資源簡介

第2節　勻速圓周運動的向心力和向心加速度
(分值：100分)
選擇題1～2題，4～7題，每小題8分；8～10題，12題，每小題10分，共88分。
對點題組練
題組1　向心力及其來源分析
1.(2024·重慶市第七中學高一期中)關于向心力，下列說法中正確的是(　　)
物體由于做圓周運動而產生一個向心力
向心力不改變物體做圓周運動的速度大小
做勻速圓周運動的物體的向心力是恒力
所有做圓周運動的物體所受的合力即為向心力
2.(2024·四川綿陽高一統考)物體m用細線通過光滑的水平板間小孔與砝碼M相連，并且正在做勻速圓周運動，如圖所示，對物體m進行受力分析，下列說法正確的是(　　)
只受重力和支持力
只受重力、支持力、細線的拉力、向心力
只受重力、支持力、細線的拉力
只受重力、支持力、細線的拉力、M的重力
題組2　探究向心力的大小與質量m、角速度ω和半徑r的關系
3.(6分)(2024·四川南充高一校考)在“探究向心力F的大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系”中，我們用如圖甲所示的實驗裝置來探究這個關系。轉動手柄使長槽和短槽分別隨變速塔輪勻速轉動，槽內的球做勻速圓周運動。橫臂的擋板對球的壓力提供了向心力，球對擋板的反作用力通過橫臂的杠桿作用使彈簧測力筒下降，從而露出標尺，標尺上的紅白相間的等分格顯示出兩個球所受向心力的比值。
(1)如圖乙，把皮帶放在皮帶盤第一擋，此時轉速比為1∶1，將質量不同的鋁球和鋼球分別放在長、短槽上半徑相等的橫臂擋板內側，即保持ω和r相同。然后搖動手柄，記錄實驗數據，研究小球做圓周運動所需向心力F與________(2分)之間的關系。
A.質量m　　B.角速度ω　　C.半徑r
(2)如圖丙，把皮帶放在皮帶盤第二擋(第三擋)，此時轉速比為1∶2(1∶3)；將質量相同的鋼球分別放在長、短槽上半徑相等的橫臂擋板內側，即保持m和r相同。然后搖動手柄，記錄實驗數據，研究小球做圓周運動所需向心力F與________(2分)之間的關系。
A.質量m B.角速度ω C.半徑r
(3)如圖丁，把皮帶放在皮帶盤第一擋，此時轉速比為1∶1；將長槽上的鋼球由第一擋板內側移到第二擋板，此時兩個質量相同的鋼球相對轉軸的半徑之比為2∶1。然后搖動手柄，記錄實驗數據，研究小球做圓周運動所需向心力F與________(2分)之間的關系。
A.質量m B.角速度ω C.半徑r
分析實驗所測得的數據，研究找到物體做勻速圓周運動所需向心力的大小與物體的質量、角速度和運動半徑之間的關系。
題組3　向心力的計算
4.(多選)如圖所示為甩干桶簡易模型。若該模型的半徑為r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做勻速圓周運動，質量為10 g的小物體隨桶壁一起轉動，下列說法正確的是(　　)
甩干桶壁上某點的線速度大小為8 m/s
甩干桶壁上某點的線速度大小為6.25 m/s
小物體對桶壁的壓力為4 N
小物體受到重力、彈力、摩擦力和向心力
5.甲、乙兩物體都做勻速圓周運動，它們的質量之比為1∶2，轉動半徑之比為1∶2，在相等時間里甲轉過60°，乙轉過45°，則它們所受外力的合力之比為(　　)
1∶4 4∶9
2∶3 9∶16
題組4　向心加速度
6.(2024·四川綿陽高一統考期末)如圖所示是甲、乙兩物體做勻速圓周運動的向心加速度a的大小隨半徑r變化的圖像，其中甲是反比例函數圖像的一個分支。由圖可知(　　)
甲、乙物體的角速度都不變
甲、乙物體的線速度大小都不變
甲物體的角速度不變，乙物體的線速度大小不變
甲物體的線速度大小不變，乙物體的角速度不變
7.(2024·江西南昌高一期末)如圖所示，拖拉機后輪的半徑是前輪半徑的兩倍，A和B是前輪和后輪邊緣上的點，若拖拉機行進時車輪沒有打滑，則(　　)
兩輪轉動的周期相等
兩輪轉動的轉速相等
A點和B點的線速度大小之比為1∶2
A點和B點的向心加速度大小之比為2∶1
綜合提升練
8.(2024·四川廣元高一蒼溪中學期中)如圖所示，一個小球被細線拉著在光滑水平面上做勻速圓周運動，對該小球下列說法正確的是(　　)
小球速度不變
小球向心加速度不變
小球受到的向心力時刻在發生改變
小球相同時間內運動的位移相同
9.(多選)質量為m的小球用長為L的輕質細線懸掛在O點，在O點的正下方處有一光滑小釘子P，把細線沿水平方向拉直，如圖所示，無初速度地釋放小球，當細線碰到釘子的瞬間(瞬時速度不變)，設
細線沒有斷裂，則下列說法正確的是(　　)
小球的角速度突然增大
小球的角速度突然減小
小球對細線的拉力突然增大
小球對細線的拉力保持不變
10.如圖所示，把一個長為20 cm，勁度系數為360 N/m的彈簧一端固定，作為圓心，彈簧的另一端連接一個質量為0.50 kg的小球，當小球以 r/min的轉速在光滑水平面上做勻速圓周運動時，彈簧的伸長量應為(　　)
5.2 cm 5.3 cm
5.0 cm 5.4 cm
11.(6分)如圖甲所示是一個研究向心力大小與哪些因素有關的DIS實驗裝置的示意圖，其中做勻速圓周運動的圓柱體的質量為m，放置在未畫出的水平圓盤上，圓周軌道的半徑為r，力電傳感器測定的是向心力，光電傳感器測定的是圓柱體的線速度大小，表格中是所得數據，圖乙為F－v圖像、F－v2圖像、F－v3圖像。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(1)數據表格和圖乙中的三個圖像是在用實驗探究向心力F和圓柱體線速度大小v的關系時，保持圓柱體質量不變、半徑r＝0.1 m的條件下得到的。研究圖像后，可得出向心力F和圓柱體線速度大小v的關系式為_____________________(2分)。
(2)為了研究F與r成反比的關系，實驗時除了保持圓柱體質量不變外，還應保持________________(2分)不變。
(3)若已知向心力公式為F＝m，根據上面的圖線可以推算出，本實驗中圓柱體的質量為________(2分)。
培優加強練
12.(2024·廣西南寧高一期中)一個小物塊從內壁粗糙的半球形碗邊下滑，在下滑過程中由于摩擦力的作用，物塊的速率恰好保持不變，如圖所示，下列說法中正確的是(　　)
物塊的加速度為零
物塊所受合外力越來越大
