資源簡介

培優提升四　圓周運動的兩種模型及臨界問題
(分值：100分)
選擇題1～9題，每小題8分，共72分。
對點題組練
題組1　豎直面內的圓周運動模型
1.(2024·廣西河池高一校聯考)如圖，一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為6 m，該同學和秋千踏板的總質量約為40 kg。繩的質量忽略不計，當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為6 m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為(　　)
240 N 320 N
640 N 400 N
2.(多選)在如圖所示光滑軌道上，小球滑下經平直部分沖上圓弧部分的最高點A時，對圓弧的壓力為mg，已知圓弧的半徑為R，則(　　)
在最高點A，小球受重力和向心力
在最高點A，小球受重力和圓弧的壓力
在最高點A，小球的速度為
在最高點A，小球的向心加速度為2g
3.質量為m的小球在豎直平面內的圓形軌道的內側運動，經過軌道最高點而不脫離軌道的最小速度是v，則當小球以3v的速度經過最高點時，對軌道壓力的大小是(　　)
0 3mg
5mg 8mg
4.(多選)如圖所示，有一個半徑為R的光滑圓管道，現給小球一個初速度，使小球在豎直平面內做圓周運動，已知小球直徑遠小于R，則關于小球在最高點時的速度v，下列敘述中正確的是(　　)
v的最小值為
v由零逐漸增大，在最高點管道對小球的彈力逐漸增大
當v由逐漸增大時，在最高點管道對小球的彈力逐漸增大
當v由逐漸減小時，在最高點管道對小球的彈力逐漸增大
題組2　圓周運動的臨界問題
5.(多選)(2024·廣西河池高一統考期末)如圖所示，A、B兩個相同的茶杯放在餐桌上的自動轉盤上，O為轉盤圓心，B、O間距大于A、O間距，B杯中裝滿水，A杯是空杯，轉盤在電動機的帶動下勻速轉動，A、B兩杯與轉盤始終保持相對靜止，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是(　　)
A受到的摩擦力比B的大
B受到的摩擦力比A的大
增大轉動的角速度，B一定先滑動
增大轉動的角速度，A有可能先滑動
6.(2024·成都實驗外國語學校高一校聯考)如圖所示，質量為m的雜技演員進行表演時，可以懸空靠在以角速度ω勻速轉動的圓筒內壁上而不掉下來。演員與圓筒間的摩擦因數為μ，圓筒半徑為r，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則該演員(　　)
受到4個力的作用
受到的彈力大小為mω2r
角速度ω越大，受到的摩擦力越大
圓筒的角速度ω≥
7.(多選)質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，繩a長為L，當繩a與豎直方向成θ角時，繩b在水平方向，當輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
a繩的張力不可能為零
a繩的張力隨角速度的增大而增大
當角速度ω>，b繩將出現彈力
如b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化
綜合提升練
8.(2024·四川雅安高一期末)如圖所示，質量為m的小球剛好靜止在豎直放置的光滑圓管道內的最低點，管道的半徑為R(不計內外徑之差)，水平線ab過軌道圓心，現給小球一向右的初速度，下列說法正確的是(　　)
若小球剛好能做完整的圓周運動，則它通過最高點時的速度為
若小球剛好能做完整的圓周運動，則它通過最高點時的速度為零
小球在水平線ab以下的管道中運動時，外側管壁對小球一定無作用力
小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力
9.(2024·江蘇如皋高一期末)如圖甲所示，長為R的輕桿一端固定一個小球，小球在豎直平面內繞輕桿的另一端O做圓周運動，小球到達最高點時受到桿的彈力F與速度平方v2的關系如圖乙所示，則(　　)
小球到達最高點的速度不可能為0
當地的重力加速度大小為
v2＜b時，小球受到的彈力方向豎直向下
v2＝c時，小球受到的彈力方向豎直向下
10.(8分)如圖所示，是馬戲團中上演的飛車節目，在豎直平面內有半徑為R的圓軌道。表演者騎著摩托車在圓軌道內做圓周運動。已知人和摩托車的總質量為m，人以v1＝的速度過軌道最高點B，并以v2＝v1的速度過最低點A，求在A、B兩點軌道對摩托車的彈力大小相差為多少？
