cm
題組二　簡諧運動的動力學特征
3．(多選)關于簡諧運動的回復力，以下說法正確的是(　　)
簡諧運動的回復力不可能是恒力
做簡諧運動的物體的加速度方向與位移方向總是相反
簡諧運動的回復力公式F＝－kx中k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的長度
做簡諧運動的物體每次經過平衡位置合力一定為零
4．如圖甲所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置。乙是振子做簡諧運動時的位移—時間圖像。則關于振子的加速度隨時間變化的規律，下列四個圖像中正確的是(　　)
A B C D
5．如圖甲所示，在光滑的水平面上，勁度系數為k的輕質彈簧的一端固定在墻壁上，另一端與一個質量為M的物體相連，在物體上放質量為m的木塊，壓縮彈簧，釋放后兩者一起運動且運動過程中始終保持相對靜止。圖乙是兩物體一起運動的振動圖像，振幅為A，則下列說法正確的是(　　)
0～t1內速度在減小，加速度在減小
t2～t3內木塊受到的摩擦力在增大
t2時刻木塊受到的摩擦力大小為
t3時刻木塊受到的摩擦力大小為
題組三　簡諧運動的能量特征
6．把一個小球套在光滑細桿上，球與輕彈簧相連組成彈簧振子，小球沿桿在水平方向做簡諧運動，平衡位置為O，小球在A、B間振動，如圖所示。下列結論正確的是(　　)
小球在O位置時，動能最大，加速度最小
小球在A、B位置時，動能最大，加速度最大
小球從A經O到B的過程中，回復力一直做正功
小球在O位置時系統的總能量大于小球在B位置時系統的總能量
7．(2024·湖南邵陽市高二統考期末)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子在CD間做簡諧運動，從平衡位置O向下運動時開始計時，振動圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是(　　)
C、D速度為0，加速度相同
t＝0.15 s，彈性勢能最大，加速度最大
t＝0.1 s，振子的加速度為正，速度也為正
t＝0.05 s，彈性勢能最大，重力勢能最小
綜合提升練
8.如圖所示，一輕質彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O點為中心點，在C、D之間做周期為T的簡諧運動。已知在t1時刻物塊的動量為p、動能為Ek。下列說法正確的是(　　)
若在t2時刻物塊的動量也為p，則|t2－t1|的最小值為T
若在t2時刻物塊的動能也為Ek，則|t2－t1|的最小值為T
當物塊通過O點時，其加速度最小
物塊運動至C點時，其加速度最小
9.如圖所示，一輕彈簧與質量為m的物體組成彈簧振子，物體在同一條豎直線上的A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，C為AO的中點。已知OC＝h，彈簧的勁度系數為k，某時刻物體恰好以大小為v的速度經過C點并向上運動，則從此時刻開始的半個周期時間內，對質量為m的物體，下列說法不正確的是(　　)
重力勢能減少了2mgh
回復力做功為2mgh
回復力的沖量大小為2mv
通過A點時回復力的大小為2kh
10.(10分)如圖所示，一輕質彈簧上端系于天花板上，一端掛一質量為m的小球，彈簧的勁度系數為k，將小球從彈簧原長處由靜止放手，小球在豎直方向做簡諧運動，重力加速度為g，則：
(1)(5分)小球從放手運動到最低點，下降的高度為多少？
(2)(5分)小球運動到最低點時的加速度大小為多少？
培優加強練
11．如圖所示，一根用絕緣材料制成的勁度系數為k的輕質彈簧，左端固定，右端與質量為m、帶電荷量為＋q(q>0)的小球相連，靜止在光滑、絕緣的水平面上。在施加一個場強為E、方向水平向右的勻強電場后，小球開始做簡諧運動。那么(　　)
小球到達最右端時，彈簧的形變量為
小球做簡諧運動的振幅為
運動過程中小球的機械能守恒
運動過程中小球的電勢能和彈簧的彈性勢能的總量不變
專題提升六　簡諧運動的綜合應用
1.D　[由題意知，從M位置沿著原路返回到起始最大位移處的時間也為0.3 s，故完成一個全振動的時間為T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故頻率為f＝＝1.25 Hz，D正確。]