物塊所受合外力大小保持不變，但方向時刻改變
物塊所受摩擦力大小不變
第2節　勻速圓周運動的向心力和向心加速度
1.B　[由于物體所受合力總是指向圓心，導致物體做圓周運動，按效果命名稱之為向心力，A錯誤；做勻速圓周運動的物體的向心力大小不變，方向時刻在變，故向心力是變力，它只改變速度方向，不改變速度大小，B正確，C錯誤；只有做勻速圓周運動的物體所受的合力才作為向心力，D錯誤。]
2.C　[向心力是一種效果力，由其他外力，或其他外力沿半徑方向的合力提供，實際上不存在，因此，物體受到重力、支持力與細線的拉力三個力的作用。故C正確。]
3.(1)A　(2)B　(3)C　[(1)本實驗采用的是控制變量法，保持ω和r相同，研究小球做圓周運動所需向心力F與質量m的關系，故選A。
(2)本實驗采用的是控制變量法，保持m和r相同，研究小球做圓周運動所需向心力F與角速度之間的關系，故選B。
(3)本實驗采用的是控制變量法，保持m和ω相同，研究小球做圓周運動所需向心力F與半徑之間的關系，故選C。]
4.AC　[甩干桶壁上某點的線速度大小為v＝ωr＝8 m/s，故A正確，B錯誤；桶壁對小物體的彈力提供向心力，則N＝mω2r＝4 N，根據牛頓第三定律可知，小物體對桶壁的壓力為4 N，故C正確；小物體受到重力、彈力、摩擦力作用，彈力提供向心力，故D錯誤。]
5.B　[由題意可知，在相等時間里甲轉過60°，乙轉過45°，由角速度的定義式ω＝可得ω甲∶ω乙＝4∶3，已知m甲∶m乙＝1∶2，r甲∶r乙＝1∶2，甲、乙兩物體都做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可知，它們所受外力的合力提供向心力，由向心力公式F向＝mω2r可得它們所受外力的合力之比為F甲∶F乙＝m甲ωr甲∶m乙ωr乙＝4∶9，故B正確。]
6.D　[甲的圖像是反比例函數圖像的一個分支，所以甲的a與r成反比，由向心加速度公式a＝，所以甲物體的線速度大小不變，由線速度與角速度的關系v＝ωr，甲物體的角速度是變化的，故A、C錯誤；乙的圖像為正比例函數圖像，其a與r成正比，由向心加速度公式a＝ω2r，所以乙物體的角速度保持不變，由線速度與角速度的關系v＝ωr，乙的線速度是變化的，故B錯誤，D正確。]
7.D　[拖拉機行進時，兩輪邊緣的線速度相等，根據v＝＝2πnr可知，兩輪的周期和轉速不相等；根據a＝，因后輪的半徑是前輪半徑的兩倍，則A、B兩點的向心加速度之比2∶1，選項A、B、C錯誤，D正確。]
8.C　[速度和向心加速度是矢量，小球被細線拉著在光滑水平面上做勻速圓周運動，速度和向心加速度方向不斷變化，故A、B錯誤；根據牛頓第二定律可知，小球受繩子拉力提供向心力，拉力方向不斷變化，故C正確；位移是矢量，小球相同時間內運動的位移大小相等方向不同，故D錯誤。]
9.AC　[根據題意，細線碰到釘子的瞬間，小球的瞬時速度v不變，但其做圓周運動的半徑從L突變為，由ω＝可知小球的角速度突然增大，選項A正確，B錯誤；根據T－mg＝m可知，小球受到的拉力增大，由牛頓第三定律知，小球對細線的拉力增大，選項C正確，D錯誤。]
10.C　[小球轉動的角速度ω＝2πn＝12 rad/s，彈簧的彈力為小球做圓周運動提供向心力，即kx＝mω2(x0＋x)，解得x＝＝ m＝0.05 m＝5.0 cm，選項C正確。]
11.(1)F＝0.88 v2　(2)線速度大小v　(3)0.088 kg
解析　(1)研究數據表格和題圖乙中B圖不難得出F∝v2，進一步研究知題圖乙B中圖線的斜率k＝≈0.88，故F與v的關系式為F＝0.88v2。
(2)還應保持線速度大小v不變。
(3)因F＝m＝0.88v2，r＝0.1 m，
則m＝0.088 kg。
12.C　[物塊速率不變，做勻速圓周運動，合力提供向心力不為零，向心加速度不為零，A錯誤；因為速率不變，由F合＝m可知，物塊所受合外力大小不變，B錯誤；合外力大小不變，但方向時刻指向圓心，產生向心加速度，C正確；因為切線方向加速度為零，由于速率不變，所以摩擦力始終與重力沿切線方向分力大小相等，因為重力與切線夾角時刻在變，重力沿切線方向分力大小在變，故摩擦力大小在變，D錯誤。]第2節　勻速圓周運動的向心力和向心加速度
學習目標　1.知道什么是向心力，會分析簡單情境中的向心力的來源，知道向心力的作用，知道向心力是根據力的作用效果命名的。2.了解實驗裝置，能用實驗探究向心力F的大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系。3.掌握用控制變量法探究向心力大小與質量、角速度、半徑的關系的方法。4.掌握向心加速度的計算公式，并會進行有關計算。
知識點一　向心力及來源分析
受到什么樣的力物體才能做圓周運動呢？試分析以下兩個例子。
甲
(1)如圖甲所示，一個小球在細線的牽引下，繞光滑水平桌面上的圖釘做勻速圓周運動。
①分析小球的受力情況及合力方向。
②用剪刀將細線剪斷，小球將做什么運動？對比剪斷細線前、后小球受力情況，你認為使小球做圓周運動的是什么力？
(2)如圖乙所示，小球在細繩作用下在水平面內做勻速圓周運動。(圓錐擺)
乙
分析小球受力情況及小球受到的合力方向，你認為使小球做圓周運動的是什么力？
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1.向心力：物體做勻速圓周運動時所受________方向始終指向圓心，這個指向圓心的合力就叫作向心力。
2.向心力來源：向心力可以由________提供，也可以由其他性質的力提供；可以由________提供，也可以由幾個力的________提供。
3.向心力和圓周運動的關系：所有做圓周運動的物體，如果沒有向心力，物體將由于________而沿圓周的________方向飛出，正是由于向心力時刻改變著速度的________，才使得物體可以沿著一個________運動。不是物體做圓周運動才產生向心力，而是由于向心力的作用，才使物體不斷改變其速度方向而做圓周運動。
4.幾種常見的圓周運動向心力的來源
實例分析 圖例 向心力來源
在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動而未發生滑動 彈力提供向心力
用細繩拴住小球在光滑的水平面內做勻速圓周運動 繩的拉力(彈力)提供向心力