11.(10分)如圖所示，用一根長為l＝1 m的細線，一端系一質量為m＝1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，結果可用根式表示)。
(1)(5分)若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)(5分)若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
培優加強練
12.(10分)(2024·四川遂寧高二開學考試)如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B以不同速率進入管內，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg。求：
(1)(3分)A、B小球分別到達C點時的速度大小是多少；
(2)(3分)A、B小球通過C點后分別經過多長時間落地；
(3)(4分)A、B兩球落地點間的距離。
培優提升四　圓周運動的兩種模型及臨界問題
1.B　[在最低點，根據牛頓第二定律有2T－mg＝，解得T＝320 N，即每根繩子拉力約為320 N，故B正確。]
2.BD　[小球在最高點受重力和壓力，由牛頓第二定律得N＋mg＝ma＝m，又N＝mg，所以a＝2g，v＝，故B、D正確，A、C錯誤。]
3.D　[當小球以速度v經內側軌道最高點時不脫離軌道，小球僅受重力，重力提供向心力，有mg＝m；當小球以速度3v經內側軌道最高點時，小球受重力G和向下的彈力N，合力提供向心力，有mg＋N＝m，聯立解得N＝8mg，又由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力大小N′＝N＝8mg，D正確。]
4.CD　[小球在最高點，管道對小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值為零，故A錯誤；在最高點，當v＝時，根據牛頓第二定律得mg－N＝m，可得管道對球的作用力N＝0；當v<時，管道對小球的作用力方向向上，根據牛頓第二定律得mg－N＝m，當v由逐漸減小時，管道對小球的彈力逐漸增大；當v>時，管道對小球的作用力方向向下，根據牛頓第二定律得mg＋N＝m，當v由逐漸增大時，管道對小球的彈力也逐漸增大，故C、D正確，B錯誤。]
5.BC　[茶杯隨轉盤轉動時由靜摩擦力提供向心力，則有f＝mω2r，由于mB>mA、rB>rA，則B受到的摩擦力比A的大，故A錯誤，B正確；設茶杯發生滑動的臨界角速度為ω0，則有μmg＝mωr，得ω0＝；由此可知，增大轉動的角速度，B一定先滑動，故C正確，D錯誤。]
6.B　[雜技演員受到重力、筒壁的彈力和靜摩擦力，共3個力作用，由于雜技演員在圓筒內壁上不掉下來，豎直方向上沒有加速度，重力與靜摩擦力二力平衡，靜摩擦力不變，靠彈力提供向心力，A、C錯誤，B正確；要讓雜技演員不掉下來有μF≥mg，F＝mω2r，解得ω≥，D錯誤。]
7.AC　[由于小球在水平面內做勻速圓周運動，合力沿水平方向指向圓心，而b繩沿水平方向，故其重力只能由a繩的張力在豎直方向上的分力來平衡，可知A正確；當角速度較小時，b繩處于松弛狀態，設繩a與豎直方向夾角為α，分析小球受力，由力的平衡及牛頓第二定律得Tcos α＝mg及Tsin α＝mLsin α·ω2，解得T＝mLω2∝ω2，聯立解得ω＝，可見此時a繩與豎直方向間的夾角α隨角速度的增大而增大，當α＝θ后b繩上出現彈力；之后角速度再增大而a繩與豎直方向間夾角不再改變，則a上的張力T＝也不再改變，B錯誤，C正確；由于繩b可能沒有彈力，故b繩被剪斷，則a繩的彈力可能不變，D錯誤。]
8.B　[在最高點，由于外管或內管都可以對小球產生彈力作用，當小球的速度等于0時，內管對小球產生彈力，大小為mg，故最小速度為0，A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下管道運動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，所以外側管壁對小球一定有作用力，而內側管壁對小球一定無作用力，C錯誤；小球在水平線ab以上管道中運動時，當速度非常大時，內側管壁沒有作用力，此時外側管壁有作用力。當速度比較小時，內側管壁有作用力，外側管壁沒有作用力，D錯誤。]