2.B　[由做簡諧運動的質點，先后以同樣大小的速度通過A、B兩點，可知這兩點關于平衡位置O對稱，所以質點由A到O的時間與由O到B的時間相等。則平衡位置O到B點的時間t1＝ s，因過B點后再經過1 s質點以方向相反、大小相同的速度再次通過B點，則有從B點到最大位移處的時間t2＝ s，因此，質點振動的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s；質點總路程的一半，即為振幅，所以振幅為A＝ cm＝6 cm，故B正確，A、C、D錯誤。]
3.AB　[根據簡諧運動的定義可知，物體做簡諧運動時，受到的回復力為F＝－kx，k是比例系數，x是物體相對平衡位置的位移，回復力不可能是恒力，故A正確，C錯誤；物體的回復力方向總是指向平衡位置，與位移方向相反，根據牛頓第二定律知，加速度的方向與合外力的方向相同，所以做簡諧運動的物體的加速度方向與位移方向總是相反，故B正確；做簡諧運動的物體每次經過平衡位置回復力為零，但是合力不一定為零，故D錯誤。]
4.D　[根據簡諧運動振子的加速度與位移的關系a＝－可知，t＝0時刻振子的加速度a＝0，且在前半個周期內加速度為負值。簡諧運動的x－t圖像是正弦曲線，則a－t圖像與x－t圖像上下對調，D正確，A、B、C錯誤。]
5.C　[兩物體一起振動，由圖乙可知，0～t1內物體向平衡位置振動，則速度在增大，加速度在減小，A錯誤；t2～t3內由振動圖像可知加速度在減小，木塊受到的摩擦力提供加速度，則t2～t3內木塊受到的摩擦力在減小，B錯誤；t2時刻對兩物體受力分析，有kA＝a，對木塊受力分析，有f＝ma，解得f＝，C正確；t3時刻木塊的加速度為0，則摩擦力為0，D錯誤。]
6.A　[小球在平衡位置時動能最大，加速度為零，A正確；小球在A、B位置時，動能最小，加速度最大，B錯誤；小球衡位置時，回復力做正功，遠離平衡位置時，回復力做負功，C錯誤；在小球振動過程中系統的總能量不變，D錯誤。]
7.D　[C、D速度為0，加速度大小相等，方向相反，故A錯誤；t＝0.15 s，彈簧振子運動到C點，彈性勢能不一定最大，也不一定最小，加速度最大，故B錯誤；t＝0.1 s，彈簧振子運動到O點且向上運動，振子的加速度為零，速度為正，故C錯誤；t＝0.05 s，彈簧振子運動到D點，彈性勢能最大，重力勢能最小，故D正確。]
8.C　[物塊做簡諧運動，物塊同向經過關于平衡位置對稱的兩點時，動量相等，若在t2時刻物塊的動量也為p，則|t2－t1|的最小值可以小于，故A錯誤；物塊經過同一位置或關于平衡位置對稱的位置時，動能相等，若在t2時刻物塊的動能也為Ek，則|t2－t1|的最小值可以小于T，故B錯誤；圖中O點是平衡位置，根據a＝－可知，物塊經過O點時位移最小，則其加速度最小，故C正確；物塊運動至C點時，位移最大，其加速度最大，故D錯誤。]
9.B　[由簡諧運動的對稱性可知，從C點開始經過半個周期時間，物體運動到C點關于平衡位置對稱的位置，即到達O點下方h處，則重力做功為2mgh，重力勢能減少了2mgh，A正確；物體的回復力是重力與彈簧彈力的合力，由于初、末速度大小相等，由動能定理可知，半個周期內回復力做功為零，B錯誤；經過半個周期后，振子的速度反向，取向上為正方向，則由動量定理得，回復力的沖量為I＝－mv－mv＝－2mv，C正確；回復力是重力與彈簧彈力的合力，故通過A點時的回復力為F＝－kx＝－2kh，D正確。]
10.(1)　(2)g
解析　(1)放手后小球到達平衡位置時，設彈簧伸長了x1，則mg＝kx1，由簡諧運動的對稱性可知，小球從平衡位置到最低點，彈簧的伸長量x2＝x1，小球從放手運動到最低點下降的高度為x＝x1＋x2＝。
(2)在最低點時，對小球受力分析，由牛頓第二定律得kx－mg＝ma
解得小球運動到最低點時的加速度大小為a＝g。
11.A　[小球做簡諧運動的平衡位置是彈簧拉力和電場力平衡的位置，此時彈簧形變量為，小球到達最右端時，彈簧形變量為，振幅為，A正確，B錯誤；電場力做功，故小球的機械能不守恒，C錯誤；運動過程中，小球的動能、電勢能和彈簧的彈性勢能的總量不變，D錯誤。]專題提升六　簡諧運動的綜合應用
學習目標　1.進一步認識簡諧運動的特點，知道簡諧運動具有周期性、對稱性。2.能利用動力學觀點和能量觀點解決簡諧運動問題。
提升一　簡諧運動的周期性和對稱性