物體隨轉盤做勻速圓周運動，且物體相對于轉盤靜止 靜摩擦力提供向心力
用細繩拴住小球在豎直平面內做勻速圓周運動，當小球經過最低點時 拉力和重力的合力提供向心力
【思考】
水平圓盤上一物體隨圓盤一起做圓周運動，物體是否受重力、支持力、摩擦力和向心力共四個力的作用？
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例1 如圖所示，把一個小球放在玻璃漏斗中，晃動漏斗后，可以使小球在短時間內沿光滑的漏斗壁在某一水平面內做勻速圓周運動，則提供小球做勻速圓周運動的向心力的是(　　)
A.小球的重力
B.小球對漏斗的壓力
C.漏斗對小球的彈力
D.漏斗對小球的彈力沿水平方向的分力
聽課筆記__________________________________________________________
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訓練1 (多選)如圖所示，用長為L的細線拴住一個質量為m的小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，細線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，關于小球的受力情況，下列說法正確的是(　　)
A.小球受到重力、細線的拉力和向心力三個力
B.向心力是細線對小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于細線對小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于mgtan θ
知識點二　探究向心力F的大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系
1.實驗目的
(1)學會使用向心力演示器。
(2)通過實驗探究向心力的大小與半徑、角速度、質量的關系。
2.實驗原理
向心力演示器如圖所示，勻速轉動手柄1，可以使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉動，槽內的小球也隨著做勻速圓周運動。使小球做勻速圓周運動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供。球對擋板的反作用力，通過橫臂的杠桿作用使彈簧測力套筒7下降，從而露出標尺8。根據標尺8上露出的紅白相間等分標記，可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值。
3.實驗步驟
(1)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動半徑和轉動角速度相同時，探究向心力與小球質量的關系。
(2)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動角速度和質量相同時，探究向心力與轉動半徑的關系。
(3)皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上。小球質量和轉動半徑相同時，探究向心力與角速度的關系。
4.實驗結論
(1)在半徑和角速度一定的情況下，向心力大小與質量成正比。
(2)在質量和角速度一定的情況下，向心力大小與半徑成正比。
(3)在質量和半徑一定的情況下，向心力大小與角速度的平方成正比。
由以上可推知：F＝mω2r。
例2 (2024·四川成都石室中學高一校考)探究向心力大小F與物體的質量m、角速度ω和軌道半徑r的關系實驗。
(1)本實驗所采用的實驗探究方法與下列實驗是相同的________。
A.探究兩個互成角度的力的合成規律
B.探究加速度與物體受力、物體質量的關系
(2)小明同學用向心力演示器進行實驗，實驗情景如甲、乙、丙三圖所示
三個情境中，圖________是探究向心力大小F與質量m關系(選填“甲”“乙”或“丙”)；在乙情境中，若兩鋼球所受向心力的比值為1∶9，則實驗中選取兩個變速塔輪的半徑之比為________。
(3)小王同學利用傳感器進行探究，通過圖丁所示的裝置探究物體做圓周運動的向心力與質量、軌道半徑及線速度的關系。滑塊套在光滑水平桿上，隨桿一起繞豎直桿做勻速圓周運動，力傳感器通過一細繩連接滑塊，用來測量向心力的大小F。滑塊上固定一遮光片，與固定在鐵架臺上的光電門可測量滑塊的線速度v。小王同學先保持滑塊質量和半徑不變，來探究向心力大小與線速度大小的關系。
小王同學通過改變轉速測量多組數據，記錄力傳感器示數F，算出對應的線速度v及v2的數值，以v2為橫軸，F為縱軸，作F－v2圖線，如圖戊所示，若滑塊運動半徑r＝0.3 m，由圖線可得滑塊的質量m＝________ kg。
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知識點三　向心力的計算
1.向心力大小
做勻速圓周運動所需向心力的大小，跟轉動半徑r成________，跟角速度ω的________成正比，跟物體的質量m成________。
2.向心力公式
(1)F＝________。
(2)F＝________。
3.向心力方向：向心力的方向總與物體的速度方向________，所以它只改變速度的________，不改變速度的________。
4.對F＝mω2r和F＝m的理解
對做勻速圓周運動的一定質量的物體：
(1)當________一定時，所需要的向心力與半徑成正比。
(2)當________一定時，所需要的向心力與半徑成反比。
例3 如圖所示，小球通過細線繞圓心O在光滑水平面上做勻速圓周運動。已知小球質量m＝0.50 kg，角速度大小ω＝2 rad/s，細線長L＝0.20 m。
(1)求小球的線速度大小v、周期T、轉速n；
(2)求細線對小球的拉力大小F；
(3)若細線最大能承受10.0 N的拉力，求小球運行的最大線速度vm。
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分析清楚向心力的來源是解決圓周運動問題的關鍵，分析向心力來源的步驟如下：
知識點四　向心加速度