9.D　[因桿既能提供支持力，又能提供拉力，則桿—球模型的最高點臨界條件是v＝0，則有a＝mg，即小球到達最高點的最小速度為0，故A錯誤；由F－v2圖像可知，在0≤v2＜b時，以較小速度通過最高點，桿提供支持力，由牛頓第二定律有mg－F＝m，可得F＝mg－m，隨著通過最高點速度增大，桿的支持力為正值(規定向上為正)逐漸減小，而當v2＝b時，有F＝0，即mg＝m，解得g＝，故B、C錯誤；由以上分析可知，在v2>b時，以較大速度通過最高點，桿提供拉力，拉力為負值表示方向向下，由牛頓第二定律有mg＋F＝m，可得F＝m－mg，大小隨著速度增大而增大，而v2＝c＞b，則小球受到的彈力方向一定豎直向下，故D正確。]
10.6mg
解析　在B點，有FB＋mg＝m
解得FB＝mg
在A點，有FA－mg＝m
解得FA＝7mg
FA－FB＝6mg
所以在A、B兩點軌道對摩托車的彈力大小相差6mg。
11.(1) rad/s　(2)2 rad/s
解析　(1)若小球剛好要離開錐面，則小球只受到重力和細線的拉力，且細線與豎直方向的夾角為θ，受力分析如圖所示。小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運用牛頓第二定律得mgtan θ＝mωlsin θ
解得ω0＝＝ rad/s。
(2)當細線與豎直方向成60°角時，小球已離開錐面，由牛頓第二定律得mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′＝＝2 rad/s。
12.(1)2　　(2)2　2　(3)3R
解析　(1)球在圓管內做圓周運動，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，可知此時圓管對A有豎直向下的彈力，大小為3mg，根據牛頓第二定律有3mg＋mg＝m
同理，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg，可知此時圓管對B有豎直向上的彈力，大小為0.75mg，根據牛頓第二定律有mg－0.75mg＝m
解得vA＝2，vB＝。
(2)兩球從C點水平射出，做平拋運動，豎直方向有gt2＝2R
解得兩球通過C點后到落地的時間均為t＝2
(3)A、B兩球落地點間的距離為s＝vAt－vBt＝3R。培優提升四　圓周運動的兩種模型及臨界問題
學習目標　1.掌握豎直面內圓周運動的繩—球模型、桿—球模型的特點及分析方法。2.能利用臨界條件分析圓周運動的臨界問題。
提升1　豎直面內的圓周運動模型
豎直面內圓周運動的兩種模型對比
輕繩模型 輕桿模型
情境 圖示
模型 特征 下無支撐 上有約束 下有支撐 上有約束
通過最高點條件　 最小速度為(即v≥) v≥0
v＜時 在到達最高點前已脫離軌道 mg－N＝m 對桿(下壁)有壓力
v＝時 mg＝m 剛好通過最高點做圓周運動 mg＝m N＝0，做圓周運動
v＞時 mg＋T＝m 對繩(軌道)有向上的拉(壓)力，做圓周運動 mg＋N＝m 對桿(上壁)有向上的拉(壓)力，做圓周運動
模型1　豎直面內圓周運動的繩一球(過山車)模型
例1 一質量為0.5 kg的小球，用長為0.4 m的細繩拴住，在豎直平面內做圓周運動(g取10 m/s2)，求：
(1)若過最高點時的速度為4 m/s，此時小球角速度是多大？
(2)若過最高點時繩的拉力剛好為零，此時小球速度大小？
(3)若過最低點時的速度為6 m/s，此時繩的拉力大小？
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訓練1 雜技演員表演“水流星”，在長為1.6 m的細繩的一端，系一個與水的總質量為m＝0.5 kg的大小不計的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4 m/s，則下列說法正確的是(g取10 m/s2)(　　)
A.“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出
B.“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零
C.“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用
D.“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5 N
模型2　豎直面內圓周運動的桿一球模型