如圖是根據應用頻閃照相法，拍攝小球和彈簧的一系列的像，通過測量小球在各個位置的橫坐標和縱坐標，按照計算機提示用一個周期性函數擬合這條曲線，證明彈簧振子運動的x－t圖像是正弦曲線。仔細觀察圖像具有什么特點？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
簡諧運動是一種周期性的運動，簡諧運動的物理量隨時間周期性變化，如圖所示，OC＝OD。
1.時間的對稱
(1)物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD。
(2)物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
2.速度的對稱
(1)物體連續兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反。
(2)物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3.位移的對稱
(1)物體經過同一點(如C點)時，位移相同。
(2)物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D)時，位移大小相等、方向相反。
例1 (多選)如圖所示，彈簧振子的平衡位置為O點，M′、M為小球向上、向下運動的最遠點，P為OM中點，Q為OM′間某點(圖中未畫出)，若小球在P、Q兩點的動能相等，則下列說法正確的是(　　)
A.小球在P、Q兩點的速度相同
B.P、Q兩點關于O點對稱
C.小球在P、Q兩點所受合外力不相同
D.小球在P、Q兩點的加速度相同
例2 (多選)彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從小球通過O點時開始計時，小球第一次到達M點用了0.3 s，又經過0.2 s第二次通過M點，則小球第三次通過M點還要經過的時間可能是(　　)
A. s B. s
C.1.4 s D.1.6 s
1.周期性造成多解：物體經過同一位置可以對應不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題。
2.對稱性造成多解：由于簡諧運動具有對稱性，因此當物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問題。　　
提升二　簡諧運動的動力學特征
如圖所示，傾角為α的斜面體(斜面光滑且足夠長)放在粗糙的水平地面上，斜面頂端與勁度系數為k，自然長度為L的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為L時將物塊由靜止開始釋放，物塊開始做簡諧運動，且彈簧始終在彈性限度內，斜面體始終處于靜止狀態。重力加速度為g。
(1)判斷彈簧原長的位置是否為平衡位置？如果是，說明理由。如果不是，請說明并推導出平衡位置時彈簧的形變量Δx；
(2)分析求解該振子的振幅和加速度的最大值；
(3)關于平衡位置對稱的兩點，加速度大小和方向有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.彈簧振子做簡諧運動時，回復力F＝－kx，回復力為振子運動方向上的合力，則振子運動方向上的加速度a＝－。
2.最大加速度大小a＝____________，方向指向________位置。
3.簡諧運動具有對稱性，即以平衡位置(a＝0)為中心，回復力、加速度、位移都關于平衡位置對稱。
例3 如圖所示為一款玩具“彈簧公仔”，該玩具由頭部、輕彈簧及底座組成，已知公仔頭部質量為m，彈簧勁度系數為k，底座質量為0.5m。輕壓公仔頭部至彈簧彈力為2mg時，由靜止釋放公仔頭部，此后公仔頭部在豎直方向上做簡諧運動。重力加速度為g，彈簧始終在彈性限度內。下列說法中正確的是(　　)
A.釋放公仔頭部瞬間的加速度大小為2g
B.彈簧恢復原長時，公仔頭部的速度最大
C.公仔頭部做簡諧運動的振幅為
D.公仔頭部運動至最高點時底座對桌面的壓力為零
訓練1 (2024·貴州遵義市高二統考期中)如圖所示，輕彈簧上端固定在天花板上，下端與裝有小球的盒子連接，整體處于豎直狀態。現用手向上托著盒子，從彈簧原長的位置B處由靜止釋放，這樣盒子和小球將在B、C之間做簡諧運動，O為平衡位置，M、N分別為BO和OC之間的位置，且關于O點對稱。則盒子經過M、N兩點時，盒子給小球的作用力FM和FN的大小關系是(　　)
A.FM＞FN B.FM＝FN