(1)質量為m的物體，沿半徑為r的圓以速率v做勻速圓周運動，則物體需要的向心力為多大？(2)根據牛頓第二定律推理向心加速度的大小和方向？
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一、向心加速度
1.定義：做勻速圓周運動的物體，在向心力的作用下，產生的指向________的加速度叫作____________。
2.方向：向心加速度的方向總是沿著半徑指向圓心，與該點的線速度方向________。
由于向心加速度方向時刻________，所以所有圓周運動都是非勻變速曲線運動。
3.大小：a＝。根據v＝ωr可得a＝________。
向心加速度與半徑的關系(如圖所示)
4.作用效果：向心加速度只改變速度的________，不改變速度的________。
5.物理意義：向心加速度是描述線速度方向改變________的物理量，線速度方向變化的快慢體現了向心加速度的大小。
二、加速度與向心加速度
1.勻速圓周運動的加速度與向心加速度
做勻速圓周運動的物體，其向心加速度就是它的________，所受到的向心力就是它受到的________。
2.非勻速圓周運動的加速度與向心加速度
做非勻速圓周運動的物體，它在某一時刻的向心加速度只是它的加速度的一個________(另一個分量沿切線方向，稱為切向加速度)，它受到的向心力也只是它受到的合力中________________的一個分力(另一個分力沿切線方向)。
【思考】
物體的加速度與線速度成銳角時，物體的速度大小如何變化？成鈍角時呢？
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例4 (多選)(2024·河北衡水高一期末)一個小孩坐在游樂場的旋轉木馬上，繞中心軸在水平面內做勻速圓周運動，圓周的半徑為4.0 m，線速度為2.0 m/s，則小孩做圓周運動的(　　)
A.角速度ω＝0.5 rad/s B.周期T＝8π s
C.轉速n＝ r/s D.向心加速度a＝2 m/s2
聽課筆記__________________________________________________________
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訓練 (2024·成都一中高二校聯考)如圖所示，某教室墻上的窗戶在外力作用下繞OO′軸轉動，窗戶上A、B兩點到OO′軸的距離之比為3∶1，則(　　)
A.A、B兩點轉動的角速度大小之比為3∶1
B.A、B兩點轉動的線速度大小之比為3∶1
C.A、B兩點的向心加速度大小之比為9∶1
D.A、B兩點轉動的周期之比為1∶3
隨堂對點自測
1.(向心力的理解)(多選)關于向心力，下列說法正確的是(　　)
A.做勻速圓周運動的物體一定受到一個向心力的作用
B.向心力是指向圓心方向的合力，它是根據力的作用效果命名的
C.向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力的合力，也可以是某個力的分力
D.做圓周運動的物體所受各力的合力一定提供向心力
2.(探究向心力大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系)用如圖所示的實驗裝置研究影響向心力大小的因素。長槽上的擋板B到轉軸的距離是擋板A的2倍，長槽上的擋板A和短槽上的擋板C到各自轉軸的距離相等。轉動手柄使長槽和短槽分別隨變速塔輪勻速轉動，槽內的球就做勻速圓周運動。擋板對球的壓力提供了向心力，球對擋板的反作用力通過橫臂的杠桿作用使彈簧力筒下降，從而露出標尺，根據標尺上的等分格可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值。
(1)當傳動皮帶套在兩塔輪半徑不同的輪盤上，套有皮帶的塔輪邊緣處的________(選填“線速度”或“角速度”)大小相等。
(2)探究向心力與半徑的關系時，應將皮帶套在兩塔輪半徑________(填“相同”或“不同”)的輪盤上，將質量相同的小球分別放在哪兩個擋板處________(填選擇項字母)
A.“A”處和“B”處 B.“A”處和“C”處
C.“B”處和“C”處
3.(向心力的計算)(教科版P38T3改編)一個做勻速圓周運動的物體，運動半徑不變，而線速度大小增加為原來的2倍，其向心力增大了24 N，那么在未改變速度大小時，物體所受的向心力為(　　)
A.6 N B.8 N
C.12 N D.16 N
4.(向心加速度)(多選)(2024·四川綿陽高一期末)小球被細繩拴著做勻速圓周運動，軌道半徑為R，向心加速度為a，那么(　　)
A.小球運動的角速度ω＝ɑR
B.小球在t時間內通過的位移s＝·t
C.小球做圓運動的周期T＝2π
D.小球在t時間內(細線)轉過的角度φ＝·t
第2節　勻速圓周運動的向心力和向心加速度
知識點一
導學　提示　(1)①受力如圖(a)所示，合力為繩的拉力，方向指向圓心。
②剪斷細線，小球將沿圓周運動的切線方向做勻速直線運動，剪斷細線后小球受重力和支持力，是細線的拉力使小球做圓周運動。
(2)受力分析如圖(b)所示，小球所受合力(F1)方向指向圓心。是小球受到的合力使小球做圓周運動。
　　　　
(a)　　　　　　　　　　　(b)
知識梳理
1.合力　2.彈力　一個力　合力　3.慣性　切線　方向　圓周
[思考]
提示　不是，物體受到的摩擦力提供向心力，故物體受重力、支持力、摩擦力共三個力的作用。
例1 D　[對小球受力分析，重力豎直向下，支持力垂直漏斗內壁向上，合力指向圓心，提供向心力，故漏斗對小球的彈力沿水平方向的分力提供小球做勻速圓周運動的向心力，A、B、C錯誤，D正確。]
訓練1 BCD　[如圖甲所示，對小球受力分析可知，小球受到重力、細線的拉力兩個力，這兩個力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如圖乙所示，A錯誤，B、C正確；向心力的大小F＝mgtan θ，D正確。]
知識點二
例2 (1)B　(2)甲　3∶1　(3)0.2
解析　(1)探究向心力大小F與物體的質量m、角速度ω和軌道半徑r的關系實驗用到的實驗探究方法為控制變量法；探究兩個互成角度的力的合成規律用到等效法，故A不符合題意；探究加速度與物體受力、物體質量的關系用控制變量法，故B符合題意。