例2 長L＝0.5 m、質量可忽略的細桿，其一端可繞O點在豎直平面內轉動，另一端固定著一個小球A，A的質量為m＝2 kg。當A通過最高點時，如圖所示，求在下列兩種情況下小球對桿的作用力(g取10 m/s2)：
(1)A在最高點的速度為1 m/s；
(2)A在最高點的速度為4 m/s。
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豎直平面內圓周運動的求解思路
訓練2 (多選)豎直平面內的圓周運動是物理學里的經典模型之一，某同學通過如下實驗來探究其相關規律：如圖，質量為m的小球固定在力傳感器測量的一側，傳感器另一側固定在輕桿一端，現給小球一初速度讓其繞O點做圓周運動，小球到O點距離為L，已知當力傳感器受到壓力時讀數為負，受到拉力時讀數為正，重力加速度為g。則下列說法正確的是(　　)
A.只有當小球通過圓周最高點的速度大于等于時才能完成完整的圓周運動
B.若小球通過圓周最高點時速度為，則力傳感器讀數為－mg
C.小球在與圓心等高的B點下方運動過程中，力傳感器讀數總是為正值
D.若小球通過圓周最低點時速度為，則力傳感器讀數為mg
提升2　圓周運動的臨界問題
1.臨界問題：在圓周運動問題中，當出現“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
2.臨界條件：(1)物體恰好(沒有)發生相對滑動，靜摩擦力達到________。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為________。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到________承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為________。
3.列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
角度1　摩擦力臨界
例3 如圖所示，可視為質點的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉臺上隨轉臺一起繞固定轉軸OO′勻速轉動，木塊A、B與轉軸OO′的距離均為1 m，A的質量為5 kg，B的質量為10 kg。已知A與B間的動摩擦因數為0.2，B與轉臺間的動摩擦因數為0.3，若木塊A、B與轉臺始終保持相對靜止，則轉臺角速度ω的最大值為(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2)
A.1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D.3 rad/s
聽課筆記_____________________________________________________________
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訓練3 (多選)如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO′間的距離為l，b與轉軸間的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度。下列說法正確的是(　　)
A.b一定比a先開始滑動
B.a、b所受的摩擦力始終相等
C.ω＝是b開始滑動的臨界角速度
D.當ω＝時，a所受摩擦力的大小為kmg
角度2　彈力臨界
例4 如圖所示，兩繩系著一個質量為m＝0.1 kg的小球C，上面繩長l＝2 m，兩繩都拉直時與軸夾角分別為30°與45°。問球的角速度ω滿足什么條件時，兩繩始終張緊？(g取10 m/s2)
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訓練4 如圖所示，轉動軸垂直于光滑平面，交點O的上方h處固定細繩的一端，細繩的另一端拴接一質量為m的小球B，繩長AB＝l>h，小球可隨轉動軸轉動并在光滑水平面上做勻速圓周運動(重力加速度為g)。要使球不離開水平面，轉動軸的轉速的最大值是(　　)
A. B.π
C. D.2π
隨堂對點自測
1.(過山車模型)如圖所示，游樂場里的過山車駛過軌道的最高點時，乘客在座椅里面頭朝下，人體顛倒。若乘客經過軌道最高點時對座椅的壓力等于其自身重力的一半，軌道半徑為R，重力加速度為g，則此時過山車的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.