C.FM提升三　簡諧運動的能量特征
如圖所示為水平彈簧振子，振子在A、B之間往復運動。
(1)從A到B的運動過程中，振子的動能如何變化？彈簧彈性勢能如何變化？振動系統的總機械能是否變化？
(2)如果把振子振動的振幅增大，振子回到平衡位置的動能是否增大？振動系統的機械能是否增大？
(3)實際的振動系統有空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？理想化的彈簧振動系統，忽略空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.簡諧運動的能量是指物體在經過某一位置時所具有的勢能和動能________。在振動過程中，勢能和動能相互轉化，機械能________。
2.決定因素：對于一個確定的振動系統，簡諧運動的能量由振幅決定，振幅越大，系統的能量越大。
3.能量轉化：回復力做正功時，系統動能增大，勢能減小。振子在平衡位置處，動能最大，勢能最小；在最大位移處，系統的動能為零，勢能最大。
例4 如圖所示，勁度系數為k的豎直輕彈簧下面掛一個質量為m的物體，物體在豎直方向做簡諧運動，當物體振動到最高點時，彈簧正好為原長。則物體在振動過程中(　　)
A.物體在最低點時受的彈力大小為mg
B.彈簧的最大彈性勢能等于
C.彈簧的彈性勢能和物體的動能總和不變
D.物體的最大動能應等于
訓練2 如圖所示，在光滑斜面上有一物體A被平行于斜面的輕質彈簧拉住靜止于O點。現將物體A沿斜面拉到B點后由靜止釋放，物體A在B、C之間做簡諧運動。下列說法錯誤的是(　　)
A.O、B距離越大，振動能量越大
B.在振動過程中，物體A的機械能守恒
C.物體A在C點時，物體A與彈簧組成的系統勢能最大，在O點時，系統勢能最小
D.在B點時，物體A的機械能最小
隨堂對點自測
1.(簡諧運動的能量特征)如圖所示為某個彈簧振子做簡諧運動的振動圖像，由圖像可知(　　)
A.在0.1 s時，由于位移為零，所以彈簧振子的能量為零
B.在0.2 s時，彈簧振子具有最大勢能
C.在0.35 s時，彈簧振子的能量尚未達到最大值
D.在0.4 s時，振子的動能最大
2.(簡諧運動的動力學特征)(多選)如圖所示，物體m系在兩水平彈簧之間，兩彈簧的勁度系數分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然伸長狀態，今向右拉動m，然后釋放，物體在B、C間振動(不計阻力)，O為平衡位置，則下列判斷正確的是(　　)
A.m做簡諧運動，OC＝OB
B.m做簡諧運動，OC≠OB
C.回復力F＝－kx
D.回復力F＝－3kx
3.(簡諧運動的周期性和對稱性)(多選)一簡諧振子沿x軸振動，平衡位置在坐標原點。t＝0時刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s時刻x＝0.1 m；t＝4 s時刻x＝0.1 m。該振子的振幅和周期可能為(　　)
A.0.1 m， s B.0.1 m，8 s
C.0.2 m， s D.0.2 m，8 s
專題提升六　簡諧運動的綜合應用
提升一
導學　提示　具有周期性和對稱性。
例1 BC　[由題可知，小球在P、Q兩點的動能相等，故小球在P、Q兩點的速度等大，但方向不一定相同，A錯誤；由簡諧運動的對稱性可得，小球在P、Q兩點的位移大小相等，方向相反，故P、Q兩點關于O點對稱，B正確；由B項分析可知，小球在P、Q兩點所受合外力大小相等，方向相反，C正確；由C項分析和牛頓第二定律公式可知，小球在P、Q兩點的加速度大小相等，方向相反，D錯誤。]
例2 AC　[假設彈簧振子在B、C之間振動，M點在O點的右側，如圖甲，若小球開始先向左振動，小球的振動周期為T＝×4 s＝ s，則小球第三次通過M點還要經過的時間是t＝ s－0.2 s＝ s。如圖乙，若小球開始先向右振動，小球的振動周期為T＝4×s＝1.6 s，則小球第三次通過M點還要經過的時間是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正確。]
提升二
導學　提示　(1)彈簧原長的位置不是平衡位置，物塊處于平衡位置時合力為零，物塊做簡諧運動的條件是F＝－kx
設物塊在斜面上平衡時，彈簧伸長量為Δx，有
mgsin α－kΔx＝0，解得Δx＝。
(2)平衡位置時彈簧的長度為L′＝L＋Δx＝L＋
物塊的振幅為A＝L′－L＝L＋