(2)探究向心力大小F與質量m關系，需保證角速度和半徑不變，質量變化，應用甲圖。
由圖可知，在乙情境中，質量和半徑相等，由公式F＝mω2r可知，角速度之比為＝＝
變速塔輪邊緣的線速度相等，由v＝ωr可知，變速塔輪的半徑之比為＝＝。
(3)根據題意有F＝m，結合圖像可得，斜率為k＝＝，解得m＝0.2 kg。
知識點三
1.正比　平方　正比　2.(1)mω2r　(2)m　3.垂直　方向　
大小　4.(1)角速度　(2)線速度
例3 (1)0.4 m/s　π s　 r/s　(2)0.4 N　(3)2 m/s
解析　(1)根據v＝Lω，解得v＝0.4 m/s
根據ω＝，解得T＝π s
根據ω＝2πn，解得n＝ r/s。
(2)細線對小球的拉力大小，根據向心力公式得
F＝mω2L＝0.4 N。
(3)若細線最大能承受10.0 N的拉力，由向心力公式得
Fm＝m
解得vm＝2 m/s。
知識點四
導學　提示　(1)向心力：F＝。
(2)向心加速度：a＝，方向沿半徑指向圓心
知識梳理
一、1.圓心　向心加速度　2.垂直　改變　3.ω2r　4.方向　大小 5.快慢
二、1.加速度　合力　2.分量　指向圓心方向
[思考]
提示　加速度與線速度成銳角，做加速圓周運動，成鈍角做減速圓周運動。
例4 AC　[圓周的半徑r＝4.0 m，線速度v＝2.0 m/s，則圓周運動的角速度ω＝＝0.5 rad/s，故A正確；圓周運動的周期為T＝＝4π s，故B錯誤；轉速n＝＝ r/s，故C正確；向心加速度a＝＝1 m/s2，故D錯誤。]
訓練 B　[A、B兩點同軸轉動，所以角速度相等，則A、B兩點轉動的角速度大小之比為1∶1，故A錯誤；根據v＝ωr，可知A、B兩點轉動的線速度大小之比為vA∶vB＝rA∶rB＝3∶1，故B正確；根據a＝ω2r，可知A、B兩點的向心加速度大小之比為aA∶aB＝rA∶rB＝3∶1，故C錯誤；根據T＝，可知A、B兩點轉動的周期之比為1∶1，故D錯誤。]
隨堂對點自測
1.BC　[物體做圓周運動就需要有向心力，向心力由指向圓心方向的合力提供，它是根據力的作用效果命名的，向心力可以是由重力、彈力、摩擦力等各種力來提供，或者是他們的合力來提供，也可以是某個力的分力來提供，故A錯誤，B、C正確；在非勻速圓周運動中，向心力由合力沿圓心方向的分力提供，故D錯誤。]
2.(1)線速度　(2)相同　C
解析　(1)根據題意，由皮帶傳動可知，套有皮帶的塔輪邊緣處的線速度相等。
(2)根據題意可知，探究向心力與半徑的關系時，應保持質量和角速度相等，半徑不相等，則應將皮帶套在兩塔輪半徑相同的輪盤上，并將質量相同的小球分別放在“B”處和“C”處。故選C。
3.B　[未改變速度大小時，物體所受的向心力F1＝m；線速度大小增加為原來的2倍，其向心力F2＝m，且F2－F1＝24 N，解得F1＝8 N。故B正確，A、C、D錯誤。]
4.CD　[根據向心加速度與角速度的關系a＝ω2R，所以小球運動的角速度為ω＝，故A錯誤；小球在時間t內通過的路程為s＝vt＝ωRt＝t，小球做圓周運動，則位移小于·t，故B錯誤；小球做勻速圓周運動的周期為T＝＝2π，故C正確；小球在t時間內(細線)轉過的角度φ＝ωt＝·t，故D正確。](共63張PPT)
第2節　勻速圓周運動的向心力和向心加速度
第二章 勻速圓周運動
1.知道什么是向心力，會分析簡單情境中的向心力的來源，知道向心力的作用，知道向心力是根據力的作用效果命名的。2.了解實驗裝置，能用實驗探究向心力F的大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系。3.掌握用控制變量法探究向心力大小與質量、角速度、半徑的關系的方法。4.掌握向心加速度的計算公式，并會進行有關計算。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　探究向心力F 的大小與質量m、角速度ω
和半徑r之間的關系
知識點一　向心力及來源分析
知識點三　向心力的計算
知識點四　向心加速度
知識點一　向心力及來源分析
　　　受到什么樣的力物體才能做圓周運動呢？試分析以下兩個例子。
(2)如圖乙所示，小球在細繩作用下在水平面內做勻速圓周運動。(圓錐擺)
分析小球受力情況及小球受到的合力方向，你認為使小球做圓周運動的是什么力？
甲
(1)如圖甲所示，一個小球在細線的牽引下，繞光滑水平桌面上的圖釘做勻速圓周運動。
①分析小球的受力情況及合力方向。
②用剪刀將細線剪斷，小球將做什么運動？對比剪斷細線前、后小球受力情況，你認為使小球做圓周運動的是什么力？
乙
提示　(1)①受力如圖(a)所示，合力為繩的拉力，方向指向圓心。
②剪斷細線，小球將沿圓周運動的切線方向做勻速直線運動，剪斷細線后小球受重力和支持力，是細線的拉力使小球做圓周運動。
(2)受力分析如圖(b)所示，小球所受合力(F1)方向指向圓心。是小球受到的合力使小球做圓周運動。
(a)　　　　　　　　　　　(b)
1.向心力：物體做勻速圓周運動時所受______方向始終指向圓心，這個指向圓心的合力就叫作向心力。
2.向心力來源：向心力可以由______提供，也可以由其他性質的力提供；可以由________提供，也可以由幾個力的______提供。
3.向心力和圓周運動的關系：所有做圓周運動的物體，如果沒有向心力，物體將由于______而沿圓周的______方向飛出，正是由于向心力時刻改變著速度的______，才使得物體可以沿著一個______運動。不是物體做圓周運動才產生向心力，而是由于向心力的作用，才使物體不斷改變其速度方向而做圓周運動。
合力
彈力
一個力
合力
慣性
切線
方向
圓周
4.幾種常見的圓周運動向心力的來源
實例分析 圖例 向心力來源
在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動而未發生滑動 彈力提供向心力
用細繩拴住小球在光滑的水平面內做勻速圓周運動 繩的拉力(彈力)提供向心力
實例分析 圖例 向心力來源
物體隨轉盤做勻速圓周運動，且物體相對于轉盤靜止 靜摩擦力提供向心力
用細繩拴住小球在豎直平面內做勻速圓周運動，當小球經過最低點時 拉力和重力的合力提供向心力