2.(繩—球模型)(2024·四川綿陽高一統考期中)如圖所示，長為L的輕繩一端系一質量為m的小球A(視為質點)，另一端固定于O點，當繩豎直時小球靜止。現給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內做圓周運動，且剛好能過最高點，重力加速度為g，不計空氣阻力，則(　　)
A.小球過最高點時，速度可能為零
B.小球過最高點時，繩的拉力不可能為零
C.小球過最高點時，速度大小為
D.開始運動時，繩的拉力為m
3.(桿—球模型)(多選)一輕桿一端固定質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內做半徑為R的圓周運動，如圖所示，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
A.小球過最高點時，桿所受到的彈力可以等于零
B.小球過最高點的最小速度是
C.若小球過最高點的速度v＞時，桿對球的作用力豎直向下
D.若小球過最高點的速度v＜時，速度v越小，桿對球的作用力越大
4.(圓周運動臨界問題)(2024·四川眉山高一統考期中)如圖所示，物塊在水平圓盤上，與圓盤一起繞固定軸勻速轉動，下列說法中正確的是(　　)
A.物塊受三個力作用
B.物塊處于平衡狀態
C.在物塊到轉軸距離一定時，物塊運動周期越小，越不容易脫離圓盤
D.在角速度一定時，物塊到轉軸的距離越遠，物塊越不容易脫離圓盤
培優提升四　圓周運動的兩種模型及臨界問題
提升1
例1 (1)10 rad/s　(2)2 m/s　(3)50 N
解析　(1)當小球在最高點速度為4 m/s時，可得角速度為
ω＝＝ rad/s＝10 rad/s。
(2)通過最高點時繩子拉力為零，此時重力提供向心力，有mg＝m，可得速度為v＝＝＝2 m/s。
(3)通過最低點時，根據牛頓第二定律得F1－mg＝m，代入數據解得F1＝50 N。
訓練1 B　[“水流星”在最高點的臨界速度v＝＝4 m/s，由此知繩的拉力恰好為零，“水流星”的重力提供向心力，則水恰好不流出，容器底部受到的壓力為零，故B正確。]
例2 (1)16 N，方向向下　(2)44 N，方向向上
解析　設小球A在最高點的速度為v0時，與桿之間恰好沒有相互作用力，此時向心力完全由小球的重力提供，根據牛頓第二定律有mg＝m，代入數據解得v0＝＝ m/s。
(1)當A在最高點的速度為v1＝1 m/s時，因v1＜v0，此時小球A受到桿向上的支持力作用，根據牛頓第二定律有mg－F1＝m，代入數據解得F1＝16 N，根據牛頓第三定律，小球對桿的作用力大小為16 N，方向向下。
(2)當A在最高點的速度為v2＝4 m/s時，因v2＞v0，此時小球A受到桿向下的拉力作用，根據牛頓第二定律有mg＋F2＝m，代入數據解得F2＝44 N，根據牛頓第三定律得，小球對桿的作用力大小為44 N，方向向上。
訓練2 BC　[根據輕桿模型中過最高點的臨界條件可知，A錯誤；在最高點受力分析有mg＋F＝m，將速度代入，解得F＝－mg，即小球受到向上的支持力，由牛頓第三定律可知傳感器受到向下的壓力，B正確；小球在與圓心等高的B點下方運動過程中，受到力傳感器的拉力，力傳感器讀數總是為正值，C正確；在最低點受力分析，有F－mg＝m，將速度代入，解得F＝3mg，D錯誤。]
提升2
2.(1)最大值　(2)0　(3)最大　(4)0
例3 B　[對A有μ1mAg≥mAω2r，對A、B整體有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入數據解得ω≤ rad/s，故B正確。]
訓練3 AC　[因圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢加速轉動，在某一時刻可認為，木塊隨圓盤轉動時，其受到的靜摩擦力的方向指向轉軸，兩小木塊轉動過程中角速度相等，根據牛頓第二定律可得f＝mω2R。由于小木塊b的軌道半徑大于小木塊a的軌道半徑，故小木塊b做圓周運動需要的向心力較大，選項B錯誤；因為兩小木塊所受的最大靜摩擦力相等，故b一定比a先開始滑動，選項A正確；當b開始滑動時，由牛頓第二定律可得kmg＝mω·2l，可得ω1＝，選項C正確；當a開始滑動時，由牛頓第二定律可得kmg＝mωl，可得ω2＝，而圓盤的角速度ω＝<，小木塊a未發生滑動，其所需的向心力由靜摩擦力來提供，由牛頓第二定律可得f＝mω2l＝kmg，選項D錯誤。]
例4 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
解析　當ω由零逐漸增大時可能出現兩個臨界值：
其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC恰好拉直，但不受拉力，設兩種情況下的轉動角速度分別為ω1和ω2，小球受力情況如圖所示。
當BC恰好拉直，但沒有拉力存在時(T2＝0)，有