初始位置時，加速度最大，有mgsin α＋k＝ma
解得a＝gsin α＋。
(3)關于平衡位置對稱的兩點，加速度大小相等，方向相反，均指向平衡位置。
知識梳理
2.　平衡
例3 C　[根據牛頓第二定律得2mg－mg＝ma，所以釋放公仔頭部瞬間的加速度大小為a＝g，故A錯誤；當公仔加速度為零時，其速度達到最大，此時彈簧彈力等于重力，故B錯誤；根據簡諧運動的對稱性可知，當公仔頭部運動到最高點時的加速度與最低點時的加速度大小相等，方向相反，即最高點加速度為向下的g，此時彈簧處于原長，公仔頭部只受重力，所以振幅為A＝·＝，故C正確；公仔頭部運動至最高點時底座對桌面的壓力等于底座的重力的大小，即0.5mg，故D錯誤。]
訓練1 C　[在M點時，加速度向下，失重，則FMmg，則FM提升三
導學　提示　(1)從A到B的運動過程中，振子的動能先增大后減小；彈簧的彈性勢能先減小后增大；總機械能保持不變。
(2) 如果把振子振動的振幅增大，振子回到平衡位置的動能增大，系統的機械能增大。
(3)實際的振動系統，能量逐漸減小；理想化的彈簧振動系統，能量不變。
知識梳理
1.之和　守恒
例4 B　[物體從最高點先向下加速，到達平衡位置時速度達到最大，此后繼續向下做減速運動，平衡位置有mg＝kx，故最低點物體受到的彈力F＝k(2x)＝2mg，A錯誤；小球到最低點時，動能減為零，由系統機械能守恒可知，此時彈性勢能最大，重力勢能減小量等于彈性勢能的增加量，即最大彈性勢能為mg(2x)＝mg＝，B正確；物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能總量守恒，C錯誤；當物體運動到平衡位置時，動能最大，根據系統機械能守恒，有mgx＝Ep彈＋Ekm，又mg＝kx，故Ekm＜，D錯誤。]
訓練2 B　[振動系統的能量與振幅有關，振幅越大，振動系統的能量越大，故A正確；在振動過程中，物體A和彈簧組成系統的機械能守恒，但物體A的機械能不守恒，故B錯誤；系統的機械能守恒，動能和勢能之和不變，在C點時，物體A的動能最小，所以系統勢能最大，在O點時，物體A的動能最大，所以系統勢能最小，故C正確；在B點時，物體A的動能為零，重力勢能最小，所以機械能最小，故D正確。]
隨堂對點自測
1.B　[彈簧振子做簡諧運動，彈簧振子的能量不變，不為零，A錯誤；在0.2 s時位移最大，彈簧振子具有最大勢能，B正確；彈簧振子的能量不變，在0.35 s時彈簧振子的能量與其他時刻相同，C錯誤；在0.4 s時振子的位移最大，動能為零，D錯誤。]
2.AD　[以O點為原點，水平向右為x軸正方向，物體在O點右方x處時所受合力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物體做簡諧運動，由對稱性可知，OC＝OB，故A、D正確。]
3.ACD　[如果振幅等于0.1 m，則 s是半周期的奇數倍，4 s－ s＝ s是半周期的偶數倍，故A正確，B錯誤；如果振幅大于0.1 m，可能有4 s＝nT＋，當n＝0時，T＝8 s；當n＝1時，T＝ s，故C、D正確。](共52張PPT)
專題提升六　簡諧運動的綜合應用
第2章　機械振動
1.進一步認識簡諧運動的特點，知道簡諧運動具有周期性、對稱性。
2.能利用動力學觀點和能量觀點解決簡諧運動問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升二　簡諧運動的動力學特征
提升一　簡諧運動的周期性和對稱性
提升三　簡諧運動的能量特征
提升一　簡諧運動的周期性和對稱性
如圖是根據應用頻閃照相法，拍攝小球和彈簧的一系列的像，通過測量小球在各個位置的橫坐標和縱坐標，按照計算機提示用一個周期性函數擬合這條曲線，證明彈簧振子運動的x－t圖像是正弦曲線。仔細觀察圖像具有什么特點？
提示　具有周期性和對稱性。
簡諧運動是一種周期性的運動，簡諧運動的物理量隨時間周期性變化，如圖所示，OC＝OD。
1.時間的對稱
(1)物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD。
(2)物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
2.速度的對稱
(1)物體連續兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反。