【思考】
水平圓盤上一物體隨圓盤一起做圓周運動，物體是否受重力、支持力、摩擦力和向心力共四個力的作用？
提示　不是，物體受到的摩擦力提供向心力，故物體受重力、支持力、摩擦力共三個力的作用。
D
例1 如圖所示，把一個小球放在玻璃漏斗中，晃動漏斗后，可以使小球在短時間內沿光滑的漏斗壁在某一水平面內做勻速圓周運動，則提供小球做勻速圓周運動的向心力的是(　　)
A.小球的重力
B.小球對漏斗的壓力
C.漏斗對小球的彈力
D.漏斗對小球的彈力沿水平方向的分力
解析　對小球受力分析，重力豎直向下，支持力垂直漏斗內壁向上，合力指向圓心，提供向心力，故漏斗對小球的彈力沿水平方向的分力提供小球做勻速圓周運動的向心力，A、B、C錯誤，D正確。
BCD
訓練1 (多選)如圖所示，用長為L的細線拴住一個質量為m的小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，細線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，關于小球的受力情況，下列說法正確的是(　 　)
A.小球受到重力、細線的拉力和向心力三個力
B.向心力是細線對小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于細線對小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于mgtan θ
解析　如圖甲所示，對小球受力分析可知，小球受到重力、細線的拉力兩個力，這兩個力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如圖乙所示，A錯誤，B、C正確；向心力的大小F＝mgtan θ，D正確。
知識點二　探究向心力F 的大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系
1.實驗目的
(1)學會使用向心力演示器。
(2)通過實驗探究向心力的大小與半徑、角速度、質量的關系。
2.實驗原理
向心力演示器如圖所示，勻速轉動手柄1，可以使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉動，槽內的小球也隨著做勻速圓周運動。使小球做勻速圓周運動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供。球對擋板的反作用力，通過橫臂的杠桿作用使彈簧測力套筒7下降，從而露出標尺8。根據標尺8上露出的紅白相間等分標記，可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值。
3.實驗步驟
(1)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動半徑和轉動角速度相同時，探究向心力與小球質量的關系。
(2)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動角速度和質量相同時，探究向心力與轉動半徑的關系。
(3)皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上。小球質量和轉動半徑相同時，探究向心力與角速度的關系。
4.實驗結論
(1)在半徑和角速度一定的情況下，向心力大小與質量成正比。
(2)在質量和角速度一定的情況下，向心力大小與半徑成正比。
(3)在質量和半徑一定的情況下，向心力大小與角速度的平方成正比。
由以上可推知：F＝mω2r。
例2 (2024·四川成都石室中學高一校考)探究向心力大小F與物體的質量m、角速度ω和軌道半徑r的關系實驗。
(1)本實驗所采用的實驗探究方法與下列實驗是相同的________。
A.探究兩個互成角度的力的合成規律
B.探究加速度與物體受力、物體質量的關系
(2)小明同學用向心力演示器進行實驗，實驗情景如甲、乙、丙三圖所示
三個情境中，圖________是探究向心力大小F與質量m關系(選填“甲”“乙”或“丙”)；在乙情境中，若兩鋼球所受向心力的比值為1∶9，則實驗中選取兩個變速塔輪的半徑之比為________。
(3)小王同學利用傳感器進行探究，通過圖丁所示的裝置探究物體做圓周運動的向心力與質量、軌道半徑及線速度的關系。滑塊套在光滑水平桿上，隨桿一起繞豎直桿做勻速圓周運動，力傳感器通過一細繩連接滑塊，用來測量向心力的大小F。滑塊上固定一遮光片，與固定在鐵架臺上的光電門可測量滑塊的線速度v。小王同學先保持滑塊質量和半徑不變，來探究向心力大小與線速度大小的關系。
小王同學通過改變轉速測量多組數據，記錄力傳感器示數F，算出對應的線速度v及v2的數值，以v2為橫軸，F為縱軸，作F－v2圖線，如圖戊所示，若滑塊運動半徑r＝0.3 m，由圖線可得滑塊的質量m＝________ kg。
解析　(1)探究向心力大小F與物體的質量m、角速度ω和軌道半徑r的關系實驗用到的實驗探究方法為控制變量法；探究兩個互成角度的力的合成規律用到等效法，故A不符合題意；探究加速度與物體受力、物體質量的關系用控制變量法，故B符合題意。
(2)探究向心力大小F與質量m關系，需保證角速度和半徑不變，質量變化，應用甲圖。
知識點三　向心力的計算
1.向心力大小
做勻速圓周運動所需向心力的大小，跟轉動半徑r成______，跟角速度ω的______成正比，跟物體的質量m成______。
正比
平方
正比
2.向心力公式
(1)F＝_______。
(2)F＝_______。
3.向心力方向：向心力的方向總與物體的速度方向______，所以它只改變速度的______，不改變速度的______。
mω2r
垂直
方向
大小
對做勻速圓周運動的一定質量的物體：
(1)當________一定時，所需要的向心力與半徑成正比。
(2)當________一定時，所需要的向心力與半徑成反比。
角速度
線速度
例3 如圖所示，小球通過細線繞圓心O在光滑水平面上做勻速圓周運動。已知小球質量m＝0.50 kg，角速度大小ω＝2 rad/s，細線長L＝0.20 m。
(1)求小球的線速度大小v、周期T、轉速n；
(2)求細線對小球的拉力大小F；