T1cos 30°＝mg
T1sin 30°＝mωlsin 30°
聯立解得ω1＝2.4 rad/s
當AC恰好拉直，但沒有拉力存在時(T1＝0)，有
T2cos 45°＝mg
T2sin 45°＝mωlsin 30°
聯立解得ω2＝3.16 rad/s
所以要使兩繩始終張緊，ω必須滿足的條件是
2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
訓練4 C　[當小球對水平面的壓力為零時，有mgtan θ＝mω2lsin θ，解得最大角速度為ω＝＝，則最大轉速為n＝＝ ，選項C正確，A、B、D錯誤。]
隨堂對點自測
1.C　[乘客經過軌道最高點時對座椅的壓力等于其自身重力的一半，則座椅對乘客的支持力也為重力的一半，由于在最高點時，乘客在座椅里面頭朝下，所以座椅對乘客的支持力也朝下，則有N＋mg＝m，N＝0.5mg，聯立解得v＝，C正確。]
2.C　[小球剛好越過最高點，可知T＝0，根據牛頓第二定律可得mg＝m，解得v＝，故A、B錯誤，C正確；開始運動時，根據牛頓第二定律可得T－mg＝m，解得T＝mg＋m，故D錯誤。]
3.ACD　[當小球過最高點時速度v＝，重力恰好提供向心力，桿所受到的彈力等于零，故A正確；因為桿可以對小球提供向上的支持力，故小球過最高點時最小速度為0，故B錯誤；若小球過最高點時速度v＞，重力比所需要的向心力小，桿對球的作用力豎直向下，故C正確；若小球過最高點的速度v＜時，桿對球的作用力豎直向上，此時有mg－N＝m，v越小，桿對球的作用力N越大，故D正確。]
4.A　[物塊繞固定軸做勻速圓周運動，對其受力分析可知，物塊受豎直向下的重力、垂直圓盤向上的支持力及指向圓心的摩擦力共三個力作用，合力提供向心力，故A正確，B錯誤；根據向心力公式F＝mr，可知，當物塊到轉軸距離一定時，周期越小，所需向心力越大，越容易脫離圓盤，故C錯誤；根據向心力公式F＝mω2r可知，當ω一定時，物塊到轉軸的距離越遠，半徑越大，所需的向心力越大，越容易脫離圓盤，故D錯誤。](共53張PPT)
培優提升四　圓周運動的兩種模型及臨界問題
第二章 勻速圓周運動
1.掌握豎直面內圓周運動的繩—球模型、桿—球模型的特點及分析方法。2.能利用臨界條件分析圓周運動的臨界問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　圓周運動的臨界問題
提升1　豎直面內的圓周運動模型
提升1　豎直面內的圓周運動模型
豎直面內圓周運動的兩種模型對比
模型1　豎直面內圓周運動的繩一球(過山車)模型
例1 一質量為0.5 kg的小球，用長為0.4 m的細繩拴住，在豎直平面內做圓周運動(g取10 m/s2)，求：
(1)若過最高點時的速度為4 m/s，此時小球角速度是多大？
(2)若過最高點時繩的拉力剛好為零，此時小球速度大小？
(3)若過最低點時的速度為6 m/s，此時繩的拉力大小？
B
訓練1 雜技演員表演“水流星”，在長為1.6 m的細繩的一端，系一個與水的總質量為m＝0.5 kg的大小不計的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4 m/s，則下列說法正確的是(g取10 m/s2)(　　)
A.“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出
B.“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零
C.“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用
D.“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5 N
模型2　豎直面內圓周運動的桿一球模型
例2 長L＝0.5 m、質量可忽略的細桿，其一端可繞O點在豎直平面內轉動，另一端固定著一個小球A，A的質量為m＝2 kg。當A通過最高點時，如圖所示，求在下列兩種情況下小球對桿的作用力(g取10 m/s2)：
(1)A在最高點的速度為1 m/s；
(2)A在最高點的速度為4 m/s。
豎直平面內圓周運動的求解思路
BC
訓練2 (多選)豎直平面內的圓周運動是物理學里的經典模型之一，某同學通過如下實驗來探究其相關規律：如圖，質量為m的小球固定在力傳感器測量的一側，傳感器另一側固定在輕桿一端，現給小球一初速度讓其繞O點做圓周運動，小球到O點距離為L，已知當力傳感器受到壓力時讀數為負，受到拉力時讀數為正，重力加速度為g。則下列說法正確的是(　　)
提升2　圓周運動的臨界問題
1.臨界問題：在圓周運動問題中，當出現“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