(2)物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3.位移的對稱
(1)物體經過同一點(如C點)時，位移相同。
(2)物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D)時，位移大小相等、方向相反。
BC
例1 (多選)如圖所示，彈簧振子的平衡位置為O點，M′、M為小球向上、向下運動的最遠點，P為OM中點，Q為OM′間某點(圖中未畫出)，若小球在P、Q兩點的動能相等，則下列說法正確的是(　　)
A.小球在P、Q兩點的速度相同
B.P、Q兩點關于O點對稱
C.小球在P、Q兩點所受合外力不相同
D.小球在P、Q兩點的加速度相同
解析　由題可知，小球在P、Q兩點的動能相等，故小球在P、Q兩點的速度等大，但方向不一定相同，A錯誤；由簡諧運動的對稱性可得，小球在P、Q兩點的位移大小相等，方向相反，故P、Q兩點關于O點對稱，B正確；由B項分析可知，小球在P、Q兩點所受合外力大小相等，方向相反，C正確；由C項分析和牛頓第二定律公式可知，小球在P、Q兩點的加速度大小相等，方向相反，D錯誤。
AC
例2 (多選)彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從小球通過O點時開始計時，小球第一次到達M點用了0.3 s，又經過0.2 s第二次通過M點，則小球第三次通過M點還要經過的時間可能是(　　)
1.周期性造成多解：物體經過同一位置可以對應不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題。
2.對稱性造成多解：由于簡諧運動具有對稱性，因此當物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問題。
提升二　簡諧運動的動力學特征
(1)判斷彈簧原長的位置是否為平衡位置？如果是，說明理由。如果不是，請說明并推導出平衡位置時彈簧的形變量Δx；
(2)分析求解該振子的振幅和加速度的最大值；
(3)關于平衡位置對稱的兩點，加速度大小和方向有什么關系？
提示　(1)彈簧原長的位置不是平衡位置，物塊處于平衡位置時合力為零，物塊做簡諧運動的條件是F＝－kx
平衡
C
訓練1 (2024·貴州遵義市高二統考期中)如圖所示，輕彈簧上端固定在天花板上，下端與裝有小球的盒子連接，整體處于豎直狀態。現用手向上托著盒子，從彈簧原長的位置B處由靜止釋放，這樣盒子和小球將在B、C之間做簡諧運動，O為平衡位置，M、N分別為BO和OC之間的位置，且關于O點對稱。則盒子經過M、N兩點時，盒子給小球的作用力FM和FN的大小關系是(　　)
A.FM＞FN B.FM＝FN
C.FM解析　在M點時，加速度向下，失重，則FM加速度向上，超重，則FN>mg，則FMC
提升三　簡諧運動的能量特征
如圖所示為水平彈簧振子，振子在A、B之間往復運動。
(1)從A到B的運動過程中，振子的動能如何變化？彈簧
彈性勢能如何變化？振動系統的總機械能是否變化？
(2)如果把振子振動的振幅增大，振子回到平衡位置的動能是否增大？振動系統的機械能是否增大？
(3)實際的振動系統有空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？理想化的彈簧振動系統，忽略空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？
提示　(1)從A到B的運動過程中，振子的動能先增大后減小；彈簧的彈性勢能先減小后增大；總機械能保持不變。
(2) 如果把振子振動的振幅增大，振子回到平衡位置的動能增大，系統的機械能增大。
(3)實際的振動系統，能量逐漸減小；理想化的彈簧振動系統，能量不變。
1.簡諧運動的能量是指物體在經過某一位置時所具有的勢能和動能______。在振動過程中，勢能和動能相互轉化，機械能______。
2.決定因素：對于一個確定的振動系統，簡諧運動的能量由振幅決定，振幅越大，系統的能量越大。
3.能量轉化：回復力做正功時，系統動能增大，勢能減小。振子在平衡位置處，動能最大，勢能最小；在最大位移處，系統的動能為零，勢能最大。
之和
守恒
B
訓練2 如圖所示，在光滑斜面上有一物體A被平行于斜面的輕質彈簧拉住靜止于O點。現將物體A沿斜面拉到B點后由靜止釋放，物體A在B、C之間做簡諧運動。下列說法錯誤的是(　　)