(3)若細線最大能承受10.0 N的拉力，求小球運行的最大線速度vm。
分析清楚向心力的來源是解決圓周運動問題的關鍵，分析向心力來源的步驟如下：
知識點四　向心加速度
(1)質量為m的物體，沿半徑為r的圓以速率v做勻速圓周運動，則物體需要的向心力為多大？(2)根據牛頓第二定律推理向心加速度的大小和方向？
一、向心加速度
1.定義：做勻速圓周運動的物體，在向心力的作用下，產生的指向______的加速度叫作____________。
2.方向：向心加速度的方向總是沿著半徑指向圓心，與該點的線速度方向______。
由于向心加速度方向時刻______，所以所有圓周運動都是非勻變速曲線運動。
圓心
向心加速度
垂直
改變
ω2r
向心加速度與半徑的關系(如圖所示)
4.作用效果：向心加速度只改變速度的______，不改變速度的______。
5.物理意義：向心加速度是描述線速度方向改變______的物理量，線速度方向變化的快慢體現了向心加速度的大小。
方向
大小
快慢
二、加速度與向心加速度
1.勻速圓周運動的加速度與向心加速度
做勻速圓周運動的物體，其向心加速度就是它的________，所受到的向心力就是它受到的______。
2.非勻速圓周運動的加速度與向心加速度
做非勻速圓周運動的物體，它在某一時刻的向心加速度只是它的加速度的一個______ (另一個分量沿切線方向，稱為切向加速度)，它受到的向心力也只是它受到的合力中______________的一個分力(另一個分力沿切線方向)。
加速度
合力
分量
指向圓心方向
【思考】
物體的加速度與線速度成銳角時，物體的速度大小如何變化？成鈍角時呢？
提示　加速度與線速度成銳角，做加速圓周運動，成鈍角做減速圓周運動。
AC
例4 (多選)(2024·河北衡水高一期末)一個小孩坐在游樂場的旋轉木馬上，繞中心軸在水平面內做勻速圓周運動，圓周的半徑為4.0 m，線速度為2.0 m/s，則小孩做圓周運動的(　　)
B
訓練 (2024·成都一中高二校聯考)如圖所示，某教室墻上的窗戶在外力作用下繞OO′軸轉動，窗戶上A、B兩點到OO′軸的距離之比為3∶1，則(　　)
A.A、B兩點轉動的角速度大小之比為3∶1
B.A、B兩點轉動的線速度大小之比為3∶1
C.A、B兩點的向心加速度大小之比為9∶1
D.A、B兩點轉動的周期之比為1∶3
隨堂對點自測
2
BC
1.(向心力的理解)(多選)關于向心力，下列說法正確的是(　　)
A.做勻速圓周運動的物體一定受到一個向心力的作用
B.向心力是指向圓心方向的合力，它是根據力的作用效果命名的
C.向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力的合力，也可以是某個力的分力
D.做圓周運動的物體所受各力的合力一定提供向心力
解析　物體做圓周運動就需要有向心力，向心力由指向圓心方向的合力提供，它是根據力的作用效果命名的，向心力可以是由重力、彈力、摩擦力等各種力來提供，或者是他們的合力來提供，也可以是某個力的分力來提供，故A錯誤，B、C正確；在非勻速圓周運動中，向心力由合力沿圓心方向的分力提供，故D錯誤。
2.(探究向心力大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系)用如圖所示的實驗裝置研究影響向心力大小的因素。長槽上的擋板B到轉軸的距離是擋板A的2倍，長槽上的擋板A和短槽上的擋板C到各自轉軸的距離相等。轉動手柄使長槽和短槽分別隨變速塔輪勻速轉動，槽內的球就做勻速圓周運動。擋板對球的壓力提供了向心力，球對擋板的反作用力通過橫臂的杠桿作用使彈簧力筒下降，從而露出標尺，根據標尺上的等分格可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值。
(1)當傳動皮帶套在兩塔輪半徑不同的輪盤上，套有皮帶的塔輪邊緣處的________(選填“線速度”或“角速度”)大小相等。
(2)探究向心力與半徑的關系時，應將皮帶套在兩塔輪半徑________(填“相同”或“不同”)的輪盤上，將質量相同的小球分別放在哪兩個擋板處________(填選擇項字母)
A.“A”處和“B”處 B.“A”處和“C”處
C.“B”處和“C”處
答案　(1)線速度　(2)相同　C
解析　(1)根據題意，由皮帶傳動可知，套有皮帶的塔輪邊緣處的線速度相等。
(2)根據題意可知，探究向心力與半徑的關系時，應保持質量和角速度相等，半徑不相等，則應將皮帶套在兩塔輪半徑相同的輪盤上，并將質量相同的小球分別放在“B”處和“C”處。故選C。
B
3.(向心力的計算)(教科版P38T3改編)一個做勻速圓周運動的物體，運動半徑不變，而線速度大小增加為原來的2倍，其向心力增大了24 N，那么在未改變速度大小時，物體所受的向心力為(　　)
A.6 N B.8 N C.12 N D.16 N
CD
4.(向心加速度)(多選)(2024·四川綿陽高一期末)小球被細繩拴著做勻速圓周運動，軌道半徑為R，向心加速度為a，那么(　 　)
課后鞏固訓練
3
B
題組1　向心力及其來源分析
1.(2024·重慶市第七中學高一期中)關于向心力，下列說法中正確的是(　　)
A.物體由于做圓周運動而產生一個向心力
B.向心力不改變物體做圓周運動的速度大小
C.做勻速圓周運動的物體的向心力是恒力
D.所有做圓周運動的物體所受的合力即為向心力
解析　由于物體所受合力總是指向圓心，導致物體做圓周運動，按效果命名稱之為向心力，A錯誤；做勻速圓周運動的物體的向心力大小不變，方向時刻在變，故向心力是變力，它只改變速度方向，不改變速度大小，B正確，C錯誤；只有做勻速圓周運動的物體所受的合力才作為向心力，D錯誤。
對點題組練
C
2.(2024·四川綿陽高一統考)物體m用細線通過光滑的水平板間小孔與砝碼M相連，并且正在做勻速圓周運動，如圖所示，對物體m進行受力分析，下列說法正確的是(　　)
A.只受重力和支持力
B.只受重力、支持力、細線的拉力、向心力
C.只受重力、支持力、細線的拉力
D.只受重力、支持力、細線的拉力、M的重力
解析　向心力是一種效果力，由其他外力，或其他外力沿半徑方向的合力提供，實際上不存在，因此，物體受到重力、支持力與細線的拉力三個力的作用。故C正確。
題組2　探究向心力的大小與質量m、角速度ω和半徑r的關系