2.臨界條件：(1)物體恰好(沒有)發生相對滑動，靜摩擦力達到________。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為____。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到______承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為____。
3.列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
最大值
0
最大
0
B
角度1　摩擦力臨界
例3 如圖所示，可視為質點的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉臺上隨轉臺一起繞固定轉軸OO′勻速轉動，木塊A、B與轉軸OO′的距離均為1 m，A的質量為5 kg，B的質量為10 kg。已知A與B間的動摩擦因數為0.2，B與轉臺間的動摩擦因數為0.3，若木塊A、B與轉臺始終保持相對靜止，則轉臺角速度ω的最大值為(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2)( )
AC
訓練3 (多選)如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO′間的距離為l，b與轉軸間的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度。下列說法正確的是(　　)
解析　因圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢加速轉動，在某一時刻可認為，木塊隨圓盤轉動時，其受到的靜摩擦力的方向指向轉軸，兩小木塊轉動過程中角速度相等，根據牛頓第二定律可得f＝mω2R。由于小木塊b的軌道半徑大于小木塊a的軌道半徑，故小木塊b做圓周運動需要的向心力較大，選項B錯誤；
角度2　彈力臨界
例4 如圖所示，兩繩系著一個質量為m＝0.1 kg的小球C，上面繩長l＝2 m，兩繩都拉直時與軸夾角分別為30°與45°。問球的角速度ω滿足什么條件時，兩繩始終張緊？(g取10 m/s2)
其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC恰好拉直，但不受拉力，設兩種情況下的轉動角速度分別為ω1和ω2，小球受力情況如圖所示。
C
訓練4 如圖所示，轉動軸垂直于光滑平面，交點O的上方h處固定細繩的一端，細繩的另一端拴接一質量為m的小球B，繩長AB＝l>h，小球可隨轉動軸轉動并在光滑水平面上做勻速圓周運動(重力加速度為g)。要使球不離開水平面，轉動軸的轉速的最大值是(　　)
隨堂對點自測
2
C
1.(過山車模型)如圖所示，游樂場里的過山車駛過軌道的最高點時，乘客在座椅里面頭朝下，人體顛倒。若乘客經過軌道最高點時對座椅的壓力等于其自身重力的一半，軌道半徑為R，重力加速度為g，則此時過山車的速度大小為(　　)
C
2.(繩—球模型)(2024·四川綿陽高一統考期中)如圖所示，長為L的輕繩一端系一質量為m的小球A(視為質點)，另一端固定于O點，當繩豎直時小球靜止。現給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內做圓周運動，且剛好能過最高點，重力加速度為g，不計空氣阻力，則(　　)
ACD
3.(桿—球模型)(多選)一輕桿一端固定質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內做半徑為R的圓周運動，如圖所示，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　 )
A
4.(圓周運動臨界問題)(2024·四川眉山高一統考期中)如圖所示，物塊在水平圓盤上，與圓盤一起繞固定軸勻速轉動，下列說法中正確的是(　　)
A.物塊受三個力作用
B.物塊處于平衡狀態
C.在物塊到轉軸距離一定時，物塊運動周期越小，越不容易脫離圓盤
D.在角速度一定時，物塊到轉軸的距離越遠，物塊越不容易脫離圓盤
課后鞏固訓練
3
B
題組1　豎直面內的圓周運動模型
1.(2024·廣西河池高一校聯考)如圖，一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為6 m，該同學和秋千踏板的總質量約為40 kg。繩的質量忽略不計，當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為6 m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為(　　)
A.240 N B.320 N C.640 N D.400 N
對點題組練
BD
2.(多選)在如圖所示光滑軌道上，小球滑下經平直部分沖上圓弧部分的最高點A時，對圓弧的壓力為mg，已知圓弧的半徑為R，則(　　)