A.O、B距離越大，振動能量越大
B.在振動過程中，物體A的機械能守恒
C.物體A在C點時，物體A與彈簧組成的系統勢能
最大，在O點時，系統勢能最小
D.在B點時，物體A的機械能最小
B
解析　振動系統的能量與振幅有關，振幅越大，振動系統的能量越大，故A正確；在振動過程中，物體A和彈簧組成系統的機械能守恒，但物體A的機械能不守恒，故B錯誤；系統的機械能守恒，動能和勢能之和不變，在C點時，物體A的動能最小，所以系統勢能最大，在O點時，物體A的動能最大，所以系統勢能最小，故C正確；在B點時，物體A的動能為零，重力勢能最小，所以機械能最小，故D正確。
隨堂對點自測
2
B
1.(簡諧運動的能量特征)如圖所示為某個彈簧振子做簡諧運動的振動圖像，由圖像可知(　　)
A.在0.1 s時，由于位移為零，所以彈簧振子的能量為零
B.在0.2 s時，彈簧振子具有最大勢能
C.在0.35 s時，彈簧振子的能量尚未達到最大值
D.在0.4 s時，振子的動能最大
解析　彈簧振子做簡諧運動，彈簧振子的能量不變，不為零，A錯誤；在0.2 s時位移最大，彈簧振子具有最大勢能，B正確；彈簧振子的能量不變，在0.35 s時彈簧振子的能量與其他時刻相同，C錯誤；在0.4 s時振子的位移最大，動能為零，D錯誤。
AD
2.(簡諧運動的動力學特征)(多選)如圖所示，物體m系在兩水平彈簧之間，兩彈簧的勁度系數分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然伸長狀態，今向右拉動m，然后釋放，物體在B、C間振動(不計阻力)，O為平衡位置，則下列判斷正確的是(　　)
A.m做簡諧運動，OC＝OB
B.m做簡諧運動，OC≠OB
C.回復力F＝－kx
D.回復力F＝－3kx
解析　以O點為原點，水平向右為x軸正方向，物體在O點右方x處時所受合力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物體做簡諧運動，由對稱性可知，OC＝OB，故A、D正確。
ACD
課后鞏固訓練
3
D
題組一　簡諧運動的周期性和對稱性
1.一質點做簡諧運動，它從最大位移處經0.3 s第一次到達某點M處，再經0.2 s第二次到達M點，則其振動頻率為(　　)
A.0.4 Hz B.0.8 Hz C.2.5 Hz D.1.25 Hz
基礎對點練
B
2.一質點做簡諧運動，先后以相同的速度依次通過A、B兩點，歷時1 s，質點通過B點后，再經過1 s，第二次通過B點，在這2 s內，質點的總路程是12 cm，則質點振動的周期和振幅分別可能為(　　)
A.2 s，6 cm B.4 s，6 cm C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm
AB
題組二　簡諧運動的動力學特征
3.(多選)關于簡諧運動的回復力，以下說法正確的是(　　)
A.簡諧運動的回復力不可能是恒力
B.做簡諧運動的物體的加速度方向與位移方向總是相反
C.簡諧運動的回復力公式F＝－kx中k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的長度
D.做簡諧運動的物體每次經過平衡位置合力一定為零
解析　根據簡諧運動的定義可知，物體做簡諧運動時，受到的回復力為F＝－kx，k是比例系數，x是物體相對平衡位置的位移，回復力不可能是恒力，故A正確，C錯誤；物體的回復力方向總是指向平衡位置，與位移方向相反，根據牛頓第二定律知，加速度的方向與合外力的方向相同，所以做簡諧運動的物體的加速度方向與位移方向總是相反，故B正確；做簡諧運動的物體每次經過平衡位置回復力為零，但是合力不一定為零，故D錯誤。
D
4.如圖甲所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置。乙是振子做簡諧運動時的位移—時間圖像。則關于振子的加速度隨時間變化的規律，下列四個圖像中正確的是(　　)
C
5.如圖甲所示，在光滑的水平面上，勁度系數為k的輕質彈簧的一端固定在墻壁上，另一端與一個質量為M的物體相連，在物體上放質量為m的木塊，壓縮彈簧，釋放后兩者一起運動且運動過程中始終保持相對靜止。圖乙是兩物體一起運動的振動圖像，振幅為A，則下列說法正確的是(　　)
A
題組三　簡諧運動的能量特征