3.(2024·四川南充高一校考)在“探究向心力F的大小與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系”中，我們用如圖甲所示的實驗裝置來探究這個關系。轉動手柄使長槽和短槽分別隨變速塔輪勻速轉動，槽內的球做勻速圓周運動。橫臂的擋板對球的壓力提供了向心力，球對擋板的反作用力通過橫臂的杠桿作用使彈簧測力筒下降，從而露出標尺，標尺上的紅白相間的等分格顯示出兩個球所受向心力的比值。
(1)如圖乙，把皮帶放在皮帶盤第一擋，此時轉速比為1∶1，將質量不同的鋁球和鋼球分別放在長、短槽上半徑相等的橫臂擋板內側，即保持ω和r相同。然后搖動手柄，記錄實驗數據，研究小球做圓周運動所需向心力F與________之間的關系。
A.質量m　　 B.角速度ω　　 C.半徑r
(2)如圖丙，把皮帶放在皮帶盤第二擋(第三擋)，此時轉速比為1∶2(1∶3)；將質量相同的鋼球分別放在長、短槽上半徑相等的橫臂擋板內側，即保持m和r相同。然后搖動手柄，記錄實驗數據，研究小球做圓周運動所需向心力F與________之間的關系。
A.質量m B.角速度ω C.半徑r
(3)如圖丁，把皮帶放在皮帶盤第一擋，此時轉速比為1∶1；將長槽上的鋼球由第一擋板內側移到第二擋板，此時兩個質量相同的鋼球相對轉軸的半徑之比為2∶1。然后搖動手柄，記錄實驗數據，研究小球做圓周運動所需向心力F與________之間的關系。
A.質量m B.角速度ω C.半徑r
分析實驗所測得的數據，研究找到物體做勻速圓周運動所需向心力的大小與物體的質量、角速度和運動半徑之間的關系。
答案　(1)A　(2)B　(3)C
解析　(1)本實驗采用的是控制變量法，保持ω和r相同，研究小球做圓周運動所需向心力F與質量m的關系，故選A。
(2)本實驗采用的是控制變量法，保持m和r相同，研究小球做圓周運動所需向心力F與角速度之間的關系，故選B。
(3)本實驗采用的是控制變量法，保持m和ω相同，研究小球做圓周運動所需向心力F與半徑之間的關系，故選C。
AC
題組3　向心力的計算
4.(多選)如圖所示為甩干桶簡易模型。若該模型的半徑為r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做勻速圓周運動，質量為10 g的小物體隨桶壁一起轉動，下列說法正確的是(　　)
A.甩干桶壁上某點的線速度大小為8 m/s
B.甩干桶壁上某點的線速度大小為6.25 m/s
C.小物體對桶壁的壓力為4 N
D.小物體受到重力、彈力、摩擦力和向心力
解析　甩干桶壁上某點的線速度大小為v＝ωr＝8 m/s，故A正確，B錯誤；桶壁對小物體的彈力提供向心力，則N＝mω2r＝4 N，根據牛頓第三定律可知，小物體對桶壁的壓力為4 N，故C正確；小物體受到重力、彈力、摩擦力作用，彈力提供向心力，故D錯誤。
B
5.甲、乙兩物體都做勻速圓周運動，它們的質量之比為1∶2，轉動半徑之比為1∶2，在相等時間里甲轉過60°，乙轉過45°，則它們所受外力的合力之比為(　　)
A.1∶4 B.4∶9 C.2∶3 D.9∶16
D
題組4　向心加速度
6.(2024·四川綿陽高一統考期末)如圖所示是甲、乙兩物體做勻速圓周運動的向心加速度a的大小隨半徑r變化的圖像，其中甲是反比例函數圖像的一個分支。由圖可知(　　)
A.甲、乙物體的角速度都不變
B.甲、乙物體的線速度大小都不變
C.甲物體的角速度不變，乙物體的線速度大小不變
D.甲物體的線速度大小不變，乙物體的角速度不變
D
7.(2024·江西南昌高一期末)如圖所示，拖拉機后輪的半徑是前輪半徑的兩倍，A和B是前輪和后輪邊緣上的點，若拖拉機行進時車輪沒有打滑，則(　　)
A.兩輪轉動的周期相等
B.兩輪轉動的轉速相等
C.A點和B點的線速度大小之比為1∶2
D.A點和B點的向心加速度大小之比為2∶1
C
綜合提升練
8.(2024·四川廣元高一蒼溪中學期中)如圖所示，一個小球被細線拉著在光滑水平面上做勻速圓周運動，對該小球下列說法正確的是(　　)
A.小球速度不變
B.小球向心加速度不變
C.小球受到的向心力時刻在發生改變
D.小球相同時間內運動的位移相同
解析　速度和向心加速度是矢量，小球被細線拉著在光滑水平面上做勻速圓周運動，速度和向心加速度方向不斷變化，故A、B錯誤；根據牛頓第二定律可知，小球受繩子拉力提供向心力，拉力方向不斷變化，故C正確；位移是矢量，小球相同時間內運動的位移大小相等方向不同，故D錯誤。
AC
A.小球的角速度突然增大 B.小球的角速度突然減小
C.小球對細線的拉力突然增大 D.小球對細線的拉力保持不變
C
11.如圖甲所示是一個研究向心力大小與哪些因素有關的DIS實驗裝置的示意圖，其中做勻速圓周運動的圓柱體的質量為m，放置在未畫出的水平圓盤上，圓周軌道的半徑為r，力電傳感器測定的是向心力，光電傳感器測定的是圓柱體的線速度大小，表格中是所得數據，圖乙為F－v圖像、F－v2圖像、F－v3圖像。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(1)數據表格和圖乙中的三個圖像是在用實驗探究向心力F和圓柱體線速度大小v的關系時，保持圓柱體質量不變、半徑r＝0.1 m的條件下得到的。研究圖像后，可得出向心力F和圓柱體線速度大小v的關系式為_______________。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(2)為了研究F與r成反比的關系，實驗時除了保持圓柱體質量不變外，還應保持________不變。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
答案　(1)F＝0.88 v2　(2)線速度大小v (3)0.088 kg
C
12.(2024·廣西南寧高一期中)一個小物塊從內壁粗糙的半球形碗邊下滑，在下滑過程中由于摩擦力的作用，物塊的速率恰好保持不變，如圖所示，下列說法中正確的是(　　)
A.物塊的加速度為零
B.物塊所受合外力越來越大
C.物塊所受合外力大小保持不變，但方向時刻改變
D.物塊所受摩擦力大小不變
培優加強練

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