D
3.質量為m的小球在豎直平面內的圓形軌道的內側運動，經過軌道最高點而不脫離軌道的最小速度是v，則當小球以3v的速度經過最高點時，對軌道壓力的大小是(　　)
A.0 B.3mg C.5mg D.8mg
CD
4.(多選)如圖所示，有一個半徑為R的光滑圓管道，現給小球一個初速度，使小球在豎直平面內做圓周運動，已知小球直徑遠小于R，則關于小球在最高點時的速度v，下列敘述中正確的是(　　)
BC
題組2　圓周運動的臨界問題
5.(多選)(2024·廣西河池高一統考期末)如圖所示，A、B兩個相同的茶杯放在餐桌上的自動轉盤上，O為轉盤圓心，B、O間距大于A、O間距，B杯中裝滿水，A杯是空杯，轉盤在電動機的帶動下勻速轉動，A、B兩杯與轉盤始終保持相對靜止，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是(　　)
A.A受到的摩擦力比B的大
B.B受到的摩擦力比A的大
C.增大轉動的角速度，B一定先滑動
D.增大轉動的角速度，A有可能先滑動
B
6.(2024·成都實驗外國語學校高一校聯考)如圖所示，質量為m的雜技演員進行表演時，可以懸空靠在以角速度ω勻速轉動的圓筒內壁上而不掉下來。演員與圓筒間的摩擦因數為μ，圓筒半徑為r，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則該演員(　　)
AC
7.(多選)質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，繩a長為L，當繩a與豎直方向成θ角時，繩b在水平方向，當輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
B
綜合提升練
8.(2024·四川雅安高一期末)如圖所示，質量為m的小球剛好靜止在豎直放置的光滑圓管道內的最低點，管道的半徑為R(不計內外徑之差)，水平線ab過軌道圓心，現給小球一向右的初速度，下列說法正確的是(　　)
解析　在最高點，由于外管或內管都可以對小球產生彈力作用，當小球的速度等于0時，內管對小球產生彈力，大小為mg，故最小速度為0，A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下管道運動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，所以外側管壁對小球一定有作用力，而內側管壁對小球一定無作用力，C錯誤；小球在水平線ab以上管道中運動時，當速度非常大時，內側管壁沒有作用力，此時外側管壁有作用力。當速度比較小時，內側管壁有作用力，外側管壁沒有作用力，D錯誤。
D
9.(2024·江蘇如皋高一期末)如圖甲所示，長為R的輕桿一端固定一個小球，小球在豎直平面內繞輕桿的另一端O做圓周運動，小球到達最高點時受到桿的彈力F與速度平方v2的關系如圖乙所示，則(　　)
解析　因桿既能提供支持力，又能提供拉力，則桿—球模型的最高點臨界條件是v＝0，則有a＝mg，即小球到達最高點的最小速度為0，故A錯誤；由F－v2圖像可知，在0≤v2＜b時，以較小速度通過最高點，桿提供支持力，由牛頓第二定
11.如圖所示，用一根長為l＝1 m的細線，一端系一質量為m＝1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，結果可用根式表示)。
(1)若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
解析　(1)若小球剛好要離開錐面，則小球只受到重力和細線的拉力，且細線與豎直方向的夾角為θ，受力分析如圖所示。
(2)當細線與豎直方向成60°角時，小球已離開錐面，由牛頓第二定律得
mgtan α＝mω′2lsin α
培優加強練
12.(2024·四川遂寧高二開學考試)如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B以不同速率進入管內，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg。求：
(1)A、B小球分別到達C點時的速度大小是多少；
(2)A、B小球通過C點后分別經過多長時間落地；
(3)A、B兩球落地點間的距離。
解析　(1)球在圓管內做圓周運動，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，可知此時圓管對A有豎直向下的彈力，大小為3mg，根據牛頓第二定律有
同理，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg，可知此時圓管對B有豎直向上的彈力，大小為0.75mg，根據牛頓第二定律有

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