6.把一個小球套在光滑細桿上，球與輕彈簧相連組成彈簧振子，小球沿桿在水平方向做簡諧運動，平衡位置為O，小球在A、B間振動，如圖所示。下列結論正確的是(　　)
A.小球在O位置時，動能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置時，動能最大，加速度最大
C.小球從A經O到B的過程中，回復力一直做正功
D.小球在O位置時系統的總能量大于小球在B位置時系統的總能量
解析　小球在平衡位置時動能最大，加速度為零，A正確；小球在A、B位置時，動能最小，加速度最大，B錯誤；小球衡位置時，回復力做正功，遠離平衡位置時，回復力做負功，C錯誤；在小球振動過程中系統的總能量不變，D錯誤。
D
7.(2024·湖南邵陽市高二統考期末)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子在CD間做簡諧運動，從平衡位置O向下運動時開始計時，振動圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是(　　)
A.C、D速度為0，加速度相同
B.t＝0.15 s，彈性勢能最大，加速度最大
C.t＝0.1 s，振子的加速度為正，速度也為正
D.t＝0.05 s，彈性勢能最大，重力勢能最小
解析　C、D速度為0，加速度大小相等，方向相反，故A錯誤；t＝0.15 s，彈簧振子運動到C點，彈性勢能不一定最大，也不一定最小，加速度最大，故B錯誤；t＝0.1 s，彈簧振子運動到O點且向上運動，振子的加速度為零，速度為正，故C錯誤；t＝0.05 s，彈簧振子運動到D點，彈性勢能最大，重力勢能最小，故D正確。
C
綜合提升練
8.如圖所示，一輕質彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O點為中心點，在C、D之間做周期為T的簡諧運動。已知在t1時刻物塊的動量為p、動能為Ek。下列說法正確的是(　　)
A.若在t2時刻物塊的動量也為p，則|t2－t1|的最小值為T
B.若在t2時刻物塊的動能也為Ek，則|t2－t1|的最小值為T
C.當物塊通過O點時，其加速度最小
D.物塊運動至C點時，其加速度最小
B
9.如圖所示，一輕彈簧與質量為m的物體組成彈簧振子，物體在同一條豎直線上的A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，C為AO的中點。已知OC＝h，彈簧的勁度系數為k，某時刻物體恰好以大小為v的速度經過C點并向上運動，則從此時刻開始的半個周期時間內，對質量為m的物體，下列說法不正確的是(　　)
A.重力勢能減少了2mgh
B.回復力做功為2mgh
C.回復力的沖量大小為2mv
D.通過A點時回復力的大小為2kh
解析　由簡諧運動的對稱性可知，從C點開始經過半個周期時間，物體運動到C點關于平衡位置對稱的位置，即到達O點下方h處，則重力做功為2mgh，重力勢能減少了2mgh，A正確；物體的回復力是重力與彈簧彈力的合力，由于初、末速度大小相等，由動能定理可知，半個周期內回復力做功為零，B錯誤；經過半個周期后，振子的速度反向，取向上為正方向，則由動量定理得，回復力的沖量為I＝－mv－mv＝－2mv，C正確；回復力是重力與彈簧彈力的合力，故通過A點時的回復力為F＝－kx＝－2kh，D正確。
10.如圖所示，一輕質彈簧上端系于天花板上，一端掛一質量為m的小球，彈簧的勁度系數為k，將小球從彈簧原長處由靜止放手，小球在豎直方向做簡諧運動，重力加速度為g，則：
(1)小球從放手運動到最低點，下降的高度為多少？
(2)小球運動到最低點時的加速度大小為多少？
解析　(1)放手后小球到達平衡位置時，彈簧伸長了x1，則mg＝kx1
由簡諧運動的對稱性可知，小球從平衡位置到最低點，彈簧的伸長量x2＝x1
小球從放手運動到最低點下降的高度為
(2)在最低點時，對小球受力分析，由牛頓第二定律kx－mg＝ma
解得小球運動到最低點時的加速度大小為a＝g。
培優加強練
11.如圖所示，一根用絕緣材料制成的勁度系數為k的輕質彈簧，左端固定，右端與質量為m、帶電荷量為＋q(q>0)的小球相連，靜止在光滑、絕緣的水平面上。在施加一個場強為E、方向水平向右的勻強電場后，小球開始做簡諧運動。那么(　　)
A

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